孟州市第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案

孟州市第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知a=
，b=20.5，c=0.50.2，则a ，b ，c 三者的大小关系是（
）
A ．b ＞c ＞a
B ．b ＞a ＞c
C ．a ＞b ＞c
D ．c ＞b ＞a 2． 函数f （x ）=log （|x|﹣4）的单调递减区间为（
）
A ．（﹣∞，﹣4）
B ．（0，+∞）
C ．（﹣∞，0）
D ．（4，+∞）
3． 定义运算：,,a a b
a b b a b ≤⎧*=⎨>⎩
．例如121*=，则函数()sin cos f x x x =*的值域为（ ）
A ．⎡⎢⎣
B ．[]1,1-
C ．⎤⎥⎦
D ．⎡-⎢⎣
4． 如图，四面体D ﹣ABC 的体积为，且满足∠ACB=60°，BC=1，AD+=2，则四面体D ﹣ABC 中最长棱的
长度为（
）
A ．
B ．2
C ．
D ．3
5． 已知集合P={x|﹣1＜x ＜b ，b ∈N}，Q={x|x 2﹣3x ＜0，x ∈Z}，若P ∩Q ≠∅，则b 的最小值等于（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
6． 设f （x ）＝（e －x －e x ）（－），则不等式f （x ）＜f （1＋x ）的解集为（
）
12x ＋112
A ．（0，＋∞）
B ．（－∞，－）
12
C ．（－，＋∞）
D ．（－，0）1212
7． 一个圆的圆心为椭圆的右焦点，且该圆过椭圆的中心交椭圆于P ，直线PF 1（F 1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，则椭圆的离心率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8． 已知函数f （x ）=sin 2（ωx ）﹣（ω＞0）的周期为π，若将其图象沿x 轴向右平移a 个单位（a ＞0），所得图象关于原点对称，则实数a 的最小值为（ ）
A ．π
B ．
C ．
D ．
9． 设曲线在点处的切线的斜率为，则函数的部分图象2
()1f x x =+(,())x f x ()g x ()cos y g x x =可以为（
）
A ．
B ． C. D ．
10．冶炼某种金属可以用旧设备和改造后的新设备，为了检验用这两种设备生产的产品中所含杂质的关系，调
查结果如下表所示．
杂质高
杂质低旧设备37121新设备
22
202
根据以上数据，则（
）
A ．含杂质的高低与设备改造有关
B ．含杂质的高低与设备改造无关
C ．设备是否改造决定含杂质的高低
D ．以上答案都不对
11．在中，，，，则等于（ ）
ABC ∆b =3c =30B =
A B ．
C D ．2
12．函数在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为（ ）
sin()y A x ωϕ=+A ． B ． C ． D ．2sin(2)3
y x π
=+
22sin(23y x π=+
2sin()23x y π=-2sin(2)3
y x π=-
二、填空题
13．已知实数x ，y 满足
，则目标函数z=3y ﹣2x 的最大值为 ．
14．若双曲线的方程为4x 2﹣9y 2=36，则其实轴长为 ．
15．已知为常数，若,则_________.
,a b ()()2
2
4+3a 1024f x x x f x b x x =++=++，5a b -=16．已知，，那么
.
tan()3αβ+=tan(24
π
α+
=tan β=17．若函数的定义域为，则函数的定义域是 ．
()f x []1,2-(32)f x -18．直线l ：（t 为参数）与圆C ：
（θ为参数）相交所得的弦长的取值范围是
．　
三、解答题
19．（本小题满分12分）
如图，多面体中，四边形ABCD 为菱形，且，，，
ABCDEF 60DAB
∠= //EF AC 2AD =
.
EA ED EF ===（1）求证：；
AD BE ⊥
（2）若，求三棱锥的体积.
BE =-F BCD
20．已知椭圆：（），点在椭圆上，且椭圆的离心率为．
C 22221x y a b +=0a b >>3(1,)2C C 1
2
（1）求椭圆的方程；
C （2）过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于，两点，为椭圆的右顶点，直线，分别C F C P Q A C PA QA 交直线：于、两点，求证：．
4x =M N FM FN ⊥21．如图，已知AC ，BD 为圆O 的任意两条直径，直线AE ，CF 是圆O 所在平面的两条垂线，且线段AE=CF=，AC=2．（Ⅰ）证明AD ⊥BE ；
（Ⅱ）求多面体EF ﹣ABCD 体积的最大值．
22．如图，菱形ABCD的边长为2，现将△ACD沿对角线AC折起至△ACP位置，并使平面PAC⊥平面ABC．
（Ⅰ）求证：AC⊥PB；
（Ⅱ）在菱形ABCD中，若∠ABC=60°，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值；
（Ⅲ）求四面体PABC体积的最大值．
23．已知数列{a n}满足a1=，a n+1=a n+，数列{b n}满足b n=
（Ⅰ）证明：b n∈（0，1）
（Ⅱ）证明：=
（Ⅲ）证明：对任意正整数n有a n．
24．（本小题满分12分）
如图（1），在三角形中，为其中位线，且，若沿将三角形折起，使
PCD AB 2BD PC =AB PAB ，构成四棱锥，且
.PAD θ∠=P ABCD -2PC CD
PF CE
==（1）求证：平面 平面；BEF ⊥PAB （2）当 异面直线与所成的角为
时，求折起的角度.
