空间向量坐标运算教案
空间向量坐标表示教案
空间向量的坐标表示【教学设计理念】教学设计始终体现：学生不仅是教育的对象，更重要的是学习和发展的主体，而且是发现、激发、培养、提高学生主体性的过程；关注以人为本，尊重个性，突出道德，挖掘具有内在的人文教育。
【教学内容的纵横探析】本节内容选自苏教版选修2-1---3.1.4.空间向量的坐标运算是在学生学习了空间向量几何形式及其运算、空间向量基本定理的基础上进一步学习的知识内容。
是平面向量坐标运算及其研究方法在空间的推广和拓展,沟通了代数与几何的关系，丰富了学生的认知结构。
为学生学习立体几何提供了新的视角、新的观点和新的方法，给学生的思维开发提供了更加广阔的空间。
为运用向量坐标运算解决立体几何问题奠定了知识和方法基础。
【学情分析与课堂实施策略】本课的学习对象高二学生,他们已掌握了平面向量坐标运算及规律，并学会了空间向量的几何形式及其运算；数学基础较为扎实，学习上具备了一定观察、分析、解决问题的能力，但在探究问题的内部联系和内在发展上还有所欠缺。
所以通过教师的引导,学生的自主探索,不断地完善自我的认知结构。
高二学生具有一定的画图能力和推理能力，图形思维与代数思维可以结合起来。
本节内容学生容易接受。
学生在学习的过程中，会有很强的求知欲和成就感，对培养数学思想有推动作用。
基于以上分析,本节课主要采用问题探索和启发引导式相结合的教学方法。
【教学目标设定与预测】1．知识教学点: 掌握空间向量的坐标运算规律，平行向量坐标表示。
2．能力培养点:通过空间坐标系的建立和空间向量坐标运算规律的探索，发展学生的空间想象能力、探究能力，进一步熟悉类比、由一般到特殊、由直觉猜想到推理论证等思维方法，提高学生的科学思维素养．3．德育渗透点:通过教师的引导、学生探究，激发学生求知欲望和学习兴趣，使学生经历数学思维全过程，品尝到成功的喜悦．目标预测见具体的教学环节设计。
【重点难点确定与突破】基于以上分析本节课的重点是:体会空间直角坐标系,空间点的坐标,学会空间向量的坐标表示与运算。
人教版高中数学教案-空间向量运算的坐标表示
3. 1.5空間向量運算的座標表示教學目標1．能用座標表示空間向量，掌握空間向量的座標運算。
2．會根據向量的座標判斷兩個空間向量平行。
重、難點1．空間向量的座標表示及座標運算法則。
2．座標判斷兩個空間向量平行。
教學過程：（一）複習上一節內容（二）新課講解：設a ＝),,(321a a a ，b ＝),,(321b b b(1) a ±b ＝ 。
(2) λa ＝ ．(3) a ·b ＝ ．(4) a ∥b ⇔ ；a ⊥b ⇔ ．（5）模長公式：若123(,,)a a a a =， 則222123||a a a a a a =⋅=++ （6）夾角公式：112233222222123123cos ||||a b a b a b a b a b a b a a a b b b ++⋅⋅==⋅++++． （7）兩點間的距離公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，則2222212121||()()()AB AB x x y y z z ==-+-+-(8) 設),,(),,,(222111z y x B z y x A ==則AB ＝ ，=AB ．AB 的中點M 的座標為 ．例題分析：例1、（1）已知兩個非零向量a =（a 1，a 2，a 3），b =（b 1，b 2，b 3），它們平行的充要條件是（ ）A. a ：|a |=b ：|b |B.a 1·b 1=a 2·b 2=a 3·b 3C.a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0D.存在非零實數k ，使a =k b（2）已知向量a =（2，4，x ），b =（2，y ，2），若|a |=6，a ⊥b ，則x+y 的值是（ ）A. －3或1B.3或－1C. －3D.1（3）下列各組向量共面的是（ ） A. a =(1，2，3)，b =(3，0，2)，c =(4，2，5)B. a =(1，0，0)，b =(0，1，0)，c =(0，0，1)C. a =(1，1，0)，b =(1，0，1)，c =(0，1，1)D. a =(1，1，1)，b =(1，1，0)，c =(1，0，1)解析：（1）D ；點撥：由共線向量定線易知；（2）A 點撥：由題知⎪⎩⎪⎨⎧=++=++024*******x y x ⇒⎩⎨⎧-==3,4y x 或⎩⎨⎧=-=.1,4y x ；（3）A 點撥：由共面向量基本定理可得。
空间向量运算的坐标表示教案
8.3 空间向量运算的坐标表示教案一．教学目标：1、空间向量运算的坐标表示；2、能运用向量坐标表示解决平行、垂直问题及距离、夹角问题。
3、选择合适的空间直角坐标系以解决立体几何问题。
二．课前知识准备提纲：1、空间向量基本定理的内容是什么？2、基底的概念？单位正交基底是怎么界定的？3、平面直角坐标系、空间直角坐标系？4、类比平面向量的坐标运算，你能得出空间向量运算的坐标表示吗？三．新课内容1.导入新课一块巨石从山顶坠落，挡住了前面的路，抢修队员紧急赶到，从三个方向拉巨石，这三个力为321,,F F F ，它们两两垂直，它们的大小分别为3000N ，2000N ，2000N.若以三个力的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系，巨石受合力的坐标是什么？怎样求巨石受到的合力的大小？这就需要用到空间向量运算的坐标表示。
请同学们分小组回答课前准备知识提纲里的习题。
并按照下列问题进行新课（1）空间向量运算的坐标表示有哪些运算公式（2）空间向量平行与垂直的条件（3）向量的坐标及两点间的距离公式新知讲授完毕，紧接着用2道小题加以巩固，通过基础自测，让学生建立知识印象，为后续例题的研析奠定基础。
2、典例精析设计三种类型的例题，分别是空间向量的坐标运算，利用向量解决平行与垂直的问题以及利用向量的坐标形式求夹角与距离。
例1 在△ABC 中，),5,2,3(),2,1,4(),3,5,2(-==-A 求顶点B 、C 的坐标，向量及角A 的余弦值。
通过题型一的分析，让学生懂得空间向量坐标的求法有以下三种情况，由点的坐标求向量的坐标，利用运算求坐标以及利用方程组求坐标。
例2 已知空间三点)4,0,3(),2,1,1(),2,0,2(---C B A ,设==,（1c ,,3求平行BC c =（2）若b a k b a k 2-+与互相垂直，求k通过题型二，介绍向量平行与垂直问题的两种类型。
例3 在长方体1AC 中，底面ABCD 是边长为4的正方形。
空间向量的坐标表示教案
空间向量的坐标表示教案一、教学目标1. 理解空间向量的坐标表示及其意义。
2. 掌握空间向量的坐标运算规则。
3. 能够运用空间向量的坐标表示解决实际问题。
二、教学重点和难点1. 教学重点：空间向量的坐标表示及其意义，坐标运算规则。
2. 教学难点：理解空间向量的坐标表示的实际应用，以及坐标运算规则的运用。
三、教学过程1. 导入新课：通过回顾空间向量的定义和性质，引出空间向量的坐标表示。
2. 新课学习：通过案例分析，引导学生理解空间向量的坐标表示及其意义，掌握坐标运算规则。
3. 巩固练习：通过小组讨论、个人展示等方式，让学生进行思考、计算、推导等活动。
4. 归纳总结：对本节课所学内容进行总结，强调重点和难点。
四、教学方法和手段1. 教学方法：讲解、演示、小组讨论、个人展示等。
2. 教学手段：利用多媒体技术，如PPT、视频等，增强学生对所学内容的直观感受和理解。
五、课堂练习、作业与评价方式1. 课堂练习：通过小组活动和个人展示等方式，让学生进行思考、计算等活动。
2. 作业：布置相关练习题，让学生进一步巩固所学内容。
3. 评价方式：采用多元评价方式，包括学生的自我评价、互相评价、教师评价等，以全面了解学生的学习情况和表现。
六、辅助教学资源与工具1. 教学资源：PPT、教材、教案等。
2. 教学工具：多媒体设备、黑板、粉笔等。
七、结论本节课通过对空间向量的坐标表示的学习，帮助学生理解了空间向量的坐标表示及其意义，掌握了坐标运算规则，并能够运用这些知识解决实际问题。
同时，通过小组讨论和个人展示等活动，也锻炼了学生的思维能力和口头表达能力。
希望学生们在今后的学习中能够继续巩固和拓展这些知识，为后续课程的学习打下坚实的基础。
八、教学反思本节课的教学过程中，我注重学生的参与和互动，尽可能地激发学生的学习兴趣和积极性。
同时，通过案例分析、小组讨论等方式，引导学生主动思考和解决问题，发挥了学生的主体作用。
但在教学过程中，也存在一些不足之处，如对某些细节的讲解不够深入，学生的反应不够积极等。
向量的坐标表示及其运算教案
向量的坐标表示及其运算教案一、教学目标1. 了解向量的概念，掌握向量的坐标表示方法。
2. 掌握向量的线性运算，包括加法、减法、数乘和数量积。
3. 能够运用向量的坐标表示和运算解决实际问题。
二、教学内容1. 向量的概念：向量是有大小和方向的量。
2. 向量的坐标表示：在二维和三维空间中，向量可以用坐标表示。
二维空间中的向量：\( \vec{a} = (a_1, a_2) \)三维空间中的向量：\( \vec{a} = (a_1, a_2, a_3) \)3. 向量的加法：\( \vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3) \)4. 向量的减法：\( \vec{a} \vec{b} = (a_1 b_1, a_2 b_2, a_3 b_3) \)5. 向量的数乘：\( k\vec{a} = (ka_1, ka_2, ka_3) \)6. 向量的数量积（点积）：\( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 \)三、教学方法1. 采用讲授法，讲解向量的概念、坐标表示和运算方法。
2. 利用多媒体课件，展示向量的图形，帮助学生直观理解向量的概念和运算。
3. 引导学生通过小组讨论，探讨向量运算的规律和应用。
4. 利用例题，讲解向量运算在实际问题中的应用。
四、教学步骤1. 导入新课：回顾初中阶段学习的向量知识，引出高中阶段向量学习的内容。
2. 讲解向量的概念，引导学生理解向量的本质。
3. 介绍向量的坐标表示方法，让学生掌握向量的坐标表示。
4. 讲解向量的加法、减法、数乘和数量积运算，让学生熟练掌握运算方法。
5. 利用多媒体课件，展示向量的图形，让学生直观理解向量的运算。
五、课后作业1. 填空题：向量\( \vec{a} = (2, 3) \) 的长度是_______。
向量\( \vec{a} = (1, 2) \) 与向量\( \vec{b} = (-1, 2) \) 垂直。
教学设计2:3.1.5 空间向量运算的坐标表示
3.1.5 空间向量运算的坐标表示教学目标：1．能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算；2．会根据向量的坐标判断两个空间向量平行。
教学重点：空间向量的坐标运算教学难点：空间向量的坐标运算教学过程：一．创设情景1、平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得j y i x a +=把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a在y 轴上的 坐标， 特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，0,0(=k二．新课讲授1、空间直角坐标系：（让学生了解即可，重点知道坐标表示）（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i j k 表示；2、空间直角坐标系中的坐标：如图给定空间直角坐标系和向量a ，设,,i j k 为坐标向量，则存在唯一的有序实数组123(,,)a a a ，使123a a i a j a k =++，有序实数组123(,,)a a a 叫作向量a 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作123(,,)a a a a =．在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使OA xi yj zk =++，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标．3、空间向量的直角坐标运算律（1）若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++，112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈，332211b a b a b a b a ++=⋅112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈；00332211=++⇔=⋅⇔⊥b a b a b a b a b a 212||a a a a a a =⋅=++21cos ||||a b a b a b a ⋅⋅==⋅+ （2）在空间直角坐标系中，已知点111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
空间向量运算的坐标表示(公开课教案)
空间向量运算的坐标表示(公开课教案)空间向量运算的坐标表示导语：本节课将介绍空间向量运算的坐标表示方法，帮助学生建立空间向量的运算概念和技巧。
通过本节课的学习，学生将能够准确地进行空间向量的加法、减法和数量乘法运算，并能够将运算结果表示为坐标形式，提高对空间向量运算的理解和应用能力。
一、空间向量的定义及表示方法空间向量是指具有大小和方向的物理量，它可以用有序数对或坐标表示。
在三维空间中，一个向量可以用三个有序实数表示，分别表示向量在x、y、z轴上的投影，即(x,y,z)。
例如，向量AB可以表示为(2,3,4)，其中2表示在x轴上的投影，3表示在y轴上的投影，4表示在z轴上的投影。
二、空间向量的加法运算空间向量的加法运算是将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量。
设有向量AB和向量AC，它们的坐标表示分别为(2,3,4)和(1,2,3)，则它们的和向量AD可以通过将对应的分量相加得到，即(2+1,3+2,4+3)=(3,5,7)。
表示向量AD的坐标形式即为(3,5,7)。
三、空间向量的减法运算空间向量的减法运算是将两个向量的对应分量相减得到一个新的向量。
设有向量AB和向量AC，它们的坐标表示分别为(2,3,4)和(1,2,3)，则它们的差向量AD可以通过将对应的分量相减得到，即(2-1,3-2,4-3)=(1,1,1)。
表示向量AD的坐标形式即为(1,1,1)。
四、空间向量的数量乘法运算空间向量的数量乘法运算是将一个向量的每个分量都乘以一个实数得到一个新的向量。
设有向量AB的坐标表示为(2,3,4)，将它与实数k相乘，即可得到数量乘积向量AD，即(2k,3k,4k)，表示向量AD的坐标形式为(2k,3k,4k)。
五、空间向量运算的坐标表示总结空间向量运算的坐标表示方法可以总结如下：1. 加法运算：将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量，表示为(若干表达式)。
2. 减法运算：将两个向量的对应分量相减得到一个新的向量，表示为(若干表达式)。
《空间向量运算的坐标表示》示范教案
