江苏省苏北四市2018届高三第一次模拟考试

江苏省苏北四市2018 届高三第一次模拟考试
数学参考答案及评分标准
1. {-1,0,1}
2. 1
3. (0,1]
4. 13
5. 750
6
.78549
.
410
.
11
.
11 ..
12. [ -1,+1] 13 . [-2,2]14. -
15 . (1) 在△ABC中 ,由 cos A= ,得A为锐角 ,
所以 sin A=-= ,
所以 tan A== ,(2 分)所以 tan B=tan[( B-A)+A]
= --
(4 分) -
==3.(6 分) -
(2)在△ABC 中,由tan B=3,
得 sin B=,cos B=,(8 分)
所以 sin C=sin( A+B)
=sin A cos B+ cos A sin B
=.(10 分)由正弦定理=,
得 b===15,(12 分)所以△ABC 的面积为 S= bc sin A= ×15×13×=78 .(14 分)
16 . (1) 如图 , 取AB的中点P, 连接PM,PB1.
因为 M,P 分别是 AB,AC 的中点,
所以 PM∥BC,且 PM= BC.
在直三棱柱 ABC- A1B1C1中,
BC∥B1C1,BC=B 1C1,
又因为
N 是 1 1的中点,
B C
所以 PM∥B1N,且 PM=B1 N,(2 分)所以四边形 PMNB 1是平行四边形,
所以∥ 1
.(4分 ) MN PB
因为 MN?平面 ABB1A1,PB1?平面 ABB1A1,
所以 MN∥平面ABB1A1.(6分 )
(2)因为三棱柱 ABC-A1B1C1为直三棱柱,
所以 BB1⊥平面 A1B1C1,
(第 16 题)
又因为 BB1?平面 ABB1A1,
所以平面 ABB1A1⊥平面 A1 B1C1 .(8 分)因为∠ABC=90°,所以 B1C1⊥B1A1,
平面11∩平面1111
A1, 1 1?平面111,
ABB A ABC=B B C A B C
所以 B1 C1⊥平面ABB1 A1 .(10 分)又因为 A1B?平面 ABB1A1,
所以 B1 C1⊥A1B,即 NB 1⊥A1 B.
如图 ,连接AB1,
因为在平行四边形 ABB1 A1中,AB=AA1,
所以 AB1⊥A1 B.
又因为 NB 1∩AB1=B 1,且 AB1,NB 1?平面 AB1 N,
所以 1 ⊥平面 1 ,(12 分)
A B AB N
因为 AN?平面 AB1N,
所以 A1 B⊥AN.(14 分)
(第 17题)
17 . (1)如图 ,设AO交BC于点D,过点O作OE⊥AB,垂足为 E.在△AOE 中,AE=10cosθ,AB=2 AE=20cosθ,(2 分)在△ABD 中,BD=AB ·sinθ=20cosθ·sinθ,(4 分)
所以
S=· 2π·20sin ·cos ·20cos400π·sin cos 2
θ
.(6 分)θ θθ=θ
(2)要使侧面积最大 ,由 (1)得 ,
S=θθ=θ-θ.
(8 分)
400π sin cos 2400π(sin sin 3)
设 f(x)=x-x3(0 <x<1),则 f' (x)=1 -3 x2,
由 f' (x)=1-3x2=0,得 x= .
当 x∈时,f'(x)>0;
当 x∈时,f'(x)<0,
所以 f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减,所以 f(x)在 x=时取得极大值,也是最大值,
所以当 sin θ=时 ,侧面积S取得最大值.
此时等腰三角形的腰长
AB=20cos20 -
=
20 -
=.
θ=
答: 侧面积S取得最大值时 ,等腰三角形的腰AB 的长度为cm .
18 . (1) 设椭圆的方程为+ =1( a>b>0),
由题意知
解得所以椭圆的方程为+=1 .
(2) 若AF=FC,由椭圆的对称性 , 知A,
所以B--,
此时直线BF的方程为 34 3 0.
x- y-=
--
得 7 x2-6 x-13 =0,
由
解得 x=( x=-1 舍去 ),
- -
故== .
-
(3)设 A(x0,y0),则 B(-x0,-y0),
直线 AF 的方程为 y=-(x-1),
代入椭圆的方程+ =1,
2-8-15+24 x =0 .
得(15 -6 x ) x
00
因为0 是该方程的一个解,所以
C 点的横坐标C-
.
x=x x =-
又 C( x C,y C)在直线 y=
-(x-1) 上 ,
(11 分)
(14 分)
(2 分)
(4 分)
(6 分)
(8 分)
(10 分)
(12 分)
-
所以 y C= -( x C-1) = -.
