(江苏专版)2020版高考物理第四章第4节万有引力定律及其应用讲义(含解析)

万有引力定律及其应用
(1)所有行星绕太阳运行的轨道都是椭圆。

(√)
(2)行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越大。

(×) (3)只有天体之间才存在万有引力。

(×)
(4)只要知道两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由F ＝G m 1m 2
r 2
计算物体间的万有引力。

(×)
(5)地面上的物体所受地球的引力方向一定指向地心。

(√) (6)两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大。

(×)
(1)德国天文学家开普勒提出天体运动的开普勒三大定律。

(2)牛顿总结了前人的科研成果，在此基础上，经过研究得出了万有引力定律。

(3)英国物理学家卡文迪许利用扭秤实验装置比较准确地测出了引力常量。

突破点(一) 开普勒行星运动定律与万有引力定律
[题点全练]
1．(2016·全国卷Ⅲ)关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是( ) A ．开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律 B ．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律
C ．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因
D ．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律
解析：选B 开普勒在前人观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律，与牛顿定律无联系，选项A 错误，选项B 正确；开普勒总结出了行星运动的规律，但没有找出行星按照这些规律运动的原因，选项C 错误；牛顿发现了万有引力定律，选项D 错误。

2．[多选](2016·江苏高考)如图所示，两质量相等的卫星A 、B 绕地球做匀速圆周运动，用R 、T 、E k 、S 分别表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时间内扫过的面积。

下列关系式正确的有( )
A ．T A ＞T
B B ．E k A ＞E k B
C ．S A ＝S B
D.R A 3T A 2＝R B 3
T B
2
解析：选AD 根据开普勒第三定律，R A 3T A 2＝R B 3
T B
2，又R A ＞R B ，所以T A ＞T B ，选项A 、D 正确；
由G Mm R 2＝m v 2
R
得，v ＝
GM R ，所以v A ＜v B ，则E k A ＜E k B ，选项B 错误；由G Mm R 2＝mR 4π
2
T
2得，T ＝2π
R 3GM ，卫星与地心的连线在单位时间内扫过的面积S ＝1T πR 2＝GMR
2
，可知S A ＞S B ，选项C 错误。

3．(2019·哈尔滨调研)下列关于天体运动的相关说法中，正确的是( ) A ．地心说的代表人物是哥白尼，认为地球是宇宙的中心，其它星球都在绕地球运动 B ．牛顿由于测出了万有引力常量而成为第一个计算出地球质量的人 C ．所有行星绕太阳运行的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上 D ．地球绕太阳公转时，在近日区域运行的比较慢，在远日区域运行的比较快 解析：选C 地心说的代表人物是托勒密，认为地球是宇宙的中心，其他星球都在绕地球运动，故A 错误；卡文迪许由于测出了万有引力常量而成为第一个计算出地球质量的人，
故B 错误；根据开普勒第一定律，所有行星绕太阳运行的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上，故C 正确；对同一个行星而言，太阳与行星的连线在相同时间内扫过的面积相等，地球绕太阳公转时，在近日区域运行的比较快，在远日区域运行的比较慢，故D 错误。

[题后悟通]
(1)行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。

(2)开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。

(3)开普勒第三定律a 3
T
2＝k 中，k 值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k 值不同。

突破点(二) 天体质量和密度的计算
1．“自力更生”法(g －R )
利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R 。

(1)由G Mm R 2＝mg 得天体质量M ＝gR 2
G。

(2)天体密度ρ＝M V ＝
M 43
πR
3＝3g
4πGR。

(3)GM ＝gR 2
称为黄金代换公式。

2．“借助外援”法(T －r )
测出卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和半径r 。

(1)由G Mm r 2＝m 4π2r T 2得天体的质量M ＝4π2r
3
GT 2。

(2)若已知天体的半径R ，则天体的密度ρ＝M V ＝M 43
πR
3＝3πr
3
GT 2R 3。

(3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r 等于天体半径R ，则天体密度ρ＝3π
GT 2
，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T ，就可估算出中心天体的密度。

[典例] (2019·烟台模考)2018年12月8日2时23分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭成功发射“嫦娥四号”探测器，开启了月球探测的新旅程。

如果“嫦娥四号”在月球上空绕月球做匀速圆周运动，经过时间t ，“嫦娥四号”行程为s ，“嫦娥四号”与月球中心连线扫过的角度是1弧度，万有引力常量为G ，根据以上数据估算月球的质量为( )
A.t 2
Gs 3 B.s 3
Gt 2
C.Gt 2s
3 D.Gs 3
t
2
[解析] 由题意可知，“嫦娥四号”的线速度v ＝s t ，角速度ω＝1t ，转动半径r ＝v
ω＝
s ，由万有引力提供向心力得：G Mm r 2＝m v 2r ，解得：M ＝s 3
Gt
2，选项A 、C 、D 错误，B 正确。

