高中数学(导数)学案

导数（复习01）

一．导数的概念

1.函数y =f (x )，如果自变量x 在x 0处有增量Δx ，那么函数y 相应地有增量y ∆=f (x 0+Δx )－f (x 0)，比值

y x ∆∆叫做函数y =f (x )在x 0到x 0+Δx 之间的平均变化率，即y x ∆∆=00()()f x x f x x +∆-∆。

2.如果当Δx →0时，

y x

∆∆有极限，我们就说函数y =f (x )在点x 0处可导，并把这个极限叫做f (x )在点x 0处的导数，记作f’(x 0)或y’|0x x =。即f (x 0)=0lim →∆x y x ∆∆=0lim →∆x 00()()f x x f x x +∆-∆。 说明：

(1)函数f (x )在点x 0处可导，是指Δx →0时，y x ∆∆有极限。如果y x

∆∆不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。

(2) Δx 是自变量x 在x 0处的改变量，Δx ≠0时，而Δy 是函数值的改变量，可以是零。

二．导数的几何意义

1.函数y =f (x )在点x 0处的导数的几何意义是曲线y =f (x )在点p (x 0,f (x 0))处的切线的斜率。也就是说，曲线y =f (x )在点p (x 0,f (x 0))处的切线的斜率是f ’(x 0)。相应地，切线方程为y －y 0= f ’(x 0)(x －x 0)。

三．常见函数的导出公式．

'0C =（C 为常数）；1()',*;n n x nx n Q -=∈ (sin )'cos ;x x = (cos )'sin ;x x =-

()';x x e e = ()'ln (0,1);x x a a a a a =>≠ 1(ln )';x x

=

1(log )'(0,1)ln a x a a x a =>≠. 四．两个函数的和、差、积的求导法则

法则1：[()()]''()'();u x v x u x v x ±=±

法则2：[()()]'()()()'();u x v x u x v x u x v x =+

法则3：2()'()()()'()'(()0)()()u x u x v x u x v x v x v x v x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦

.

五．复合函数的导数

复合函数f(g(x))y =的导数和函数(x)u (u),y g f ==的导数之间的关系为

'''

y x u x u f •=，即y 对x 的导数等于

)(u f 的导数与)(x u 的导数的乘积。

六．导数的应用

1. 一般地，设函数y =f (x )在某个区间可导，如果f ’(x )>0，则f (x )为增函数；如果f ’(x)<0，则f (x )为减函数；如果在某区间内恒有f ’(x )=0，则f (x )为常数；

2. 曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；

3. 一般地，在区间[a ,b ]上连续的函数f (x )在[a ,b ]上必有最大值与最小值。

①求函数f (x )在(a ,b )内的极值；

②求函数f (x )在区间端点的值ƒ(a )、ƒ(b )；

③将函数f (x )的各极值与ƒ(a )、ƒ(b )比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。

练习

1.导数的概念

例题：

1.求曲线y ＝x 2在点(2，4)处的切线方程·

2.利用导数的定义求函数y

x =1处的导数。

3.已知函数f (x )=21(1)121(1)12

x x x x ⎧+⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩≤, 判断f (x )在x ＝1处是否可导？

练习

1.已知函数 y ＝2x 3＋3，求 y ’．已知曲线上一点P ，P 点横坐标为x ＝1，求点P 处的切线方程和法线方程．

2．几种常见函数的导数

0.八个基本求导公式

)('C ＝ ； )('n x ＝ ；(n∈Q) )(sin 'x ＝ ， )(cos 'x ＝ ； )('x e ＝ ， )('x a ＝ ； )(ln 'x ＝ ， )(log 'x a ＝

基础例题

1.利用导数定义和导数公式两种方法求曲线y =1x

在点P (1，1)处的切线倾斜角及该点处的法线方程．

2.已知曲线y P (0，0)，求过点P 的切线方程.

3.函数和、差、积、商的导数

导数的四则运算 )('±v u ＝ ])(['x Cf ＝ )('uv ＝ ，)('v

u ＝ )0(≠v

习题

① y =3x 2＋x cos x ；② y =tan x x ； ③ y =x tan x －2cos x ；④ y =111x

+.

2.曲线y ＝x 3＋x －1上求一点P ，使过P 点切线与直线y =4x －7平行．

.

3.证明：过抛物线y ＝a (x －x 1)(x －x 2), (a ≠0，x 1＜x 2)上两点A (x 1，0)，B (x 2，0)的切线倾斜角互补．

4.复合函数的导数、对数函数与指数函数的导数

设)(x u θ=在点x 处可导，)(u f y =在点)(x u θ=处可导，则复合函数)]([x f θ在点x 处可导， 且x u x u y y '⋅'='.

练习

1．函数y ＝(sin x 2)2

3是由函数y ＝ ，u ＝ ，v = 三个函数复合而成．

2．求下列函数的导数：

① y =(x 2+2x )3 ② y =2

54x e +