第44讲 排序不等式

第四讲 排序不等式与琴生不等式
本节主要内容有排序不等式、琴生不等式、幂平均不等式、切比雪夫不等式及应用．
排序不等式（又称排序定理）：给定两组实数a 1，a 2，……，a n ；b 1，b 2，……，b n ．如果a 1≤a 2≤……≤a n ；b 1≤b 2≤……≤b n ．那么a 1b n ＋a 2b n －1＋……＋a n b 1（反序和）≤a 11i b ＋a 22i b ＋……＋a n n i b （乱序和）≤a 1b 1＋a 2b 2＋……＋a n b n （同序和）， 其中i 1，i 2，……，i n 是1，2，……，n 的一个排列．
该不等式所表达的意义是和式
∑=n
j i j j
b
a 1
在同序和反序时分别取得最大值和最小值．
切比雪夫不等式：设有两个有序数组a 1≤a 2≤……≤a n ；b 1≤b 2≤……≤b n ．则1
n
(a 1b n
＋a 2b n －1＋……＋a n b 1)≤a 1＋a 2＋……＋a n n ·b 1＋b 2＋……＋b n n ≤1
n
(a 1b 1＋a 2b 2＋……＋
a n
b n )， 其中等号仅当a 1＝a 2＝……＝a n 或b 1＝b 2＝……＝b n 时取得．
琴生不等式又称凸函数不等式，它建立在凸函数的基础上．
定义 设连续函数f (x )的定义域是[a ，b ](开区间(a ，b )或(－∞，＋∞)上均可)，如果对
于区间[a ，b ]内的任意两点x 1，x 2有f (x 1＋x 22 )≤1
2 [f (x 1)＋f (x 2)]，则称f (x )为[a ，b ]上的下凸
函数．如图(１)
定理一．若f (x )是下凸函数，则对其定义域中的任意几个点x 1，x 2，……，x n ，恒有f (x 1＋x 2＋……＋x n n )≤1
n
[f (x 1)＋f (x 2)＋……＋f (x n )]．
定义 设连续函数f (x )的定义域是[a ，b ](开区间(a ，b )或(－∞，＋∞)上均可)，如果对于区间[a ，b ]内的任意两点x 1，x 2有f (x 1＋x 22 )≥1
2 [f (x 1)＋f (x 2)]，则称f (x )为[a ，b ]上的下凸
函数．如图(2)
x 1
x 2
M (1)
P Q x 1
x 2
M P Q
定理二：若)(x f 是上凸函数，则对其定义域中的任意n 个点n x x x ,...,,21恒有
)](...)()([1
)...(
2121n n x f x f x f n n x x x f +++≥+++，容易验证x x x f 2
1log ,tan )(=分
别是),0(),2
,
0(+∞π
上的下凸函数。

x x x f lg ,sin )(=分别是),0(],,0[+∞π上的上凸函数。

定理一和定理二所表达的不等关系，统称为琴生不等式。

幂平均：
设n a a a ,...,,21是任意n 个正数，我们称)0()...(
1
21≠+++r n
a a a r r
n r r 为这一组数的r 次幂平均，记为r M （n a a a ,...,,21），简记作)(a M r 。

由定义容易得到
n
a a a a M n
+++=
...)(211，可以证明n n r r a a a a M +++=→...)(lim 210。

幂平均不等式：设n a a a ,...,,21是任意n 个正数。

如果βα<，那么一定有)()(a M a M βα≤，等号只有当
n
个数全相等时才能成立。

例如3=n 时，
33
2
32
22
13
21a a a a a a ++≤++33
3
3
23
1
3
a a a ++≤，显然)(a M r 是r 的递增函数。

我们将在本节的附录里对排序不等式、切比雪夫不等式、琴生不等式分别给出证明。

由
于幂平均不等式数学背景深，难度大，这里不再证明，有兴趣的读者可以参阅史济怀先生著《平均》。

A 类例题
例1 求证325tan 46tan 66tan >++
证法一：>++>++
46tan )25tan 65(tan 25tan 46tan 66tan
345tan 25tan .65tan 2=+
证法二：x x f tan )(=在)2
,
0(π上是下凸函数。

