高中物理竞赛几何光学测试题(含详细解析)

几何光学测试题
1、如图（a ）所示，一细长的圆柱形均匀玻璃棒，其一个端面是平面（垂直于轴线），另一个端面是球面，球心位于轴线上．现有一很细的光束沿平行于轴线方向且很靠近轴线人射．当光从平端面射人棒内时，光线从另一端面射出后与轴线的交点到球面的距离为a ；当光线从球形端面射人棒内时，光线在棒内与轴线的交点到球面的距离为b ．试近似地求出玻璃的折射率n 。

2、内表面只反射而不吸收光的圆筒内有一半径为R 的黑球，距球心为2R 处有一点光源S ，球心O 和光源S 皆在圆筒轴线上，如图所示．若使点光源向右半边发出的光最后全被黑球吸收，则筒的内半径r 最大为多少？
3、如图1中，三棱镜的顶角α为60︒，在三棱镜两侧对称位置上放置焦距均为 30.0cm f =的两个完全相同的凸透镜L 1和 L 2．若在L 1的前焦面上距主光轴下方14.3cm y =处放一单色点光源S ，已知其像S '与S 对该光学系统是左右对称的．试求该三棱镜的折射率．
4、如图（a ）所示，两平面镜A 和B 的镜面分别与纸面垂直，两镜面的交线过图中的O 点，两镜面间夹角为
︒=15α，今自A 镜面上的C 点处沿与A 镜面夹角︒=30β的方向在纸面内射出一条光线，此光线在两镜面经
多次反射后而不再与镜面相遇。

设两镜面足够大，1=CO m 。

试求：
（1）上述光线的多次反射中，最后一次反射是发生在哪块镜面上？ （2）光线自C 点出发至最后一次反射，共经历多长的时间？
5、有一水平放置的平行平面玻璃板H ，厚3.0 cm ，折射率 1.5n =。

在其下表面下2.0 cm 处有一小物S ；在玻璃扳上方有一薄凸透镜L ，其焦距30cm f =，透镜的主轴与玻璃板面垂直；S 位于透镜的主轴上，如图（a ）所示。

若透镜上方的观察者顺着主轴方向观察到S 的像就在S 处，问透镜与玻璃板上表面的距离为多少?
6、望远镜的物镜直径D ＝250cm ，其焦距f ＝160m 。

要用此望远镜对相距L ＝320km ，直径d ＝2m 的人造地球卫星拍摄照片，试问：（1）照像底片应该放在距焦点多远的位置上？（2）人造卫星的像的大小是多少？
α β
O A B
图(a)
C D
图（a ）
2R
S
r
R
O 图1
S f α
F y
2
L 1
L S '
n
∙ 图（a ）
7、有一只厚玻璃缸，底厚5cm ，内盛4cm 深的水，如图（a ）所示。

已知玻璃和水的折射率分别为1.8和1.33。

如果竖直向下看，看到缸底下表面离水面的距离是多少呢？
8、有一薄平凹透镜，凹面半径为0.5m ，玻璃的折射率为1.5，且在平面上镀一层反射层，如图所示。

在此系统的左侧主轴上放一物S ，S 距系统1.5m ，问S 成像于何处？
9、薄凸透镜放在空气中时，两侧焦点与透镜中心的距离相等。

如果此薄透镜两侧的介质不同，其折射率分别为1n 和2n ，则透镜两侧各有一个焦点（设为1F 和2F ），但1F 、2F 和透镜中心的距离不相等，其值分别为1f 和
2f 。

现有一个薄凸透镜L ，已知此凸透镜对平行光束起会聚作用，在其左右两侧介质的折射率及焦点的位置如
图（a ）所示。

1．试求出此时物距u ，像距v ，焦距1f 、2f 四者之间的关系式。

2．若有一傍轴光线射向透镜中心，已知它与透镜主轴的夹角为1θ，则与之相应的出射线与主轴的夹角2θ多大？
3．1f ，2f ，1n ，2n 四者之间有何关系？
10、有一种被称为直视分光镜的光谱学仪器。

