2024届广东省广州市第七中学高三5月三校联考数学试题试卷

2024届广东省广州市第七中学高三5月三校联考数学试题试卷
请考生注意：
1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知直线l ：210y x =+过双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的一个焦点且与其中一条渐近线平行，则双曲线的方
程为（ ）
A ．22
1520x y -=
B ．22
1205
x y -=
C ．22
1169
x y -
= D ．22
1916
x y -=
2．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()()11f x f x +=-，当(]0,1x ∈时，()ax
f x e =-（其中e 是自然对数的底数），若()2020ln 28f -=，则实数a 的值为( ) A ．3-
B ．3
C ．1
3
-
D ．
13
3．已知i 是虚数单位，则（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
4．已知向量a ，b ，b =(1，3)，且a 在b 方向上的投影为1
2
，则a b ⋅等于（ ） A ．2
B ．1
C ．
12
D ．0
5．函数||
1()e sin 28
x f x x =
的部分图象大致是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
6．已知三棱锥P ﹣ABC 的顶点都在球O 的球面上，PA 2=PB 14=，
AB ＝4，CA ＝CB 10=，面PAB ⊥面ABC ，则球O 的表面积为（ ） A ．
103
π
B ．
256
π
C ．
409
π
D ．
503
π
7．已知函数22,0,
()1,0,
x x x f x x x ⎧-=⎨+<⎩，则((1))f f -=（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
8．下列与函数y x
=
定义域和单调性都相同的函数是（ ） A ．2log 2x y =
B ．21log 2x
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
C ．2
1log y x
= D ．1
4y x =
9．在棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 为A 1D 1的中点，若三棱锥P −ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ） A ．12π
B ．
21π
2
C ．
41π
4
D ．10π
10．已知()()()sin cos sin cos k k A k παπαα
α
++=
+
∈Z ，则A 的值构成的集合是（ ）
A ．{1,1,2,2}--
B ．{1,1}-
C ．{2,2}-
D ．{}1,1,0,2,2--
11．设抛物线2
4y x =上一点P 到y 轴的距离为1d ，到直线:34120l x y ++=的距离为2d ，则12d d +的最小值为（ ） A ．2
B ．
153
C ．
163
D ．3
12．已知点()2,0A 、()0,2B -．若点P 在函数y x =PAB △的面积为2的点P 的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为C 上一点，PQ 垂直l 于点Q ，M ，N 分别为PQ ，PF 的中点，MN 与x 轴相交于点R ，若∠NRF =60°，则|FR |等于_____.
14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且满足1n n S a +=，则数列{}n S 的前10项的和为______.
15．已知二项式22n
x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中各项的二项式系数和为512，其展开式中第四项的系数__________．
16．已知函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>，曲线()y f x =与直线1y =相交，若存在相邻两个交点间的距离为3
π
，则ω可取到的最大值为__________.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知O 为坐标原点，点1(2,0)F -，2(2,0)F ，(32,0)S ，动点N 满足143NF NS +=，点P 为线段1NF 的中点，抛物线C ：2
2(0)x my m =>上点A 的纵坐标为6，66OA OS ⋅=. （1）求动点P 的轨迹曲线W 的标准方程及抛物线C 的标准方程； （2）若抛物线C 的准线上一点Q 满足OP OQ ⊥，试判断22
11
||||OP OQ +是否为定值，若是，求这个定值；若不是，
请说明理由.
18．（12分）求函数132y x x =-++的最大值．
19．（12分）如图（1）五边形ABCDE 中，,//,2,ED EA AB CD CD AB ==
150EDC ∠=,将EAD ∆沿AD 折到PAD ∆的位置，得到四棱锥P ABCD -，如图（2），点M 为线段PC 的中点，且BM ⊥平面PCD .
（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ； （2）若直线PC AB 与所成角的正切值为
1
2
，求直线BM 与平面PDB 所成角的正弦值.
20．（12分）已知公比为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，37
2
S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设(21)2
n
n n a b -=
，求数列{}n b 的前n 项和n T . 21．（12分）已知函数()ln (,f x ax x b a b =+为实数)的图像在点()()
1,1f 处的切线方程为1y x =-.