BF PA 3
π
孟州市第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案（参考答案）一、选择题
1．【答案】A
【解析】解：∵a=0.50.5，c=0.50.2，
∴0＜a＜c＜1，b=20.5＞1，
∴b＞c＞a，
故选：A．
2．【答案】D
【解析】解：由题意：函数f（x）=log（|x|﹣4），其定义域为{x|x＞4或x＜﹣4}．
令t=|x|﹣4，t＞0，则函数f（x）=log（|x|﹣4）转化为g（t）=在其定义域内是单调减函数．
而函数t=|x|﹣4，当x在（﹣∞，4）时，函数t是单调减函数，当x在（4，+∞）时，函数t是单调增函数．
根据复合函数的单调性“同增异减”，
可得：函数f（x）=log（|x|﹣4）的单调递减区间为（4，+∞）．
故选D．
【点评】本题考查了复合函数的单调性的问题，要抓住定义域，利用根据复合函数的单调性“同增异减”求解．属于基础题．
3．【答案】D
【解析】
考点：1、分段函数的解析式；2、三角函数的最值及新定义问题.
4．【答案】B
【解析】解：因为AD•（BC•AC•sin60°）≥V D﹣ABC=，BC=1，
即AD •≥1，
因为2=AD+≥2
=2，
当且仅当AD==1时，等号成立，
这时AC=，AD=1，且AD ⊥面ABC ，所以CD=2，AB=
，
得BD=，故最长棱的长为2．
故选B ．
【点评】本题考查四面体中最长的棱长，考查棱锥的体积公式的运用，同时考查基本不等式的运用，注意等号成立的条件，属于中档题．　
5． 【答案】C
【解析】解：集合P={x|﹣1＜x ＜b ，b ∈N}，Q={x|x 2﹣3x ＜0，x ∈Z}={1，2}，P ∩Q ≠∅，可得b 的最小值为：2．故选：C ．
【点评】本题考查集合的基本运算，交集的意义，是基础题．　
6． 【答案】
【解析】选C.f （x ）的定义域为x ∈R ，由f （x ）＝（e －x －e x ）（－）得
12x ＋112
f （－x ）＝（e x －e －x ）（－）12－x
＋112
＝（e x －e －x ）（＋）
－12x ＋11
2
＝（e －x －e x ）（－）＝f （x ），
12x ＋112
∴f （x ）在R 上为偶函数，
∴不等式f （x ）＜f （1＋x ）等价于|x |＜|1＋x |，
即x 2＜1＋2x ＋x 2，∴x ＞－，
12
即不等式f （x ）＜f （1＋x ）的解集为{x |x ＞－}，故选C.
