江苏省徐州市铜山区2015-2016学年高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)

2015-2016学年江苏省徐州市铜山区高二（下）期末数学试卷（文
科）
一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）
1．已知集合A={1，2}，B={2，3，4}，则集合A∪B中元素的个数为______．
2．已知i是虚数单位，z=，则z的模|z|=______．
3．已知角α的终点经过点（﹣，1），则sinα的值为______．
4．函数y=的定义域是______．
5．用反证法证明命题：“如果a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为______．
6．求值：cos（﹣π）=______．
7．函数f（x）=2x3+3x2﹣12x的极小值是______．
8．已知tanα=，tan（α+β）=，则tanβ的值为______．
9．观察下列等式；
12=1，
32=2+3+4，
52=3+4+5+6+7，
72=4+5+6+7+8+9+10，
…
由此可归纳出一般性的等式：
当n∈N*时，（2n﹣1）2=n+（n+1）+（n+2）+…+______．
10．已知i是虚数单位，复数z满足|z﹣1|=1，则|z﹣2i|的最大值是______．
11．已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），若对任意的实数x，f′（x）＞恒成
立，且f（3）=，则不等式f（x2﹣2x）＜（x2﹣2x）+3的解集为______．
12．设函数f（x）=lg（1﹣|x|）+，则使得f（2x+1）≥f（x）成立的x的取值范围
是______．
13．我们可以将1拆分如下：1=++，1=+++，1=++++，以此类
推，可得：1=++++++++++++，其中m，n∈N*，
且m＜n，则函数y=的值域为______．
14．已知函数f（x）=，若关于x的方程f（2x2+x）=a恰有6个不同的实数根，则实数a的取值范围是______．
二、解答题（共6小题，满分90分）
15．已知cosα=﹣，α∈（，π）．
（1）求tan2α的值；
（2）求cos（α+）的值．
16．已知函数f（x）=log2．
（1）求f（x）的定义域A；
（2）若函数g（x）=3x2+6x+2在[﹣1，a]（a＞﹣1）内的值域为B，且A∩B=∅，求实数a 的取值范围．
17．已知函数f（x）=sinxcosx+sin2x．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）当x∈（0，）时，求函数f（x）的值域；
（3）当x∈[0，2π]时，求函数f（x）的单调增区间．
18．如图，某舞台的两侧各有一块同样的扇形区域．圆心角∠AOB=90°，OA=4米，在圆弧
上有一点C，作CD⊥OB于点D．设∠OAC=θ（rad），f（θ）=AC+CD．
（1）求函数f（θ）的解析式；
（2）若折线ACD是某表演路线的一部分，为优化观赏效果，要使折线ACD最长，问点D 应设计在何处？．
19．已知函数f（x）=e x﹣，其中e是自然对数的底数．
（1）证明：f（x）是R上的奇函数；
（2）试判断方程f（x）=的实根的个数；
（3）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x﹣m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．
20．已知函数f（x）=x2﹣4x+alnx（a∈R，a≠0），f′（x）为函数f（x）的导函数．
（1）若a=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）若存在实数x1，x2，且x1＜x2，使得f′（x1）=f′（x2）=0，求证：f（x2）＞﹣4．
2015-2016学年江苏省徐州市铜山区高二（下）期末数学