[答案] B [易错提醒]
(1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，并非环绕天体的质量。

(2)区别天体半径R 和卫星轨道半径r ，只有在天体表面附近的卫星才有r ≈R ；计算天体密度时，V ＝43
πR 3
中的R 只能是中心天体的半径。

[集训冲关]
1．[多选](2019·湖南师大月考)美国天文学家推测，太阳系有第九大行星，该行星质量约为地球的10倍，半径约为地球的4倍，绕太阳一周约2万年，冥王星比它亮约一万倍。

已知地球的半径为R ，地球表面的重力加速度为g ，引力常量为G ，地球和该行星绕太阳运动均视为匀速圆周运动。

下列说法正确的是( )
A ．太阳的质量约为gR 2
G
B ．该行星的质量约为10gR
2
G
C ．该行星表面的重力加速度约为58
g
D ．该行星到太阳的距离约为地球到太阳距离的2万倍
解析：选BC 根据题设条件，地球表面的物体的重力由万有引力提供，即mg ＝G
M 地m R 2
，所以地球的质量M 地＝gR 2
G
，而题中缺少计算太阳质量的有关物理量，无法计算太阳质量，故
A 错误；该行星质量是地球质量的10倍，M 行星＝10M 地＝10gR 2
G ，故B 正确；根据mg ＝G Mm
R
2，
有g ＝GM R 2，该行星质量是地球质量的10倍，半径约为地球的4倍，则g g ′＝M 地M 行星·
R
2
R 2
＝
1610＝85，所以该行星表面的重力加速度约为58g ，故C 正确；根据开普勒第三定律，有：r 地
3
T 地
2＝r 行3T 行2，解得：r 行＝⎝ ⎛⎭⎪⎫T 行T 地23
·r 地＝3
42
·r 地≈7.4×102
r 地，故D 错误。

2．(2019·江堰期末)某行星的卫星在接近行星表面的轨道上运动，已知万有引力常量为G ，若要计算该行星的密度，只需测量出的一个物理量是( )
A ．行星的半径
B ．卫星的半径
C ．卫星运行的线速度
D ．卫星运行的周期
解析：选D 根据密度公式得：ρ＝M V ＝M
43πR 3
，已知行星的半径，不知道质量，无法求
出行星的密度，故A 错误；已知卫星的半径，无法求出行星的密度，故B 错误；已知卫星的运行速度，根据万有引力提供向心力，代入密度公式无法求出行星的密度，故C 错误；根据
万有引力提供向心力：G Mm R 2＝m 4π2T 2R ，解得：M ＝4π2R 3
GT 2，代入密度公式得：ρ＝
3π
GT 2
，故D 正确。

3．为了探测某星球，某宇航员乘探测飞船先绕该星球表面附近做匀速圆周运动，测得运行周期为T ，然后登陆该星球，测得一物体在此星球表面做自由落体运动的时间是在地球表面同一高度处做自由落体运动时间的一半，已知地球表面重力加速度为g ，引力常量为G ，则由此可得该星球的质量为( )
A.4g 3T
4
G π4
B.g 2T 3
G π3
C.gT 2G π2
D.g 3π4
GT
2
解析：选A 在地球上做自由落体运动有：h ＝12gt 2
，
在该星球上做自由落体运动有：h ＝12g ′t ′2
，
而t ′＝t
2
，解得：g ′＝4g ，
在星球表面根据万有引力提供向心力得：
G Mm R 2＝mg ′＝m 4π2R T 2，解得：M ＝4g 3T 4
G π4。

突破点(三) 天体表面的重力加速度问题
重力只是万有引力的一个分力，另一个分力提供物体随地球自转做圆周运动的向心力，但由于向心力很小，一般情况下认为重力等于万有引力，即mg ＝GMm
R 2
，这样重力加速度就与行星质量、半径联系在一起，高考也多次在此命题。

(一)求天体表面某高度处的重力加速度
[例1] 地球半径为R ，地球附近的重力加速度为g 0，则在离地面高度为h 处的重力加速度是( )
A.
h 2g 0
R ＋h
2
B.
R 2g 0
R ＋h
2
C.
Rg 0R ＋h
2
D.
g 0R ＋h
2
[解析] 根据牛顿第二定律得： 在地球表面：G Mm R
2＝mg 0 在离地面高度为h 处：G
Mm R ＋h
2
＝mg
解得在离地面高度为h 处的重力加速度
g ＝
R 2g 0
R ＋h
2
，故B 正确。