3．1.5空间向量运算的坐标表示整体设计教材分析空间向量的坐标运算是在学生学习了空间向量的几何形式及其运算、空间向量基本定理的基础上进一步学习的知识，是平面向量坐标运算及其研究方法在空间的推广和拓展，沟通了代数与几何的关系，丰富了学生的认知结构，为学生学习立体几何提供了新的视角、新的观点和新的方法，给学生的思维开发提供了更加广阔的空间．为运用向量坐标运算解决立体几何问题奠定了知识和方法基础．学生已掌握了平面向量坐标运算及其规律，并学会了空间向量的几何形式及其运算；数学基础较为扎实，学习上具备了一定的观察、分析、解决问题的能力，但在探究问题的内部联系和内在发展上还有所欠缺．所以通过教师的引导，学生的自主探索，不断地完善自我的认知结构．课时分配1课时教学目标知识与技能1．掌握空间向量的坐标运算规律；2．掌握空间向量平行与垂直的坐标表示；3．掌握空间向量的夹角与向量长度的坐标计算公式．过程与方法1．经历向量运算的坐标表示由平面到空间的类比过程，进一步熟悉类比、由一般到特殊的思维方法；2．通过空间向量坐标运算规律的探索，发展学生的空间想象能力、探究能力，进一步熟悉由直觉猜想到推理论证的思维方法，提高学生的科学思维素养．情感、态度和价值观通过教师的引导、学生的探究，激发学生的求知欲望和学习兴趣，使学生经历数学思维全过程，品尝到成功的喜悦．重点难点教学重点：1．空间向量的坐标运算；2．空间向量的夹角公式、距离公式的坐标表示；3．空间向量平行和垂直的条件的坐标表示．教学难点：1．向量坐标的确定；2．空间向量的夹角公式、距离公式和平行、垂直条件的应用．教学过程引入新课提出问题：在正方体的两个面内任取两点，如何求出这两点间的距离？请同学们积极思考并说出求解方案．活动设计：学生自由发言；教师板书记录．学情预测：学生可能回答：(1)可用尺子直接测量出来；(2)建立直角坐标系，求出A 、B 两点的坐标，再利用距离公式求出其模长．活动成果：因为上一节课已经学会了空间向量的坐标表示，所以建立空间直角坐标系后，向量MN →的坐标就可以表示出来，还须知道有了向量的坐标如何来求向量的模．设计意图：从实际问题引入，使学生了解数学来源于实际．同时教具的辅助作用，使新课的引入显得生动自然、易于接受．把实际问题抽象成数学模型是学生形成和掌握概念的前提，也是培养学生观察分析能力的重要一步．探究新知提出问题：我们已经知道了空间向量坐标表示的由来，也已经学会了空间向量的加减、数乘和数量积运算的定义，请根据平面向量的坐标运算规律，猜想空间向量的坐标运算规律，填写下表，并证明你的结论．活动设计：1.学生自己推算并自觉讨论；教师巡视并注意和学生交流；2．部分学生到黑板上板演证明过程；教师点评补充．学情预测：学生基本上都能够猜想出空间向量运算的坐标表示，大部分同学能够给出证明，对数量积运算的坐标表示可能存在困难．活动成果：设a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，λ是实数，则 a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2，z 1＋z 2)； a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2，z 1－z 2)； λa ＝(λx 1，λy 1，λz 1)； a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2.证明一：加法的坐标表示的证明∵ a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)， ∴a ＋b ＝(x 1i ＋y 1j ＋z 1k )＋(x 2i ＋y 2j ＋z 2k ) ＝(x 1＋x 2)i ＋(y 1＋y 2)j ＋(z 1＋z 2)k ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2，z 1＋z 2)．证明二：空间向量的数量积的坐标表示的证明 ∵a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)， ∴a ·b ＝(x 1i ＋y 1j ＋z 1k )·(x 2i ＋y 2j ＋z 2k )＝x 1x 2i 2＋x 1y 2i ·j ＋x 1z 2i ·k ＋x 2y 1i ·j ＋y 1y 2j 2＋y 1z 2j ·k ＋z 1x 2k ·i ＋z 1y 2k ·j ＋z 1z 2k 2＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2.设计意图：引导学生大胆地“由旧猜新”，即由平面向量的公式猜想出空间向量相应的公式，让学生在猜想的过程中发现二维与三维的内在联系，并根据学生的实际情况进行有针对性的指导，对普遍出现的问题组织全班性的讨论．理解新知 提出问题：空间向量的平行、垂直关系，空间向量的夹角、模的公式应如何用坐标表示？ 活动设计：1.学生自己推演，教师巡视指导；2．部分学生在黑板上板演，教师点评并请学生修改补充．活动成果：设a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，且a ≠0，b ≠0. 1．a ∥b 存在唯一确定的实数λ，使得x 1＝λx 2，y 1＝λy 2，z 1＝λz 2； 2. a ⊥b x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0；3.||a ＝ x 21＋ y 21＋ z 21；4．cos 〈a ，b 〉 ＝ x 1 x 2 ＋ y 1 y 2 ＋ z 1 z 2x 21＋ y 1 2 ＋ z 21x 22＋ y 22＋ z 22 . 设计意图：通过对公式的推导熟练坐标运算，增强学生应用向量坐标运算的意识． 运用新知 已知A(3,3,1)，B(1,0,5)，(1)求A ，B 中点M 的坐标和||AB ；(2)求到A ，B 两点距离相等的点P(x ，y ，z)的坐标x ，y ，z 满足的条件．思路分析：(1)要求A ，B 中点M 的坐标，就是求向量OM →的坐标，已知A ，B 两点的坐标，就是已知向量OA →，OB →的坐标，由向量的加减运算即可求出向量OM →的坐标；要求||AB ，就是求||AB →，只需求出向量AB →的坐标即可．(2)要求到A ，B 两点距离相等的点P(x ，y ，z)的坐标x ，y ，z 满足的条件，只需把到A ，B 两点距离相等这个条件用点P(x ，y ，z)的坐标x ，y ，z 表示出来即可．解：(1)∵M 为A ，B 的中点，∴OM →＝12(OA →＋OB →)＝12((3,3,1)＋(1,0,5))＝12(4,3,6)＝(2，32，3)．∴M 点的坐标为(2，32，3)．∵AB →＝OB →－OA →＝(1,0,5)－(3,3,1)＝(－2，－3,4)， ∴||AB→＝(－2)2＋(－3)2＋42＝29. ∴||AB ＝29.(2)∵点P(x ，y ，z)到A ，B 的距离相等， ∴||PA →＝||PB→. 又∵PA →＝(3－x,3－y,1－z)，PB →＝(1－x ，－y,5－z)，∴(3－x)2＋(3－y)2＋(1－z)2＝(1－x)2＋(－y)2＋(5－z)2， 整理得4x ＋6y －8z ＋7＝0.点评：利用空间向量解决立体几何问题的关键就是立体几何问题向空间向量的转化，转化以后，再利用空间向量的运算或其坐标运算解决即可．巩固练习已知长方体ABCO —A 1B 1C 1O 1，OA ＝OC ＝2，OO 1＝4，D 为BC 1与B 1C 的交点，E 为A 1C 1与O 1B 1的交点，则DE 的长度为________．答案： 5变练演编如图，在正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，点E ′，F ′分别是A ′B ′，C ′D ′的一个四等分点．(1)求BE ′和DF ′所成角的余弦值.(2)能否利用向量求直线BD ′和平面ABCD 所成的角？你能否给出一个可行的方案？ (3)能否利用向量求二面角F ′ADC 的大小？你能否给出一个可行的方案？ 解：(1)不妨设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则 B(1,1,0)，E ′(1，34，1)，D(0,0,0)，F ′(0，14，1)．所以'BE ＝(1，34，1)－(1,1,0)＝(0，－14，1)，'DF ＝(0，14，1)－(0,0,0)＝(0，14，1)，|'BE |＝174，|'DF |＝174，'BE ·'DF ＝0×0＋(－14×14)＋1×1＝1516. 所以cos 〈'BE ，'DF 〉＝1516174×174＝1517.(2)方案一：将直线BD ′和平面ABCD 所成的角转化为直线BD ′→和BD →所成的角； 方案二：将直线BD ′和平面ABCD 所成的角转化为直线BD ′→和DD ′→所成的角的余角． (3)方案：二面角F ′ADC 的大小转化为'DF 和DC →所成的角．达标检测1．与向量a ＝(1,2,3)，b ＝(3,1,2)都垂直的向量为( )A ．(1,7,5)B ．(1，－7,5)C ．(－1，－7,5)D ．(1，－7，－5) 2．已知点A(3,4,5)，B(0,2,1)，O(0,0,0)，若OC →＝25AB →，则点C 的坐标是( )A ．(－65，－45，－85) B. (65，－45，－85)C ．(－65，－45，85) D. (65，45，85)3．已知a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)．(1)若(k a ＋b )∥(a －3b )，求k 的值，并求出此时的||k a ＋b ； (2)若(k a ＋b )⊥(a －3b )，求k 的值．答案：1.C 2.A 3.(1)k ＝－13，||k a ＋b ＝3213 (2)k ＝1063课堂小结1．知识收获：空间向量运算的坐标表示；空间向量平行与垂直关系的坐标表示；空间向量夹角和空间两点距离公式的坐标表示；2．方法收获：类比方法；转化方法； 3．思维收获：类比思维；转化思维． 布置作业 课本习题3.1A 组8,9,10. 补充练习1．已知点A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量AB →与AC →的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 2．设||a ＝1，||b ＝2，且a ，b 的夹角为120°；则||2a ＋b 等于________． 3．设向量a ＝(3,5，－4)，b ＝(2,1,8)，计算3a －2b ，a ·b ，并确定λ，μ的关系，使λa ＋μb 与z 轴垂直．答案：1.C 2.23．解：3a －2b ＝3(3,5，－4)－2(2,1,8)＝(9,15，－12)－(4,2,16)＝(5,13，－28)， a ·b ＝(3,5，－4)·(2,1,8)＝6＋5－32＝－21， 由(λa ＋μb )·(0,0,1)＝(3λ＋2μ，5λ＋μ，－4λ＋8μ)·(0,0,1)＝－4λ＋8μ＝0， 即当λ，μ满足－4λ＋8μ＝0，即λ＝2μ，时λa ＋μb 与z 轴垂直．设计说明 本节课重点研究空间向量运算的坐标表示，并得出夹角、距离的坐标表示．本节课主要设计了问题驱动、类比思考、启发引导、自主探索等教学方式，主要特点是引导学生把空间向量运算的坐标表示用平面向量运算的坐标表示类比出来，增强学生的应用意识，加深学生的理解．类比是本节课设计的主要特点．本节课突出教师的主导作用和学生的主体地位，在教师所提问题的引导下，学生自主完成探究新知和理解新知的过程，在运用新知时进行变练演编，加深学生对知识的理解和问题转化的能力．备课资料1已知向量a ＝(－2,2,0)，b ＝(－2,0,2)，求向量n ，使n ⊥a ，n ⊥b . 解：设n ＝(x ，y ，z)，则 n ·a ＝(x ，y ，z)·(－2,2,0)＝－2x ＋2y ＝0， n ·b ＝(x ，y ，z)·(－2,0,2)＝－2x ＋2z ＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，－x ＋z ＝0.这个方程组有三个未知数，但只有两个方程．不妨把未知数x 当做已知，求y ，z.可得y＝x ，z ＝x ，于是n ＝(x ，x ，x)＝x(1,1,1)．显然，当x 取任意实数时，可以得到无穷多个向量都与a ，b 垂直，但这无穷多个向量都与向量(1,1,1)共线．2如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BB 1、D 1B 1的中点，求证：EF ⊥平面B 1AC.分析一：用传统的几何法证明，利用三垂线定理，需添加辅助线． 证明：设A 1B 1的中点G ，连EG 、FG 、A 1B ， 则FG ∥A 1D 1，EG ∥A 1B ，∵A 1D 1⊥平面A 1B ， ∴FG ⊥平面A 1B.∵A 1B ⊥AB 1，∴EG ⊥AB 1. ∴EF ⊥AB 1.同理，EF ⊥B 1C.又AB 1∩B 1C ＝B 1，∴EF ⊥平面B 1AC.分析二：选基底，利用向量的计算来证明． 证明：设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则EF → ＝ EB 1 → ＋ B 1F → ＝ 12(BB 1→ ＋ B 1D 1→) ＝ 12(AA 1→ ＋ BD →) ＝ 12(AA 1→ ＋ AD →－AB →)＝－a ＋b ＋c 2，AB 1→＝AB →＋AA 1→＝a ＋b ， ∴EF →·AB 1→＝－a ＋b ＋c2·(a ＋b )＝b 2－a 2＋c ·a ＋c ·b 2＝(||b 2－||a 2＋0＋0)2＝0.∴EF →⊥AB 1→，即EF ⊥AB 1.同理EF ⊥B 1C ， 又AB 1∩B 1C ＝B 1，∴EF ⊥平面B 1AC.分析三：建立空间直角坐标系，利用向量，且将向量的运算转化为实数(坐标)的运算，以达到证明的目的．证明：设正方体的棱长为2，建立如图所示的直角坐标系，则 A(2,0,0)，C(0,2,0)，B 1(2,2,2)，E(2,2,1)，F(1,1,2)，∴EF →＝(1,1,2)－(2,2,1)＝(－1，－1,1)， AB 1→＝(2,2,2)－(2,0,0)＝(0,2,2)， AC →＝(0,2,0)－(2,0,0)＝(－2,2,0)， ∴EF →·AB 1→＝(－1，－1,1)·(0,2,2)＝0，EF →·AC →＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝0，∴EF ⊥AB 1，EF ⊥AC ，又AB 1∩AC ＝A ，∴EF ⊥平面B 1AC.(设计者：徐西文)。
1.3.2空间向量运算的坐标表示 教案—高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
1.3.2 空间向量运算的坐标表示教学设计一、内容和内容解析1.内容：空间向量的坐标运算；根据向量坐标判断两向量平行或垂直；向量长度公式；两向量夹角公式、空间两点间距离公式。
2.内容解析本节课是人教A版高中数学选择性必修第一册第一章第三节的第二课时。
引入空间直角坐标系，为学生学习立体几何提供了新的方法，为培养学生思维提供了更广阔的空间。
本节课是在学生学习了空间向量及其运算和基本定理的基础上进一步学习空间向量运算的坐标表示，是平面向量运算的坐标表示在空间的推广，是运用向量坐标运算解决几何问题的基础.二、目标和目标解析1.目标（1）掌握空间向量运算的坐标表示（2）通过向量坐标判断两向量特殊位置关系（3）掌握向量长度公式、两向量夹角公式、空间两点间距离公式（4）培养学生类比思想、转化思想，提升学生“数学运算”和“逻辑推理”学科素养2.目标解析（1）掌握空间向量加减、数乘、数量积的坐标运算（2）会根据向量的坐标，判断两个向量平行或垂直（3）能根据向量的坐标计算出向量的模长，两向量夹角和空间两点距离，并能解决简单的立体几何问题三、教学问题诊断分析1.教学问题诊断：（1）空间向量运算的坐标表示同平面向量运算的坐标表示类似，可以类比平面向量运算的坐标表示进行推广，但怎样推广是学生的困难所在（2）学生难将向量坐标运算的代数结果与几何问题进行转化，利用空间向量运算的坐标表示解决一些立体几何问题是教学中的难点2.教学重点：空间向量的坐标运算，空间向量平行和垂直的条件，距离公式，夹角公式3.教学难点：运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题四、教学支持条件：多媒体辅助教学五、教学过程设计(一）知识回顾平面直角坐标系空间直角坐标系空间点和空间向量的坐标表示【设计意图】回顾上节课所学内容，为本节课的学习作铺垫。
(二）类比得到空间向量运算的坐标表示【探究一】有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得到空间向量运算的坐标表示并给出证明吗？平面向量运算的坐标表示 空间向量运算的坐标表示{}123123123123111213212223313233,,,,()()10设为空间的一个单位正交基底，则所以因为，所以a a a b b b a a a b b b a b a b a b a b a b a b a b a b a b =++=++=++++=++++++++======i j k a i j k b i j k a b i j k i j k i i i j i k j i j j j k k i k j k k i i j j k k i j j k k i a b 112233.a b a b a b =++其他运算的坐标表示可以类似证明。