所有光学元件均放在一直长圆筒内。

筒内有：三个焦距分别为1f 、2f 和3f 的透镜1L ,2L ,3L ，321f f f >=；观察屏P ，它是一块带有刻度的玻璃片；由三块形状相同的等腰棱镜构成的
分光元件（如图（a ）所示），棱镜分别用折射率不同的玻璃制成，两侧棱镜的质料相同，中间棱镜则与它们不同，棱镜底面与圆筒轴平行。

圆筒的一端有一与圆筒轴垂直的狭缝，它与圆筒轴的交点为S ，缝平行于棱镜的底面．当有狭缝的一端对准筒外的光源时，位于圆筒另一端的人眼可观察到屏上的光谱。

已知：当光源是钠光源时，它的黄色谱线（波长为589.3 nm ，称为D 线）位于圆筒轴与观察屏相交处。

制作棱镜所用的玻璃，一种为冕牌玻璃，
它对钠D 线的折射率D n ＝1.5170;另一种为火石玻璃，它对钠D 线的折射率D n '=1.7200。

1.试在图（b ）中绘出圆筒内诸光学元件相对位置的示意图并说出各元件的作用。

2.试论证三块棱镜各应由何种玻璃制成并求出三棱镜的顶角α的数值。

图（b ）
图（a ） C
S 1.5m
0.5m
图（a ）
α 图（a ）
几何光学测试题
1、（第25届全国中学生物理竞赛预赛）如图（a ）所示，一细长的圆柱形均匀玻璃棒，其一个端面是平面（垂直于轴线），另一个端面是球面，球心位于轴线上．现有一很细的光束沿平行于轴线方向且很靠近轴线人射．当光从平端面射人棒内时，光线从另一端面射出后与轴线的交点到球面的距离为a ；当光线从球形端面射人棒内时，光线在棒内与轴线的交点到球面的距离为b ．试近似地求出玻璃的折射率n 。

入射的两条光线如图（b ）所示。

α1、β1是从平端入射的光线通过球形端面时的入射角和折射角；α2、β2是从球形端面入射的光线通过球面时的入射角和折射角。

根据折射定律有
n sin α1=sin β1 (1) sin α2=n sin β2
(2) 由几何关系有 β1=α1+δ1
(3) α2=β2+δ2
(4)
设球面的半径为R ，注意到α1、α2、δ1、δ2都是小角度，故有
R α1=a δ1 (5) R α2=b δ2
(6) 根据题给的条件，(1)、(2)式可近似表示成
n α1=β1 (7) α2=n β2
(8) 由(3)式−(8)式得 a
b n = (9)
2、（第22届全国中学生物理竞赛预赛题）内表面只反射而不吸收光的圆筒内有一半径为R 的黑球，距球心为2R 处有一点光源S ，球心O 和光源S 皆在圆筒轴线上，如图所示．若使点光源向右半边发出的光最后全被黑球吸收，则筒的内半径r 最大为多少？
解：自S 作球的切线S M ，并画出S 经管壁反射形成的虚像点S '，及由
S '画出球面的切线S 'N ，如图1所示，由图可看出，只要M S '和N S '之间有一夹角，则筒壁对从S 向右的光线的反射光线就有一部分进入球的右方，不会完全落在球上被吸收．
由图可看出，如果r
的大小恰能使N S '与
M S '重合，如图2，则r 就是题所要求的筒的
内半径的最大值．这时
SM 与MN 的交点到球心的距离MO 就是所要求的筒的半径r ．由图2可得
θ
θ2sin 1cos -==
R
R r （1）
由几何关系可知
()R R 2s i n
=θ （2） 由（1）、（2）式得
R r 3
3
2=
（3） 3、（第十九届全国中学生物理竞赛预赛）如图1中，三棱镜的顶角α为60︒，在三棱镜两侧对称位置上放置焦距均为 30.0cm f =的两个完全相同的凸透镜L 1和 L 2．若在L 1的前焦面上距主光轴下方14.3cm y =处放一单色点光源S ，已知其像S '与S 对该光学系统是左右对称的．试求该三棱镜的折射率． 解：
图（a ）
图（b ）
r M
N
S
θ
S '
图2
O R θ
2R
N
r
M
S
O
2R
图1
S '
θ
2R
S
r
R
O
图1
S f α
F y
2
L 1
L S '
n
∙
由于光学系统是左右对称的，物、像又是左右对称的，光路一定是左右对称的。