（1）求实数,a b 的值及函数()f x 的单调区间； （2）设函数()()1f x g x x
+=
，证明()()1212()g x g x x x =<时， 122x x +>.
22．（10分）某公司为了鼓励运动提高所有用户的身体素质，特推出一款运动计步数的软件，所有用户都可以通过每天累计的步数瓜分红包，大大增加了用户走步的积极性，所以该软件深受广大用户的欢迎.该公司为了研究“日平均走步数和性别是否有关”，统计了2019年1月份所有用户的日平均步数，规定日平均步数不少于8000的为“运动达人”，步数在8000以下的为“非运动达人”，采用按性别分层抽样的方式抽取了100个用户，得到如下列联表：
（1）（i ）将22⨯列联表补充完整；
（ii ）据此列联表判断，能否有99%的把握认为“日平均走步数和性别是否有关”？
（2）将频率视作概率，从该公司的所有人“运动达人”中任意抽取3个用户，求抽取的用户中女用户人数的分布列及期望. 附：
()
()()()()
2
2n ad bc K a b c d a c b d -=
++++
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A 【解题分析】
根据直线l ：210y x =+过双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的一个焦点，得5c =，又和其中一条渐近线平行，得到
2b a =，再求双曲线方程.
【题目详解】
因为直线l ：210y x =+过双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的一个焦点，
所以()5,0F -，所以5c =， 又和其中一条渐近线平行， 所以2b a =，
所以25a =，220b =，
所以双曲线方程为22
1520
x y -=.
故选：A. 【题目点拨】
本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 2、B 【解题分析】
根据题意，求得函数周期，利用周期性和函数值，即可求得a . 【题目详解】
由已知可知，()()()2f x f x f x +=-=-，所以函数()f x 是一个以4为周期的周期函数， 所以()()()ln2
2020ln 2ln 2ln 228a a f f f e -=-=-===，
解得3a =， 故选：B. 【题目点拨】
本题考查函数周期的求解，涉及对数运算，属综合基础题.
3、D 【解题分析】
利用复数的运算法则即可化简得出结果 【题目详解】
故选 【题目点拨】
本题考查了复数代数形式的乘除运算，属于基础题。

4、B 【解题分析】
先求出b ，再利用投影公式a b b
⋅求解即可.
【题目详解】
解：由已知得132b =+=，
由a 在b 方向上的投影为12
，得
12a b b ⋅=， 则1
12
a b b ⋅=
=. 故答案为：B. 【题目点拨】
本题考查向量的几何意义，考查投影公式的应用，是基础题. 5、C 【解题分析】
判断函数的性质，和特殊值的正负，以及值域，逐一排除选项. 【题目详解】
()()f x f x -=-，∴函数是奇函数，排除D ，
0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，()0f x >，,2x ππ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <，排除B ，
当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，
()sin 20,1x ∈，2111,888x e e π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
()0,1⊂
0,2x π⎛⎫
∴∈ ⎪⎝⎭
时，()()0,1f x ∈，排除A ，
C 符合条件，故选C.
【题目点拨】
本题考查了根据函数解析式判断函数图象，属于基础题型，一般根据选项判断函数的奇偶性，零点，特殊值的正负，以及单调性，极值点等排除选项. 6、D 【解题分析】
由题意画出图形，找出△PAB 外接圆的圆心及三棱锥P ﹣BCD 的外接球心O ，通过求解三角形求出三棱锥P ﹣BCD 的外接球的半径，则答案可求. 【题目详解】
如图；设AB 的中点为D ； ∵PA 2=
，PB 14=，AB ＝4，
∴△PAB 为直角三角形，且斜边为AB ，故其外接圆半径为：r 1
2
=AB ＝AD ＝2； 设外接球球心为O ；
∵CA ＝CB 10=，面PAB ⊥面ABC ，
∴CD ⊥AB 可得CD ⊥面PAB ；且DC 226CA AD =-=. ∴O 在CD 上；
故有：AO 2
＝OD 2
+AD 2
⇒R 2
＝（6-R ）2
+r 2
⇒R 56
=
； ∴球O 的表面积为：4πR 2＝4π2
55036π
⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭
.