教案)空间向量及其运算
教案)空间向量及其运算教案内容：一、教学目标1. 了解空间向量的概念，理解向量的几何表示和坐标表示。
2. 掌握空间向量的线性运算，包括加法、减法、数乘和点乘。
3. 能够应用空间向量的运算解决实际问题。
二、教学重点与难点1. 空间向量的概念及其几何表示。
2. 空间向量的坐标表示及其运算。
3. 空间向量的应用问题。
三、教学准备1. 教师准备PPT或黑板，用于展示向量的图形和运算过程。
2. 准备一些实际问题，用于引导学生应用向量知识解决。
四、教学过程1. 引入：通过展示一些实际问题，如物体运动、几何图形等，引导学生思考向量的概念和作用。
2. 讲解：向学生介绍空间向量的概念，讲解向量的几何表示和坐标表示。
通过示例和图形，让学生理解向量的加法、减法、数乘和点乘运算。
3. 练习：让学生通过练习题的方式，巩固对向量运算的理解和掌握。
可以提供一些选择题和填空题，以及一些应用问题。
4. 应用：引导学生将向量知识应用到实际问题中，如物体运动、几何图形等。
可以让学生分组讨论和展示解题过程。
5. 总结：对本节课的主要内容和知识点进行总结，强调重点和难点。
五、作业布置1. 完成课后练习题，包括选择题、填空题和应用问题。
2. 准备下一节课的预习内容，了解空间向量的线性组合和叉乘。
六、教学反思在课后，教师应反思本节课的教学效果，包括学生的参与度、理解程度和掌握情况。
根据学生的反馈和表现，调整教学方法和策略，以便更好地进行后续教学。
六、教学评价1. 评价方式：通过课堂讲解、练习题和实际问题解决，评价学生对空间向量的概念理解和运算掌握程度。
2. 评价标准：学生能准确地描述空间向量的概念，理解向量的几何表示和坐标表示；能熟练地进行向量的加法、减法、数乘和点乘运算；能将向量知识应用到实际问题中，解决问题。
七、拓展与延伸1. 向量的线性组合：向学生介绍空间向量的线性组合概念，讲解线性组合的性质和运算规律。
2. 向量的叉乘：向学生介绍空间向量的叉乘概念，讲解叉乘的性质和运算规律。
高中数学人教A版2019选修第一册教案空间向量及其运算的坐标表示
专题12 空间向量及其坐标表示★★★★学习目标★★★★1.理解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标.2.掌握空间向量的坐标运算规律，会判断两个向量的共线或垂直.3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些知识解决一些相关问题．★★★★问题导学★★★★知识点一 空间向量的坐标运算思考 设m ＝(x 1，y 1)，n ＝(x 2，y 2)，那么m ＋n ，m －n ，λm ，m ·n 如何运算？答案 m ＋n ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，m －n ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λm ＝(λx 1，λy 1)，m ·n ＝x 1x 2＋y 1y 2. 梳理 (1)空间向量a ，b ，其坐标形式为：a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)， a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)， λa ＝(λa 1，λa 2，λa 3)， a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3.(2)a ·a ＝|a |2＝222123a a a ++.知识点二 空间向量的平行、垂直及模、夹角 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ⊥b a ·b ＝0 a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0 模|a |＝a a ⋅|a |＝222123a a a ++ 夹角cos 〈a ，b 〉＝||||a ba b ⋅cos 〈a ，b 〉＝112233222222123123a b a b a b a a a b b b++++⋅++类型一 空间直角坐标系与空间向量的坐标表示例1 设正四棱锥SP 1P 2P 3P 4的所有棱长均为2，建立适当的空间直角坐标系，求SP →1、P 2P →3的坐标． 解 如图所示，建立空间直角坐标系，其中O 为底面正方形的中心，P 1P 2⊥Oy 轴，P 1P 4⊥Ox 轴，SO 在Oz 轴上．∵|P 1P 2|＝2，而P 1、P 2、P 3、P 4均在xOy 平面上，∴P 1(1,1,0)，P 2(－1,1,0)．在xOy 平面内，P 3与P 1关于原点O 对称，P 4与P 2关于原点O 对称，∴P 3(－1，－1,0)， P 4(1，－1,0).又|SP 1|＝2，|OP 1|2， ∴在Rt △SOP 1中，|SO |2， ∴S (0,02．∴SP 1＝OP 1－OS ＝(1,12)，2P P 3＝OP 3－OP 2＝(0，－2,0)．反思与感悟 建立适当的空间直角坐标系，以各点的坐标表示简单方便为宜．向量的坐标即终点坐标减去起点坐标对应的坐标．求点的坐标时，一定要注意向量的起点是否在原点，在原点时，向量的坐标与终点坐标相同；不在原点时，向量的坐标加上起点坐标才是终点坐标．跟踪训练1 如图所示的空间直角坐标系中，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，B 1E 1＝14A 1B 1，则BE 1等于( ) A.1014⎛⎫- ⎪⎝⎭，， B.114⎛⎫- ⎪⎝⎭，0，C. 1014⎛⎫- ⎪⎝⎭，， D. 114⎛⎫ ⎪⎝⎭，0，- 答案 C解析 B (1,1,0)、E 1(1，34，1)，BE 1＝(0，－14，1)． 类型二 空间向量平行、垂直的坐标表示例2 已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB ，b ＝AC . (1)设|c |＝3，c ∥BC . 求c ；(2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k . 解 (1)因为BC ＝(－2，－1,2)，且c ∥BC ， 所以设c ＝λBC ＝(－2λ，－λ，2λ)， 得|c |＝222(2)()(2)λλλ-+-+3|λ|＝3， 解得λ＝±1.即c ＝(－2，－1,2)或c ＝(2,1，－2)． (2)因为a ＝AB ＝(1,1,0)，b ＝AC ＝(－1,0,2)， 所以k a ＋b ＝(k －1，k,2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)． 又因为(k a ＋b )⊥(k a －2b )，所以(k a ＋b )·(k a －2b )＝0.即(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝2k 2＋k －10＝0.解得k ＝2或－52. 反思与感悟 向量平行与垂直问题的三种题型题型1：空间向量平行与垂直的判断，利用空间向量平行与垂直的条件进行判断．题型2：利用平行与垂直求参数或其他问题，即平行与垂直的应用，解题时要注意：①适当引入参数(比如向量a ，b 平行，可设a ＝λb )，建立关于参数的方程；②最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的. 题型3：利用向量坐标处理空间中的平行与垂直：①向量化：即将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行；②向量关系代数化：即写出向量的坐标；③求解：利用向量的坐标运算列出关系式求解．跟踪训练2（2020·宜宾市叙州区第二中学校高三一模（理））如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，侧棱与底面垂直，且12AA AB AC ===，AB AC ⊥，M 、N 分别是1CC 、BC 的中点，点P 在线段11A B 上，且11A P PB λ=. （1）求证：不论λ取何值，总有AM PN ⊥；（2）当1λ=时，求平面PMN 与平面ABC 所成二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2. 【解析】以点A 为坐标原点，以AB 、AC 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴，建立如下图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()10,0,2A ，()12,0,2B ，()0,2,1M ，()1,1,0N . （1）()11111A P PB A B A P λλ==-，()11122,0,0,0,0111A P A B λλλλλλ⎛⎫∴===⎪+++⎝⎭， ()11220,0,2,0,0,0,211AP AA A P λλλλ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，()21,1,0,0,2,1,2111PN AN AP λλλλ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭-.()0,2,1AM =，0220AM PN ∴⋅=+-=，因此，无论λ取何值，AM PN ⊥；（2）当1λ=时，()1,0,2P ，()0,1,2PN =-，()1,2,1PM =--， 而平面ABC 的法向量()0,0,1n =，设平面PMN 的法向量为(),,1x y m =，则21020m PM x y m PN y ⎧⋅=-+-=⎨⋅=-=⎩，解得32x y =⎧⎨=⎩，则()3,2,1m =， 设α为平面PMN 与平面ABC 所成的锐二面角，则14cos 14m n m nα⋅==⋅ 因此，平面PMN 与平面ABC . 类型三 空间向量的夹角与长度的计算例3（2020·广东省高三其他（理））已知几何体ABCDEF 中，//AB CD ，//FC EA ，AD AB ⊥，AE ⊥面ABCD ，2AB AD EA ===，4CD CF ==.（1）求证：平面⊥BDF平面BCF ；（2）求二面角E －BD －F 的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）13. 【解析】（1）证明：在直角梯形ABCD 中由已知可得BD BC ==//FC EA ，且AE ⊥面ABCD ， FC ∴⊥平面ABCD ，BC ⊂面ABCD ，BD FC ∴⊥， FCBC C =，BC ⊂面BCF ，FC ⊂面BCF∴BD ⊥面BCF且BD ⊂面BDF ，故面⊥BDF面BCF ；（2）分别以DA 、DC 所在直线为x 轴、y 轴，以D 为垂足作面DAC 的垂线DZ 为z 轴，建系如图(0,0,0),(2,2,0),(2,0,2)(0,4,4)D B E F ，则(2,2,0),(2,0,2),(0,4,4)DB DEDF ===，设面DEB 的法向量为(,,)m x y z =，则22002200x y m DB x z m DE ⎧+=⎧⋅=⇒⎨⎨+=⋅=⎩⎩，取1x =，则1y z ==-，故(1,1,1)m =--设面DBF 的法向量为(,,)n x y z =，则22004400x y n DB y z n DF ⎧+=⎧⋅=⇒⎨⎨+=⋅=⎩⎩，取1x =，则1,1y z =-=，故(1,1,1)n =-则111cos ,3||||33m n m n m n ⋅+<>===⋅⨯，由图可得二面角E -BD -F 的余弦值为13． 反思与感悟 通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点落在坐标轴上，以便写点时便捷．建立坐标系后，写出相关点的坐标，然后再写出相应向量的坐标表示，把向量坐标化，然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题．跟踪训练3（2020·江苏省高二期中）在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，2AB AC ==，14A A =，点D 是BC 的中点．（1）求异面直线1A B ，1AC 所成角的余弦值；（2）求直线1AB 与平面1C AD 所成角的正弦值； （3）求异面直线1A B 与AD 的距离．【答案】（1）45．（2（3）43【解析】以AB ，AC ，1AA 为x ，y ，z 轴建立按直角坐标系A xyz -， 则各点的坐标为()2,0,0B ，()10,0,4A ，()10,2,4C ，()1,1,0D ．如图： （1）所以()12,0,4A B =-，()10,2,4AC =，所以114cos 5A B AC <>==-，．故异面直线1A B 和1AC 所成角的余弦值为45． （2）()12,0,4AB =，()1,1,0AD =，设平面1C AD 的法向量为(),,n x y z =．则100n AC n AD ⎧⋅=⎨⋅=⎩即2400y z x y +=⎧⎨+=⎩，取1x =，得11,1,2n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．设直线1AB 与平面1C AD 所成角为θ，则1114sin cos ,15AB n AB n AB nθ<⋅=>==． 所以直线1AB 与平面1C AD （3）连接1A C 交1AC 于点M ，连接DM ，易得1//DM A B ，所以1//A B 平面1C AD ，故点1A 到平面1C AD 的距离即为所求异面直线距离．记点1A 到平面1C AD 的距离为d ，则()12210101443231AA n d n⨯+⨯-+⨯⋅====． 所以异面直线1A B 与AD 的距离为43． ★★★★综合训练★★★★一、单选题1．（2020·上海高三专题练习）已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成60的是（ ） A ．()1,1,0-B ．()1,1,0-C ．()0,1,1-D ．()1,0,1- 【答案】B【解析】对于A 选项中的向量()11,0,1a =-，11111cos ,22a a a a a a ⋅-〈〉===-⋅⋅，则1,120a a 〈〉=；对于B 选项中的向量()21,1,0a =-，22211cos ,222a a a a a a ⋅〈〉===⋅⋅，则2,60a a 〈〉=；对于C 选项中的向量()30,1,1a =-，2321cos ,22a a a a a a ⋅-〈〉===-⋅，则2,120a a 〈〉=；对于D 选项中的向量()41,0,1a =-，此时4a a =-，两向量的夹角为180.故选B.2．（2020·宁夏回族自治区贺兰县景博中学高二月考（理））已知向量()()1,1,0,1,0,2,a b ==-且ka b +与2a b -互相垂直，则k =（） A ．75B ．1C ．35D ．15【答案】A【解析】因为()1,1,0a =，()1,0,2b =-()1,,2ka b k k ∴+=-，()23,2,2a b -=-又因为ka b +与2a b -互相垂直，所以()()20ka ba b +-=，33240k k ∴-+-=，解得75k =，故选：A . 3．（2020·宁夏回族自治区贺兰县景博中学高二月考（理））已知()5,6,1a =-，()6,5,0b =，则a 与b ( )A ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向 【答案】A【解析】()5,6,1a =-，()6,5,0b =，5665100,a b a b ∴⋅=-⨯+⨯+⨯=∴⊥.故选：A .4．（2020·延安市第一中学高二月考（理））已知(2,3,1)a =-，(4,6,)b x =-，若a b ⊥，则x 等于 （ ）A ．-26B ．-10C ．2D ．