试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）
1．已知集合A={1，2}，B={2，3，4}，则集合A∪B中元素的个数为4．
【考点】并集及其运算．
【分析】求出A∪B，再明确元素个数
【解答】解：集合A={1，2}，B={2，3，4}，则A∪B={1，2，3，4}；
所以A∪B中元素的个数为4；
故答案为：4．
2．已知i是虚数单位，z=，则z的模|z|=．
【考点】复数求模．
【分析】化简z，求出z的模即可．
【解答】解：∵z===1﹣2i，
∴z的模|z|==，
故答案为：．
3．已知角α的终点经过点（﹣，1），则sinα的值为．
【考点】任意角的三角函数的定义．
【分析】由角α的终边经过点P（﹣，1），利用任意角的三角函数定义求出sinα即可．
【解答】解：∵角α的终点经过点P（﹣，1），
∴x=﹣，y=1，|OP|=2，
因此，sinα=．
故答案为：．
4．函数y=的定义域是（0，+∞）．
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】根据二次根式的性质以及分母不是0，得到关于x的不等式，求出函数的定义域即可．
【解答】解：由题意得：
，
解得；x＞0，
故函数的定义域为：（0，+∞），
故答案为：（0，+∞）．
5．用反证法证明命题：“如果a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为a，b都不能被5整除．
【考点】反证法．
【分析】反设是一种对立性假设，即想证明一个命题成立时，可以证明其否定不成立，由此得出此命题是成立的．
【解答】解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．
命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除．”的否定是“a，b 都不能被5整除”．
故答案为：a，b都不能被5整除．
6．求值：cos（﹣π）=﹣．
【考点】运用诱导公式化简求值．
【分析】由条件利用诱导公式化简所给的三角函数式，可得结果．
【解答】解：cos（﹣π）=cos（4π﹣π）=cos=﹣cos=﹣，
故答案为：﹣．
7．函数f（x）=2x3+3x2﹣12x的极小值是﹣7．
【考点】利用导数研究函数的极值．
【分析】求导，f′（x）=6（x﹣1）（x+2），从而确定函数的单调性与极值．
【解答】解：∵f（x）=）=2x3+3x2﹣12x，
∴f′（x）=6x2+6x﹣12=6（x﹣1）（x+2）；
f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜﹣2，
f′（x）＜0，解得：﹣2＜x＜1；
故f（x）在（﹣∞，﹣2），（1，+∞）上是增函数，在（﹣2，1）上是减函数；
故f（x）在x=1处有极小值，f（1）=﹣7．
故答案为：﹣7．
8．已知tanα=，tan（α+β）=，则tanβ的值为．
【考点】两角和与差的正切函数．
【分析】利用两角差的正切公式，求得tanβ=tan[（α+β）﹣α]的值．
【解答】解：∵tanα=，tan（α+β）=，
则tanβ=tan[（α+β）﹣α]===，
故答案为：．
9．观察下列等式；
12=1，
32=2+3+4，
52=3+4+5+6+7，
72=4+5+6+7+8+9+10，
…
由此可归纳出一般性的等式：
当n∈N*时，（2n﹣1）2=n+（n+1）+（n+2）+…+ （3n﹣2）．
【考点】归纳推理．
【分析】根据已知中的等式，分析出式子两边数的变化规律，可得结论．
【解答】解：由已知中的等式；
12=1，
32=2+3+4，
52=3+4+5+6+7，
72=4+5+6+7+8+9+10，
…
由此可归纳可得：等式左边是正奇数的平方，即，（2n﹣1）2，
右边是从n开始的2n﹣1个整数的和，
故第n个等式为：（2n﹣1）2=n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2），
故答案为：（3n﹣2）．