12
7． 【答案】D
【解析】解：设F 2为椭圆的右焦点
由题意可得：圆与椭圆交于P ，并且直线PF 1（F 1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，所以点P 是切点，所以PF 2=c 并且PF 1⊥PF 2．又因为F 1F 2=2c ，所以∠PF 1F 2=30°，所以
．
根据椭圆的定义可得|PF 1|+|PF 2|=2a ，所以|PF 2|=2a ﹣c ．所以2a ﹣c=，所以e=
．
故选D ．
【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握直线与圆的相切问题，以即椭圆的定义．　
8． 【答案】D
【解析】解：由函数f （x ）=sin 2（ωx ）﹣=﹣cos2ωx （ω＞0）的周期为=π，可得ω=1，
故f （x ）=﹣cos2x ．
若将其图象沿x 轴向右平移a 个单位（a ＞0），可得y=﹣cos2（x ﹣a ）=﹣cos （2x ﹣2a ）的图象；再根据所得图象关于原点对称，可得2a=k π+，a=
+
，k ∈Z ．
则实数a 的最小值为．
故选：D
【点评】本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的周期性，函数y=Acos （ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的奇偶性，属于基础题．　
9． 【答案】A 【解析】
试题分析：，为奇函()()()()()2,cos 2cos ,,cos cos g x x g x x x x g x g x x x ==-=--=A
A ()cos y g x x ∴=数，排除
B ，D ，令时，故选A. 10.1x =0y >考点：1、函数的图象及性质；2、选择题“特殊值”法.10．【答案】
A 【解析】
独立性检验的应用．
【专题】计算题；概率与统计．
【分析】根据所给的数据写出列联表，把列联表的数据代入观测值的公式，求出两个变量之间的观测值，把观测值同临界值表中的数据进行比较，得到有99%的把握认为含杂质的高低与设备是否改造是有关的．【解答】解：由已知数据得到如下2×2列联表
杂质高
杂质低合计旧设备
37
121
158
新设备22202224合计59
323
382
由公式κ2=
≈13.11，
由于13.11＞6.635，故有99%的把握认为含杂质的高低与设备是否改造是有关的．【点评】本题考查独立性检验，考查写出列联表，这是一个基础题．11．【答案】C 【解析】
考
点：余弦定理．12．【答案】B 【解析】
考点：三角函数的图象与性质．
()sin()f x A x ωϕ=+二、填空题
13．【答案】　9　．
【解析】解：由约束条件作出可行域如图，
化目标函数z=3y ﹣2x 为，
由图可知，当直线过C （0，3）时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值，等于3×3﹣2×0=9．
故答案为：9．　
14．【答案】　6　．
【解析】解：双曲线的方程为4x 2﹣9y 2=36
，即为：
﹣
=1，
可得a=3，
则双曲线的实轴长为2a=6．故答案为：6．
【点评】本题考查双曲线的实轴长，注意将双曲线方程化为标准方程，考查运算能力，属于基础题．　
15．【答案】【解析】
试题分析：由，得，
()()2
2
4+3a 1024f x x x f x b x x =++=++，22
()4()31024ax b ax b x x ++++=++即，比较系数得，解得或
2222
24431024a x abx b ax b x x +++++=++22124104324a ab a b b ⎧=⎪+=⎨⎪++=⎩
1,7a b =-=-，则.
1,3a b ==5a b -=考点：函数的性质及其应用.
【方法点晴】本题主要考查了函数的性质及其应用，其中解答中涉及到函数解析式的化简与运算，求解解析式中的代入法的应用和多项式相等问题等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题有一定难度，属于中档试题，本题的解答中化简的解析式是解答的关键.()f ax b +16．【答案】4
3
【解析】
试题分析：由得， 1tan tan()24
1tan π
ααα++
=
=-1
tan 3
α=tan tan[()]βαβα=+-tan()tan 1tan()tan αβααβα+-=
++．1
34313133-
=
=+⨯
考点：两角和与差的正切公式．17．【答案】1,22⎡⎤⎢⎥
⎣
⎦
【解析】
试题分析：依题意得.
11322,,22x x ⎡⎤-≤-≤∈⎢⎥⎣
⎦
考点：抽象函数定义域．18．【答案】　[4，16]　．
【解析】解：直线l ：（t 为参数），
化为普通方程是=
，
即y=tan α•x+1；
圆C 的参数方程
（θ为参数），
化为普通方程是（x ﹣2）2+（y ﹣1）2=64；
画出图形，如图所示；
∵直线过定点（0，1），
∴直线被圆截得的弦长的最大值是2r=16，
最小值是2=2×
=2×
=4
∴弦长的取值范围是[4
，16]．
故答案为：[4
，16]．
【点评】本题考查了直线与圆的参数方程的应用问题，解题时先把参数方程化为普通方程，再画出图形，数形结合，容易解答本题．　
三、解答题
19．【答案】
【解析】【命题意图】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．