[答案] B
(二)求天体表面某深度处的重力加速度
[例2] 假设地球是一半径为R 、质量分布均匀的球体。

一矿井深度为d 。

已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。

矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为( )
A ．1－d
R
B ．1＋d R
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫R －d R 2
D.⎝
⎛⎭
⎪⎫R R －d 2
[解析] 如图所示，根据题意，地面与矿井底部之间的环形部分对处于矿井底部的物体引力为零。

设地面处的重力加速度为g ，地球质量为M ，地球表面的物体m 受到的重力近似等于万有引力，故mg ＝G Mm R
2；设矿井底部处的重力加速度为g ′，等效“地球”的质量为M ′，其半径r ＝R －d ，则矿井底部处的物体m 受到的重力mg ′＝G M ′m r 2，又M ＝ρV ＝ρ·43πR 3，M ′＝ρV ′＝ρ·4
3
π(R －d )3
，联立解得
g ′g ＝1－d
R
，A 对。

[答案] A
(三)天体表面重力加速度与抛体运动的综合
[例3] 若在某行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的高度处、以相同的速率平抛一物体，它们在水平方向运动的距离之比为2∶7。

已知该行星质量约为地球的7倍，地球的半径为R 。

由此可知，该行星的半径约为( )
A.12R
B.72R
C ．2R
D.
72
R [解析] 平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，即x ＝v 0t ，在竖直方向上做自由落体运动，即h ＝12
gt 2
，所以x ＝v 0
2h
g
，两种情况下，抛出的速度相同，高度相同，所以
g 行g 地
＝74，根据公式G Mm R 2＝mg 可得g ＝GM R 2，故g 行g 地＝M 行
R 行2
M 地R 地2
＝7
4
，解得R 行＝2R ，故C 正确。

[答案] C
万有引力的两种计算思路
(一)用万有引力定律计算质点间的万有引力 公式F ＝G
m 1m 2
r 2
适用于质点、均匀介质球体或球壳之间万有引力的计算。

当两物体为匀质球体或球壳时，可以认为匀质球体或球壳的质量集中于球心，r 为两球心的距离，引力的方向沿两球心的连线。

1.[多选]如图所示，三颗质量均为m 的地球同步卫星等间隔分布在半径为r 的圆轨道上，设地球质量为M ，半径为R 。

下列说法正确的是( )
A ．地球对一颗卫星的引力大小为GMm
r －R
2
B ．一颗卫星对地球的引力大小为
GMm r 2
C ．两颗卫星之间的引力大小为Gm 2
3r
2
D ．三颗卫星对地球引力的合力大小为3GMm
r
2
解析：选BC 由万有引力定律知A 项错误，B 项正确；因三颗卫星连线构成等边三角形，圆轨道半径为r ，由数学知识易知任意两颗卫星间距d ＝2r cos 30°＝3r ，由万有引力定律知C 项正确；因三颗卫星对地球的引力大小相等且互成120°，故三颗卫星对地球引力的合力为0，则D 项错误。

(二)
填补法求解万有引力
运用“填补法”解题的关键是紧扣万有引力定律的适用条件，先填补后运算，运用“填
补法”解题主要体现了等效思想。

2.如图所示，有一个质量为M ，半径为R ，密度均匀的大球体。

从中挖去一个半径为R
2的小球体，并在空腔中心放置一质量为m 的质点，则大
球体的剩余部分对该质点的万有引力大小为(已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零)( )
A ．G Mm R
2 B ．0 C ．4G Mm R
2
D ．G Mm
2R
2
解析：选D 若将挖去的小球体用原材料补回，可知剩余部分对m 的吸引力等于完整大球体对m 的吸引力与挖去小球体对m 的吸引力之差，挖去的小球体球心与m 重合，对m 的万有引力为零，则剩余部分对m 的万有引力等于完整大球体对m 的万有引力；以大球体球心为
中心分离出半径为R 2的球，易知其质量为1
8
M ，则剩余均匀球壳对m 的万有引力为零，故剩余
部分对m 的万有引力等于分离出的球对其的万有引力，根据万有引力定律，F ＝G
1
8
Mm ⎝ ⎛⎭
⎪⎫R 22＝G
Mm 2R
2，故D 正确。

[反思领悟]
(1)万有引力定律只适用于求质点间的万有引力。

(2)在质量分布均匀的实心球中挖去小球后其质量分布不再均匀，不可再随意视为质点处理。

(3)可以采用先填补后运算的方法计算万有引力大小。