【高考数学】一轮总复习：第二章 第8讲 对数函数

(1)若 f(1)＝1，求 f(x)的单调区间； (2)若 f(x)的最小值为 0，求 a 的值．
【解】 (1)因为 f(1)＝1，所以 log4(a＋5)＝1，因此 a＋5＝4，即 a＝－1， 所以 f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)． 由－x2＋2x＋3>0 得－1<x<3，即函数 f(x)的定义域为(－1，3)． 令 g(x)＝－x2＋2x＋3. 则 g(x)在(－1，1)上单调递增，在[1，3)上单调递减． 又 y＝log4x 在(0，＋∞)上单调递增， 所以 f(x)的单调递增区间是(－1，1)，单调递减区间是[1，3)．
A．a<b<c
B．b<a<c
√C．c<b<a
D．c<a<b
2
2
【解析】 (1)因为 23<32，所以 2<33，所以 log32<log333＝23，所以 a<c.因为
2
2
33>52，所以 3>53，所以 log53>log553＝23，所以 b>c，所以 a<c<b，故选 A．
(2)因为 f(x)为奇函数，所以 f(－x)＝－f(x)，
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数 y＝log2x 及 y＝log13x 都是对数函数．( × )
3
(2)对数函数 y＝logax(a>0 且 a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( × ) (3)函数 y＝ln 11＋－xx与 y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．( √ )
(2)构造函数 f(x)＝4x 和 g(x)＝logax， 当 a>1 时不满足条件，
当 0<a<1 时，画出两个函数在0，12上的图象，
可知，只需两图象在0，12上有交点即可，
则 f12≥g12，即 2≥loga12，则 a≤ 22，
所以
a
的取值范围为0，
22.
【答案】
(1)B
(2)0，
2
2
2
2
当 a<0 时，由 f(a)＝log1 (－a)＝log2－a1＝f(－a)＝log2(－a)，得 a＝－1. 2
所以方程 f(a)＝f(－a)的解集为{1，－1}．
【答案】 (1)x＝ 5 (2){－1，1}
【迁移探究】 (变问法)本例(2)中，f(a)>f(－a)的解集为________． 解析：由题意，得alo>g02，a>log12a或alo<g012，（－a）>log2（－a）， 解得 a>1 或－1<a<0.
围为( )
√A．[1，2)
C．[1，＋∞)
B．[1，2] D．[2，＋∞)
解析：令函数 g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴为 x＝a，
要使函数在(－∞，1]上递减，则有ga（ ≥11） ，>0，即a2≥－1a，>0，
解得 1≤a<2，即 a∈[1，2)．
比较指数式、对数式的大小
2．(2021·江西五校联考)若 0<a<b<1，则 ab，ba，log1b，logba 的大小关系为
a
()
A．ab>ba>logba>log1b
a
C．logba>ab>ba>log1b
a
B．ba>ab>log1b>logba
a
√D．logba>ba>ab>log1b a
解析：因为 0<a<b<1，所以 0<ab<bb<ba<1，logba>logbb＝1，log1b<0，所以
(4)对数函数 y＝logax(a>0 且 a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，函 数图象只经过第一、四象限．( √ )
二、易错纠偏 常见误区| (1)忽略真数大于零致误； (2)忽视对底数的讨论致误．
1．函数 f(x)＝log2x2 的单调递增区间为____________． 解析：设 t＝x2，因为 y＝log2t 在定义域上是增函数，所以求原函数的单调 递增区间，即求函数 t＝x2 的单调递增区间，所以所求区间为(0，＋∞)． 答案：(0，＋∞)
A．[－1，2]
B．[0，2]
C．[1，＋∞)
√D．[0，＋∞)
解析：当 x≤1 时，21－x≤2，解得 x≥0，所以 0≤x≤1；当 x>1 时，1－log2x
≤2，解得 x≥12，所以 x>1.综上可知 x≥0.