该光线在棱镜中的部分与光轴平行。

由S 射向1L 光心的光线的光路图如图2所示。

由对称性可知
12i r = ①
21i r = ②
由几何关系得 1260r i α+==︒ ③ 由图可见
11i r β=+ ④
又从1FSO ∆的边角关系得
tan /y f β= ⑤
代入数值得
arctan(14.3/30.0)25.49β==︒ ⑥
由②、③、④与⑥式得130r =︒，155.49i =︒ 根据折射定律，求得
1
1
sin 1.65sin i n r =
= ⑦
4、如图（a ）所示，两平面镜A 和B 的镜面分别与纸面垂直，两镜面的交线过图中的O 点，两镜面间夹角为
︒=15α，今自A 镜面上的C 点处沿与A 镜面夹角︒=30β的方向在纸面内
射出一条光线，此光线在两镜面经多次反射后而不再与镜面相遇。

设两镜面足够大，1=CO m 。

试求：
（1）上述光线的多次反射中，最后一次反射是发生在哪块镜面上？ （2）光线自C 点出发至最后一次反射，共经历多长的时间？ 解：首先就一般情况进行讨论，如图（b ）。

设光线第一次在平面镜B 上发生反射时，CD 为入射光线，DE 为反射光线，又设图中的1A 为平面镜A 关于OB 的对称镜面，则图中E D '与DE 也关于OB 对称，即
DE E D ='。

又由光的反射定律和图中的对称关系容易得出：C 、D 、E '三点在同一直线上，且E D '对平面镜1A 的入射角等于DE 对平面镜A 的入射角。

因此光线由E D C --所经过的路径和它将进一步发生反射的情况，可以用光线在D 处不发生反射而沿直线前进至镜面1A 上的情况来代替。

对于E 点反射后的光线EF ，通过同样的分析也可用F E ''来代替，其中平面镜1B 为平面镜B 关于1A 的对称镜面，F '为直线CD 与平面镜1B 的交点。

显然，对于以后的各次反射，我们按照上法依次类推下去，其等效关系都能照样成立。

根据以上分析，我们自OB 出发，每隔α角画一块对称镜面，如图（c ）所示。

令其自OB 镜面起，依次为第1、第2、…第n 、第)1(+n 块镜面，再做射线CD ，使其依次与所有可能相交的镜面相交，设其相交后的最后一块镜面为第n 块，其交点K ，则有
αn AOK =∠
这样得出的图的意义是：CD 射线与每一块镜面相交一次，则相当于光线在AB 两镜面间反射一次，在K 点相当于发生最后一次反射，此后的光线不再与第)1(+n 块镜面相遇，即光线此后将在AB 两镜面间平行于某一镜面向外射出。

由图可见，由于第n 块镜面与CD 射线相交，而第)1(+n 块镜面与CD 射线不相交，故n 值应满足关系式是
βαβα++≤︒<+)1(180n n 所以 1180+≤-︒<
n n α
β
（*）
（1）根据（*）式结合本题所给的条件有
A 2
L 1
L C n
S 'f 'F '
S
f F 2i
1r
β
y '∙ ∙y β
β
2r 1O 1i
β
β
2O B
α
图2
β α β
O
A
B
图(a)
C D
图（b ） F ' E ' O D C E F A
B 1A 1
B α
α α 图（c ） β D B O θ C K α A α α
10180=-︒α
β
故得9=n ，即光线自C 点出发后，还将分别在A 、B 镜面上总共发生9次反射，这样便可确定其最后一次反射是发生在平面镜B 上。