10 【答案】A【解析】根据题意，由于(2,3,1)a =-，(4,6,)b x =-，且有a b ⊥，则可知·024(3)(6)1026a b x x =⇔⨯+-⨯-+⨯=⇔=-，故可知选A.5．（2020·宜宾市叙州区第一中学校高二月考（理））若向量()1,1,2a =-，()2,1,3b =-，则2a b +=（）A B ．．3D ．【答案】D【解析】由于向量()1,1,2a =-，()2,1,3b =-，所以()24,1,1a b +=-.故224a b +=+==故选：D.6．（2020·绥德中学高二期末（理））已如向量a ⃗ =(1,1,0)，b ⃗ =(−1,0,1)且k a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ 互相垂直，则k =() A ．13B ．12C ．−13D ．−12【答案】B【解析】根据题意，ka +b ⃗ =k(1,1,0)+(−1,0,2)=(k −1,k,2)，因为(ka +b ⃗ )⊥a ，所以(ka +b ⃗ )·a =0，则1×(k −1)+k ×1+0×2=0，即k =12，故选B7．（2020·安徽省高二期中（理））已知(1,1,)a t t t =--，(2,,)b t t =，则||a b -的最小值为（）A B ．5C ．115D【答案】A【解析】已知()1,1,a t t t =--，()2,,b t t =,()1,12,0a b t t -=---.(1a b t -=+==≥.当15t =时，a b -有最小值.故选A. 8．（2020·浙江省高三其他）平面α的法向量(2,2,2)u =-，平面β的法向量(1,2,1)v =，则下列命题正确的是（）A ．α、β平行B ．α、β垂直C ．α、β重合D ．α、β不垂直 【答案】B【解析】平面α的法向量(2,2,2)u =-，平面β的法向量(1,2,1)v =，因为2420u v =-+=，所以两个平面垂直．故选：B ．9．（2020·江苏省邗江中学高一期中）若向量(0,1,1),(1,1,0)a b =-=，且()a b a λ+⊥，则实数λ的值是（）A ．1-B ．0C ．2-D ．1 【答案】C【解析】由已知(0,1,1)(1,1,0)(,1,1)a b λλλλ+=-+=+-，由()a b a λ+⊥得：()(,1,1)(0,1,1)110a b a λλλλ+⋅=+-⋅-=++=，2λ∴=-，故选：C.10．（2020·浙江省杭州第二中学高三月考）已知长方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，3BC =，12AA =，空间中存在一动点P 满足11B P =，记1I AB AP =⋅，2I AD AP =⋅，31I AC AP =⋅，则（）.A ．存在点P ，使得12I I =B ．存在点P ，使得13I I =C ．对任意的点P ，有12I I >D ．对任意的点P ，有23I I > 【答案】C【解析】以11B A 为x 轴，11B C 为y 轴，1B B 为z 轴，1B 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则()0,0,2B，()4,0,2A 、()4,3,2D ，()10,3,0C ，设点(),,P x y z ，所以()4,0,0AB =-，()4,,2AP x y z =--，()0,3,0AD =，()14,3,2AC =--，()1,,B P x y z =，因为11B P =，所以，2221x y z ++=，[]1,1x ∴∈-，[]1,1y ∈-，[]1,1z ∈-，()144I AB AP x =⋅=--，23I AD AP y =⋅=， ()()3144322I AC AP x y z =⋅=--+--，()1244316430I I x y x y -=---=-->恒成立，故C 正确，A 不正确； ()13322432I I y z y z -=-+-=--+，令13I I =，则243z y -=，21B P x ===≥1≥=>，矛盾，所以B 不正确； ()()23442220420I I x z x z -=-+-=-++<恒成立，所以D 不正确.故选：C ．11．（2020·北京高三期末）若点N 为点M 在平面α上的正投影，则记()N f M α=.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，记平面11AB C D 为β，平面ABCD 为γ，点P 是棱1CC 上一动点（与C 、1C 不重合）()1Q f f P γβ⎡⎤=⎣⎦，()2Q f f P βγ⎡⎤=⎣⎦.给出下列三个结论： ①线段2PQ 长度的取值范围是1,22⎡⎢⎣⎭； ②存在点P 使得1//PQ 平面β；③存在点P 使得12PQ PQ .其中，所有正确结论的序号是（ ） A ．①②③B ．②③C ．①③D ．①②【答案】D【解析】取1C D 的中点2Q ，过点P 在平面11AB C D 内作1PE C D ⊥，再过点E 在平面11CC D D 内作1EQ CD ⊥，垂足为点1Q .在正方体1111ABCD A B C D -中，AD ⊥平面11CC D D ，PE ⊂平面11CC D D ，PE AD ⊥∴，又1PE C D ⊥，1AD C D D =，PE ∴⊥平面11AB C D ，即PE β⊥，()f P E β∴=，同理可证1EQ γ⊥，CQ β⊥，则()()1f f P f E Q γβγ⎡⎤==⎣⎦，()()2f f P f C Q βγβ⎡⎤==⎣⎦. 以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，设()01CP a a =<<，则()0,1,P a ，()0,1,0C ，110,,22a a E ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，110,,02a Q +⎛⎫⎪⎝⎭，2110,,22Q ⎛⎫⎪⎝⎭.对于命题①，2PQ =，01a <<，则111222a -<-<，则211024a ⎛⎫≤-< ⎪⎝⎭，所以，21,22PQ ⎡⎫=⎪⎢⎪⎣⎭，命题①正确； 对于命题②，2CQ β⊥，则平面β的一个法向量为2110,,22CQ ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，110,,2a PQ a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令211130424a a a CQ PQ --⋅=-==，解得()10,13a =∈，所以，存在点P 使得1//PQ 平面β，命题②正确；对于命题③，21120,,22a PQ -⎛⎫=-⎪⎝⎭，令()12211042a a a PQ PQ --⋅=+=，整理得24310a a -+=，该方程无解，所以，不存在点P 使得12PQ PQ ，命题③错误.故选：D.12．（2017·台州市书生中学高二开学考试）如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=1，，点M 在棱CC 1上，且MD 1⊥MA ，则当△MAD 1的面积最小时，棱CC 1的长为（ ）A C ．2D 【答案】A 【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，()0,0,0D ，设()()10,1,,0,0,,M t D z )(),0,0Az t z ≥≥≠，()()10,1,,MD z t AM t =--=-，()11,10MD MA MD AM t z t ⊥∴⋅=-+-=，即1z t t-=，111122AMD S AM MD ∆==⨯12==32=≥=，当且仅当t z ==时取等号，所以12CC z ==A ． 二、填空题13．（2020·延安市第一中学高二月考（理））已知(2,4,)a x =，(2,,2)b y =，若||6a =，a b ⊥，则x y +的值是________. 【答案】3-或1【解析】因为(2,4,)a x =，(2,,2)b y =，||6a =，a b ⊥，所以222464420a ab y x ⎧=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩，解得：43x y =⎧⎨=-⎩或41x y =-⎧⎨=⎩，因此1x y +=或3-.故答案为：3-或1.14．（2020·宁夏回族自治区银川二中高二期末（理））已知向量()()0,1,1,4,1,0,29a b a b λ=-=+=，且0λ>，则λ=____________．【答案】3【解析】因为()()0,1,1,4,1,0,29a b a b λ=-=+=， 所以()4,1,a b λλλ+=-， 可得()2216129λλ+-+=， 因为0λ>，解得3λ=，故答案为3.15．（2020·合肥一六八中学高三其他（理））已知长方体1111ABCD A B C D -，1AB BC ==，12AA =，在1A B 上取一点M ，在1B C 上取一点N ，使得直线//MN 平面11A ACC ，则线段MN 的最小值为________. 【答案】23【解析】如图，以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则1111(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,0),(1,0,2),(1,1,2),(0,1,2),(0,0,2)A B C D A B C D ，(1,1,0)AC =-，1(0,0,2)AA =，设平面11ACC A 的一个法向量为(,,)p x y z =，则1020p AC x y p AA z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，取1x =，则1,0y z ==，即(1,1,0)p =，又1(0,1,2)A B =-，1(1,0,2)BC =--，11(0,1,0)A B =，设11AM A B λ=，11B N BC μ=，则1111(,1,22)MN MA A B B N μλλμ=++=---， 22419445()()5599μλμ+=-+-+， 当4105409μλμ+⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，即5949λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，2MN 取得最小值49，即MN 的长度的最小值为23．故答案为：23． 16．（2020·安徽省北大附宿州实验学校高二期末（理））若平面α，β的法向量分别为(4,0,3)u =，(1,1,0)v =-，则这两个平面所成的锐角的二面角的余弦值为________.【答案】5【解析】两个平面α，β的法向量分别为(4,0,3)u →=，(1,1,0)v →=-， 则这两个平面所成的锐二面角的大小是θ，2cosa ba bθ→→→→====这两个平面所成的锐二面角的余弦值为5. 故答案为：5. 三、解答题17．（2020·上海高三专题练习）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，13AA =，P 为侧棱1CC 上一点.（1）求证：侧棱1CC 上不存在点P 使1B P ⊥平面11ABB A ；（2）1CC 上是否存在点P 使得11B P A B ⊥？若存在，确定PC 的长；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，73【解析】（1）反证法.若1CC 上存在点P ，使1B P ⊥平面11ABB A ，则平面11BCC B ⊥平面11ABB A .又1BC BB ⊥，∴BC ⊥面11ABB A .∴BC AB ⊥，矛盾； （2）如图，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系.设(0,2,)P z ，1(0,0,3)A ，B ，1,3)B ， 故1(3,1,3)B P z =--，()13,1,3A B =-，若11B P A B ⊥则110B P A B ⋅=，故()31330z -+--=，解得73z =，此时70,2,3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故73PC =18．（2020·上海复旦附中高二期中）如图四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，ACD ∆是边长为2的等边三角形，且2AB BC ==，2PA =，点M 是棱PC 上的动点.（I ）求证：平面PAC ⊥平面PBD ；（Ⅱ）当线段MB 最小时，求直线MB 与平面PBD 所成角的正弦值.【答案】（I ）证明见解析；（Ⅱ）10． 【解析】（Ⅰ）证明：∵PA ⊥底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD ， ∴PA BD ⊥．取AC 的中点O ，连接,OB OD ， ∵ACD ∆是等边三角形，AB BC =，∴AC OB ⊥，AC OD ⊥，∴点,,O B D 共线，从而得AC BD ⊥， 又PAAC A =，∴BD ⊥平面PAC ， ∵BD ⊂平面PBD ， ∴平面PAC ⊥平面PBD .（Ⅱ）解：取CP 中点E ，连接OE ，则//OE PA ， ∴EO ⊥底面ABCD ， ∴,,OC OD OE 两两垂直．以O 为原点如图建立空间直角坐标系Oxyz ， 则()()()()0,1,0,1,0,0,,1,0,2B C D P --， ∴()()0,31,0,1,1,2BD BP =+=-, 设平面PBD 的法向量为(),,n x y z =，由()31020n BD y n BP x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，得02y x z =⎧⎨=⎩，令1z =，得()2,0,1n =．设()01CM CP λλ=≤≤，则()12,1,2BM BC CM λλ=+=-，∴(1BM ==∴当14λ=时，BM有最小值，且min2BM =，此时11,1,22BM ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 设直线MB 与平面PBD 所成角为θ，则11||2sin cos<,>|3|||BM n BM n BM n θ+====⨯⋅， ∴直线MB 与平面PBD 所成角的正弦值为10． 19．（2020·浙江省高三其他）如图,在边长为2的菱形ABCD 中,∠BAD =600,O 为AC 的中点,点P 为平面ABCD 外一点,且平面PAC ⊥平面ABCD,PO =1,PA =2. (Ⅰ)求证:PO ⊥平面ABCD ;(Ⅱ)求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值.【答案】(Ⅰ) 证明见解析；（Ⅱ）√217. 【解析】(Ⅰ) 证明:在边长2的菱形ABCD 中,∠BAD =600,AO =√3, 又因为PO =1,PA =2, 所以PO 2+AO 2=4=PA 2,所以AO ⊥PO . 因为平面PAC ⊥平面ABCD .平面PAC ∩平面ABCD =AC , 又因为PO ⊂平面PAC,所以PO ⊥平面ABCD .（Ⅱ）以O 为原点，OB,OC,OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系，由已知 得A(0,−√3,0),B(1,0,0),C(0,√3,0),P(0,0,1). 设平面PBC 的法向量n ⃗ =(x,y,z)，因为PB⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−1),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√3,0), 由{PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，得 设x =√3,所以y =1,z =√3, 所以 n ⃗ =(√3,1,√3). 又因为 AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,1), 所以sinθ=|cos〈PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ 〉|=|PA ⃗⃗⃗⃗⃗⋅n ⃗ |PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗ ||=√3√7⋅2=√217. 所以直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值为√217. 20．（2020·广东省高二期末）已知向量()1,2,2a =-，()4,2,4b =-，()3,,c m n =.（1）求a b -（2）若//a c ，求m ，n . （3）求cos ,a b【答案】（1）()3,4,6--（2）6m =，6n =-（3）49- 【解析】（1）∵()1,2,2a =-，()4,2,4b =-∴()()()()1,2,24,2,414,22,24a b -=---=-----（2）∵()1,2,2a =-，()2,,4c x =-，若a c ∥，则3122m n ==-， 解之得6m =，6n =-（3）∵()1,2,2a =-，()4,2,4b =-∴()()1422248a b ⋅=⨯+⨯-+-⨯=-2123a =+=，(246b =+=。