据琴生不等式
45tan 3
137tan 3254666tan 325tan 46tan 66tan >=++>++，因此
325tan 46tan 66tan >++
说明：如原题改为求证325tan 44tan 66tan >++
，则证法二仍可，证法一则不灵。

例2 ABC ∆中求C B A sin sin sin ++的最大值。

解：考察函数x x f sin )(=，],0[π∈x ，对任意],0[,21π∈x x ，)]()([2
1
21x f x f +
2sin 2cos 2sin 2sin )sin (sin 21
)2(
21
2121212121x x x x x x x x x x x x f +--+=+-+=+- 0)12(cos 2sin
2121≤--+=x x x x ，所以≥+)2(21x x f )]()([2
1
21x f x f +。

因此)(x f 是上凸函数。

据琴生不等式
C B A C
B A
C B A sin sin sin 3
sin 3sin sin sin ++⇒++≤++
233≤
，当且仅当
60===C B A 时取得最大值2
33。

链接：用琴生不等式可以轻而易举得得到一系列三角不等式，例如ABC ∆中
833sin .sin .sin ≤
C B A ，2332cos 2cos 2cos ≤++C B A ，2
3
2sin 2sin 2sin ≤++C B A 。

例3 若122=+b a ，求1
2
2++b a
的最小值。

解：由于x
y 2=是下凸函数（读者自行证明）。

据琴生不等式
3
23
222b
b a b
b a ++≥++，
即4
2.32.22≥+b
a
，也就是48221
≥++b a
，当且仅当4==b a 时达到最小值。

说明：运用琴生不等式证题关键在于选去适当的辅助函数。

情景再现
1. ABC ∆中，求C B A sin sin sin ++的最大值。

2. c bx ax x f ++=2
)(，若0>a ，证明)(x f 是下凸的；若0<a ，证明)(x f 是上凸的。

3. 用函数x x f lg )(=的凸函数性质证明平均值不等式：对0>i a （n i ,...,2,1=）有
n
n n a a a n
a a a ......2121≥+++
B 类例题
例4 设z y x ,,都是正数，且82
22=++z y x ，试证3
216
3
3
3
≥++z y x 证明：据幂平均不等式
3
32
223
3
33z y x z y x ++≥
++，因此有
9.)38(3333≥++z y x ，也就是3
2
16333≥++z y x 。

例 5 1）若不等式422b a m b a +≤+对所有正实数b a ,都成立，则m 的最小值是____________。

（第十三届希望杯.高二） 2）设c b a ,,都是正数，试证))(()(32
22333c b a c b a c b a ++++≥++
3）设+
∈R a a a n ,...,,21，且1...21=+++n a a a ，试证当1≥m 时有
m m n n m m n
n n a a a a a a )1()1(...)1()1(2211+≥++++++
1）解：据幂平均不等式4
42
221
2222
12
1
22)2()2(b a b a b a b a +≤+⇒+≤+，因此43
4
2
2
2≤++b
a b
a ，故m 的最小值是4
32。

2）证明：333333c b a c b a ++≥++ （1），又3
32223333c
b a
c b a ++≥
++因此得3
)3(2
222
3333c b a c b a ++≥
++ （2）， （1）与（2）相乘得3
.33222333c b a c b a c b a ++++≥++，也就是≥++)(3333c b a
)).((222c b a c b a ++++。

仿此，一般地设n a a a ,...,,21；βα,都是正数，且βα+=r ，
则有n
a a a n a a a n a a a n n r n r r β
β
βααα++++++≥+++..........212121。

3）证明：由幂平均不等式≥++++++
m m n
n m m n
a a a a a a 12211])1
(...)1()1([
n
a a a n a a a a a a n
n n )1...11(11...11212211++++=
++++++
，这样便有
m n m n n m m n
a a a n a a a a a a )1
...111()1
(...)1()1(212211++++≥++++++ （1）
，由于1...21=+++n a a a ，由柯西不等式（或平均值不等式）易知)....(21n a a a +++
221)1...11(
n a a a n ≥+++，于是得2211...11n a a a n
≥+++ （2），由不等式（1）（2）得m m n n m m n
n n a a a a a a )1
()1(...)1()1(2211+≥++++++。