10．已知i是虚数单位，复数z满足|z﹣1|=1，则|z﹣2i|的最大值是+1．
【考点】复数的代数表示法及其几何意义．
【分析】由复数模的几何意义可得复数z对应的点在以（1，0）为圆心，以1为半径的圆周上所以|z﹣2i|的最大值是点（1，0）与点（0，2）的距离加上半径1
【解答】解：由|z﹣1|=1，所以复数z对应的点在以（1，0）为圆心，以1为半径的圆周上，所以|z﹣2i|的最大值是点（1，0）与点（0，2）的距离加上半径1，
即为+1=+1，
故答案为： +1
11．已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），若对任意的实数x，f′（x）＞恒成
立，且f（3）=，则不等式f（x2﹣2x）＜（x2﹣2x）+3的解集为（﹣1，3）．
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】令函数g（x）=f（x）﹣x，由题意可得g′（x）=f′（x）﹣＞0，即g（x）在R
上递增，且g（3）=3，原不等式化为g（x2﹣2x）＜g（3），运用单调性和二次不等式的解法即可得到解集．
【解答】解：可设g（x）=f（x）﹣x，
由对任意的实数x，f′（x）＞恒成立，可得
g′（x）=f′（x）﹣＞0，
即g（x）在R上递增，且g（3）=f（3）﹣=﹣=3，
不等式f（x2﹣2x）＜（x2﹣2x）+3，
即为f（x2﹣2x）﹣（x2﹣2x）＜3，
即g（x2﹣2x）＜g（3），
由g（x）在R上递增，可得x2﹣2x＜3，
解得﹣1＜x＜3．
则解集为（﹣1，3）．
故答案为：（﹣1，3）．
12．设函数f（x）=lg（1﹣|x|）+，则使得f（2x+1）≥f（x）成立的x的取值范围
是（﹣1，﹣] ．
【考点】对数函数的图象与性质．
【分析】由题知此函数为偶函数，通过（0，+∞）的单调性将不等式问题转化为距离问题，直接解不等式，注意函数定义域．
【解答】解：由题知f（x）为偶函数，f（|2x+1|）≥f（|x|），
又因为f（x）在（0，+∞）为单调递减的，所以|2x+1|≤|x|，解得
又因为f（x）的定义域为1﹣|x|＞0，即（﹣1，1），
所以x的取值范围是，
故答案为：．
13．我们可以将1拆分如下：1=++，1=+++，1=++++，以此类
推，可得：1=++++++++++++，其中m，n∈N*，
且m＜n，则函数y=的值域为{y|y≠43} ．
【考点】函数的值域．
【分析】根据已知求出m，n的值，进而得到函数的解析式，利用分离常数法，可得函数的值域．
【解答】解：由已知中：
1=++，
1=+++，
1=++++，
若1=++++++++++++，其中m，n∈N*，且m＜n，
∵2=1×2，
6=2×3，
30=5×6，
42=6×7，
56=7×8，
72=8×9，
90=9×10，
110=10×11，
132=11×12，
∴1=++++++++++++=（1﹣）++++（﹣
）+，
+==，
∴m=13，n=30，
∴函数y====43+≠43，
故函数的值域为：{y|y≠43}，
故答案为：{y|y≠43}
14．已知函数f（x）=，若关于x的方程f（2x2+x）=a恰有6个不同的
实数根，则实数a的取值范围是[2，3] ．
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】由分段函数的图象以及换元的方法，以及二次函数的图象和性质，得到a的范围．
【解答】解：∵函数f（x）=，
由函数f（x）的图象得，f（x）=a恰有3个不同的实数根时，
需满足2≤a≤3，
∴令t=2x2+x，
∴t≥﹣，且除去顶点之外，每个t对应2个x值．
∵方程f（2x2+x）=a恰有6个不同的实数根，
∴等价于f（t）=a恰有3个不同的实数根，
∴f（t）=a恰有3个不同的实数根时，需满足2≤a≤3．
故答案为：[2，3]．
二、解答题（共6小题，满分90分）
15．已知cosα=﹣，α∈（，π）．
（1）求tan2α的值；
（2）求cos（α+）的值．
【考点】二倍角的正切．
