天津市南开区2024届高一数学第二学期期末达标测试试题含解析

天津市南开区2024届高一数学第二学期期末达标测试试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是( )
A ．2
B ．23+
C ．32+
D ．12
2．在数列{}n a 中，12a =，1221n n a a +-=，则101a 的值为： A ．52
B ．51
C ．50
D ．49
3．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数:
将三角形数1，3， 6，10
记为数列{}n a ，将可被5整除的三角形数，按从小到大
的顺序组成一个新数列{}n b ，可以推测:19b =（ ） A ．1225
B ．1275
C ．2017
D ．2018
4．对于函数()f x ，在使()f x M ≥成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值称为函数()f x 的“下确界”.若函数()3cos 213f x x π⎛
⎫
=-
+ ⎪⎝
⎭，,6x m π⎡⎫
∈-⎪⎢⎣⎭
的“下确界”为1
2
-，则m 的取值范围是（ ） A ．,62ππ⎛⎤
-
⎥⎝
⎦ B ．,62ππ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭ C ．5,66ππ⎛⎤
-
⎥⎝
⎦ D ．5,66ππ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
5．为了得到函数2sin 23y x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
的图象，可以将函数2sin 24y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象（）
A ．向左平移724π
B ．向右平移
724π C ．向左平移712
π
D ．向右平移712
π
6．已知集合{}|10A x x =-≥，{}012B =，，，则A B =
A ．{}0
B ．{}1
C ．{}12，
D ．{}012，
， 7．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为平行四边形，2=NB PN ，则三棱锥
-N PAC 与三棱锥D PAC -的体积比为( )
A ．1:2
B ．1:8
C ．1:3
D ．1:6
8．在四边形ABCD 中，AB DC =，且AC ·BD ＝0，则四边形ABCD 是（ ） A ．菱形
B ．矩形
C ．直角梯形
D ．等腰梯形
9．函数3
()arctan f x x x =+的定义域为R ，数列{}n a 是公差为d 的等差数列，若
10091a =-，m =12320162017()()()()()f a f a f a f a f a +++
++，则（ ）
A ．m 恒为负数
B ．m 恒为正数
C ．当0d >时，m 恒为正数；当0d <时，m 恒为负数
D ．当0d >时，m 恒为负数；当0d <时，m 恒为正数
10．点M(4，m ）关于点N （n, － 3）的对称点为P （6，-9）则（ ） A ．m ＝－3,n ＝10 B ．m ＝3,n ＝10 C ．m ＝－3, n ＝5
D ．m =3, n = 5
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11．正项等比数列{}n a 中，n S 为数列{}n a 的前n 项和，21a =，则3S 的取值范围是____________．
12．在平面直角坐标系xOy 中，已知直角ABC 中，直角顶点A 在直线60x y -+=上，顶点B ，C 在圆22
10x y +=上，则点A 横坐标的取值范围是__________.
13．已知等比数列｛a n ｝为递增数列，且2
51021,2()5n n n a a a a a ++=+=，则数列｛a n ｝
的通项公式a n =______________．
14．在正数数列中，，且点在直线上，则前项
和等于__．
15．已知变量x ，y 满足3040240x x y x y +≥⎧⎪
-+≤⎨⎪+-≤⎩
，则3z x y =+的最小值为________.
16．222+lim 421
n n n
n n →∞=+-____________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．对于函数()f x 和实数M ，若存在*,m n ∈N ，使
()(1)(2)f m f m f m ++++++()f m n M +=成立，则称(,)m n 为函数()f x 关于
M 的一个“生长点”.若(1,2)为函数()cos 23f x x π
π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
关于M 的一个“生长点”，则M =______.
18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥底面
,2ABCD PD AD ==，点E 是PA 的中点，点O 是AC 和BD 的交点．
(1)证明： //EO 平面PCD ； (2)求三棱锥P ABC -的体积．
19．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，222sin sin sin sin sin B C A B C +-=. （1）求A ；
（2）若4a =，ABC ∆的面积为43b c +.
20．四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，112AD AA A D ===,H 为
AD 中点，且1A H BD ⊥．
（1）证明1AB AA ⊥；
（2）求点C 到平面1A BD 的距离．
21．某市地铁全线共有四个车站，甲、乙两人同时在地铁第1号车站（首发站）乘车，假设每人自第2号站开始，在每个车站下车是等可能的，约定用有序实数对(,)
x y表示“甲在x号车站下车，乙在y号车站下车”
（Ⅰ）用有序实数对把甲、乙两人下车的所有可能的结果列举出来；
（Ⅱ）求甲、乙两人同在第3号车站下车的概率；
（Ⅲ）求甲、乙两人在不同的车站下车的概率．
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解题分析】
由该几何体的三视图可知该几何体为底面是等腰直角三角形的直棱柱，再结合棱柱的表面积公式求解即可.