我们注意到许多不等式就是该不等式的特例。

例如，设b a ,都是正数，且1=+b a ，
那么225
)1()1(22≥
+++
b b a a 。

设
c b a ,,都是正数，且1=++c b a ，那么3
100
)1()1()1(222≥
+++++c c b b a a 。

例6 已知非负实数z y x ,,满足4
13
322
2
2
=
+++++z y x z y x ，证明
≤-2322 2
3
≤
++z y x 。

（2003-2003匈牙利数学奥林匹克）
分析：我们想起这样的一道题。

已知y x ,为非负实数，12
2
=+y x ，求y x +的最大
值和最小值。

这道题的几何意义是点),(y x p 在单位圆的一段弧上，求点p 纵、横坐标之和的最值。

对比我们做过的题和要做的题，发现其本质是一样的，只不过问题由平民推到了空间，过去的圆变成了现在的球因而解法完全类似。

证明：由已知，配方可得4
27
)2
3()1()2
1(2
2
2=
+++++z y x （这表明点),,(z y x p 在以)2
3
,1,21(---
为球心，半径为233的球面上），据幂平均不等式⇒
⨯≤+++⇒+++++≤
+++++
3
1427.333)23()1()21(323
1212
22z y x z y x z y x
23≤++z y x ，当且仅当⎪
⎩⎪⎨⎧===0
21
1z y x 时取等号。

又z y x ,,为非负实数，所以2
2
2
2
)(z y x z y x ++≥++，z y x z y x 32)(3++≥++，相加得013)(12)(44
13
)(3)(22
≥-+++++⇒≥
+++++z y x z y x z y x z y x ，解此不等式得2322-≥
++z y x ，当且仅当⎪⎩
⎪
⎨⎧-===23220
z y x 时等号成立。

综上便有
≤-23222
3
≤++z y x 。

例7 设e d c b a ≤≤≤≤≤0，且1=++++e d c b a ，求证5
1
≤
++++ea be cb dc ad （1994年国家数学集训队9人测验试题）
证明：因为e d c b a ≤≤≤≤，所以b a c a d b e c e d +≥+≥+≥+≥+，利用切比
雪夫不等式，有)(5
1
)()()()()(e d c b a b a e c a d d b c e c b e d a ++++≤+++++++++ 52)]()()()()[(=+++++++++b a c a d b e c e d ，也即5
2
)(2≤++++ea be cb dc ad 。

因此5
1
≤++++ea be cb dc ad 。

说明：排序不等式与切比雪夫不等式有共同之处，它们都有已经排序的两组实数
n a a a ,...,,21；n b b b ,...,,21都涉及到反序和及同序和。

不同的是在排序不等式中没有每组数
的算术平均，而在切比雪夫不等式中却有
n a a a n +++...21，n
b b b n
+++...21。

正因为有
共性，因此它们是相通的，又由于有差异，作为数学工具，它们又有不同的功能和作用。

在使用时，我们必须把握住问题的结构特点，选择最佳的切入点和突破口。

例8 设ABC ∆的三内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，其周长为1，求证：
≥++C
B A 1
11 )(
3C
c B b A a ++。

分析：由问题的对称性，不妨设c b a ≥≥，三角形中大边对大角，于是有C B A ≥≥
A
B C 1
11≥≥⇒
（这种形式是题目所需要的）。

这样既不改变问题的实质，又增加了已知条
件：两组有序实数c b a ≥≥，及A
B C 1
11≥≥。

这就为应用排序原理创设了很好的情境。

证法一：用排序原理。

不妨设c b a ≥≥，于是有C B A ≥≥A
B C 1
11≥≥⇒。

由排序
不等式C c A a A c C a 1.1.1.1.+≥+（同序和大于或等于反序和），也就是C c
A a A c C a +≥+，
同理C c B b B c C b +≥+， B b A a A b B a +≥+，相加得C
c B b A a A c b B c a C b a 222+
+≥+++++，不等式两边同加C c B b A a ++，并注意到1=++c b a ，就得≥++C B A 111)(3C
c
B b A a ++
证法二：比较法-++)111(C B A C
c
b a B b
c a A a c b C c B b A a 222)(3-++
-++-+=++ )
()()()()()()()(C c a A a c B b a A a b C c b c a B b c b a A a c a b -+-+-+-=-+-+-+-+-+-=0))(())(())(()(≥--+--+--=-+-+BC C B c b AC C A c a AB B A b a C c b B b c ，因此
≥++C B A 111)(3C
c B b A a ++。