【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值，可得tanα的值，再利用二倍角公式求得tan3α的值．
（2）利用两角和的余弦公式求得cos（α+）的值．
【解答】解：（1）∵cosα=﹣，α∈（，π），∴sinα==，
∴tanα==﹣，∴tan2α===﹣．
（2）cos（α+）=cosαcos﹣sinαsin=﹣﹣=．
16．已知函数f（x）=log2．
（1）求f（x）的定义域A；
（2）若函数g（x）=3x2+6x+2在[﹣1，a]（a＞﹣1）内的值域为B，且A∩B=∅，求实数a 的取值范围．
【考点】对数函数的图象与性质．
【分析】（1）通过对数定义域求得f（x）定义域
（2）根据g（x）单调性，求g（x）的值域，并计算两集合关系
【解答】解：（1）由题知，即（2x﹣1）（x+2）＞0，所以定义域
A=
（2）g（x）的轴为x=﹣1，∴g（x）在[﹣1，a]上单调递增，∴B=[﹣1，3a2+6a+2]，由A∩B=
∅，得，解得
17．已知函数f（x）=sinxcosx+sin2x．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）当x∈（0，）时，求函数f（x）的值域；
（3）当x∈[0，2π]时，求函数f（x）的单调增区间．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．
【分析】（1）由题意，利用二倍角公式和辅助角公式将函数化简得到f（x）=sin（2x﹣）
+，由T=得到最小正周期；
（2）求出2x﹣的取值范围，利用函数单调性求出f（x）的值域；
（3）由2x﹣≤求出f（x）的单调增区间，再讨论k的值求出增区间并与[0，2π]求交集即可．
【解答】解：（1）因为f（x）=sinxcosx+sin2x=sin2x+（1﹣cos2x）=sin（2x﹣）
+，
所以T==π；
（2）因为x∈（0，），
所以2x﹣∈（﹣，），
所以﹣≤sin（2x﹣）≤1，
所以0≤sin（2x﹣）+≤，
所以f（x）的值域为：[0，]；
（3）因为当2x﹣≤（k∈Z）即﹣+kπ≤x≤+kπ（k∈Z）
时，f（x）单调递增，
所以当k=0时，x∈[﹣，]，
当k=1时，x∈[，]，
当k=2时，x∈[，]，
又因为x∈[0，2π]，
所以增区间为：[0，]，[，]，和[，2π]．
18．如图，某舞台的两侧各有一块同样的扇形区域．圆心角∠AOB=90°，OA=4米，在圆弧
上有一点C，作CD⊥OB于点D．设∠OAC=θ（rad），f（θ）=AC+CD．
（1）求函数f（θ）的解析式；
（2）若折线ACD是某表演路线的一部分，为优化观赏效果，要使折线ACD最长，问点D 应设计在何处？．
【考点】在实际问题中建立三角函数模型．
【分析】（1）构造辅助线，利用几何关系找出半径与角的关系．
（2）利用函数关系式求出折线ACD最长时θ的值，从而求出点D与点O的位置关系．【解答】解：（1）过点C作CD⊥OA于E，连接OC，得下图：
则有：cosθ=
∴AC=，
∵CD⊥OB，∠AOB=90°，
∴CD平行等于OE
即AC=，
∵∠OAC=∠ACO=θ，
∴∠AOC=∠OCD=π﹣2θ，
∴CD=OC•cos（π﹣2θ），
即f（θ）=4cos（π﹣2θ）+，
∴f（θ）=﹣8cos2θ+8cosθ+4；
（2）由（1）知，使折线ACD最长即是f（θ）的最大值．
∵f（θ）的最大值为其顶点，此时cosθ=﹣=，
且0≤θ≤π，
∴θ=60°，
则有：OA=OC=AC=4米，
∴OD=OC•sin60°=2，
即点D应设计在距离O点2米处．
19．已知函数f（x）=e x﹣，其中e是自然对数的底数．
（1）证明：f（x）是R上的奇函数；
（2）试判断方程f（x）=的实根的个数；
（3）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x﹣m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数奇偶性的性质．
【分析】（1）利用函数奇偶性的定义，证明f（﹣x）=﹣f（x），判断函数是奇函数，得到本题结论；
