中考数学复习 第18讲 等腰三角形与直角三角形

总
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BD=CE,
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴AD=AE.
(2)解：∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED.
回
∵BF∥AC，∴∠FBD=∠C=45°.
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∵∠ABC=∠C=∠DAE=45°，∠BDF=∠ADE，
总
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∴∠F=∠BDF，∠BEA=∠BAE，∠CDA=∠CAD.
∴满足条件的等腰三角形有：△ABE，△ACD，△DAE
角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一
回 首
直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判 页
断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系
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，并说明理由.
［分析］(1)易证∠ACD=∠BCE，即可求证
△ACD≌△BCE，根据全等三角形对应边相等可求得
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AD=BE，根据全等三角形对应角相等即可求得∠AEB 页
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在△ACD和△BCE中，
CA=CB,
∠ACD=∠BCE,
CD=CE,
回 首
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∴△ACD≌△BCE(SAS).∴AD=BE，∠ADC=∠BEC.
∵△DCE为等腰直角三角形，∴∠CDE=∠CED=45°.
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∵点A、D、E在同一直线上，∴∠ADC=135°.
∴∠BEC=135°，∴∠AEB=∠BEC-∠CED=90°.
总
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(1)等腰三角形中的已知边是腰还是底边；
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(2)三角形的中线或高线已知，但未明确是哪一边上的中线或
高线，需对三条边上的中线或高线分别讨论.
方法指导
角不确定分两类讨论：
(1)直角三角形中，未指明哪个角为直角；
回 首
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(2)等腰三角形中，未指明已知角是顶角还是底角.
总
目
三角形形状不确定分三类讨论：
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A）
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A.15
B.18
C.20
D.22
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突破重难点
焦点1 与等腰三角形有关的多解题
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1在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若
总
AD=12BC，则△ABC的顶角的度数为
30°或150°
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或90° .
［解析］分两种情况：①BC为腰；②BC为底，根据
的大小；(2)易证△ACD≌△BCE，可得∠ADC=∠BEC
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，进而可以求得∠AEB=90°，即可求得
DM=ME=CM，即可解题.
［解答］解：(1)①60°AD=BE［∵∠ACB=∠DCE，
∴∠ACD=∠BCE.在△ACD和△BCE中，
AC=BC,
回 首
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∠ACD=∠BCE,
总
CD=CE,
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总
目
∴DE=FE，∠DEF=60°，
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∴∠DEH+∠HEF=∠FEC+∠HEF=60°，
∴∠DEH=∠FEC.
在△DEH和△FEC中，
DE=FE，
回
首
∠DEH=∠FEC，
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EH=EC，
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∴△DEH≌△FEC(SAS)，∴DH=CF，
∴CD=CH+DH=CE+CF，∴CE+CF=CD.
（2）解：线段CE，CF与CD之间的等量关系是
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(2)如图2，当∠DAE=∠C=45°时，过点B作BF∥AC交 总
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AD的延长线于点F，在不添加任何辅助线的情况下
，请直接写出图2中的四个等腰三角形，使写出的每
个等腰三角形的顶角都等于45°.
(1)证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C.
在△ABD和△ACE中，
回
AB=AC,
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∠B=∠C,
，△DBF.
命 题 点 2 直角三角形的性质及相关计算(必考)
9.(2015·江西，3分)如图，在△ABC中，AB＝BC＝4，AO＝
回
BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△PAB为 首 页
直角三角形时，AP的长为
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延伸训练
10.(2020·自贡)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
个等腰三角形的周长是 10或11 .
2.(2020·江西模拟)如图，△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=24°
回 首
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，将△ABC绕点C逆时针旋转α(0°＜α＜90°)得△DEC，若CD
总
交AB于点F，当α=
28°或44°
时，△ADF为等腰三角形
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.
突破重难点
焦点2 与直角三角形有关的多解题
算证明中，往往作为辅助线，
需灵活添加.