（2）在中，，，
EAD △EA ED ==2AD =
20．【答案】（１） ；（２）证明见解析．22
143
x y +=【解析】
试题分析： （１）由题中条件要得两个等式，再由椭圆中的等式关系可得的值，求得椭圆的方程；c b a ,,b a ,（２）可设直线的方程，联立椭圆方程，由根与系数的关系得，，得P Q 122634m y y m -+=
+12
29
34
y y m -=+直线，直线，求得点 、坐标，利用得．
PA l QA l M N 0=⋅FN FM FM FN ⊥试题解析： （1）由题意得解得222221
91,41,2,a b c a a b c
⎧+=⎪⎪
⎪=⎨⎪
⎪=+⎪⎩
2,
a b =⎧⎪⎨
=⎪⎩∴椭圆的方程为．C 22
143
x y +=
又，，
111x my =+221x my =+∴，，则，，112(4,
)1y M my -222(4,)1y N my -112(3,1y FM my =- 2
22(3,1
y FN my =- 12122
121212
22499111()y y y y FM FN my my m y y m y y ⋅=+⋅=+---++ 222
2236
3499906913434
m m m m m -+=+=-=---+++∴FM FN
⊥考点：椭圆的性质；向量垂直的充要条件．21．【答案】
【解析】（Ⅰ）证明：∵BD 为圆O 的直径，∴AB ⊥AD ，∵直线AE 是圆O 所在平面的垂线，∴AD ⊥AE ，∵AB ∩AE=A ，∴AD ⊥平面ABE ，∴AD ⊥BE ；
（Ⅱ）解：多面体EF ﹣ABCD 体积V=V B ﹣AEFC +V D ﹣AEFC =2V B ﹣AEFC ．∵直线AE ，CF 是圆O 所在平面的两条垂线，
∴AE∥CF，∥AE⊥AC，AF⊥AC．
∵AE=CF=，∴AEFC为矩形，
∵AC=2，
∴S AEFC=2，
作BM⊥AC交AC于点M，则BM⊥平面AEFC，
∴V=2V B﹣AEFC=2×≤=．
∴多面体EF﹣ABCD体积的最大值为．
【点评】本题考查线面垂直，线线垂直，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）证明：取AC中点O，连接PO，BO，由于四边形ABCD为菱形，∴PA=PC，BA=BC，∴PO⊥AC，BO⊥AC，又PO∩BO=O，
∴AC⊥平面POB，又PB⊂平面POB，∴AC⊥PB．
（Ⅱ）∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，PO⊂平面PAC，
PO⊥AC，∴PO⊥面ABC，∴OB，OC，OP两两垂直，
故以O为原点，以方向分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，∵∠ABC=60°，菱形ABCD 的边长为2，
∴，
，
设平面PBC的法向量，直线AB与平面PBC成角为θ，
∴，取x=1，则，于是，
∴，∴直线AB与平面PBC成角的正弦值为．
（Ⅲ）法一：
设∠ABC=∠APC=α，α∈（0，π），∴，，
又PO⊥平面ABC，∴=
（），
∴
，
∴，当且仅当，即时取等号，
∴四面体PABC体积的最大值为．
法二：设∠ABC=∠APC=α，α∈（0，π），
∴，，又PO⊥平面ABC，
∴=（），设，则，且0＜t＜1，
∴，
∴当时，V'PABC＞0，当时，V'PABC＜0，
∴当时，V PABC取得最大值，∴四面体PABC体积的最大值为．
法三：设PO=x，则BO=x，，（0＜x＜2）
又PO⊥平面ABC，
∴，
∵，
当且仅当x2=8﹣2x2，即时取等号，∴四面体PABC体积的最大值为．
【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，直线与平面所成角的求法，几何体的体积的最值的求法，考查转化思想以及空间思维能力的培养．
23．【答案】
【解析】证明：（Ⅰ）由b n=，且a n+1=a n+，得，
∴，下面用数学归纳法证明：0＜b n＜1．
①由a1=∈（0，1），知0＜b1＜1，
②假设0＜b k＜1，则，
∵0＜b k＜1，∴，则0＜b k+1＜1．
综上，当n∈N*时，b n∈（0，1）；
（Ⅱ）由，可得，，
∴==．
故；
（Ⅲ）由（Ⅱ）得：
，
故．
由知，当n≥2时，
=．
【点评】本题考查了数列递推式，考查了用数学归纳法证明与自然数有关的命题，训练了放缩法证明数列不等式，对递推式的循环运用是证明该题的关键，考查了学生的逻辑思维能力和灵活处理问题的能力，是压轴题．　
24．【答案】（1）证明见解析；（2）．23
πθ=【解析】
试题分析：（1）可先证，从而得到平面，再证,可得
BA PA ⊥BA AD ⊥BA ⊥PAD CD FE ⊥CD BE ⊥平面,由,可证明平面平面；（2）由,取的中点，连接
CD ⊥BEF //CD AB BEF ⊥PAB PAD θ∠=BD G ,可得即为异面直线与所成的角或其补角,即为所折起的角度.在三角形中求角即可. 1
,FG AG PAG ∠BF PA 试题解析：
（2）因为，取的中点，连接，所以，，又，PAD θ∠=BD G ,FG AG //FG CD 1
2
FG CD =
//AB CD ，所以，，从而四边形为平行四边形，所以，得；同时，
1
2
AB CD =//FG AB FG AB =ABFG //BF AG 因为，，所以，故折起的角度.
PA AD =PAD θ∠=PAD θ∠=23
π
θ=
考点：点、线、面之间的位置关系的判定与性质．。