故选：D .
【题目点拨】
本题考查多面体外接球表面积的求法，考查数形结合的解题思想方法，考查思维能力与计算能力，属于中档题.
7、A 【解题分析】
根据分段函数直接计算得到答案. 【题目详解】
因为22,0,()1,0,
x x x f x x x ⎧-=⎨+<⎩所以2
((1))(2)222f f f -==-=.
故选：A . 【题目点拨】
本题考查了分段函数计算，意在考查学生的计算能力. 8、C 【解题分析】
分析函数y =的定义域和单调性，然后对选项逐一分析函数的定义域、单调性，由此确定正确选项. 【题目详解】
函数y =
的定义域为()0,∞+，在()0,∞+上为减函数. A 选项，2log 2x y =的定义域为()0,∞+，在()0,∞+上为增函数，不符合.
B 选项，21log 2x
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
的定义域为R ，不符合. C 选项，2
1
log y x
=的定义域为()0,∞+，在()0,∞+上为减函数，符合. D 选项，1
4y x =的定义域为[)0,+∞，不符合. 故选：C 【题目点拨】
本小题主要考查函数的定义域和单调性，属于基础题. 9、C 【解题分析】
取B 1C 1的中点Q ，连接PQ ，BQ ，CQ ，PD ，则三棱柱BCQ −ADP 为直三棱柱，此直三棱柱和三棱锥P −ABC 有相同的外接球，求出等腰三角形QBC 的外接圆半径，然后利用勾股定理可求出外接球的半径 【题目详解】
如图，取B 1C 1的中点Q ，连接PQ ，BQ ，CQ ，PD ，则三棱柱BCQ −ADP 为直三棱柱，所以该直三棱柱的六个顶点都在球O 的球面上，QBC ∆的外接圆直径为52sin 2QB r QCB ==∠，球O 的半径R 满足22241
()216
AB R r =+=，所以球O 的
表面积S =4πR 2=41π
4
， 故选：C .
【题目点拨】
此题考查三棱锥的外接球半径与棱长的关系，及球的表面积公式，解题时要注意审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题. 10、C 【解题分析】
对k 分奇数、偶数进行讨论，利用诱导公式化简可得. 【题目详解】
k 为偶数时，sin cos 2sin cos A αααα=
+=；k 为奇数时，sin cos 2sin cos A αα
αα
=--=-，则A 的值构成的集合为{}2,2-. 【题目点拨】
本题考查三角式的化简，诱导公式，分类讨论，属于基本题. 11、A 【解题分析】
分析：题设的直线与抛物线是相离的，12d d +可以化成1211d d ++-，其中11d +是点P 到准线的距离，也就是P 到焦点的距离，这样我们从几何意义得到121d d ++的最小值，从而得到12d d +的最小值.
详解：由2434120
y x x y ⎧=⎨
++=⎩①得到2
316480y y ++=，25612480∆=-⨯<，故①无解， 所以直线34120x y ++=与抛物线是相离的. 由121211d d d d +=++-，
而11d +为P 到准线1x =-的距离，故11d +为P 到焦点()1,0F 的距离，
从而121d d ++的最小值为F 到直线34120x y ++=
3=，
故12d d +的最小值为2，故选A.
点睛：抛物线中与线段的长度相关的最值问题，可利用抛物线的几何性质把动线段的长度转化为到准线或焦点的距离来求解. 12、C 【解题分析】
设出点P 的坐标，以AB 为底结合PAB △的面积计算出点P 到直线AB 的距离，利用点到直线的距离公式可得出关于
a 的方程，求出方程的解，即可得出结论.