【题目详解】
解：由该几何体的三视图可知，该几何体为底面是等腰直角三角形的直棱柱，
又由图可知底面等腰直角三角形的直角边长为1，棱柱的高为1，
则该几何体的表面积是
1
(112)121132
2
S=++⨯+⨯⨯⨯=+，
故选：C.
【题目点拨】
本题考查了几何体的三视图，重点考查了棱柱的表面积公式，属基础题. 2、A 【解题分析】
由1221n n a a +-=，得到112n n a a +-=
，进而得到数列{}n a 首项为2，公差为1
2
的等差数列，利用等差数列的通项公式，即可求解，得到答案． 【题目详解】
由题意，数列{}n a 满足1221n n a a +-=，即11
2
n n a a +-=， 又由12a =，所以数列{}n a 首项为2，公差为1
2
的等差数列， 所以10111
1002100522
a a d =+=+⨯=，故选A ． 【题目点拨】
本题主要考查了等差数列的定义，以及等差数列的通项公式的应用，其中解答中熟记等差数列的定义，以及等差数列的通项公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 3、A 【解题分析】
通过寻找规律以及数列求和，可得n a ，然后计算21k b -，可得结果. 【题目详解】
根据题意可知：12...n n a =+++ 则()12
n a n n +=
由14254556
,,22
b b a a ⨯⨯==
==
394109101011
,22
b b a a ⨯⨯==
== …
可得()215512
k k k b --=
所以()
19510510112252
b ⨯⨯⨯-==
故选：A
【题目点拨】
本题考查不完全归纳法的应用，本题难点在于找到21k b -，属难题， 4、A 【解题分析】
由下确界定义，()3cos 213f x x π⎛
⎫
=-+ ⎪⎝
⎭，,6x m π⎡⎫
∈-⎪⎢⎣⎭
的最小值是12-，由余弦函数性质可得． 【题目详解】
由题意()3cos 213f x x π⎛
⎫
=-
+ ⎪⎝
⎭，,6x m π⎡⎫
∈-⎪⎢⎣⎭
的最小值是12-， 又21()3cos()13cos 16
3332
f π
π
ππ-
=-
-+=+=-， 由13cos(2)132x π
-
+≥-，得1cos(2)32
x π-≥-， 22222333k x k πππππ-
≤-≤+，,62
k x k k Z ππππ-≤≤+∈， 0k =时，6
2
x π
π
-
≤≤
，
所以6
2
m π
π
-
<≤
．
故选：A ． 【题目点拨】
本题考查新定义，由新定义明确本题中的下确界就是函数的最小值．可通过解不等式确定参数的范围． 5、B 【解题分析】
利用sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，即可求解，得出结论． 【题目详解】
由题意，函数2sin(2)2sin[2()]36
y x x π
π
=-
=-，2sin(2)2sin[2()]48
y x x ππ
=+=+，
又由7()8624
πππ--=，
故把函数2sin[2()]8
y x π
=+的图象上所有的点，向右平移
724
π
个单位长度， 可得72sin[2()]2sin(2)2443
y x x πππ
=-+=-的图象， 故选：B ． 【题目点拨】
本题主要考查了三角函数sin()y A x ωϕ=+ 的图象变换规律，其中解答中熟记三角函数的图象变换是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 6、C 【解题分析】
分析：由题意先解出集合A,进而得到结果。

详解：由集合A 得x 1≥, 所以{}A B 1,2⋂= 故答案选C.
点睛：本题主要考查交集的运算，属于基础题。

7、C 【解题分析】
先由题意，得到∆∆=ABC ACD S S ，推出---==D PAC P ACD P ABC V V V ，再由2=NB PN 推出
2
3
--=N ABC P ABC V V ，由---=-N PAC P ABC N ABC V V V ，进而可得出结果.
【题目详解】
因为底面ABCD 为平行四边形，所以∆∆=ABC ACD S S ， 所以---==D PAC P ACD P ABC V V V ， 因为2=NB PN ，所以2
3=
NB PB ，所以23
--=N ABC P ABC V V ，
所以13
----=-=N PAC P ABC N ABC P ABC V V V V ，
因此
1
3
--=N PAC D PAC V V .