同理 ,点D的坐标为,(14分 )
-
-
所以2=-= 1 ,
k-= k
-
-
即存在 m= ,使得 k2 = k1 .(16分 ) 19 . (1) 函数h( x)的定义域为 (0,+∞).
当 a= 1时, h(x)=f(x)-g(x)=x2 +x-ln x+2,
所以 ()2 1-,(2 分) h' x = x+ - =
所以当 0 <x<时 ,h'(x)<0;
当 x> 时,h'(x)>0,
所以函数h(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增,
所以当
x=时,函数()取得极小值ln2, 无极大值
.
(4 分)
h x+
(2)设函数 f(x)上点( x1,f(x1))与函数 g(x)上点(x2,g(x2))处切线相同, 则(1)(2)-,
f' x=g' x=
-
所以 2x1+a==
--
(6 分) -
,
所以 x1=-,
代入-
=
11(ln2
-a
), +ax +- x
得 - +ln x2+ -a-2=0 .(*)(8 分)设 F (x)= - +ln x+ -a- 2,
则 F'( x)=- + + =- .
不妨设 2+ax0-1=0( x0>0),
则当 0<x<x0时 ,F'(x)<0;
当 x>x 0时,F'(x) >0,
所以 F(x)在区间(0,x0)上单调递减,在区间(x0,+∞)上单调递增,(10 分)
代入 a= - = -2x 0 ,
得 F (x )min =F ( x 0)= +2x 0 - +ln x 0-2 .
设 G (x )=x 2 +2 x- +ln x-2, 则 G'(x ) =2 x+2+ + >0 对 x>0 恒成立 ,
所以 ( )在区间 (0,
)上单调递增 . 又
G (1)
=
0,
G x
+∞
所以当 0 <x ≤1 时 , G ( x )≤0,
即当 0 0≤1 时, ( 0)≤0 .
(12 分)
<x
F x
又当 x=e a+2 时,
F (x )= -
+lne a+2 + -a-2 =
- ≥0.
(14 分)
因此当 0 <x 0≤1 时,函数 F (x )必有零点 ,即当 0 <x 0≤1 时 ,必存在 x 2 使得 ( *)成立 ,即存在 x 1 ,x 2 使得函数 f (x )上点 (x 1 ,f (x 1))
与函数 g (x )上点 (x 2, g ( x 2)) 处切线相同 .
又由 2 x , 得
y'=- 2 0,
y= -
- <
所以 y= -2 x 在(0,1) 上单调递减 ,
因此 a= -
= -2x 0 ∈[-1,+∞),
所以实数 a 的取值范围是 [-1,+∞).
(16 分)
20 .
(1) 若 0, 4,则 n 4 n- 1( ≥2),
λ=μ= S = a n
所以 a n+1=S n+1 -S n =4( a n -a n- 1),
即 a n+1-2a n =2(a n -2a n-1 ), 所以 b =2 b 1.
(2 分)
n n-
又由
1
2, 1 2
4 1,
a = a +a = a
得 a 2=3 a 1=6,a 2 -2 a 1 =2 ≠0, 即 b n ≠0,
所以
2,故数列 {
n }是等比数列
.
(4 分)
=
b
-
(2) 若{a n }是等比数列 , 设其公比为 q (q ≠0),
当 n= 2 时, S 2 =2λa 2+μa 1,即 a 1 +a 2=2λa 2+μa 1,得
1+q=2λ q+μ; ①
2
2
当 n= 3 时, S 3 =3λa 3+μa 2,即 a 1 +a 2+a 3 =3 λa 3+μa 2,得 1+q+q =3λq +μq ; ②
当 n= 4时, 4 4 43,即 1 2 3 4 4 43 ,得 1 23 4 32
③
S =
λa +μa
a +a +a +a
= λa +μa +q+q +q = λq +μq .
2
②-①×q ,得 1 =λq ,
③-②×q ,得 1
3 ,
=λq
解得 q=1,λ=1.
代入
① 式 ,得 0
(8 分)
μ=.
此时 S n =na n (n ≥2),
所以
n
1 2,数列 { n }是公比为 1
的等比数列 ,
a
=a =
a
故 λ=1,μ=0.
(10 分)
(3) 若 a 2=3,由 a 1+a 2+2λa 2+μa 1, 得 5 =6λ+2μ,
又
,解得 , 1 (12 分)
λ +μ= λ=μ=.
由 a 1=2,a 2 =3,λ=,μ=1,
代入 S n =λ na+μa n-1 ,得 a 3=4, 所以 a 1,a 2 ,a 3 成等差数列 .