【题目详解】
设点P
的坐标为(a ，直线AB 的方程为122x y
-=，即20x y --=， 设点P 到直线AB 的距离为d
，则11
222
PAB
S
AB d d =⋅=⨯=
，解得d =
另一方面，由点到直线的距离公式得d =
=
整理得0a =
或40a =，0a ≥，解得0a =或1a =
或92
a =
. 综上，满足条件的点P 共有三个． 故选：C. 【题目点拨】
本题考查三角形面积的计算，涉及点到直线的距离公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、2 【解题分析】
由题意知：2FH =，PF PQ =，//MN QF ，//PQ OR .由∠NRF =60°，可得PQF △为等边三角形，MF ⊥PQ ，可得F 为HR 的中点，即求FR . 【题目详解】
不妨设点P 在第一象限，如图所示，连接MF ，QF .
∵抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为C 上一点 ∴2FH =，PF PQ =. ∵M ，N 分别为PQ ，PF 的中点， ∴//MN QF ， ∵PQ 垂直l 于点Q ， ∴PQ //OR ，
∵PF PQ =，∠NRF =60°， ∴PQF △为等边三角形， ∴MF ⊥PQ ，
易知四边形MQHF 和四边形MQFR 都是平行四边形， ∴F 为HR 的中点， ∴2FR FH ==， 故答案为：2. 【题目点拨】
本题主要考查抛物线的定义，属于基础题. 14、1 【解题分析】
由1n n S a +=得2n ≥时，1n n S a -=，两式作差，可求得数列的通项公式，进一步求出数列的和． 【题目详解】
解：数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且满足1n n S a +=，①
当2n ≥时，1n n S a -=，② ①-②得：1n n n a a a +=-，
整理得：
1
2n n
a a +=（常数）， 故数列{}n a 是以21a =为首项，2为公比的等比数列，
所以2
12n n a -=⋅（首项不符合通项），
故21
12
2
n n n a n -=⎧=⎨
≥⎩，
所以：()910121151221
S -=+=-，
故答案为：1． 【题目点拨】
本题主要考查数列的通项公式的求法及应用，数列的前n 项和的公式，属于基础题． 15、672- 【解题分析】
先令1x =可得其展开式各项系数的和，又由题意得2512n =，解得9n =，进而可得其展开式的通项，即可得答案. 【题目详解】
令1x =，则有2512n =，解得9n =，
则二项式22n
x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的展开式的通项为291831992()()(2)r r r r r r r T C x C x x --+=-=-⋅，
令3r =，则其展开式中的第4项的系数为33
9(2)672C -=-，
故答案为：672- 【题目点拨】
此题考查二项式定理的应用，解题时需要区分展开式中各项系数的和与各二项式系数和，属于基础题. 16、4 【解题分析】
由于曲线()y f x =与直线1y =相交，存在相邻两个交点间的距离为3π
，所以函数的周期23
T ππω=
>，可得到ω的取值范围，再由1
sin()2
x ωϕ+=
解出x 的两类不同的值，然后列方程求出()2162k k ω=-+，再结合ω的取值范围
可得ω的最大值. 【题目详解】
23T ππ
ω=
>
，可得06ω<<，由1sin()2x ωϕ+=
，则126x k πωϕπ+=+或21252(,)6
x k k k Z π
ωϕπ+=+
∈，即126k x ππϕω+-=或2526k x ππϕω
+-=，由题意得12522663
k k πππϕπϕπωω+-+--=，所以()2162k k ω=-+，则2ω=或4ω=，所以ω可取到的最大值为4. 故答案为：4 【题目点拨】
此题考查正弦函数的图像和性质的应用及三角方程的求解，熟练应用三角函数的图像和性质是解题的关键，考查了推理能力和计算能力，属于中档题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）曲线W 的标准方程为2
213
x y +=.抛物线C
的标准方程为2x =.（2）见解析
【解题分析】
（1）由题知|PF 1|+|PF 2|1
2
NS NF +=
=
|F 1F 2|，判断动点P 的轨迹W 是椭圆，写出椭圆的标准方程，根据平面
向量数量积运算和点A 在抛物线上求出抛物线C 的标准方程；（2）设出点P 的坐标，再表示出点N 和Q 的坐标，根
据题意求出22
11
||||OP OQ +的值，即可判断结果是否成立．
【题目详解】 （1）由题知22
NS PF =
，112
NF PF =
，
所以12
122
NF NF PF PF ++=
12F F =>，
因此动点P 的轨迹W 是以1F ，2F 为焦点的椭圆，
又知2a =
，2c =，
所以曲线W 的标准方程为2
213
x y +=.
