学案导学备课精选高中数学3.3计算导数同步练习(含解析)北师大版选修11

§3 计算导数 课时目标 1.会计算函数在一个点处的导数.2.理解导函数的概念.3.了解导数公式表．
1．计算函数y ＝f(x)在点x ＝x 0处的导数的步骤：
(1)计算函数的增量：Δy ＝f(Δx ＋x 0)－f(x 0)
(2)确定平均变化率：Δy Δx ＝0＋Δ－
0Δx
(3)当Δx 趋于0时，得到导数：
f′(x 0)＝0
lim x ∆→0－Δ－
0Δx 2．导函数
一般地，如果一个函数f(x)在区间(a ，b)上的每一点x 处都有导数，导数值记为f′(x)，则f′(x)＝______________________，则f′(x)为f(x)的__________，简称导数．
3．导数公式表
函数 导函数 函数 导函数
y ＝c (c 是常数)
y′＝0 y ＝sin x y′＝cos x y ＝x α (α为实数)
y′＝αx α－1 y ＝cos x y′＝－sin x y ＝a x
(a>0，a≠1) y′＝a x ln a 特别地(e x )＝e x
y ＝tan x y′＝1cos 2x y ＝log a x (a>0，a≠1) y′＝1x ln a
特别地(ln x)′＝1x y ＝cot x y′＝－1sin 2x
一、选择题
1．已知函数f(x)＝13，则f′(x)等于( ) A ．－
33 B ．0 C .33
D . 3 2．曲线y ＝－1x 在点⎝
⎛⎭⎪⎫2，－12处的切线方程为( ) A ．x －4y －4＝0 B ．x －y －4＝0
C ．x －4y ＝0
D ．2x －4y －4＝0
3．函数y ＝3x 2＋2x ＋1在点x ＝1处的导数为( )
A ．3
B ．7
C ．8
D ．1
4．曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4
的点是( ) A ．(0,0) B ．(2,4)
C .⎝ ⎛⎭⎪⎫14，116
D .⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14
5．函数y ＝(x －1)2的导数是( )
A ．(x －1)2
B ．2(x －1)
C ．2(1－x)
D ．－2
6．y ＝cos x 在点x ＝π6处的导数为( )
A .3
2 B ．－ 32 C ．－1
2 D .1
2
题 号 1 2 3 4 5 6
答 案
二、填空题
7．函数y ＝5x ＋4的导数为________．
8．函数f(x)＝x 2＋3x 导数为5的点是________．
9．曲线y ＝ln x 在x ＝1处的切线斜率为________．
三、解答题
10．已知函数y ＝x 2＋4x ，求x ＝1,2处的导数值．
11.已知f(x)＝log 2x ，利用导数公式求f′(2)．
能力提升
12．给出下列结论：
①(cos x)′＝sin x ；②⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π
3′＝cos π
3；
③若y ＝1x 2，则y′＝－1x ；④⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ′＝1
2x x .
其中正确的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
13．已知f′(x)是一次函数，x 2
f′(x)－(2x －1)f(x)＝1，求f(x)的解析式．
1．“函数f(x)在点x 0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x 0)是其导数y ＝f′(x)在x ＝x 0处的一个函数值，求函数在一点处的导数，一般先求出函数的导数，再计算这一点处的导数值．
2．可以利用导数公式计算函数在某点处的导数．
§3 计算导数
知识梳理
2．f′(x)=
lim x ∆→＋Δ－Δx 导函数 作业设计
1．B
2．A
3．C
4．D
5．B
6．C
7．5
8．(1,4)
9．1
解析 y′＝1x
，∴f′(1)＝1. 10．解 f′(1)=
0lim x ∆→＋Δ－Δx
=0
lim
x ∆→＋Δ2＋＋Δ－1－4Δx =0
lim x ∆→Δ2＋ΔΔx ＝6. f′(2)=
0lim
x ∆→＋Δ－Δx =0lim x ∆→＋Δ
2＋＋Δ－22－4×2Δx
＝8.
11．解 ∵f′(x)＝(log 2x)′＝1x ln 2＝2x ln 2
， ∴f′(2)＝1ln 2
. 12．B
13．解 由f′(x)为一次函数可知f(x)为二次函数．
设f(x)＝ax 2＋bx ＋c (a≠0)，则f′(x)＝2ax ＋b.
把f(x)，f′(x)代入方程x 2f′(x)－(2x －1)f(x)＝1中得：x 2(2ax ＋b)－(2x －1)(ax 2＋
bx ＋c)＝1，
即(a －b)x 2＋(b －2c)x ＋c －1＝0
要使方程对任意x 恒成立，
则需有a ＝b ，b ＝2c ，c －1＝0，
解得a ＝2，b ＝2，c ＝1，
所以f(x)＝2x 2＋2x ＋1.。