说明：利用排序原理证明其他不等式时，必须制造出两个合适的有序数组。

情景再现
4. 1）设c b a ,,都是正数，试证)(2
2
2
5
5
5
c b a abc c b a ++≥++
2）设d c b a ,,,都是正数，试证)(46
6
6
6
3
3
3
3
d c b a d c b a +++≤+++ 5. 已知n a a a ,...,,21是正数，求证≥++++++
2222211)1
(...)1()1(n
n a a a a a a 22121)......(
n
n a a a n
n a a a +++++++
6. 假设n b b b ,...,,21是正数n a a a ,...,,21的某一排列，证明
n b a n
i i
i
≥∑=1 7. 设c b a ,,是三角形的三边长，求证abc c b a c b a c b a c b a 3)()()(2
2
2
≤-++-++-+ 8. 设0>x ，求证：n n
x n x
x x x )12( (123)
2
+≥+++++
例9 设n a a a ,...,,21为两两不等的正整数，求证：对任何正整数n ，下列不等式成立：
∑∑==≥n
k n
k k k k a 112
1 （第20届IMO 试题）
证法一：用排序原理。

对于任意给定的正整数n ，将n a a a ,...,,21按从小到大顺序排列
为'
'2'1...n a a a ≤≤≤。

因为
222221
12131...)1(11<<<<-<n n ，据排序原理得222212'2'22'
11 (21111)
...2111n a a a n a a a n n +++≤+++，即∑∑==≥n
k k n k k k a k a 12'
121。

又因为''2'1,...,,n a a a 为两两不等的正整数，所以k a k ≥'
（n k ,...2,1=），于是∑∑∑====≥n
k n k n
k k k k k k a 1
12
12'
1
，故∑∑==≥n k n k k k k a 1121。

证法二：用平均值不等式。

据平均值不等式的变形形式b a b a -≥22，取k
a 1
=，k a b 1=，有k k
k a k a k k a 12)1()1
(2
22-≥=，这样便有∑∑∑===-≥n k k n k n k k a k k a 1112112，而∑∑==≤n
k n k k k a 1111，故∑∑∑∑=====-≥n
k n k n k n
k k k k k k a 111121112。

证法三：用柯西不等式。

据柯西不等式有≤=∑
∑==21
2
1]1[)1(k
n k k n
k a k a k
)1).(()1).((112112∑∑∑∑====≤n k n k k n k k n
k k k k a a k a ，两边约去正因式∑=n
k k
11
即得。

说明：这题证法很多，除了上述的证法之外还可用比较法、放缩法、增量法、构造法、
数学归纳法来证得，读者不妨一试。

例10 W.Janous 猜测：设0,,>z y x ，则
02
22222≥+-++-++-z
y z x y x y z x z x y
证法一：用排序原理。

考察两组实数2
2
2
,,z y x 及y x z x z y +++,,，由对称性，不妨
设z y x ≥≥，由此则得2
2
2
z y x ≥≥，y
x z x z y z y z x y x +≥+≥+⇒
+≥+≥+1
11，由排序原理y
x y z y z x z x y x z z x y z y x
+++++≥+++++1
11111222222
（顺序和不小于乱序和），移项后得
02
22222≥+-++-++-z
y z x y x y z x z x y
证法二：代换法。

令⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+w z y v y x u x z ，则得⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧-+=-+=-+=)
(21)(21)(21v w u z u w v y w v u x ，代入后原不等式化为证明
0)(≥++-++w v u w uv v wu u vw （*），由于v wu u vw v wu u vw .2≥+，即w v
wu
u vw 2≥+，同理可证u w uv v wu 2≥+，v w uv u vw 2≥+，三不等式相加便得)(w v u w
uv v wu u vw ++≥++。