2．若 f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上单调递减，则 a 的取值范
在(0，＋∞)上是□3增__函__数__
在(0，＋∞)上是□4 减__函__数__
2.反函数 指数函数 y＝ax 与对数函数 y＝logax 互为反函数，它们的图象关于直线 □5 __y_＝__x___对称．
常用结论 对数函数图象的特点
1．当 a>1 时，对数函数的图象呈上升趋势；当 0<a<1 时，对数函数的图象 呈下降趋势． 2．对数函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)， 1a，－1，函数图象只在第一、四象限． 3．在直线 x＝1 的右侧：当 a>1 时，底数越大，图象越靠近 x 轴；当 0<a<1 时，底数越小，图象越靠近 x 轴，即“底大图低”．
(2)设 f(x)＝log12（－x），x<0，则方程 f(a)＝f(－a)的解集为________．
【解析】 (1)原方程变形为 log2(x－1)＋log2(x＋1)＝log2(x2－1)＝2，即 x2 －1＝4，解得 x＝± 5，又 x>1，所以 x＝ 5.
(2)当 a>0 时，由 f(a)＝log2a＝log11a＝f(－a)＝log1a，得 a＝1；
本题利用了分类讨论思想，在研究指数、对数函数的性质时，常对底数 a 的值进行分类讨论，实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零 为整”的数学思想．
的值域．
已知函数 y＝a2x＋2ax－1(a>0，且 a≠1)，当 x≥0 时，求函数
解：y＝a2x＋2ax－1，令 t＝ax， 则 y＝g(t)＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2. 当 a>1 时，因为 x≥0，所以 t≥1，所以当 a>1 时，y≥2. 当 0<a<1 时，因为 x≥0，所以 0<t≤1. 因为 g(0)＝－1，g(1)＝2，所以当 0<a<1 时，－1<y≤2. 综上所述，当 a>1 时，函数的值域是[2，＋∞)； 当 0<a<1 时，函数的值域是(－1，2]．
【解析】 当 0<a<1 时，函数 f(x)在区间[12，23]上是减函数，所以 loga(43－ a)>0，即 0<43－a<1，解得13<a<43，故13<a<1；当 a>1 时，函数 f(x)在区间[12， 23]上是增函数，所以 loga(1－a)>0，即 1－a>1，解得 a<0，此时无解．综上 所述，实数 a 的取值范围是(13，1)．
【迁移探究】 (变条件)若本例(2)的条件变为：当 0<x≤12时，4x<logax，则 a 的取值范围为________．
解析：构造函数 f(x)＝4x 和 g(x)＝logax，当 a>1 时不满足
条件，当 0<a<1 时，画出两个函数在0，12上的图象，可知
f12<g12，即
2<loga12，则
(师生共研)
(1)(2020·高考全国卷Ⅲ)设 a＝log32，b＝log53，c＝23，则(
)
√A．a<c<b
C．b<c<a
B．a<b<c D．c<a<b
(2)已知奇函数 f(x)在 R 上是增函数．若 a＝－flog215，b＝f(log24.1)，c＝f(20.8)，
则 a，b，c 的大小有关系为( )
对数函数的图象及应用
(典例迁移)
(1)若函数 y＝a|x|(a>0，且 a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数 y＝loga|x|
的图象大致是( )
√
(2)若方程 4x＝logax 在0，12上有解，则实数 a 的取值范围为____________．
【解析】 (1)由于 y＝a|x|的值域为{y|y≥1}，所以 a>1，则 y＝loga|x|在(0， ＋∞)上是增函数，又函数 y＝loga|x|的图象关于 y 轴对称．因此 y＝loga|x| 的图象应大致为选项 B．
1．已知 a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则( )
A．a<b<c C．c<a<b
√B．a<c<b
D．b<c<a
解析：因为 y＝log2x 和 y＝2x 是其定义域上的增函数，而 y＝0.2x 是减函数， 所以 a＝log20.2<log21＝0，b＝20.2>20＝1，c＝0.20.3∈(0，0.20)，即 c∈(0， 1)．所以 a<c<b.故选 B．
所以 a＝－f(－log25)＝f(log25)， 而 log25>log24.1>2>20.8，且 y＝f(x)在 R 上为增函数，所以 f(log25)>f(log24.1)>f(20.8)， 即 a>b>c，故选 C．
(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有 时也可用数形结合的方法． (2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较， 如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造 指数函数，若引入中间量，一般选 0 或 1.