高中数学教(学)案第6讲：空间向量的坐标运算
题目 第九章(B)直线、平面、简单几何体空间向量的坐标运算高考要求要使学生理解空间向量、空间点的坐标的意义，掌握向量加法、减法、数乘、点乘的坐标表示以及两点间的距离、夹角公式通过解题，会应用空间向量的坐标运算解决立体几何中有关平行、垂直、夹角、距离等问题 知识点归纳1空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i j k 表示；（2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k ，以点O 为原点，分别以,,i j k 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系O xyz -，点O 叫原点，向量 ,,i j k 都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面； 2．空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使OA xi yj zk =++，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标． 3．空间向量的直角坐标运算律： （1）若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =， 则112233(,,)a b a b a b a b +=+++，112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈，112233a b a b a b a b ⋅=++， 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈， 1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=．（2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标4模长公式：若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =， 则21||a a a a =⋅=+21||b b b b =⋅=+5．夹角公式：21cos ||||a ba b a b a ⋅⋅==⋅+． 6．两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则2||(AB AB ==或,A B d =题型讲解例1 已知AB =（2，2，1），AC =（4，5，3），求平面ABC 的单位法向量 解：设面ABC 的法向量(,,)n x y z =，则n ⊥且n ⊥，即n ·=0，且n ·=0，即2x +2y +z=0且4x +5y +3z=0，解得1,2,x z y z ⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴n =z （21，－1，1），单位法向量0||n n n ==±（31，－32，32） 点评：一般情况下求法向量用待定系数法由于法向量没规定长度，仅规定了方向，所以有一个自由度，可把n 的某个坐标设为1，再求另两个坐标平面法向量是垂直于平面的向量，故法向量的相反向量也是法向量，所以本题的单位法向量应有两解例2 已知A （3，2，1）、B （1，0，4），求： （1）线段AB 的中点坐标和长度；（2）到A 、B 两点距离相等的点P （x ，y ，z ）的坐标满足的条件 解：（1）设P （x ，y ，z ）是AB 的中点，则OP =21（OA +OB ）=21［（3，2，1）+（1，0，4）］=（2，1，25），∴点P 的坐标是（2，1，25），d AB =222)14()20()31(-+-+-=17 （2）设点P （x ，y ，z ）到A 、B 的距离相等，则222)1()2()3(-+-+-z y x =222)4()1(-++-z y x化简得4x +4y －6z +3=0（线段AB 的中垂面方程，其法向量的坐标就是方程中x,y,z 的系数），即为P 的坐标应满足的条件点评：空间两点P 1（x 1，y 1，z 1）、P 2（x 2，y 2，z 2）的中点为（221x x +，221y y +，221z z +），且|P 1P 2|=221221221)()()(z z y y x x -+-+-例3 棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，在棱DD 1上是否存在点P 使B 1D ⊥面P AC ？解：以D 为原点建立如图所示的坐标系，设存在点P （0，0，z ），AP =（－a ，0，z ）， AC =（－a ，a ，0），1DB =（a ，a ，a ）， ∵B 1D ⊥面P AC ，∴1DB ·AP =0，1DB ·AC =0∴－a 2+az =0∴z =a ，即点P 与D 1重合∴点P 与D 1重合时，DB 1⊥面P AC例 4 在三棱锥S —ABC 中，∠SAB =∠SAC =∠ACB =90°，AC =2，BC =13，SB =29（1）求证：SC ⊥BC ；（2）求SC 与AB 所成角的余弦值解法一：如图，取A 为原点，AB 、AS 分别为y 、z 轴建立空间直角坐标系，则有AC =2，BC =13，SB =29， 得B （0，17，0）、S （0，0，23）、C （21713，174，0）， ∴SC =（21713，174，－23），CB =（－21713，1713，0） （1）∵SC ·CB =0，∴SC ⊥BC （2）设SC 与AB 所成的角为α，∵AB =（0，17，0），SC ·AB =4，|SC || AB |=417，∴cos α=1717，即为所求 解法二：（1）∵SA ⊥面ABC ，AC ⊥BC ，AC 是斜线SC 在平面ABC 内的射影，∴SC ⊥B C （2）如图，过点C 作CD ∥AB ，过点A 作AD ∥BC 交CD 于点D ，连结SD 、SC ，则∠SCD 为异面直线SC 与AB 所成的角∵四边形ABCD 是平行四边形，CD =17，SA =23，SD =22AD SA +=1312+=5，∴在△SDC 中，由余弦定理得cos ∠SCD =1717，即为所求 点评：本题（1）采用的是“定量”与“定性”两种证法题（2）的解法一应用向量的数量积直接计算，避免了作辅助线、平移转化的麻烦，但需建立恰当的坐标系；解法二虽然避免了建系，但要选点、平移、作辅助线、解三角形例5 如图，直棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面△ABC 中，CA =CB =1，∠BCA =90°，棱AA 1=2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点 （1）求BN 的长；（2）求cos 〈1BA ，1CB 〉的值；（3）求证：A 1B ⊥C 1M（1）解：如图建立坐标系，依题意得B （0，1，0），N （1，0，1）， ∴｜BN ｜=222)01()10()01(-+-+-=3（2）解：A 1（1，0，2），B （0，1，0），C （0，0，0），B 1（0，1，2）， ∴1BA =（1，－1，2），1CB =（0，1，2）， ∴1BA ·1CB =3，｜1BA ｜=6，｜1CB ｜=5 ∴cos 〈1BA ，1CB 〉=1111||||BA CB BA CB ⋅=1030（3）证明：∵C 1（0，0，2），M （21，21，2）， ∴1A B =（－1，1，－2），1C M =（21，21，0），∴1A B ·1C M =0，∴A 1B ⊥C 1M例6 如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、CD 的中点 （1）证明AD ⊥D 1F ； （2）求AE 与D 1F 所成的角； （3）证明面AED ⊥面A 1D 1F 解：取D 为原点，DA 、DC 、DD 1为x 轴、y 轴、z 轴建立直角坐标系，取正方体棱长为2， 则A （2，0，0）、A 1（2，0，2）、 D 1（0，0，2）、E （2，2，1）、F （0，1，0）（1）∵DA ·1D F =（2，0，0）·（0，1，－2）=0，∴AD ⊥D 1F （2）∵AE ·1D F =（0，2，1）·（0，1，－2）=0，∴AE ⊥D 1F ，即AE 与D 1F 成90°角（3）∵DE ·1D F =（2，2，1）·（0，1，－2）=0，∴DE ⊥D 1F ∵AE ⊥D 1F ，∴D 1F ⊥面AE D ∵D 1F 面A 1D 1F ，∴面AED ⊥面A 1D 1F点评：①通过建立空间直角坐标系，点用三维坐标表示，向量用坐标表示，进行向量的运算，轻而易举地解决立体几何问题，不需要添加辅助线一个需要经过严密推理论证的问题就这样被简单机械的运算代替了②本题是高考题，标准答案的解法较为复杂，而运用代数向量求解则轻而易举，充分显示出代数化方法研究几何图形的优越性，这应作为立体几何复习的一个重点去掌握通过坐标法计算数量积去证垂直，求夹角、距离，是高考的重点例7 如图，正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底边长为a,侧棱长为2a建立适当的坐标系，⑴写出A ，B ，A 1，B 1的坐标；⑵求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角分析：（1）所谓“建立适当的坐标系”，一般应使尽量多的点在数轴上或便于计算，（2）首先要找出所求的角，或找出平面的法向量与直线所成的角，然后再求之 解：（1）建系如图，则A （0，0，0） B （0，a,0） A 1（0，0，2a),C 1（-23a,a 2,2a) (2)解法一：在所建的坐标系中，取A 1B 1的中点M ，于是M （0，a 2,2a），连结AM ，MC 1则有13(,0,0)MC =-(0,,0)AB a =，1(0,02)AA a =， ∴10MC AB ⋅=，110MC AA ⋅=，所以，MC 1⊥平面ABB 1A 1因此，AC 1与AM 所成的角就是AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角13(,2)22a AC a a =-，(0,2)2aAM a =， ∴2194a AC AM ⋅=,而|13||3,||2AC a AM a ==由cos<1,AC AM >=113||||AC AM AC AM ⋅=,∴ <1,AC AM >=30°解法二： 13(,2)22aAC a a =-， A BCA 1B 1C 1MzyxA BCA 1B 1C 1Mzyx平面ABB 1A 1的一个法向量(1,0,0)n =- ∴AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角θ的正弦为：1sin cos ,AC n θ=<>=1112||||AC n AC n ⋅=∴AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°例8 棱长为2的正方体A 1B 1C 1D 1-ABCD 中，E 、F 分别是C 1C 和D 1A 1的中点，（1）求EF 长度；（2）求<,AB EF >；3）求点A 到EF 的距离分析：一般来说，与长方体的棱或棱上的点有关的问题，建立空间直角坐标系比较方便，适当建立坐标系后，正确地写出相关点的坐标及向量然后进行运算即可得解 解：以D 为原点，DA ，DC ，DD 1分别为x 轴， y 轴，z 轴建立直角坐标系，则A （2，0，0），B （2，2，0）， E （0，2，1），F （1，0，2） 由此可得：AB =（0，2，0），EF =（1，-2，1）FA =（1，0，-2），|AB |=2，|FA |=5，AB EF ⋅= - 4, FA EF ⋅=1-2=-1， 所以（1）||EF =6 （2）c os<,AB EF >=||||AB EFAB EF ⋅=-36,所以<,AB EF >=π-arcc os 36 (3)FA 在EF 上的射影的数量FA c os<,FA FE >=||FA FE FE ⋅=61∴ A 到EF 的距离21||(6FA -= 点评：点到直线的距离的向量求法，就是先求出该点与直线上某点连线在直线上的射影，再用勾股定理求对应的距离例9 平面ABCD ⊥平面ABEF ，ABCD 是正方形，ABEF 是矩形，且,21a AD AF ==G 是EF 的中点，（1）求证平面AGC ⊥平面BGC ；（2）求GB 与平面AGC 所成角正弦值； （3）求二面角B —AC —G 的大小解：如图，以A 为原点建立直角坐标系， 则A （0，0，0），B （0，2a ，0），C （0，2a ，2a ）， G （a ，a ，0），F （a ，0，0）（1）证明：(,,0),(0,2,2)AG a a AC a a ==，(,,0),(0,0,2)BG a a BC a =-=，设平面AGC 的法向量为111(,,1)n x y =， 设平面BGC 的法向量为222(1,,)n y z =，∴120n n ⋅= 即 12n n ⊥ ∴平面AGC ⊥平面BGC ； （2）由⑴知平面AGC 的法向量为1(1,1,1)n =-(,,0),(0,0,2)BG a a BC a =-=，∴||sin ||||2BG n BG n a θ⋅===⋅⋅（3）因1(1,1,1)n =-是平面AGC 的法向量，又AF ⊥平面ABCD ， 平面ABCD 的法向量(,0,0)AF a =， 得11|||cos |||||3n AF n AF θ⋅===⋅∴二面角B —AC —G 的大小为求平面法向量的另一种方法：由 A （0，0，0），B （0，2a ，0），C （0，2a ，2a ）， G （a ，a ，0），F （a ，0，0） 设平面AGC 的方程为：11110A x B y C z D +++=则11111111111111111111100000000,002200A B C D D A a B a C D A B A C B D A aB aC D B C +++==⎧⎧⎪⎪+++=⇒+=⇒==-=⎨⎨⎪⎪+++=+=⎩⎩ ∴平面AGC 的法向量为11111(,,)(1,1,1)n A B C A ==- 设平面BGC 的方程为：22220A x B y C z D +++=则222222222222222222222220200200220220,0000A aBCD aB D A aB aC D aB aC D B A C aA aB C D aA aB D +++=+=⎧⎧⎪⎪+++=⇒++=⇒==⎨⎨⎪⎪+++=++=⎩⎩∴平面BGC 的法向量为12222(,,)(1,1,0)n A B C A ==点评：①平面平行于哪一个轴，其法向量的对应坐标就是0；②平面经过原点时平面方程中的常数项等于0； ③平面法向量的两种求法的区别 