链接：由证法一很容易将W.Janous 猜测推广：设0>i x （n i ,...,2,1=），记
n x x x S +++=...21，则0 (1)
2
2
132
22
322
1
2
2≥--++--+--x S x x x S x x x S x x n
情景再现
9. 设c b a ,,为正数，求证
c b a ab c ac b bc a ++≥++333 10. 已知c b a ,,都是正数，求证3
338
88111c b a c b a c b a ++≤++
习题四 A 类
1. 设n a a a ,...,,21都是正数（2≥n ），且
∑==n
i i
a
1
1，求证∑
∑
==-≥-n i i
n
i i i
a n a a 11
11
11 2. n 是给定的正整数（3≥n ），求单位圆的内接n 边形面积的最大值。

3. 设5,4,3,2,1],2
,
0[=∈i x i π
，满足1sin ...sin sin 522212=+++x x x ，证明
521521cos ...cos cos )sin ...sin (sin 2x x x x x x +++≤+++
4. 设n x x x ,...,,21是正数，p 是正整数，证明
) (121)
n p p x x x n
+++ p n x x x n
)]...(1
[21+++≥ B 类
5. 记ABC ∆的三边长为c b a ,,；)(2
1
c b a p ++=
，求证pc b p a p p +-+-<
p 3≤
6. 已知n θθθ,...,,21都非负且πθθθ=+++n ...21，求n θθθ2
2212sin ...sin sin +++的最
大值。

7. 设n x x x ≤≤≤...21，n y y y ≤≤≤...21，又n z z z ,...,,21是n y y y ,...,,21的一个排列，求证：
∑∑==-≤-n
i i i n
i i i
z x y x
1
21
2
)()( （第17届IMO 试题）
8. 设c b a ,,是三角形的边长，求证：0)()()(2
2
2
≥-+-+-a c a c c b c b b a b a
（第24届IMO 试题）
C 类
9. 设n x x x ,...,,21与n a a a ,...,,21是任意两组实数，它们满足条件：（1）0...21=+++n x x x （2）1||...||||21=+++n x x x （3）n a a a ≥≥≥...21（2≥n ），为了使不等式
)(|...|12211n n n a a A x a x a x a -≤+++成立，那么数A 的最小值是多少？
（1988年理科试验班复试试题）
10. 平面上给定n 个不同的点，试证：一定可以画一个圆，使圆内恰有k 个点，而其余k n -个点都在所画的圆外面。

附录
1. 排序不等式：给定两组实数n a a a ,...,,21；n b b b ,...,,21，如果n a a a ≤≤≤...21；
n b b b ≤≤≤...21，那么1121...b a b a b a n n n +++-（反序和）n i n i i b a b a b a +++≤...2121（乱
序和）n n b a b a b a +++≤...2211（同序和），其中n i i i ,...,,21是n ,...,2,1的一个排列。

证明：对于任意},...,2,1{,n h k ∈，))(()()(111111n k k n n k b b a a b a b a b a b a --=+-+
0≥，由此得1111b a b a b a b a k n k +≥+。

所以，我们可将n i n i i b a b a b a +++...2121中的第一
项的因数1i b 与1b 对调，和不会减少，同样可将第二项调为22b a …，依次类推即得
n i n i i b a b a b a +++...2121n n b a b a b a +++≤...2211，同样可以证明1121...b a b a b a n n n +++- n i n i i b a b a b a +++≤...2121。

排序不等式的证明反映了调整的思想，通过调整产生变化并逐
渐接近结论同排序不等式可以证明好些其他的重要不等式，例如切比雪夫不等式、平均不等式、柯西不等式。

2. 切比雪夫不等式：设有两个有序数组n a a a ≤≤≤...21；n b b b ≤≤≤...21，则
≤++++++≤+++-n
b b b n a a a b a b a b a n n n n n n .......)...(1
21211121 )...1(1
221n n b a b a b a n
+++ 证明：由排序原理有n n n n b a b a b a b a b a b a +++≥+++......22112211，
132212211......b a b a b a b a b a b a n n n +++≥+++，n n b a b a b a +++ (2211)
1121...-+++≥n n n b a b a b a ，相加))((1
1
1
∑∑∑===≥n i n
i i i n i i i b a b a n ，即
i n
i i n
i i
n i i b a n n
b
n
a ∑∑∑===≤1
1
1
1.
，同样可证n
b
n
a b a n n
i i
n i i i n n
i i ∑∑∑==-+=≤
1
1
11
.
1
3. 琴生不等式：若)(x f 是上凸函数，则对其定义域中的任意n 个点n x x x ,...,,21，恒有
)](...)()([1
)...(
2121n n x f x f x f n
n x x x f +++≥+++
证明：用数学归纳法。