考点
等边三角形（如图2）
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面积计算公式：
(a是等边三角形任意一边的长，h是任意边上的高)
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考点
直角三角形（如图3）
性质
回
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两锐角之和等于90°，即∠A+∠B=90°
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斜边上的中线等于斜边的一半
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30°角所对的直角边等于斜边的一半
“毕达哥拉斯”图案.现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5， 回 首
选取其中三块(可重复选取)按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面 页
积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（ B ）
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A.1，4，5
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B.2，3，5
C.3，4，5
D.2，2，4
2.数学文化(2020·威海)七巧板是大家熟悉的一种益智玩具.用
页
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7.(2020·眉山)如图，等腰△ABC中，AB=AC=10，
边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E.若
回
△ABD的周长为26，则DE的长为
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8.(2020·哈尔滨)已知：在△ABC中，AB=AC，点D、
点E在边BC上，BD=CE，连接AD、AE.
回
(1)如图1，求证：AD=AE；
总
A.16°
B.28°
C.44°
D.45°
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5.(2020·九江模拟)如图，O是直线AB上一点，∠AOC=35°，
CO⊥DO，OC=OB，OD交CB于点E，则∠CED= 107.5° .
6.(2020·常州)如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、
回
首
AB于点E、F.若△AFC是等边三角形，则∠B= 30° .
七巧板能拼出许多有趣的图案.小李将一块等腰直角三角形硬
纸板(如图1)切割七块，正好制成一副七巧板(如图2).已知
回 首
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AB=40cm，则图中阴影部分的面积为（ C ）
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3.数学文化(2020·娄底)由4个直角边长分别为a，b的直角三
角形围成的“赵爽弦图”如图所示，根据大正方形的面积c2
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30°=150°.
.②BC为底，如图3.∵AD⊥BC于点D，AD=12BC，
∴AD=BD=CD，∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，
回
首
∴∠BAD+∠CAD=12×180°=90°，∴顶角
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∠BAC=90°.综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数
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为30°或150°或90°.
变式训练 1.(2020·齐齐哈尔)等腰三角形的两条边长分别为3和4，则这
直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断
回 首
出∠ACD=30°，然后分AD在△ABC内部和外部两种 页
情况求解即可.
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①BC为腰.∵AD⊥BC于点D，AD=12BC，
∴∠ACD=30°.
回
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如图1，AD在△ABC内部时，顶角∠C=30°，
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如图2，AD在△ABC外部时，顶角∠ACB=180°-
AD=10cm，tanB=2，AE⊥BC于点E，且AE=4cm
回 首
，点P是BC边上一动点.若△PAD为直角三角形，则BP 页
的长为 2cm或4cm或10cm .
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方法指导
等腰三角形和直角三角形中的分类讨论问题包括边不确定、
角不确定、三角形形状不确定三种类型.
回 首
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边不确定分两类讨论：
∴ED=DF，∠EDF=∠GDC=60°，
∴∠EDG=∠FDC.
在△EGD和△FCD中，
ED=FD，
回
首
∠EDG=∠FDC，
页
DG=DC，
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∴△EGD≌△FCD(SAS)，∴EG=FC，
∴CF=EG=CG+CE=CD+CE.
提升数学核心素养
1.数学文化(2020·河北)如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的
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(1)钝角三角形；
(3)直角三角形；
(3)锐角三角形.
焦点3 特殊三角形中的综合探究问题
样题3(1)【问题发现】如图1，△ACB和△DCE均为等
边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE.填空
回 首
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：①∠AEB的度数为 60° ；②线段AD，BE之
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间的数量关系为 AD=BE .
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.(2)【拓展探究】如图2，△ACB和△DCE均为等腰直
CF=CD+CE.
回
首
理由：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=60°.
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过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G.
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∵GD∥AB，∴∠GDC=∠B=60°，∠DGC=∠A=60°，
∴∠GDC=∠DGC=60°，
回
首
∴△GCD为等边三角形，
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∴DG=CD=CG，∠GDC=60°.