由 S n = a n +a n-1 ,得 S n+1 = a n+1 +a n ,
两式相减 ,得 a
n+1 = a
n+1 - a +a -a n- 1 ,
n n
即( n-1)a n+1 -( n-2)a n -2a n-1 =0, 所以 na n+2 -(n-1) a n+1 -2a n =0,
相减 ,得
na n+ 2 2( 1) a n+1 ( 2) n 2 n 2
n-1
0,
- n- + n- a - a + a =
所以 n (a n+2-2 a n+ 1 +a n )+2( a n+1-2a n +a n- 1) =0,
- -
所以 (a n+2-2a n+1 +a n ) =- (a n+1-2a n +a n-1 )=
(a n -2 a n-1+a n-2 )= =
·(a 3-2a 2+a 1 ).
(14 分 )
-
-
因为
1 2 2
+a 3 0,所以
a
n+ 2 2 n+1
n
0,
a - a = - a
+a =
故数列 { a } 是等差数列 .
(16 分 )
n
江苏省苏北四市 2018 届高三第一次模拟考试数
学附加题参考答案及评分标准
21 . A. 连接 AD. 因为 AB 为圆的直径 ,所以 AD ⊥BD , 又 EF ⊥AB ,则 A ,D ,E ,F 四点共圆 ,
所以
· ·
(5 分)
BD BE=BA BF.
又△
∽△
,
ABC
AEF
所以 = ,即 AB ·AF=AE ·AC ,
所以
· · · ·
·( ) 2
. (10 分 )
BE BD-AE AC=BA BF-AB AF=AB BF-AF
=AB
B. 因为 M=BA= =
-
(5 分 )
- ,
-
所以 M - 1=
.
(10 分)
- -
C. 把直线方程 l :
化成普通方程为 x+y= 2.
(3 分)
-
2
ρcos θ-2 ρsin θ=0 2 2
-2 y=0,
将圆 C :ρ+2 化成普通方程为 x +2x+y
即( x+1) 2+( y-1) 2=2.
(6 分)
圆心 C 到直线 l 的距离为 d=
=
,
所以直线 l 与圆 C 相切 . (10 分 )
D.因为 [(1 +a)+(1+b)+(1+c )+(1 +d)]·
≥
=(a+b+c+d )2=1,(5 分)又(1 +a)+(1 +b) +(1 +c)+(1 +d)=5,
所以+++≥ .(10 分) 22 . (1)因为 AB=1,AA1=2,则 F(0,0,0), A,C -,B,E,所以=(-1,0,0),= -. (2分)记直线 AC 和 BE 所成的角为α,
则 cos cos
<,
>|
α =|
=-
=, -
所以直线 AC 和 BE 所成角的余弦值为.(4 分) (2)设平面 BFC1的法向量为 m=(x1,y1, z1),
因为=,=-,
则
-
取 x1=4,得 m=(4,0,1) .(6 分)
设平面
BCC 1 的法向量为(2, 2, 2 ),
n= x y z
因为=,=(0,0,2),
则
取 x2=,得n=(,-1,0) .(8 分) -
所以 cos <m, n>=
-
=.
根据图形可知二面角 F -BC 1-C 为锐二面角,
所以二面角-1-的余弦值为
.(10 分)
F BC C
23 . (1) 因为抛物线 C 的方程为 y2 =4x,所以 F 的坐标为(1,0),设 M(m, n),因为圆 M 与 x 轴、直线 l 都相切,l 平行于 x 轴,
所以圆
M 的半径为
|n|
,点(2,2),
P n n
则直线 PF 的方程为= --,
即 2 n(x-1) -y(n2-1) =0,(2 分)
所以---
=|n|,又,≠0,
-
m n
所以22121,即n2-m+10,
|m-n - |=n +=
所以 E 的方程为 y2=x- 1( y≠0).(4 分) (2) 设Q(t2+1, t), A(0,y1 ),B(0,y2),
由(1) 知, 点Q处的切线l1的斜率存在 ,由对称性不妨设t>0,
由 y'=,所以k AQ=-
=
-
- ,
,k BQ==-2
--
所以1
= -, 2233,(6 分)
y y =t +t
所以 AB=-
=2t3+ t+ (t>0) .(8 分)令 f(t)=2t3+ t+ ,t>0,
则 f' (t)=6 t2 + -=-,
由 f' (t)>0,得 t>-;
由 f' (t)<0,得0<t<所以 f(t)在区间-
,
-
上单调递减 ,在-上单调递增 ,
所以当-时 , ()取得极小值也是最小值,即
AB 取得最小值 ,
t= f t
此时 s=t2 +1=.(10 分)。