1=n 时，不等式显然成立。

2=n 时，由上凸函数的定义不等
式
)]()([2
1
)2(
2121x f x f x x f +≥+成立。

假设k n 2=时命题正确，即)](...)()([21
)2
...(
221221k k
x f x f x f x x x f k
k
+++≥
+++。

当
1
2+=k n 时，
)]2
...2...(21[)2...(
1
1
222122211221k
k k k k k k k x x x x x x f x x x f +++++++++=++++++ +++≥+++++++≥+++...)()((21
[21)]2...()2...([2121222122211x f x f x x x f x x x f k k
k k k k k ...)()([2
1
))](...)()((21))(2112221221++=++++
++++x f x f x f x f x f x f k k k k k k )](...)()(12122++++++k k k x f x f x f 。

这就是说当12+=k n 时，不等式也成立。

因此当
k n 2,...,16,8,4,2=时不等式总成立。

接下来我们再证明当k n =时（2≥n ）如果不等式成立，那么当1-=k n 时不等式也
一定成立。

设)](...)()([1
)...(
2121k k x f x f x f k k x x x f +++≥+++，
令1
...121-+++=-k x x x x k k 代入得++++≥-++++
+++---)(...)()([1)1......(
1211
21121k k k x f x f x f k
k k x x x x x x f
)]1...(
121-+++-k x x x f k ，也就是)()([1)]1...(21121x f x f k
k x x x f k +≥-+++-
+++-)(...1k x f )]1
...(
1
21-+++-k x x x f k ，整理便得
)](...)()([1
1
)1...(
121121--+++-≥-+++k k x f x f x f k k x x x f ，
这就是说当1-=k n 时不等式也一定成立。

当,...2,2,...,16,8,4,21
+=k k
n 时不等式成立（大踏步前进），然后又证明了k
时成立，必导致1-k 时成立（将前面空档回填），因此对任意正整数不等式都成立。

本节情景再现解答
1. ),0(,21π∈x x ，由幂平均不等式
2
sin sin 2
sin sin 2
12
1x x x x +≤
+，而
2
sin 22cos 2sin
22
sin sin 21
2
1
212
1x x x x x x x x +≤-+=
+，因此有
2sin sin 2
sin sin 2
12
1x x x x +≤
+。

此式说明函数x x f sin )(=在),0(π上是上凸函
数。

据琴生不等式
2
3
.33
sin
3sin sin sin =++≤++C
B A
C B A ，最大值为2
14
52
.3-
2. 设21,x x 为任意实数，0>a ，0)(2
)2(
2)()(2212121≥-=+-+x x a
x x f x f x f ，因此)]()([2
1
)2(
2121x f x f x x f +≤+，故)(x f 为下凸函数。

0<a 时同理可证为上凸函数。

3. 容易知道x x f lg )(=为正实数集上的上凸函数，n a a a ,...,,21为任意正实数。

据琴生不
等式
)
lg ...lg (lg 1
...lg
2121n n a a a n
n a a a +++≥+++，去对数即得
n
n n a a a n
a a a ......2121≥+++，当n a a a ===...21时取等号。

4. 1）参考例5中2），有3
33222333555c b a c b a c b a ++++≥++，又abc c b a 33
33≥++，
代入即得所证。

2）与1）证法相同
5. 据幂平均不等式≥++++++
212222211])1(...)1()1([
n
a a a a a a n
n
n
a a a n a a a n a a a a a a n
n n n 1...11...1...1121212211++++
+++=++++++
，而
n
n a a a n
n a a a +++≥
+++ (1)
...112121，因此 ≥++++++21
2222211])1(...)1()1([
n
a a a a a a n n n n a a a n
n a a a +++++++......2121，两
边平方后即得。