（2）光线自C 点出发至最后一次在B 镜面上发生发射，所经历的总路程长等于图中CK 的长度。

在图中OCK ∆中，有
︒==∠135αn COK ︒=--︒=∠15180αβn CKO
以θ表示CKO ∠，由正弦定理有
)
sin(sin αθn CK
OC =
73.22
3222sin )
sin(=-
=
⋅=θ
αn CO CK （m ）
光线由C 至K 所经历的时间即为光线由C 出发，在A 、B 间多次反射至最后一次在B 镜面上反射所经历的总时间，即
9
8101.910
373.2-⨯=⨯==
c CK t （s ）
5、（第十七届全国中学生物理竞赛预赛）有一水平放置的平行平面玻璃板H ，厚3.0 cm ，折射率 1.5n =。

在其下表面下2.0 cm 处有一小物S ；在玻璃扳上方有一薄凸透镜L ，其焦距30cm f =，透镜的主轴与玻璃板面垂直；S 位于透镜的主轴上，如图（a ）所示。

若透镜上方的观察者顺着主轴方向观察到S 的像就在S 处，问透镜与玻璃板上表面的距离为多少?
解：物体S 通过平行玻璃板及透镜成三次像才能被观察到。

设透镜的主轴与玻璃板下表面和上表面的交点分别为A 和B ，S 作为物，通过玻璃板H 的下表面折射成像于点1S 处，由图（b ），根据折射定律，有 sin sin n i n r '=
式中 1.0n '=是空气的折射率，对傍轴光线，i 、r 很小，sin tan i i ≈，sin tan r r ≈，则
1AD AD
n
SA S A
= 式中SA 为物距，1S A 为像距，有
1S A nSA = （1）
将1S 作为物，再通过玻璃板H 的上表面折射成像于点2S 处，这时物距为11S B S A AB =+．同样根据折射定律可得像距
12S B
S B n
=
（2） 将2S 作为物，通过透镜L 成像，设透镜与H 上表面的距离为x ，则物距2u x S B =+．根据题意知最后所成像的像距()v x SA AB =-++，代入透镜成像公式，有
2111
f
x S B x SA AB -=+++ （3）
由（1）、（2）、（3）式代入数据可求得
1.0cm x = （4）
即L 应置于距玻璃板H 上表面1.0 cm 处。

6、望远镜的物镜直径D ＝250cm ，其焦距f ＝160cm 。

要用此望远镜对相距L ＝320km ，直径d ＝2m 的人造地球卫星拍摄照片，试问：（1）照像底片应该放在距焦点多远的位置上？（2）人造卫星的像的大小是多少？
解：因卫星离观察者的距离大于透镜焦距，故可认为像在底片的焦点外侧很近处，根据这个关键可进行适当近似。

（1） 设照像底片应放在焦点外侧相距x ∆处，由透镜成像公式的变形得
()v fu u f =-
将像矩v f x =+∆，物距u L =代入上式得
22
fL f f x f L f L f L
∆=-=≈
-- （L f ）
代入数据后得 8c m x ∆=（）
（2） 设人造卫星像的直径为d ，人造卫星的直径为D ，m 为放大率，则有
v f x f d mD D D D u L L
+∆===≈（f x ∆）
代入数据后得 d ＝1（mm ）
图（b ）
图（a ）
7、有一只厚玻璃缸，底厚5cm ，内盛4cm 深的水，如图（a ）所示。

已知玻璃和水的折射率分别为1.8和1.33。

如果竖直向下看，看到缸底下表面离水面的距离是多少呢？
解：所谓的“竖直向下看”，可以理解成小角度的折射，这是一个重要的条件。

在图（b ）中，从缸底A 点发出一条光线经过F 、E 向J 方向射出，入眼观察后感觉A 点在D 处，人看到缸底下表面离水面的距离就是KD CK CD +=。

过F 做JD 的平行线FH ，有
KLD ∆≌BFH ∆，BH KD =， 所以 BH IL CD += ①
因为当时θ很小时，有θθsin tan =，而α、β、γ都很小，所以在ILE ∆，有 ααsin tan IE IE IL == ② 在IFE ∆中，有
ββsin tan IE IE IF == ③ 由②、③式可得
水n IF IF
IL ==α
β
sin sin ④ 在BHF ∆中有 ααs i n t a n BF BF BH == ⑤ 在BAF ∆中有 γγs i n t a n BF BF BA == ⑥ 由⑤、⑥式可得
玻璃n BA BA
BH ==α
γ
sin sin ⑦ 将④⑦式代入①式，可得 )
cm (4.36.8163.314BA =+=+=）（玻璃
水n n IF CD
8、有一薄平凹透镜，凹面半径为0.5m ，玻璃的折射率为1.5，且在平面上镀一层反射层，如图所示。