小结：1运用空间向量的坐标运算解决几何问题时，首先要恰当建立空间直角坐标系，计算出相关点的坐标，进而写出向量的坐标，再结合公式进行论证、计算，最后转化为几何结论2本节知识是代数化方法研究几何问题的基础，向量运算分为向量法与坐标法两类，以通过向量运算推理，去研究几何元素的位置关系为重点利用两个向量（非零）垂直⇔数量积为零，可证明空间直线垂直；利用数量积可计算两异面直线的夹角，可求线段的长度；运用共面向量定理可证点共面、线面平行等；利用向量的射影、平面的法向量，可求点面距、线面角、异面直线的距离等 学生练习1若a =（2x ，1，3），b =（1，－2y ，9），如果a 与b 为共线向量，则 A x =1，y =1 B x =21，y =－21 C x =61，y =－23 D x =－61，y =23解析：∵a =（2x ，1，3）与b =（1，－2y ，9）共线，故有12x=y 21-=93 ∴x =61，y =－23应选C 答案：C 2在空间直角坐标系中，已知点P （x ，y ，z ），下列叙述中正确的个数是①点P 关于x 轴对称点的坐标是P 1（x ，－y ，z ） ②点P 关于yOz 平面对称点的坐标是P 2（x ，－y ，－z ） ③点P 关于y 轴对称点的坐标是P 3（x ，－y ，z ） ④点P 关于原点对称的点的坐标是P 4（－x ，－y ，－z ）A3 B2 C1 D0 解析：P 关于x 轴的对称点为P 1（x ，－y ，－z ），关于yOz 平面的对称点为P 2（－x ，y ，z ），关于y 轴的对称点为P 3（－x ，y ，－z ）故①②③错误 答案：C3已知向量a =（1，1，0），b =（－1，0，2），且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 值是A1B51C53 D57 解析：k a +b =k （1，1，0）＋（－1，0，2）=（k －1，k ，2），2a －b =2（1，1，0）－（－1，0，2）=（3，2，－2）∵两向量垂直，∴3（k －1）＋2k －2×2=0∴k =57答案：D 4设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上一点，且OG =3GG 1，若OG =x OA +y OB +z OC ，则（x ，y ，z ）为A （41，41，41） B （43，43，43）C （31，31，31）D （32，32，32） 解析：∵OG =43 1OG = 43（OA +1AG ）=43OA + 43·32［21（AB +AC ）］=43OA +41［（OB －OA ）+（OC －OA ）］=41OA + 41OB + 41OC ，而OG =x OA +y OB +z OC ，∴x =41，y =41，z =41答案：A5在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成的角为Aarccos23 Barccos1010 Carccos53 Darccos 52 解：建立坐标系，把D 点视作原点O ，分别沿DA 、DC 、1DD 方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，则A （1，0，0），M （1，21，1），C （0，1，0），N （1，1，21） ∴AM =（1，21，1）－（1，0，0）=（0，21，1），CN =（1，1，21）－（0，1，0）=（1，0，21）故AM ·CN =0×1+21×0+1×21=21，|AM |=2221)21(0++= 25，|CN |=222)21(01++=25∴cos α=||||AM CNAM CN ⋅=252521⋅=52∴α=arccos 52答案：D 6已知空间三点A （1，1，1）、B （－1，0，4）、C （2，－2，3），则AB 与CA 的夹角θ的大小是_________解析：AB =（－2，－1，3），CA =（－1，3，－2）， cos 〈AB ，CA 〉=1414)2(33)1()1()2(⋅-⨯+⨯-+-⨯-=147-=－21， ∴θ=〈AB ，CA 〉=120° 答案：120°7已知点A （1，2，1）、B （－1，3，4）、D （1，1，1），若AP =2PB ，则|PD |的值是__________解析：设点P （x ，y ，z ），则由AP =2PB ，得（x －1，y －2，z －1）=2（－1－x ，3－y ，4－z ），即1,3122,8262,,3182,3,x x x y y y z z z ⎧=-⎪-=--⎧⎪⎪⎪-=-=⎨⎨⎪⎪-=-⎩=⎪⎪⎩解得则|PD |=222)13()138()131(-+-+--=377答案： 3778设点C （2a +1，a +1，2）在点P （2，0，0）、A （1，－3，2）、B （8，－1，4）确定的平面上，求a 的值解：PA =（－1，－3，2），PB =（6，－1，4） 根据共面向量定理，设PC =x PA +y PB （x 、y ∈R ），则（2a －1，a +1，2）=x （－1，－3，2）+y （6，－1，4）=（－x +6y ，－3x －y ，2x +4y ），∴⎪⎩⎪⎨⎧+=--=++-=-.422,31,612y x y x a y x a 解得x =－7，y =4，a =16 另法：先求出三点确定的平面方程，然后代入求a 的值9已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，P 、Q 分别是BC 、CD 上的动点，且|PQ |=2，建立坐标系，把D 点视作原点O ，分别沿DA 、DC 、1DD 方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，（1）确定P 、Q 的位置，使得B 1Q ⊥D 1P ；（2）当B 1Q ⊥D 1P 时，求二面角C 1—PQ —A 的大小解：（1）设BP =t ，则CQ =2)2(2t --，DQ =2－2)2(2t --∴B 1（2，0，2），D 1（0，2，2），P （2，t ，0），Q （2－2)2(2t --，2，0）， ∴1QB =（2)2(2t --，－2，2），1PD =（－2，2－t ，2） ∵B 1Q ⊥D 1P 等价于1QB ·1PD =0， 即－22)2(2t --－2（2－t ）+2×2=0， 整理得2)2(2t --=t ，解得t =1此时，P 、Q 分别是棱BC 、CD 的中点，即P 、Q 分别是棱BC 、CD 的中点时，B 1Q ⊥D 1P ；（2）二面角C 1—PQ —A 的大小是π－arctan2210已知三角形的顶点是A （1，－1，1），B （2，1，－1），C （－1，－1，－2）试求这个三角形的面积解：S ABC ∆=21|AB ||AC |sin α，其中α是AB 与AC 这两条边的夹角 则S ABC ∆=21|AB ||AC |α2cos 1- =21|AB ||AC |2)||||ABAC =21在本题中，AB =（2，1，－1）－（1，－1，1）=（1，2，－2），AC =（－1，－1，－2）－（1，－1，1）=（－2，0，－3），∴|AB |2=12+22+（－2）2=9， |AC |2=（－2）2+02+（－3）2=13，AB ·AC =1·（－2）+2·0+（－2）·（－3）=－2+6=4， ∴S ABC ∆=2124139-⨯=210111证明正三棱柱的两个侧面的异面对角线互相垂直的充要条件是它的底面边长与侧棱长的比为2∶1证明：如图，以正三棱柱的顶点O 为原点，棱OC 、OB 为y 轴、z轴，建立空间直角坐标系，设正三棱柱底面边长与棱长分别为2a 、b ，则A （3a ，a ，b ）、B （0，0，b ）、C （0，2a ，0）因为异面对角线OA ⊥BC ⇔·BC =0⇔（3a ，a ，b ）·（0，2a ，－b ）=2a 2－b 2=0⇔b =2a ，即2a ∶b =2∶1，所以OA ⊥BC 的充要条件是它的底面边长与侧棱长的比为2∶112如图，ABCD 是边长为a 的菱形，且∠BAD =60°，△P AD为正三角形，且面P AD ⊥面ABCD（1）求cos 〈，〉的值；（2）若E 为AB 的中点，F 为PD 的中点，求||的值；（3）求二面角P —BC —D 的大小 解：（1）选取AD 中点O 为原点，OB 、AD 、OP 所在直线A分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则A （0，－2a，0），B （23a ，0，0），P （0，0，23a ），D （0，2a，0） ∴AB =（23a ，2a ，0），PD =（0，2a，－23a ），则cos 〈AB ，PD 〉=||||AB PDAB PD⋅00()a a +⨯+⨯41（2）∵E 、F 分别为AB 、PD 的中点， ∴E （43 a ，－4a ，0），F （0，4a ，43a ） 则|EF=410a （3）∵面P AD ⊥面ABCD ，PO ⊥AD ，∴PO ⊥面ABCD∵BO ⊥AD ，AD ∥BC ，∴BO ⊥BC 连结PB ，则PB ⊥BC ，∴∠PBO 为二面角P —BC —D 的平面角 在Rt △PBO 中，PO =23a ，BO =23a ， ∴tan ∠PBO =BO PO =a a2323=1则∠PBO =45°故二面角P —BC —D 的大小为45° 课前后备注。
新教材高中数学第1章空间运算的坐标表示教案新人教A版选择性必修第一册
新教材高中数学教案新人教A 版选择性必修第一册：1.3.2 空间运算的坐标表示学 习 目 标核 心 素 养1.掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或垂直．(重点) 2．掌握空间向量的模，夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些公式解决简单几何体中的问题．(重点、难点)1.通过空间向量的坐标运算及空间向量夹角及长度的学习，培养学生的数学运算核心素养．2．借助利用空间向量的坐标运算解决平行、垂直问题，提升学生的数学运算及逻辑推理的核心素养.平面向量的坐标运算设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)a ±b ＝(a 1±b 1，a 2±b 2)，λa ＝(λa 1，λa 2)(λ∈R )．a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2.(2)a ∥b (b ≠0)⇔a ＝λb ，即a 1＝λb 1，a 2＝λb 2.a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＝0.(3)|a |＝a 21＋a 22，AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)． cos 〈a ，b 〉＝a 1b 1＋a 2b 2a 21＋a 22b 21＋b 22. 思考：你能由平面向量的坐标运算类比得到空间向量的坐标运算吗？它们是否成立？为什么？1．空间向量运算的坐标表示设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，空间向量的坐标运算法则如下表所示：运算 坐标表示加法 a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3) 减法 a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)数乘 λa ＝(λa 1，λa 2，λa 3)，λ∈R数量积a·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则平行(a ∥b )a ∥b (b ≠0)⇔a ＝λb ⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，λ∈Ra 3＝λb 3垂直(a ⊥b )a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(a ，b 均为非零向量)模 |a |＝a·a ＝a 21＋a 22＋a 23夹角公式cos 〈a ，b 〉＝a·b |a |·|b |＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23b 21＋b 22＋b 23思考：若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ∥b 一定有a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3成立吗？ [提示] 当b 1，b 2，b 3均不为0时，a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3成立． 3．向量的坐标及两点间的距离公式在空间直角坐标系中，设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)，则 (1)AB →＝(a 2－a 1，b 2－b 1，c 2－c 1)； (2)d AB ＝|AB →|＝a 2－a 12＋b 2－b 12＋c 2－c 12.1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，a ∥b ，则a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3. ( ) (2)四边形ABCD 是平行四边形，则向量AB →与DC →的坐标相同．( ) (3)若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0. ( )[提示] (1)× (2)√ (3)√2．已知向量a ＝(3，－2,1)，b ＝(－2,4,0)，则4a ＋2b 等于( ) A ．(16,0,4) B ．(8，－16,4) C ．(8,16,4)D ．(8,0,4)D [4a ＝(12，－8,4)，2b ＝(－4,8,0)， ∴4a ＋2b ＝(8,0,4)．]3．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 的值是( ) A ．1 B ．15 C ．35 D ．75D [由a ，b 的坐标可得k a ＋b ＝(k －1，k,2)，2a －b ＝(3,2，－2)，两向量互相垂直则a ·b ＝0，即3×(k －1)＋2×k －2×2＝0，解得k ＝75.]4．若点A (0,1,2)，B (1,0,1)，则AB →＝__________，|AB →|＝________.(1，－1，－1)3 [AB →＝(1，－1，－1)，|AB →|＝12＋－12＋－12＝ 3.]空间向量的坐标运算【例1】 (1)若向量a ＝(1,1，x )，b ＝(1,2,1)，c ＝(1,1,1)，满足条件(c －a )·2b ＝－2，则x ＝________.(2)已知a ＝(2，－1，－2)，b ＝(0，－1,4)，求a ＋b ，a －b ，a ·b ，(2a )·(－b )，(a ＋b )·(a －b )．(1)2 [c －a ＝(0,0,1－x )，2b ＝(2,4,2)，由(c －a )·2b ＝－2得2(1－x )＝－2，解得x ＝2.](2)[解] a ＋b ＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4)＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2，－2,2)；a －b ＝(2，－1，－2)－(0，－1,4)＝(2－0，－1＋1，－2－4)＝(2,0，－6)； a ·b ＝(2，－1，－2)·(0，－1,4)＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7；(2a )·(－b )＝－2(a ·b )＝－2×(－7)＝14；(a ＋b )·(a －b )＝(2，－2,2)·(2,0，－6)＝2×2－2×0＋2×(－6)＝－8.进行空间向量的数量积坐标运算的技巧利用向量坐标运算解决问题的关键是熟记向量坐标运算的法则，同时掌握下列技巧． (1)在运算中注意相关公式的灵活运用，如(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2，(a ＋b )·(a ＋b )＝(a ＋b )2等．