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∵△EDF为等边三角形，
∠A=50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于
点D，连接CD，则∠ACD的度数是（ D ）
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A.50° B.40°
C.30° D.20°
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11.(2020·赤峰)如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，
AB=5，AC=3，把Rt△ABC沿直线BC向右平移3个单
回
位长度得到△A′B′C′，则四边形ABC′A′的面积是（
线合一）
判定
有两边相等的三角形是等腰三角形
回
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有两角相等的三角形是等腰三角形
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面积计算公式：S= 边上的高
,其中a是底边长，h是底
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温馨提示
1.对于等腰三角形的 边、角、周长的计算，顶点位置
回
的探索，往往由于腰、底的不
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确定，需分类讨论解决，防止漏解；
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2.等腰三角形的“三线合一”是一条重要性质，在计
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CE+CF=CD；
总
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（2）【类比探究】如图2，若点D在边BC的延长线上，请探 录
究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由.
（1）证明：在CD上截取CH=CE.
∵△ABC是等边三角形，∴∠ECH=60°，
∴△CEH是等边三角形，
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∴EH=EC=CH，∠CEH=60°.
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∵△DEF是等边三角形，
∵CD=CE，CM⊥DE，∴DM=ME.
∵∠DCE=90°，∴DM=ME=CM，
∴AE=AD+DE=BE+2CM.
变式训练
6.(2020·烟台)如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一
定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形
DEF，连接CF.
回
首
（1）【问题解决】如图1，若点D在边BC上，求证：
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变式训练
3.如图，在△ABC中∠C=90°，AC=6，BC=8.点D是
BC上的中点.点P是边AB上的动点，若要使△BPD为 回 首 页
直角三角形，则BP=
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4.(2020·赣州模拟)如图，在□ABCD中，已知
∴△ACD≌△BCE(SAS).
∴AD=BE，∠CEB=∠ADC=180°-∠CDE=120°，
∴∠AEB=∠CEB-∠CED=60°.］
(2)∠AEB=90°，AE=BE+2CM.理由如下：
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴CA=CB，
回
首
CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACD=∠BCE.
考点
等腰直角三角形（如图4）
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PART 02
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真题自测 明确方向
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体验江西中考
命 题 点 1 等腰三角形的性质及相关计算(必考)
回
1.(2012·江西，3分)等腰三角形的顶角为80°，则它的底角是
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（B ）
总
A.20°B.50°C.60°D.80°
目
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2.(2017·江西，3分)如图1是一把园林剪刀，把它抽象为图2
，其中OA=OB．若剪刀张开的角为30°，则∠A= 75
度.
延伸训练
3.已知等腰三角形的两条边长分别是7和3，则下列四个数中
，第三条边的长是（ B ）
A.8
B.7
C.4
D.3
回
首
4.(2020·绵阳)在螳螂的示意图中，AB∥DE，△ABC是等腰三 页
角形，∠ABC=124°，∠CDE=72°，则∠ACD=（ C ）
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总 目 录
CONTENTS
目
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01 知识梳理 整合提升
回
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02 真题自测 明确方向
总 目 录
PART 01
回 首 页
知识梳理 整合提升
总
目
录
考点导学
考点
等腰三角形（如图1）
回
首
性质
页
两腰相等，即AB=AC
总
目
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两底角相等，即∠B=∠C
它是轴对称图形，有一条对称轴，即AD
顶角的角平分线、底边上的高线和底边的中线互相重合（三
勾股定理：若直角三角形的两直角边分别为a,b，斜
边为c，则有 a2+b2=c2
判定
有一个角为9Biblioteka °的三角形是直角三角形回勾股定理逆定理：若a2+b2=c2,即以a,b,c为边的三角
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形是直角三角形
总
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有两个角互余的三角形是直角三角形
面积计算公式：
(a,b为两条直角
边，c为斜边，h为斜边上的高)