6. 不妨设0...21>≥≥≥n a a a ，则
12111...11a a a a n n ≥≥≥≥-，注意到n
b b b 1
,...,1,121是n a a a 1,...,1,121的一个排列，故由排序原理n n a a a a a a n 1
...112211+++=（反序和）≤ n
n b a b a b a 1
(112211)
+++（乱序和），即n b a b a b a n n ≥+++ (2211)
7. 不妨设c b a ≥≥，由排序原理先得)()()(c b a c b a c b a c b a -+≤-+≤-+，再得
)()()()()()(222a c b ca c b a bc b a c ab c b a c b a c b a c b a -++-++-+≤-++-++-+)
()()()()()(222c b a ca b a c bc a c b ab c b a c b a c b a c b a -++-++-+≤-++-++-+
以上两不等式相加便得。

8. 序列n
x x x ,...,,,12
与n
x x x ,...,,,12
有相同的次序；与1,,...,,1
x x
x n n
-有相反次序，而
1,,...,,2n x x x 是n x x x ,...,,,12的一个排序。

所以
1.....1...1112422n n n n n x x x xx x x x x ++++≥++++--，即 n n x n x x x )1(...1242+≥++++ （1）。

同样
1.....11.......1112n n n n n x xx x x x x x x x +++≥++++--，即
n n n x n x x x x )1(...312+≥++++- （2），（1）+（2）便得所证。

本题用平均不等式也可
证得。

9. 不妨设c b a ≥≥，则
ab ac bc 111≥≥，ab c ac b bc a ≥≥，≥++ab
c c ac b b bc a a 222
c b a b
bc a ab c ac b ac a bc c ab ab c a ac b c bc a b ++=++≥++=++222 10. 三次用到排序原理。

不妨设0>≥≥c b a ，则ab ac bc 111≥≥，故3
33888c
b a
c b a ++ 3
23232335335335335335335
111111111b c a b c a c b c b a b a c a b a c a c b c b a ++=++≥++= c b a c c b b a b c c b a a 1111111113232323232++=++≥++≥
习题四解答
1. 设n a a a ≤≤≤...21，由此可得2
12
122
1
1)1(...)
1()
1(-
-
--≤≤-≤-n a a a ，由切比雪夫不等式n
a n
a a a n n
i i n
i i i
n i i
∑
∑∑===-≥-1
1
111.
11
1，也就是
∑
∑
==-≥-n i i
n
i i i
a n a a 11
11
11 2. 如图，容易证明当圆内接n 边形的所有顶点都在某一条直径的同侧时，n 边形面积不可能取得最大值。

设n 边形顶点n A A A ,...,,21不在任何一条直径的同侧。

令121α=∠OA A ，
,...,232α=∠OA A n n OA A α=∠1，πα<<i 0（n i ,...,3,2,1=）。

)sin ...sin (sin 2
1
21n n S ααα+++=
边形，由x x f sin )(=在),0(π上是上凸函数，据琴生不等式
n n n n n π
αααααα2sin
...sin sin ...sin sin 2121=+++≤+++，n
n S n π2sin 2≤边形，当且仅当正n 边形时取得最大值。

3. 由已知52
42322212sin sin sin sin sin 1x x x x x +++=-，即
5
24232221sin sin sin sin cos x x x x x +++=，再据幂平均不等式得
2
sin sin sin sin sin sin sin sin 5
43252423222x x x x x x x x +++≥
+++，于是有1cos x
2
sin sin sin sin 5
432x x x x +++≥
，同理可得关于5432cos ,cos ,cos ,cos x x x x 的同类不等
式，五个不等式相加，即得所证。

4. 由于1≥p ,由幂平均不等式
2
2
212
1x x x x p
p
p +≥
+，得p p
p x x x x )2()(2121
21+≥+，该式表明p
x x f =)(在),0(+∞上是下凸函数。

因此有
≤+++p n n x x x )...(
21) (121)
n p p x x x n
+++
5. 注意到x x f =
)(是),0[+∞上的上凸函数，从而有c p b p a p -+-+-
p c
p b p a p 33
3
=-+-+-≤，另外一个不等式两边平方后，成为一个显然成立的式
子。