在此系统的左侧主轴上放一物S ，S 距系统1.5m ，问S 成像于何处？
解：本题可等效为物点S 先经薄平凹透镜成像，其像为平面镜的物，平面镜对物成像又为薄平凹透镜成像的物，根据成像规律，逐次求出最终像的位置。

根据以上分析，首先考虑物S 经平凹透镜的成像S '。

根据公式
1
1111P P f +=' 其中
12
1
111(1)()11
(1.51)()0.51m n f R R -=--=---∞
=- 故有
1
1111.5P +=-' 10.6m P '=-
成像在左侧，为虚像。

该虚像再经平凹透镜成像S ''后，其像矩为
2210.6m P P P ''=-=-=
成像在有限额，为虚像。

该虚像再经平凹透镜成像S '''，有
33111
P P f
+=' 其中 320.6m P P '==，
11
1m f
-=- 故
31110.6
P +=-' 30.375m P '=- 成虚像于系统右侧0.375m 处。

9、(第十九届全国中学生物理竞赛复赛）薄凸透镜放在空气中时，两侧焦点与透镜中心的距离相等。

如果此薄透镜两侧的介质不同，其折射率分别为1n 和2n ，则透镜两侧各有一个焦点（设为1F 和2F ），但1F 、2F 和透镜中心的距离不相等，其值分别为1f 和2f 。

现有一个薄凸透镜L ，已知此凸透镜对平行光束起会聚作用，在其左右两侧介质的折射率及焦点的位置如图（a ）所示。

1．试求出此时物距u ，像距v ，焦距1f 、2f 四者之间的关系式。

2．若有一傍轴光线射向透镜中心，已知它与透镜主轴的夹角为1θ，则与之相应的出射线与主轴的夹角2θ多大？
3．1f ，2f ，1n ，2n 四者之间有何关系？
图（a ）
β
α 图（b ）
B
H F
C
I
水
玻璃
E
y A
J
K L D C
S 1.5m
0.5m
图（a ）
解：利用焦点的性质，用作图法可求得小物PQ 的像P Q ''，如图（b ）所示。

（1）用y 和y '分别表示物和像的大小，则由图中的几何关系可得
1
212
u f f y y f v f -=='- （1） 1212()()u f v f f f --=
简化后即得物像距公式，即u ，v ，1f ，2f 之间的关系式
12
1f f u v
+= （2） （2）薄透镜中心附近可视为筹薄平行板，入射光线经过两次折射后射出，放大后的光路如图（c ）所示。

图中1θ为入射角，2θ为与之相应的出射角，γ为平行板中的光线与法线的夹角。

设透镜的折射率为n ，则由折射定律得
1122sin sin sin n n n θγθ== （3）
对傍轴光线，1θ、2θ≤1，得11sin θθ≈，22sin θθ≈，因而得 1
212
n n θθ=
（4） （3）由物点Q 射向中心O 的入射线，经L 折射后，出射线应射向Q '，如图（d ）所示，
在傍轴的条件下，有
1122tan tan y y u v θθθθ'
=≈=≈， （5） 二式相除并利用（4）式，得
1
2
n y u yv n '=
（6） 用（1）式的11//()y y f u f '=-代入（6）式，得
1112
()f u n
u f v n =-
即 1121n uv
f n u n v
=
+ （7）
用（1）式的22/()/y y v f f '=-代入（6）式，得
21
22
()v f u n f v n -= 即 2221n uv
f n u n v
=
+ （8）
从而得1f ，2f ，1n ，2n 之间关系式
22
11
f n f n = 10、（第23届全国中学生物理竞赛复赛）有一种被称为直视分光镜的光谱学仪器。