又由题知(A A x ，
所以(
()
A OA OS x ⋅=⋅
A ==，
所以A x =
又因为点(A 在抛物线C
上，所以m =
所以抛物线C
的标准方程为2x =. （2）设(),P P P x y
，,Q Q x ⎛ ⎝⎭
， 由题知OP OQ ⊥
，所以0p Q x x -
=
，即()02P Q P P
x x x =≠， 所以22222
2
111133||||22
P P P P y OP OQ x y x +=+++ ()2
22323P P P x x y +=+， 又因为2213P P x y +=，2
2
13
P P x y =-，
所以()
22222
2323213313P P
P P P P x x x x y x ++==⎛⎫++- ⎪
⎝
⎭， 所以
22
11
||||OP OQ +为定值，且定值为1.
【题目点拨】
本题考查了圆锥曲线的定义与性质的应用问题，考查抛物线的几何性质及点在曲线上的代换，也考查了推理与运算能力，是中档题． 18
、
3
【解题分析】
试题分析：由柯西不等式2
2
2
2
2
()()()ab cd a c d b +≤++
得22= 120
(3332)(1)33
x x ≤-+++=
试题解析：因为22=
120
(3332)(1)33
x x ≤-+++=，
所以y =． 等号当且仅当11
332
3
3x x =
-+，即712
x =时成立． 所以y
考点：柯西不等式求最值 19、（1）见解析（2
）7
【解题分析】
试题分析: （1）根据已知条件由线线垂直得出线面垂直,再根据面面垂直的判定定理证得成立; （2）通过已知条件求出各边长度,建系如图所示,求出平面PDB 的法向量,根据线面角公式代入坐标求得结果. 试题解析:（1）证明：取PD 的中点N ，连接,AN MN ，则1
//,2
MN CD MN CD =， 又1
//,2
AB CD AB CD =
，所以//,MN AB MN AB =，则四边形ABMN 为平行四边形，所以//AN BM ， 又BM ⊥平面PCD ， ∴AN ⊥平面PCD ， ∴,AN PD AN CD ⊥⊥.
由ED EA =即PD PA =及N 为PD 的中点，可得PAD ∆为等边三角形， ∴060PDA ∠=，
又0150EDC ∠=，∴090CDA ∠=，∴CD AD ⊥， ∴CD ⊥平面,PAD CD ⊂平面ABCD ， ∴平面PAD ⊥平面ABCD . （2）解：
//AB CD ，∴PCD ∠为直线PC 与AB 所成的角，
由（1）可得090PDC ∠=，∴1
tan 2
PD PCD CD ∠=
=，∴2CD PD =， 设1PD =，则2,1CD PA AD AB ====， 取AD 的中点O ，连接PO ，过O 作AB 的平行线， 可建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，
则1113,0,0,,1,0,,2,0,0,0,2222D B C P ⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴13,1,44M ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
， 所以()13331,1,0,,1,,2
24DB PB BM ⎛⎫⎛==-
=- ⎪
⎪ ⎝⎭⎝⎭
， 设(),,n x y z =为平面PBD 的法向量，则·0
{·0
n DB n PB ==，即0
{13
022
x y x y z +=+-=， 取3x =，则(3,3,3n =--为平面PBD 的一个法向量，
∵
·27cos ,3
212
n BM n BM n BM
〈〉=
=
=⨯
，
则直线BM 与平面PDB 27
. 点睛: 判定直线和平面垂直的方法:①定义法．②利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线和此平面垂直．③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．平面与平面垂直的判定方法:①定义法．②利用判定定理：一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直．
20、（1）2
12n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭
（2）1
16(23)2n n T n -⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭
【解题分析】
（1）判断公比q 不为1，运用等比数列的求和公式，解方程可得公比q ，进而得到所求通项公式；
（2）求得1
(21)1(21)22n n n n a b n --⎛⎫==-⋅ ⎪
⎝⎭
，运用数列的错位相减法求和，以及等比数列的求和公式，计算可得所
求和. 【题目详解】
解：（1）设公比q 为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，37
2
S =， 可得1q =时，317
362
S a ==≠
，不成立； 当1q ≠时，()3321712
q S q
-==
-，即2
714q q ++=， 解得12q =
（3
2
-舍去）， 则1
2
11222n n n a --⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
；
（2）1
(21)1(21)22n n n n a b n --⎛⎫
==-⋅ ⎪
⎝⎭
，
前n 项和0
1
2
1