1
A
6. x x f 2
sin )(=（],0(π∈x ）是上凸函数，据琴生不等式n
n
θθθ22212sin ...sin sin +++
n
n
θθθ+++≤...sin 212
，因此有22
2212).(sin
sin ...sin sin n
n n π
θθθ≤+++，
对正整数n 再求2).(sin
n n π
的最大值。

当4,3,2,1=n 时，2).(sin n n π的值分别为0，2，4
9
，2。

当4>n 时由不等式x x <sin 可知4
9
5
.
).(sin
2
2
2
2
2
<
≤
=
<ππππ
n
n n n n 。

综上所求的最大值当3≥n 时应是49。

此时⎪⎩⎪⎨⎧====
==0
...354321θθπθθθ。

当2=n 时最大值应是2，此时22
1πθθ== 7. 由排序原理，得
∑∑==≥n
i i
i
n i i
i z
x y x 11
，即∑∑==-≤-
n
i i i n
i i
i
z x y
x 11
22，但
)()(1
2
2
1
2
2
∑∑==+=+n
i i i n
i i i z x y x ，所以)2()2(1
2
2
1
2
2
∑∑==+-≤+-n
i i i i i n
i i i i i z z x x y y x x ，也
就是
∑∑==-≤-n
i i i n
i i i
z x y x
1
21
2
)()(
8. 考察三组数c b a ,,；c b a b a c a c b -+-+-+,,；及
c b a 1
,1,1；由对称性不妨设c b a ≥≥，由此则得a c b b c a c b a -+≥-+≥-+，a
b c 1
11≥≥，由比较法不难证得
)()()(c b a c b a c b a c b a -+≤-+≤-+。

由排序原理，
)(1
)(1)(1c b a c c b a c b b a c b a a -++-++-+)(1)(1)(1c b a c b
b a
c b a a c b a c -++-++-+≥，
也就是)()(2
a c
b b a
c b a abc -+≥++ )()(22c b a a c b a c c b -++-++，移项即得0)()()(222≥-+-+-a c a c c b c b b a b a ，对
c b a ,,的其他排序同理可证。

9. 为方便起见，将集合},...,,{21n x x x X =划分为两个子集：},...,,{21s A ααα=，这里
s
i X i ,...,2,1,=∈α且
0...21≥≥≥≥s ααα。

}
,...,,{21t B βββ=，这里
t i X i ,...,2,1,=∈β且t βββ≥≥≥>...021。

容易推得211
=∑=s
i i α，21
1-=∑=t
i i β，现在考
察},...,,{2211n n x a x a x a ，由排序原理得
++++≤∑=s s n
i i
i a a a x
a ααα (22111)
t n s s a a a βββ+++++...2211，注意到0,1>≥i i a a α，则),...,2,1(,1s i a a i i i =≥αα。

又0<≥+i n i s a a β及，有),...,2,1(t i a a i n i i s =≤+ββ。

≤+≤∑∑∑=+==t
i i t s s
i i i n
i i i a a x a 1
1
1
βα
)(2
1
11
1
1n t
i i n s i i a a a a -=
+∑∑==βα （1），又由排序原理 )
...( (111112111211)
βββαααβββ+++≥+++++++≥-+++-=∑t t n s t s t t t t n
i i
i a a a a a a a x
a )(21)...(111n s s n a a a --=+++++ααα （2）
，由（1）（2）得≤--)(2
1
1n a a ∑=n
i i
i x
a 1
)(211n a a -≤，即||1
∑=n
i i i x a ||211n a a -≤，因此A 的最小值为21 10. 设这n 个点为n p p p ,...,,21，作它们两两连结线段j i p p 的垂直平分线
),...,2,1,,(n j i j i l ij =≠，在平面上取不在ij l 上的一点o ，则o 到i p 的距离两两不等，不失
一般性，可设n op op op <<< (21)
1）要使圆内没有点，只要以o 为圆心，取半径1op r ≤画圆即可。

2）要使圆外没有点（点全在圆内或圆上），只要以o 为圆心，取半径n op r ≥画圆即可。

3）要使圆内恰好有k 个点（n k <≤1）且其他点都在圆外，只要以o 为圆心，取半径
1+<<k k op r op 画圆即可。

本题虽没有直接援用排序不等式，但证题的关键是排序。