故选C 【题目点拨】
本题主要考查棱锥体积之比，熟记棱锥的体积公式，以及等体积法的应用即可，属于常考题型. 8、A 【解题分析】
由AB DC =可得四边形为平行四边形，由AC ·BD ＝0得四边形的对角线垂直，故可得四边形为菱形． 【题目详解】 ∵AB DC =，
∴AB 与DC 平行且相等， ∴四边形ABCD 为平行四边形． 又0AC BD ⋅=， ∴AC BD ⊥，
即平行四边形ABCD 的对角线互相垂直， ∴平行四边形ABCD 为菱形． 故选A ． 【题目点拨】
本题考查向量相等和向量数量积的的应用，解题的关键是正确理解有关的概念，属于基础题． 9、A 【解题分析】
由函数的解析式可得函数()f x 是奇函数，且为单调递增函数，分0d ≠和0d =两种情况讨论，分别利用函数的奇偶性和单调性，即可求解，得到结论． 【题目详解】
由题意，因为函数3
()arctan f x x x =+，根据幂函数和反正切函数的性质，
可得函数3()arctan f x x x =+在R 为单调递增函数，
且满足33
()()arctan()arctan ()f x x x x x f x -=-+-=--=-，所以函数()f x 为奇函
数，
因为数列{}n a 是公差为d 的等差数列，且10091a =-， 则3
1009()(1)(1)arctan(1)104
f a f π
=-=-+-=--
<
①当0d ≠时， 由120171009220a a a ==-<+，
可得20171a a <-，所以201711()()()f a f a f a <-=-，所以20171()()0f a f a +<， 同理可得：2201632015()()0,()()0,f a f a f a f a +<+<，
所以12320162017()()()()()m f a f a f a f a f a =+++
++
12017220161009[()()][()()]()0f a f a f a f a f a =++++
+<，
②当0d =时，由12017009211a a a a ===
==-，
则3
()(1)(1)arctan(1)104
n f a f π
=-=-+-=--<，
所以12320162017()()()()()0m f a f a f a f a f a =+++++<
综上可得，实数m 恒为负数． 故选：A ． 【题目点拨】
本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的应用，以及等差数列的性质的应用，其中解答中合理利用等差数列的性质和函数的性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题． 10、D 【解题分析】
因为点M ，P 关于点N 对称，所以由中点坐标公式可知
469
5,3,322
m n m +-=
=-=∴=.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、[3,)+∞ 【解题分析】
利用2
123=1a a a =结合基本不等式求得3S 的取值范围
【题目详解】
由题意知，31232132S a a a a a a =++≥+，且2
213a a a =，所以3233S a ≥=，当且仅
当13=1a a =等号成立，所以3[3,)S ∈+∞. 故答案为：[3,)+∞ 【题目点拨】
本题考查等比数列的前n 项和及性质，利用性质结合基本不等式求最值是关键 12、[4,2]-- 【解题分析】
由题意画出图形，写出以原点为圆心，以25为半径的圆的方程，与直线方程联立求得x 值，则答案可求． 【题目详解】
如图所示，当点A 往直线两边运动时，BAC ∠不断变小，
当点A 为直线上的定点时，直线,AB AC 与圆相切时，BAC ∠最大， ∴当ABOC 为正方形，则25OA =，
则以O 为圆心，以25为半径的圆的方程为2
2
20x y +=．
联立22
620
y x x y =+⎧⎨+=⎩，得2680x x ++=． 解得4x =-或2x =-．
∴点A 横坐标的取值范围是[4,2]--．
故答案为：[4,2]--．
【题目点拨】
本题考查直线与圆位置关系的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意坐标法的应用. 13、2n
【解题分析】
设数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则28911a q a q =，所以1a q =，由21
2()5n n n a a a +++=得22520q q -+=解得122q q ==或，因为数列{}n a 为递增数列，所以2q ，12a =，所以2n n a =
考点定位：本题考查等比数列，意在考查考生对等比数列的通项公式的应用能力 14、
【解题分析】
在正数数列中，由点在直线上，知，所以
，得到数列
是首项为1，公比为2的等比数列，由此能求出前n 项和，得到答案． 【题目详解】
由题意，在正数数列中，，且在直线上， 可得
，所以， 即
， 因为，所以数列表示首项为1，公比为2的等比数列， 所以
， 故答案为． 【题目点拨】
本题主要考查了等比数列的定义，以及等比数列的前n 项和公式的应用，同时涉及到数列与解析几何的综合运用，是一道好题．解题时要认真审题，仔细解答，注意等比数列的前n 项和公式和通项公式的灵活运用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．
15、0
【解题分析】
画出可行域，分析目标函数得133
z y x =-
+，当13y x =-在y 轴上截距最小时，即可求出z 的最小值.