(2)进行向量坐标运算时，可以先代入坐标再运算，也可先进行向量式的化简再代入坐标运算，如计算(2a )·(－b )，既可以利用运算律把它化成－2(a ·b )，也可以求出2a ，－b 后，再求数量积；计算(a ＋b )·(a －b )，既可以求出a ＋b ，a －b 后，求数量积，也可以把(a ＋b )·(a －b )写成a 2－b 2后计算．[跟进训练]1．(1)已知向量a ＝(1,2,3)，b ＝(－2，－4，－6)，|c |＝14，若(a ＋b )·c ＝7，则a 与c 的夹角为________．(2)已知M (1,2,3)，N (2,3,4)，P (－1,2，－3)，若|PQ →|＝3|MN →|且PQ →∥MN →，则Q 点的坐标为( )A ．(2,5,0)B ．(－4，－1，－6)或(2,5,0)C ．(3,4,1)D ．(3,4,1)或(－3，－2，－5)(1)120° (2)B [(1)因为a ＝(1,2,3)，b ＝(－2，－4，－6)，所以a ＋b ＝(－1，－2，－3)，所以|a ＋b |＝14.因为(a ＋b )·c ＝7，所以a ＋b 与c 夹角的余弦值为12，即夹角为60°.因为a ＝(1,2,3)与a ＋b ＝(－1，－2，－3)方向相反，所以可知a 与c 的夹角为120°.(2)设Q (x ，y ，z )，则PQ →＝(x ＋1，y －2，z ＋3)，MN →＝(1,1,1)，∴⎩⎨⎧x ＋12＋y －22＋z ＋32＝312＋12＋12，x ＋1＝y －2＝z ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－1z ＝－6，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝5，z ＝0，∴Q 点的坐标为(－4，－1，－6)或(2,5,0)．]空间向量的平行与垂直[探究问题]1．已知A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则线段AB 的中点P 的坐标是多少？ [提示] P ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22. 2．类比平面向量，空间向量共线的充要条件是什么？ [提示] 若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ∥b ⇔a ＝λb ⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3.3．空间两个向量垂直的充要条件是什么？ [提示] 若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0.【例2】 (1)对于空间向量a ＝(1,2,3)，b ＝(λ，4,6)．若a ∥b ，则实数λ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2(2)正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 是棱D 1D 的中点，P 、Q 分别为线段B 1D 1，BD 上的点，且3B 1P →＝PD 1→，若PQ ⊥AE ，BD →＝λDQ →，求λ的值．[思路探究] (1)利用向量共线充要条件．(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算，求λ值．(1)D [因为空间向量a ＝(1,2,3)，b ＝(λ，4,6)，若a ∥b ，则1λ＝24＝36＝12，所以λ＝2，故选D.](2)[解] 如图所示，以D 为原点，DA →，DC →，DD 1→的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A (1,0,0)，E ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12，B (1,1,0)，B 1(1,1,1)，D 1(0,0,1)，由题意，可设点P 的坐标为(a ，a,1)，因为3B 1P →＝PD 1→，所以3(a －1，a －1,0)＝(－a ，－a,0)， 所以3a －3＝－a ，解得a ＝34，所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，34，1. 由题意可设点Q 的坐标为(b ，b,0)， 因为PQ ⊥AE ，所以PQ →·AE →＝0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫b －34，b －34，－1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，0，12＝0， 即－⎝ ⎛⎭⎪⎫b －34－12＝0，解得b ＝14，所以点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，14，0，因为BD →＝λDQ →，所以()－1，－1，0＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，14，0，所以λ4＝－1，故λ＝－4.1．[变条件]若本例中的PQ ⊥AE 改为B 1Q ⊥EQ ，其他条件不变，结果如何？[解] 以D 为原点，DA →，DC →，DD 1→的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，点Q 的坐标为(c ，c,0)，因为B 1Q ⊥EQ ，所以B 1Q →·EQ →＝0，所以(c －1，c －1，－1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，c ，－12＝0， 即c (c －1)＋c (c －1)＋12＝0,4c 2－4c ＋1＝0，解得c ＝12，所以点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0， 所以点Q 是线段BD 的中点， 所以BD →＝－2DQ →，故λ＝－2.2．[变条件，变设问]本例中若G 是A 1D 的中点，点H 在平面AC 上，且GH ∥BD 1，试判断点H 的位置．[解] 以D 为原点，DA →，DC →，DD 1→的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，因为G 是A 1D 的中点，所以点G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12，因为点H在平面xDy 上，设点H 的坐标为(m ，n,0)，因为GH →＝(m ，n,0)－⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －12，n ，－12，BD 1→＝(0,0,1)－(1,1,0)＝(－1，－1,1)且GH ∥BD 1→，所以m －12－1＝n －1＝－121，解得m ＝1，n ＝12，所以点H 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0， 所以H 为线段AB 的中点．1．判断空间向量垂直或平行的步骤(1)向量化：将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行； (2)向量关系代数化：写出向量的坐标；(3)对于a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，根据x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2是否为0判断两向量是否垂直；根据x 1＝λx 2，y 1＝λy 2，z 1＝λz 2(λ∈R )或x 1x 2＝y 1y 2＝z 1z 2(x 2，y 2，z 2都不为0)判断两向量是否平行．2．由空间向量垂直或平行求值只需根据垂直或平行的条件建立方程(组)求解即可．[跟进训练]2．已知a ＝(λ＋1,1,2λ)，b ＝(6,2m －1,2)． (1)若a ∥b ，分别求λ与m 的值；(2)若|a |＝5，且与c ＝(2，－2λ，－λ)垂直，求a .[解] (1)由a ∥b ，得(λ＋1,1,2λ)＝k (6,2m －1,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＋1＝6k ，1＝k 2m －1，2λ＝2k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ＝15，m ＝3.∴实数λ＝15，m ＝3.(2)∵|a |＝5，且a ⊥c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＋12＋12＋2λ2＝5，λ＋1，1，2λ·2，－2λ，－λ＝0，化简，得⎩⎪⎨⎪⎧5λ2＋2λ＝3，2－2λ2＝0，解得λ＝－1.因此，a ＝(0,1，－2)．空间向量的夹角与长度问题【例3】 如图所示，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别为A 1B 1，A 1A 的中点．(1)求BN 的长；(2)求A 1B 与B 1C 所成角的余弦值； (3)求证：BN ⊥平面C 1MN .[思路探究] 建系C xyz →得各点的坐标→数量积运算 →夹角、长度公式→几何结论[解] (1)如图所示，建立空间直角坐标系C xyz .依题意得B (0,1,0)，N (1,0,1)，∴|BN →|＝1－02＋0－12＋1－02＝3，∴线段BN 的长为 3.(2)依题意得A 1(1,0,2)，C (0,0,0)，B 1(0,1,2)， ∴BA 1→＝(1，－1,2)，CB 1→＝(0,1,2)， ∴BA 1→·CB 1→＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3. 又|BA 1→|＝6，|CB 1→|＝ 5. ∴cos〈BA 1→，CB 1→〉＝BA 1→·CB 1→|BA 1→||CB 1→|＝3010.故A 1B 与B 1C 所成角的余弦值为3010. (3)证明：依题意得A 1(1,0,2)，C 1(0,0,2)，B (0,1,0)，N (1,0,1)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，2，∴C 1M →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，C 1N →＝(1,0，－1)，BN →＝(1，－1,1)，∴C 1M →·BN →＝12×1＋12×(－1)＋0×1＝0，C 1N →·BN →＝1×1＋0×(－1)＋(－1)×1＝0.∴C 1M →⊥BN →，C 1N →⊥BN →， ∴BN ⊥C 1M ，BN ⊥C 1N ，又∵C 1M ∩C 1N ＝C 1，C 1M ⊂平面C 1MN ，C 1N ⊂平面C 1MN ， ∴BN ⊥平面C 1MN .1．利用向量数量积的坐标公式求异面直线所成角的步骤 (1)根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系；(2)利用已知条件写出有关点的坐标，进而获得相关向量的坐标；(3)利用向量数量积的坐标公式求得异面直线上有关向量的夹角，并将它转化为异面直线所成的角．2．利用向量坐标求空间中线段的长度的一般步骤 (1)建立适当的空间直角坐标系； (2)求出线段端点的坐标；(3)利用两点间的距离公式求出线段的长．[跟进训练]3．在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是DD1，DB的中点，G在棱CD上，CG＝14CD，H是C1G的中点．(1)求证：EF⊥B1C；(2)求EF与C1G所成角的余弦值；(3)求FH的长．[解] 如图，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz，则B1(1,1,1)，C(0,1,0)，E⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12，F⎝⎛⎭⎪⎫12，12，0，G⎝⎛⎭⎪⎫0，34，0，C1(0,1,1)，H⎝⎛⎭⎪⎫0，78，12，(1)EF→＝⎝⎛⎭⎪⎫12，12，－12，B1C→＝(－1,0，－1)，∴EF→·B1C→＝⎝⎛⎭⎪⎫12，12－12·(－1，0，－1)＝0，∴EF⊥B1C.(2)∵C1G→＝⎝⎛⎭⎪⎫0，－14，－1，∴EF→·C1G→＝⎝⎛⎭⎪⎫12，12，－12·⎝⎛⎭⎪⎫0，－14，－1＝38，|EF→|＝⎝⎛⎭⎪⎫122＋⎝⎛⎭⎪⎫122＋⎝⎛⎭⎪⎫－122＝32，|C1G→|＝02＋⎝⎛⎭⎪⎫－142＋－12＝174，∴cos(EF→，C1G→)＝3832×174＝5117，∴EF与C1G所成角的余弦值是5117.(3)∵FH →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，38，12，∴|FH →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫382＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝418.1．类比平面向量坐标运算：空间向量的加法、减法、数乘和数量积与平面向量的类似，学习中可以类比推广．推广时注意利用向量的坐标表示，即向量在平面上是用唯一确定的有序实数对表示，即a ＝(x ，y )．而在空间中则表示为a ＝(x ，y ，z )．2．在空间直角坐标系中，已知点A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1，z 2－z 1)．一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标．3．两点间的距离公式：若A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)， 则|AB |＝|AB →|＝|AB →|2＝x 2－x 12＋y 2－y 12＋z 2－z 12.4．空间向量的数量积和夹角有关，经常以空间向量数量积为工具，解决立体几何中与夹角相关的问题，把空间两条直线所成的角问题转化为两条直线对应向量的夹角问题，但要注意空间两条直线所成的角与对应向量的夹角的取值范围．1．下列向量中，与向量a ＝(0,0,1)平行的向量为( ) A ．b ＝(1,0,0) B ．c ＝(0,1,0) C ．d ＝(－1，－1，－1)D ．e ＝(0,0，－1)D [法一：比较各选项中的向量，观察哪个向量符合λa ＝(0,0，λ)的形式，经过观察，只有e ＝－a .法二：向量a ＝(0,0,1)的横、纵坐标都是0，所以向量a ∥z 轴，经过观察易得只有e ＝(0,0，－1)的横、纵坐标也都是0.]2．已知a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，如果a 与b 为共线向量，则( ) A ．x ＝1，y ＝1 B ．x ＝12，y ＝－12C ．x ＝－16，y ＝32D ．x ＝16，y ＝－32D [因为a 与b 为共线向量，所以存在实数λ，使得a ＝λb ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝λ，1＝－2λy ，3＝9λ，解得x ＝16，y ＝－32，故选D.]- 11 - 3．已知a ＋b ＝(2，2，23)，a －b ＝(0，2，0)，则cos 〈a ，b 〉＝________. 63[由已知得a ＝(1，2，3)，b ＝(1,0，3)， ∴cos〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝1＋0＋36×4＝63.] 4．已知点A 的坐标为A (1,1,0)，向量12AB →＝(4,0,2)，则点B 的坐标为________． (9,1,4) [由条件可知AB →＝(8,0,4)，设B (x ，y ，z )．则⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝8y －1＝0z －0＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝9y ＝1z ＝4.故点B 的坐标为(9,1,4)．]5．已知四边形ABCD 的顶点分别是A (3，－1,2)，B (1,2，－1)，C (－1,1，－3)，D (3，－5,3)．求证：四边形ABCD 是一个梯形．[证明] 因为AB →＝(1,2，－1)－(3，－1,2)＝(－2,3，－3)，CD →＝(3，－5,3)－(－1,1，－3)＝(4，－6,6)，因为－24＝3－6＝－36，所以AB →和CD →共线，即AB ∥CD . 又因为AD →＝(3，－5,3)－(3，－1,2)＝(0，－4,1)，BC →＝(－1,1，－3)－(1,2，－1)＝(－2，－1，－2)，因为0－2≠－4－1≠1－2，所以AD →与BC →不平行， 所以四边形ABCD 为梯形．。