1111135(21)2222n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
=⋅+⋅+⋅+
+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
1
2
3
11111135(21)22222n
n T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
=⋅+⋅+⋅++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
，
两式相减可得1231
1
1111112(21)222222n n
n T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++
+--⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭⎢⎥⎣⎦
111112212(21)1212n n n -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=+⋅--⋅ ⎪⎝⎭-，
化简可得1
16(23)2n n T n -⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭
. 【题目点拨】
本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
21、 (1) 1,0a b == ;函数()f x 的单调递减区间为10,e ⎛
⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
;(2)详见解析. 【解题分析】
试题分析：（1）由题得()()1ln f x a x '=+，根据曲线()f x 在点()()
1,1f 处的切线方程，列出方程组，求得,a b 的值，得到()f x 的解析式，即可求解函数的单调区间； （2）由（1）得 ()1ln g x x x
=+
根据由()()12g x g x =，整理得
212121-ln 0x x x x x x =>， 设
21t(1)x t x =>，转化为函数1u(t)t 2ln t t
=--的最值，即可作出证明. 试题解析：
（1）由题得，函数()f x 的定义域为()0,∞+，
()()x a 1lnx '
=+，
因为曲线()f x 在点()()
1,f 1处的切线方程为y x 1=-，
所以()()1111b 0a f aln '⎧==⎪⎨=+=⎪⎩，，
解得a 1,b 0==.
令
()x 1lnx 0'
=+=，得1x e
=，
当10x e <<
时， ()h x 0'<， ()f x 在区间10,e ⎛⎫
⎪⎝⎭
内单调递减； 当1x e >
时， ()h x 0'>， ()f x 在区间1,e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
内单调递增. 所以函数()f x 的单调递减区间为10,e ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，单调递增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
.
（2）由（1）得， ()()f x 11g x lnx x
x
+=
=+
. 由()()1212g x g x (x x )=<，得121211
lnx lnx x x +
=+，即212121
x -x x ln 0x x x =>. 要证
，需证()
21212121x -x x x x 2ln x x x +>，即证212121
x x x 2ln x x x ->，
设21x t(t 1)x =>，则要证212121x x x 2ln x x x ->，等价于证： 1t 2lnt(t 1)t
->>. 令1u(t)t 2lnt t =--，则()2
2121u't 110t t t ⎛⎫
=+-=-> ⎪⎝⎭
，
∴()u t 在区间()1,+∞内单调递增， ()()u t u 10>=, 即1
t 2lnt t
-
>，故12x x 2+>. 22、（1）（i ）填表见解析（ii ）没有99%的把握认为“日平均走步数和性别是否有关”（2）详见解析 【解题分析】
（1）(i)由已给数据可完成列联表，(ii)计算出2K 后可得；
（2）由列联表知从运动达人中抽取1个用户为女用户的概率为2
7，ξ的取值为0,1,2,3，2~3,7B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，由二项分布
概率公式计算出各概率得分布列，由期望公式计算期望． 【题目详解】 解（1）（i ）
（ii ）由22⨯列联表得()2
10035261425 5.229 6.63560404951
k ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯
所以没有99%的把握认为“日平均走步数和性别是否有关”
（2）由列联表知从运动达人中抽取1个用户为女用户的概率为2
7
，.
易知
()33
225~3,,,0,1,2,3777k k
k B P k C k ξξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
所以ξ的分布列为
6 0123
3433433433437
Eξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．【题目点拨】
本题考查列联表，考查独立性检验，考查随机变量的概率分布列和期望．属于中档题．本题难点在于认识到
2
~(3,)
7
B
ξ．。