【题目详解】
作出可行域如图：
联立3040x x y +=⎧⎨-+=⎩
得31x y =-⎧⎨=⎩ 化目标函数3z x y =+为133z y x =-
+， 由图可知，当直线13
y x =-过点(3,1)A -时，在y 轴上的截距最小, z 有最小值为0，故填0.
【题目点拨】
本题主要考查了简单的线性规划，属于中档题.
16、12
【解题分析】
在分式的分子和分母中同时除以2n ，然后利用常见数列的极限可计算出所求极限值.
【题目详解】 由题意得222122+201lim lim 2142140024n n n n n
n n n n →∞→∞++===+-+-+-. 故答案为：12
. 【题目点拨】
本题考查数列极限的计算，熟悉一些常见数列的极限是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、12
-
【解题分析】
由(1,2)为函数()cos 2
3f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭关于M 的一个“生长点”，得到 3cos()cos()cos()23323
M ππππππ=+++++由诱导公式可得答案. 【题目详解】 解：(1,2)为函数()cos
2
3f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭关于M 的一个“生长点”， ∴3(1)(11)(12)cos()cos()cos()23323
M f f f ππππππ=++++=+++++ 1sin cos sin cos 33332
ππππ=--+=-=-， 故答案为：12
-. 【题目点拨】
本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，及函数的创新题型，属于中档题.
18、 (1) 证明见解析；（2）43V =
. 【解题分析】
(1)在PAC ∆中，利用中位线性质得到EO PC ，证明//EO 平面PCD . (2)直接利用体积公式得到答案.
【题目详解】
在PAC ∆中，点E 是PA 的中点，底面ABCD 是正方形⇒点O 为AC 中点 根据中位线性质得到EO PC ，PC ⊆平面PCD ，故//EO 平面PCD .
(2) PD ⊥底面,2ABCD PD AD ==
11422333
P ABC ABC V S PD -∆=⨯⨯=⨯⨯= 【题目点拨】
本题考查了线面平行，三棱锥体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
19、（1）3
π；（2）8. 【解题分析】
(1)首先利用正弦定理边化角，再利用余弦定理可得结果；
（2）利用面积公式和余弦定理可得结果.
【题目详解】
（1）因为222sin sin sin sin sin B C A B C +-=，所以222b c a bc +-=， 则2221cos 222
b c a bc A bc bc +-===， 因为0A π<<，所以3A π
=.
（2）因为ABC ∆的面积为1sin 24bc A bc ==16bc =， 因为222,4b c a bc a +-==，所以2232b c +=，
所以8b c +===.
【题目点拨】
本题主要考查解三角形的综合应用，意在考查学生的基础知识，转化能力及计算能力，难度不大.
20、（1）见解析;(2) 7
d =
． 【解题分析】
试题分析：（1）证明线线垂直，一般利用线面垂直性质定理，即利用线面垂直进行证明，而证明线面垂直，则利用线面垂直判定定理，即从已知的线线垂直出发给予证明，本题利用平几知识，如等边三角形性质、正方形性质得线线垂直，（2）求点到直线距离，一般方法利用等体积法转化为求高.
试题解析：（1）等边1A AD ∆中, H 为AD 中点,∴ 1A H AD ⊥
又1A H BD ⊥,且AD BD D ⋂= 1A H ABCD ∴⊥面
1A H AB ∴⊥
在正方形ABCD 中，AD AB ⊥
1A H AD H ⋂=
11AB ADD A ∴⊥面
∴ 1AB AA ⊥
(2) 1A BD ∆中，112,A D BD A B ===1A BD S ∆∴=由(1)知, 1A H ABCD ⊥面
1112333A BCD BCD V s A H -∴=⨯= 等体积法可得1111237333
C A B
D A BD V s d d -∴=⨯=⨯= 点C 到平面1A BD 的距离为2217d =
． 21、（Ⅰ）（2，2）、（2，3）、（2，4）、（3，2）、 （3，3）、（3，4）、（4，2）、（4，3）、（4，4）（Ⅱ）
19（Ⅲ）23 【解题分析】
(Ⅰ) 甲、乙两人下车的所有可能的结果为 (2,2),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4) (Ⅱ)设甲、乙两人同在第3号车站下车的的事件为A ，则 (Ⅲ) 设甲、乙两人在不同的车站下车的事件为B ，则。