空间向量的坐标运算-夹角和距离公式(教案说明)
空间向量的坐标运算-夹角和距离公式教案说明江西省宜丰中学熊星飞一、教材在本章节中的地位及作用1．向量的坐标运算是在空间向量的运算（加减法运算、实数与向量的积，空间向量的基本定理的基础上，用坐标对几何图形进行量化，通过对运算来掌握向量的关系和性质；2．向量的运夹角和距离公式是在空间向量的坐标及坐标运算的基础上，对向量的夹角和距离进行的一种运算，是空间解析几何的基础；3．本节内容渗透了转化、化归、数形结合数学思想，是向学生进行数学思想方法教学的好教材，也是培养学生观察、作图等能力的好教材；4．本节内容与实际问题联系紧密，有利于培养学生抽象思维及空间想象的能力。
5．课时安排空间向量的坐标运算共分4个课时（第一课时：空间直角坐标系；第二课时：空间向量的直角坐标运算；第三课时：空间向量夹角与距离公式的掌握及简单运用；第四课时：空间向量的坐标运算综合运用。
本节课是第三课时（夹角与距离公式的掌握及简单运用）二、教学目标1．知识目标：能把实际问题转化为立体几何的问题，立体几何问题再用坐标运算进行解决；2．能力目标：培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力．3．情感目标：结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于创新．4．知识教学点（1）．掌握空间向量的模长公式、夹角公式、两点间的距离公式；（2）．会根据向量的坐标判断两个向量共线或垂直；（3）．会运用向量的夹角公式求异面直线所成的角。
三、教学重点与难点1．教学重点：模长公式、夹角公式、两点间的距离公式及其运用。
2．教学难点：异面直线所成的角与空间两向量夹角的关系。
四、教学方法与手段1．教学方法为了激发学生学习的主体意识，面向全体学生，使学生在获取知识的同时，各方面的能力得到进一步的培养．根据本节课的内容特点，本节课采用对比学习、启发引导、讲练结合的教学方法，着重于培养学生分析、解决实际问题的能力以及良好的学习品质。
空间向量运算坐标表示说课稿北师大版实用教案
空间向量运算坐标表示说课稿北师大版实用教案《空间向量运算的坐标表示》——讲课稿黑龙江省铁力市第一中学敬爱的各位评委、老师：大家好!李珊珊我是来自*********的数学教师，我叫李珊珊，很有幸能够参加此次的讲课活动，希望各位评委、老师对我的讲课内容提出可贵建议。
今日我讲课的题目是《空间向量运算的坐标表示》，这节课选自人民教育第一版社高二选修，节第一课时，下边我将从教材、教法、学法、教课过程及板书设计五个方面来介绍我对本节课的教课假想。
一、说教材.地位和作用纲领和课标要求掌握空间向量运算的坐标表示，而空间向量运算的坐标表示是在学生学习了空间向量几何形式和基本定理的基础长进一步学习的知识内容，是平面向量坐标运算及其研究方法在空间的推行和拓展，交流了代数与几何的关系，丰富了学生的认知构造。
为学生学习立体几何供给了新的视角、新的看法和新的方法，给学生的思想开发供给了更为广阔的空间。
为运用向量坐标运算解决高考取立体几何问题确定了知识和方法基础。
.教课目的知识与技术：会依据向量坐标，判断两个向量共线与垂直，掌握向量模长公式、两向量夹角公式、空间两点间距离公式，并会应用这些知识解决简单立体几何问题。
过程与方法：在学习本节内容过程中，要多与平面向量的知识、方法类比，进而降低在理解、学习中的难度，在类比中发现差别,防备类比迁徙中的错误。
感情态度与价值观：指引、组织学生踊跃参加到知识、方法的研究、建立的过程中，亲自经历并感悟、体验知识的魅力和学习的乐趣，形成踊跃、主动、勇于研究的个性质量和学致使用的创建精神。
.要点与难点教课要点：空间向量的坐标运算,夹角及距离公式。
教课难点：模长公式、夹角公式、两点间的距离公式及其运用。
二、说教法如何突出要点，打破难点，进而实现教课目的。
我在教课过程中将采纳了“类比”和“启迪研究”的教课方法，依据本课教材的特点和学生的实质状况在教课中要点突出以下两点：()由教材的特点确定类比思想为教课的主线。
向量的坐标表示教案
向量的坐标表示教案
教案标题：向量的坐标表示教案
一、教学目标
1. 理解向量的概念和性质
2. 掌握向量的坐标表示方法
3. 能够运用向量的坐标表示方法解决实际问题
二、教学重点和难点
1. 向量的坐标表示方法
2. 向量坐标表示方法在几何和物理问题中的应用
三、教学准备
1. 教师准备：熟悉向量的坐标表示方法，准备相关教学案例和练习题
2. 学生准备：复习向量的基本概念和性质
四、教学过程
1. 导入：通过一个实际问题引入向量的坐标表示方法，引发学生对向量坐标表示方法的思考和讨论
2. 讲解：介绍向量的坐标表示方法，包括平面向量和空间向量的坐标表示，以及向量的加法和数乘运算
3. 案例分析：通过具体的案例分析向量的坐标表示方法在几何和物理问题中的应用，如力的合成、平行四边形的性质等
4. 练习：布置一些练习题，让学生巩固向量的坐标表示方法的运用
5. 拓展：引导学生思考向量的坐标表示方法在更复杂问题中的应用，如空间中的向量运算等
6. 总结：对本节课的内容进行总结，强调向量的坐标表示方法的重要性和应用价值
五、教学反思
1. 教师要及时调整教学方法，根据学生的实际情况进行灵活教学
2. 学生要多做练习，巩固向量的坐标表示方法的运用能力
六、作业布置
布置相关的练习题，要求学生运用向量的坐标表示方法解决实际问题
七、教学延伸
引导学生自主学习向量的其他表示方法，如数量积、矢量积等，拓展向量的应用领域
八、教学资源
教材、课件、相关练习题等
以上是一个针对向量的坐标表示教案的基本框架，具体教学过程中还需要根据学生的实际情况和教学资源进行灵活调整。
空间向量的坐标运算
…《空间向量的坐标运算》教学设计1. 教材分析1. 1教材的地位与作用空间向量的坐标运算是在学生学习了空间向量几何形式及其运算、空间向量基本定理的基础上进一步学习的知识内容是平面向量坐标运算及其研究方法在空间的推广和拓展,沟通了代数与几何的关系丰富了学生的认知结构为学生学习立体几何提供了新的视角、新的观点和新的方法给学生的思维开发提供了更加广阔的空间为运用向量坐标运算解决立体几何问题奠定了知识和方法基础1.2 教学的重点与难点教学重点空间坐标系、空间向量的坐标运算规律、距离和夹角公式教学难点空间向量坐标的确定2.教学目标分析2.1知识与技能掌握空间右手直角坐标系、空间向量的坐标运算规律平行向量与垂直向量坐标之间的关系、距离与夹角公式2.2过程与方法体验方程的逐步推导过程理解各形式之间的内在的实质的联系。
体验数学研究与发展的规律。
知其所以然。
2.3情感态度与价值观通过空间坐标系的建立和空间向量坐标运算规律的探索发展学生的空间想象能力、探究能力进一步熟悉类比、由一般到特殊、由直觉猜想到推理论证等思维方法提高学生的科学思维素养通过教师的引导、学生探究激发学生求知欲望和学习兴趣使学生经历数学思维全过程品尝到成功的喜悦3. 学情分析3.1学生学习本课内容的基础本课的学习对象高二学生,他们已掌握了平面向量坐标运算及规律并学会了空间向量的几何形式及其运算数学基础较为扎实学习上具备了一定观察、分析、解决问题的能力但在探究问题的内部联系和内在发展上还有所欠缺.所以通过教师的引导,学生的自主探索,不断地完善自我的认知结构.3.2学生学习本课内容的能力具有一定的画图能力图形思维与代数思维可以结合起来。
具有一定的推导能力具备一定的数学的严谨性。
3.3学生学习本课内容的心理本节内容学生容易接受。
学生在学习的过程中会有很强的求知欲和成就感对培养数学思想有推动作用。
3.4学法分析在教学中通过创设问题情境启发引导学生运用科学的思维方法进行自主探索将学生的独立思考、自主探究、交流讨论等探索活动贯穿于课堂教学的全过程突出学生的主体地位4教学过程设计4.1提出问题串创设学习情景问题1 在正方体的同一个面内任取两点如何求出这两点间的距离?问题2请同学积极思考并列出求解步骤问题3 数学上的AB距离是指它们之间的精确长度若直接测量误差会偏大那么(2)与(3)两种求法有没有内在的联系呢追问: 那么我们就请同学们说说方法(3)的具体操作步骤是什么问题4在正方体的不同面上任取两点如何求出这两点间的距离问题5请根据平面向量的坐标运算规律填写下表(略)4.2 引导思考自主探究(1)教学中引导学生大胆地“由旧猜新”即由平面向量的公式猜想出空间向量相应的公式让学生在猜想的过程发现从二维到三维的内在联系并根据学生的实际情况进行有针对性的指导对普遍出现的问题组织全班性的讨论(2)猜想只是直觉上的感知不一定都是正确的接下来引导学生对猜想进行严格的逻辑推理过程.让学生学会事物发展的内在动力并非人为主观性而是客观存在的规律.(3)证明之前引导学生分析公式之间的内在联系使学生认识到空间向量的线性运算比较简单而夹角公式、距离公式、垂直的充要条件均由向量的数量积公式推出因此抓住问题的主要矛盾着重证明空间向量的数量积公式.(4)将学生的思维激活激发引导学生会大胆的想象思维的发散是形成知识的网络化的有效途径。
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向量的直角坐标运算
设a=(a 1,a 2,a 3),b=(b 1,b 2,b 3)，则a+b=(a 1+b 1,a 2+b 2,a 3+b 3)
a －b=(a 1－
b 1,a 2－b 2,a 3－b 3)λa=(λa 1,λa 2,λa 3)
a ⋅b=a 1
b 1+a 2b 2+a 2b 2
a//b a 1=λb 1,a 2=λb 2,a 3=λb 3(λ∈R)a ⊥b a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0设A(x 1,y 1,z 1),B(x 2,y 2,z 2)，则
AB ＝OB －OA ＝(x 2－x 1,y 2－y 1,z 2－z 1)
向量的坐标运算
，
，
232221||a a a a ++=， 2
32221||b b b b ++=．
221221212)()()(z z y y x x d B A -+-+-=、
)(21OB OA OM +=
＝)2
,2,2(2
12121z z y y x x +++； 对空间任一向量p ，存在有序实数组{,,}x y z ，使得p xa yb zc =++. 把 的一个基底，
,,a b c 都叫做基向量.
对空间的任意向量a ，能否用空间的几个向量唯一表示？如果能，那需要几个向量？这几个向量有何位置关系？
已知a ＝(2，－3,5)，b ＝(－3,1，－4)，求a ＋b ，a －b ，8a ，a •b 。
.已知点A(1,2,1)、B(-1,3,4)、D(1,1,1),若
=2,则P 点坐标为
已知点A （1，―2，11），B （4，2，3），C （6，―1，4），则△ABC 的形状是（ ）
A ．等腰三角形
B ．等边三角形
C ．直角三角形
D ．等腰直角三角形
平行于垂直
1.若a =(2x,1,3),b =(1,-2y,9),如果a 与b 为共线向量,则( )
已知向量a ＝(1，1，0)，b ＝(-1，0
，2)，且k a ＋b 与2a -b 互相垂直，则ｋ值是( )
建系
已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为2的正方体，E 、F
分别是BB 1和DC 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出图中各点的坐标。
建系证垂直
在正方体要ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BB 1、CD 的中点，求证：D 1F ⊥平面ADE
例4 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BB 1、D 1B 1的中点，求证EF ⊥平面B 1AC 。
分析一：用传统的几何法证明，利用三垂线定理， 需添加辅助线。
证明：设A 1B 1的中点G ，连EG 、FG 、A 1B ， 则FG ∥A 1D 1，EG ∥A 1B ，∵A 1D 1⊥平面A 1B ， ∴FG ⊥平面A 1B ，∵A 1B ⊥AB 1，∴EG ⊥AB 1，
由三垂线的逆定理，得EF ⊥AB 1，同理EF ⊥B 1C ， 又AB 1∩B 1C ＝B 1，∴EF ⊥平面B 1AC 。
分析二：选基底，利用向量的计算来证明。
证明：设 ＝a ，＝b ，1＝c ，则
)(2
1
)(21)(211111111AB AD AA BD AA D B BB F B EB EF -+=+=+=
+= ＝(－a ＋b ＋c )/2
11AA AB +=＝a ＋b
1AB EF ⋅∴＝(－a ＋b ＋c )/2•(a ＋b )＝(b 2－a 2＋c •a ＋c •b )/2
＝(|b|2
－|a |2
＋0＋0)/2＝0，1AB EF ⊥∴，即EF ⊥AB 1，同理EF ⊥B 1C ，
又AB 1∩B 1C ＝B 1，∴EF ⊥平面B 1AC 。
分析三：建立空间直角坐标系，利用向量，且将向量的运算转化为实数（坐标）的运算，以达到证明的目的。
证明：设正方体的棱长为2，建立如图所示的直角坐标系，则
A(2,0,0),C(0,2,0),B 1(2,2,2),E(2,2,1), F(1,1,2),
EF ∴＝(1,1,2)－(2,2,1)＝(―1,―1,1)
1AB ＝(2,2,2)－(2,0,0)＝(0,2,2) ＝(0,2,0)－(2,0,0)＝(－2,2,0)
1AB EF ⋅∴＝(―1,―1,1)• (0,2,2)＝0 ⋅＝(―1,―1,1)• (－2,2,0)＝0
∴EF ⊥AB 1， EF ⊥AC ，又AB 1∩B 1C ＝B 1，∴EF ⊥平面B 1AC 。
归纳总结
传统的几何法证明 不建系也可证明
求夹角
已知空间三点A(1，1，1)、B(-1，0，4)、C(2，-2，3)，则与的夹角θ的大小是
如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，4
1
11111B A F D E B ==，求1BE 与1DF 所成的角的余弦值．
求向量模 线段长度
例1已知A (3,3,1)、B (1，0，5)，求：
⑴ 段AB 的中点坐标和长度；
.已知点A(1,2,1)、B(-1,3,4)、D(1,1,1),若AP =2,则P 点坐标为 ||
的值是_________________.
如图，正方体''''OABC D A B C -的棱长为a ，||2||AN CN = ||2|'B M M C =，则MN 的长为a
3
5。
综合
在棱长为1的正方体中ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为DD 1、BD 的中点，G 在CD 上，且CG ＝CD/4，H 为C 1G 的中点，⑴求证：EF ⊥B 1C ；⑵求EF 与C 1G 所成角的余弦值；⑶求FH 的长。
非正方体的建系
在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是一直角梯形，∠BAD ＝90°，
AD ∥BC ，AB ＝BC ＝a ，AD ＝2a ，且PA ⊥底面ABCD ，PD 与底面成30°（PD 和其在底面上的射影所成的角）。
⑴若AE ⊥PD ，垂足为E ，求证：BE ⊥PD ；⑵求异面直线AE 与CD 所成角的大小。
三棱柱ABC- 中，AB 垂直于侧面11BB C C ,E 为棱1C C 上异于1C C 、的一点，
1EA EB ⊥,已知AB =,12BB =,1BC =,13
BC C π
∠=
,求异面直线AB 与1EB 的 距
离。
的一点，EA 垂直于EB,已知AB= , ,求异面直线AB 与EB 的距离。
法向量 已知点
,
,
，求平面
的一个法向量。