【K12教育学习资料】2018年高考数学一轮复习第七章立体几何课时达标40空间点直线平面之间的位置关

2018年高考数学一轮复习第七章立体几何课时达标40 空间点、
直线、平面之间的位置关系理
[解密考纲]考查点、线、面的位罝关系常以选择题或填空题的形式出现．
一、选择题
1．设a，b是平面α内两条不同的直线，l是平面α外的一条直线，则“l⊥a，l⊥b”是“l⊥α”的( C )
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
解析：直线a，b平行时，由“l⊥a，l⊥b”⇒/“l⊥α”；“l⊥α”⇒“l⊥a，l ⊥b”，所以“l⊥a，l⊥b”是“l⊥α”的必要不充分条件．
2．如图所示，ABCD­A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是( A )
A．A，M，O三点共线
B．A，M，O，A1不共面
C．A，M，C，O不共面
D．B，B1，O，M共面
解析：连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，
∴A1，C1，C，A四点共面．
∴A1C⊂平面ACC1A1.
∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1.
又M∈平面AB1D1，∴M为平面ACC1A1与AB1D1的公共点．
同理O，A为平面ACC1A1与平面AB1D1的公共点．
∴A，M，O三点共线．
3．正方体A1C中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是( A )
A．相交B．异面
C．平行D．垂直
解析：如图所示，直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交．
4．(2017·安徽合肥模拟)已知空间中有三条线段AB ，BC 和 CD ，且∠ABC ＝∠BCD ，那么直线AB 与CD 的位置关系是( D )
A ．A
B ∥CD B ．AB 与CD 异面
C ．AB 与C
D 相交
D ．AB ∥CD 或AB 与CD 异面或AB 与CD 相交
解析：若三条线段共面，如果AB ，BC ，CD 构成等腰三角形，则直线AB 与CD 相交，否则直线AB 与CD 平行；若不共面，则直线AB 与CD 是异面直线．
5．如图，直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，点D 1，F 1分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，若
BC ＝CA ＝CC 1＝1，则 BD 1与AF 1所成角的余弦值为( A
)
A ．
3010 B ．12 C ．
3015
D ．
1510
解析：取BC 的中点E ，连接EF 1，EA ，则可知∠EF 1A 或其补角为BD 1与AF 1所成的角，在△AEF 1中，可求得F 1E ＝
62，AF 1＝52，AE ＝52
，由余弦定理得，cos ∠EF 1A ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫622＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522－⎝ ⎛⎭
⎪⎫522
2×
62×52
＝
30
10
，故选A ． 6．如图，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，点M ，N 分别在AB 1，BC 1上，且AM ＝
13AB 1，BN ＝1
3BC 1.
给出下列结论：①AA 1⊥MN ；②A 1C 1∥MN ；③MN ∥平面A 1B 1C 1D 1；④B 1D 1⊥MN .其中正确结论的个数是( B )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：在BB 1上取一点P ，使BP ＝1
3
BB 1，连接PN ，PM .∵点M ，N 分别在AB 1，BC 1上，且
AM＝1
3
AB1，BN＝
1
3
BC1，∴PN∥B1C1，PM∥A1B1.又∵PN∩PM＝P，B1C1∩A1B1＝B1，∴平面PMN∥
平面A1B1C1D1.∵MN⊂平面PMN，∴MN∥平面A1B1C1D1.又∵AA1⊥平面PMN，∴AA1⊥MN.故①③正确．分别作MM1∥BB1，NN1∥CC1，交A1B1，B1C1于点M1，N1，连接M1N1，则M1N1不平行于A1C1，∴MN与A1C1不平行．又∵A1C1⊥B1D1，∴B1D1与MN不垂直，故②④不正确．∴正确结论的个数是2，故选B.
二、填空题
7．下列如图所示是正方体和正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是①②③.
解析：在④图中，可证Q点所在棱与面PRS平行，因此，P，Q，R，S四点不共面．可证①中四边形PQRS为梯形；③中可证四边形PQRS为平行四边形；②中如图所示，取A1A与BC的中点为M，N，可证明PMQNRS为平面图形，且PMQNRS为正六边形．
8．四棱锥P­ABCD的顶点P在底面ABCD上的投影恰好是A，其三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是腰长为a的等腰三角形，则在四棱锥P­ABCD的任意两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线共有6对．
解析：由题意可得PA⊥BC，PA⊥CD，AB⊥PD，BD⊥PA，BD⊥PC，AD⊥PB，即互相垂直的异面直线共有6对．
9．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：
①直线AM与CC1是相交直线；
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线MN与AC所成的角为60°.
其中正确的结论为③④(填所有正确结论的序号)．
解析：AM 与CC 1是异面直线，AM 与BN 是异面直线，BN 与MB 1为异面直线．因为D 1C ∥MN ，所以直线MN 与AC 所成的角就是D 1C 与AC 所成的角，为60°.
三、解答题
10．如图，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱CD ，CC 1的中点，求异面直线A 1M 与DN 所成的角的大小．
解析：如图，连接D 1M ，可证D 1M ⊥DN . 又∵A 1D 1⊥DN ，A 1D 1，
MD 1⊂平面A 1MD 1，
A 1D 1∩MD 1＝D 1，∴DN ⊥平面A 1MD 1，
∴DN ⊥A 1M ，
即异面直线A 1M 与DN 所成的夹角为90°.
11．如图，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠FAB ＝90°，BC
12AD ，BE 1
2
FA ，G ，H 分别为 FA, FD 的中点．
(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形． (2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？ 解析：(1)证明：由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ， 可得GH 1
2
AD . 又BC
1
2
AD ，∴GH BC ． ∴四边形BCHG 为平行四边形． (2)由BE
1
2
AF ，G 为FA 的中点知，BE FG ， ∴四边形BEFG 为平行四边形． ∴EF ∥BG .由(1)知BG ∥CH ， ∴EF ∥CH ，∴EF 与CH 共面．
又D ∈FH ，∴C ，D ，F ，E 四点共面．
12．如图所示，在三棱锥P ­ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC ＝60°，PA ＝AB ＝AC ＝2，E 是
PC 的中点．
(1)求证：AE 与PB 是异面直线；
(2)求异面直线AE 和PB 所成角的余弦值； (3)求三棱锥A ­EBC 的体积．
解析：(1)证明：假设AE 与PB 共面，设平面为α. 因为A ∈α，B ∈α，E ∈α， 所以平面α即为平面ABE ，
所以P ∈平面ABE ， 这与P ∉平面ABE 矛盾， 所以AE 与PB 是异面直线． (2)取BC 的中点F ，连接EF ，AF ， 则EF ∥PB ，
所以∠AEF 或其补角就是异面直线AE 和PB 所成的角，因为∠BAC ＝60°，
PA ＝AB ＝AC ＝2，PA ⊥平面ABC ，
所以AF ＝3，AE ＝2，EF ＝2， 由余弦定理得cos ∠AEF ＝2＋2－32×2×2＝14，
所以异面直线AE 和PB 所成角的余弦值为1
4.
(3)因为E 是PC 的中点，
所以点E 到平面ABC 的距离为1
2
PA ＝1，
V A ­EBC ＝V E ­ABC ＝13×⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12×2×2×
32×1＝33.。