（2）求出函数f（x）的单调性，画出函数大致图象，将方程根的问题转化为函数交点的问题；
（3）先对不等式mf（x）≤e﹣x﹣m﹣1进行参变量分离，得到m≤恒成立，
然后利用导函数研究g（x）=的最小值，得到本题结论．
【解答】解：（1）∵f（x）的定义域为R，
∴f（﹣x）=e﹣x﹣e x=﹣（e x﹣e﹣x）=﹣f（x），
∴f（x）是R上的奇函数；
（2）∵f（x）=e x﹣，∴f′（x）=e x+e﹣x＞0，
∴f（x）在R递增，而f（0）=0，
函数f（x）=e x﹣和y=的图象大致为：
，
函数有1个交点，即方程f（x）=的实根的个数是1个；
（3）∵x＞0，∴e x＞1，
故（e x）2+e x﹣1＞0；
由mf（x）≤e﹣x﹣m﹣1得m（e x﹣e﹣x）≤e﹣x﹣m﹣1，
即m（e x﹣e﹣x+1）≤e﹣x﹣1
化简得m[（e x）2+e x﹣1]≤1﹣e x，
即m≤恒成立，
即求g（x）=的最小值即可，
令t=e x，由x＞0，得t＞1，得：
g（t）=；
g′（t）=（t＞1），
令g′（t）=0，解得t=2；
令g′（t）＞0，解得t＞2；
令g′（t）＜0，解得1＜t＜2；
∴g（x）的单调递减区间为（1，2），
g（x）的单调递增区间为（2，+∞），
∴以g（x）的最小值为g（2）==﹣；
综上，所求实数m的取值范围为（﹣∞，﹣]．
20．已知函数f（x）=x2﹣4x+alnx（a∈R，a≠0），f′（x）为函数f（x）的导函数．
（1）若a=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）若存在实数x1，x2，且x1＜x2，使得f′（x1）=f′（x2）=0，求证：f（x2）＞﹣4．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程可得切线的方程；
（2）求得函数的导数，讨论判别式和a的范围：a＞2，0＜a＜2，a≤0，解二次不等式，即可得到所求单调区间；
（3）求得函数的导数，令导数为0，解二次方程可得x2∈（1，2），设g（x）=f（x）+4=x2﹣4x+alnx+4，1＜x＜2，又a=4x﹣2x2，可得g（x）=x2﹣4x+（4x﹣2x2）lnx+4，求出导数，判断单调性，即可得证．
【解答】解：（1）函数f（x）=x2﹣4x+lnx的导数为f′（x）=2x﹣4+，
则f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为2﹣4+1=﹣1，
切点为（1，﹣3），可得切线的方程为y+3=﹣（x﹣1），
即为x+y+2=0；
（2）函数f（x）=x2﹣4x+alnx的导数为f′（x）=2x﹣4+（x＞0）
=，
①当△=16﹣8a＜0，即a＞2，2x2﹣4x+a＞0恒成立，可得f′（x）＞0恒成立．
即有f（x）的增区间为（0，+∞），无减区间；
当△=16﹣8a＞0，即a＜2，可得2x2﹣4x+a=0的两根为x=1±，
②当0＜a＜2时，1+＞1﹣＞0，
f′（x）＞0，可得x＞1+，或0＜x＜1﹣；
f′（x）＜0，可得1﹣＜x＜1+，
即f（x）的增区间为（1+，+∞），（0，1﹣）；减区间为（1﹣，1+）；
③当a≤0时，1+＞0，1﹣≤0，
f′（x）＞0，可得x＞1+；
f′（x）＜0，可得0＜x＜1+，
即f（x）的增区间为（1+，+∞）；减区间为（0，1+）；
（3）证明：函数f（x）=x2﹣4x+alnx的导数为
f′（x）=2x﹣4+（x＞0）=，
由题意可得x1，x2是2x2﹣4x+a=0的两根，且x2=1+，0＜a＜2，
可得x2∈（1，2），
设g（x）=f（x）+4=x2﹣4x+alnx+4，1＜x＜2，
又a=4x﹣2x2，可得g（x）=x2﹣4x+（4x﹣2x2）lnx+4，
g′（x）=2x﹣4+（4﹣4x）lnx+（4x﹣2x2）•=4（1﹣x）lnx，
由1＜x＜2可得4（1﹣x）lnx＜0，即g（x）在（1，2）递减，
则g（x）∈（0，1），显然g（x）＞0恒成立，
则f（x2）＞﹣4．
2016年10月4日。