a>
22，所以
a
的取值范围为
22，1.
答案：
22，1
对于较复杂的不等式恒成立问题，可借助函数图象解决，具体做法如下： (1)对不等式变形，使不等号两边分别对应两函数 f(x)，g(x)； (2)在同一平面直角坐标系下作出两个函数 f(x)与 g(x)的图象； (3)比较当 x 在某一范围内取值时图象的上下位置来确定参数的取值．
2．函数 y＝logax(a>0，a≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是 1，则 a＝ ________． 解析：分两种情况讨论：①当 a>1 时，有 loga4－loga2＝1，解得 a＝2； ②当 0<a<1 时，有 loga2－loga4＝1，解得 a＝12，所以 a＝2 或12. 答案：2 或12
第二章 函数概念与基本初等函数
第8讲 对数函数
1．对数函数的图象与性质 a>1
图象
0<a<1
性质
a>1
0<a<1
பைடு நூலகம்
定义域：□1 _(0_，__＋__∞__)
值域：R 过定点□2 _(_1_，__0_)__
当 x>1 时，y>0；
当 x>1 时，y<0；
当 0<x<1 时，y<0
当 0<x<1 时，y>0
答案：(－1，0)∪(1，＋∞)
解对数方程、不等式的方法 (1)形如 logax≥logab 的不等式，借助 y＝logax 的单调性求解，如果 a 的取值 不确定，需分 a>1 与 0<a<1 两种情况讨论． (2)形如 logax≥b 的不等式，需先将 b 化为以 a 为底的对数式的形式．
角度二 对数型函数的综合问题 已知函数 f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．
(2)若 f(x)的最小值为 0， 则 h(x)＝ax2＋2x＋3 应有最小值 1，
a>0， 因此应有3a－ a 1＝1， 解得 a＝12. 故实数 a 的值为12.
解与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤
21－x，x≤1， 1．设函数 f(x)＝1－log2x，x>1，则满足 f(x)≤2 的 x 的取值范围是( )
解析：如图，在同一平面直角坐标系中分别作出 y＝f(x)
与
y＝－x＋a 的图象，其中 a 表示直线在 y 轴上的截距．
由图可知，当 a>1 时，直线 y＝－x＋a 与 y＝log2x 只有一
个
交点．
答案：(1，＋∞)
对数函数的性质及应用
(多维探究)
角度一 解对数方程、不等式
(1)方程 log2(x－1)＝2－log2(x＋1)的解为________． log2x，x>0，
1．函数 y＝2log4(1－x)的图象大致是( )
√
解析：函数 y＝2log4(1－x)的定义域为(－∞，1)，排除 A，B；函数 y＝2log4(1 －x)在定义域上单调递减，排除 D．选 C．
2．已知函数 f(x)＝l3oxg，2xx，≤x0>，0，且关于 x 的方程 f(x)＋x－a＝0 有且只有一 个实根，则实数 a 的取值范围是________．
a
logba>ba>ab>log1b，故选 D．
a
思想方法系列 5 分类讨论思想研究指数、对数函数的性质
已知函数 f(x)＝loga(2x－a)(a>0 且 a≠1)在区间[12，23]上恒有 f(x)>0，
则实数 a 的取值范围是( )
√A．(13，1)
B．[13，1)
C．(23，1)
D．[23，1)