所有光学元件均放在一直长圆筒内。

筒内有：三个焦距分别为1f 、2f 和3f 的透镜1L ,2L ,3L ，321f f f >=；观察屏P ，它是一块带有刻度的玻璃片；由三块形状相同的等腰棱镜构成的 分光元件（如图（a ）所示），棱镜分别用折射率不同的玻璃制成，两侧棱镜的质料相同，中间棱镜则与它们不同，棱镜底面与圆筒轴平行。

圆筒的一端有一与圆筒轴垂直的狭缝，它与圆筒轴的交点为S ，缝平行于棱镜的底面．当有狭缝的一端对准
筒外的光源时，位于圆筒另一端的人眼可观察到屏上的光谱。

已知：当光源是钠光源时，它的黄色谱线（波长为589.3 nm ，称为D 线）位于圆筒轴与观察屏相
交处。

制作棱镜所用的玻璃，一种为冕牌玻璃，它对钠D 线的折射率D n ＝1.5170;另一种为火石玻璃，它对钠D 线的折射率D n '=1.7200。

1.试在图（b ）中绘出圆筒内诸光学元件相对位置的示意图并说出各元件的作用。

2.试论证三块棱镜各应由何种玻璃制成并求出三棱镜的顶角α的数值。

Q
Q '
P ' P F 1
F 2
u
v
n 1 n 2
y
y '
f 1
f 2
图复解 19-5-1 图（b ）
n 1 n 2
θ1
θ 2
γ γ
n 图复解 19-5-2
图（c ）
Q
Q '
P
P ' F 1 F 2
L
θ2
u
v u
y
θ 1 y '
n 1 n 2
图复解 19-5-3 图（d ）
α
图（a ）
解：1. 圆筒内光学元件的相对位置如图1所示．各元件的作用如下：
狭缝S ：光源的光由
此进入分光镜，观察到的谱线就是狭缝的像．
透镜L 1：与狭缝的距离为f 1，使由狭缝射来的光束经L 1后成为与圆筒轴平行的平行光束． 分光棱镜：使由L 1射来的平行光束中频率不同的单色光经棱镜后成为沿不同方向出射的平行光束． 透镜L 2：使各种单色平行光束经L 2 成像在它的焦平面上，形成狭缝的像（即光谱线）． 观察屏P ：位于L 2焦平面上，光源的谱线即在此屏上．
透镜L 3：与P 的距离≤f 3，是人眼观察光谱线所用的放大镜（目镜）．
2．已知钠黄光的谱线位于P 的中央，S 的像位于L 2 的焦点上，由此可知，对分光棱镜系统来说，钠黄光的入射光束和出射光束都与轴平行，由于棱镜系统是左右对称，因此钠黄光在棱镜内的光路应该是左右对称的，在中间棱镜中的光路应该与轴平行，分光元件中的光路图如图2所示，左半部的光路如图3．用i 1、r 1、i 2、r 2分别表示两次折射时的入射角和折射角，用n 1、n 2分别表示两块棱镜对D 线的折射率，由图3可以看出，在两棱镜界面上发生折射时，22i r >，表明21n n >，即中间的棱镜应用折射率较大的火石玻璃制成，两侧棱镜用冕牌玻璃制成，故有D n n =1=1.5170，D n n '=2=1.7200．
由几何关系可得
122
i r α
==
（1）
12r i α
+=
（2）
由折射定律可得
111sin sin i n r = （3）
1222sin sin n i n r = （4）
从以上各式中消去1i 、2i 、1r 和2r 得
2221221121sin 1sin 12sin 222n n n ααα⎛⎫⎛⎫⎛
⎫----= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭ （5）
解（5）式得
()()
2
212
22124142sin n n n n -+-=
⎪⎭
⎫
⎝⎛
α （6）
以5170.11=n ，7200.12=n 代入，得 123.6α= （7）
图（b ）
图2
r 1
i 2
r 2
i 1
α
n 2 2α
n 1
图 3
L 2
L 1
L 3
狭缝
S
P
圆筒轴
图1。