高考数学总复习:定积分与微积分基本定理
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⾼考数学总复习:定积分与微积分基本定理
定积分的性质
(1)(为常数),
(2),
(3)(其中),
(4)利⽤函数的奇偶性求积分:
若函数在区间上是奇函数,则;
若函数在区间上是偶函数,则.
微积分基本定理
如果,且在上连续,
则,其中叫做
的⼀个原函数.由于
也是的原函数,其中c为常数.
⼀般地,原函数在上的改变量
简记作.因此,微积分基本定理可以写成形式:
.
说明:求定积分主要是要找到被积函数的原函数,也就是说,要找到⼀个函数,它的导函数等于被积函数.由此,求导运算与求原函数运算互为逆运算.
定积分的⼏何意义
设函数在区间上连续.
在上,当时,定积分在⼏何上表⽰由曲线以及直线
与轴围成的曲边梯形的⾯积;
在上,当时,由曲线以及直线与轴围成的曲边梯形位于轴下⽅,定积分在⼏何上表⽰上述曲边梯形⾯积的负值;
在上,当既取正值⼜取负值时,定积分的⼏何意义是曲线,两条直线与轴所围成的各部分⾯积的代数和. 在轴上⽅的⾯积积分时取正号,在轴下⽅的⾯积积分时,取负号.
应⽤
1. 如图,由三条直线,,轴(即直线)及⼀条曲线
()围成的曲边梯形的⾯积:;
2. 如图,由三条直线,,轴(即直线)及⼀条曲线
()围成的曲边梯形的⾯积:
;
3. 如图,由曲线及直线,围成图形的⾯积公式为:.
4.利⽤定积分求平⾯图形⾯积的步骤:
(1)画出草图,在直⾓坐标系中画出曲线或直线的⼤致图像;
(2)借助图形确定出被积函数,求出交点坐标,确定积分的上、下限;
(3)写出定积分表达式;
(4)求出平⾯图形的⾯积.
1、由直线与曲线y=cosx所围成的封闭图形的⾯积为()
A、B、1 C、D、
2、由曲线y=x2,y=x3围成的封闭图形⾯积为()
A、B、C、D、
3、已知甲、⼄两车由同⼀起点同时出发,并沿同⼀路线(假定为直线)⾏驶.甲车、⼄车的速度曲线分别为V甲和V已(如图所⽰).那么对于图中给定的t0和t1,下列判断中⼀定正确的是()
A、在t1时刻,甲车在⼄车前⾯
B、t1时刻后,甲车在⼄车后⾯
C、在t0时刻,两车的位置相同
D、t0时刻后,⼄车在甲车前⾯
4、由曲线xy=1,直线y=x,y=3所围成的平⾯图形的⾯积为
A、B、2﹣ln3 C、4+ln3 D、4﹣ln3
5、从如图所⽰的正⽅形OABC区域内任取⼀个点M(x,y),则点M
取⾃阴影部分的概率为()
A、B、C、D、
6、如图中阴影部分的⾯积是()
A、B、C、D、
7、由曲线y=,直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的⾯积为()
A、B、4 C、D、6
8、(e x+2x)dx等于()
A、1
B、e﹣1
C、e
D、e2+1
9、dx等于()
A、﹣2ln2
B、2ln2
C、﹣ln2
D、ln2
10、已知则∫﹣a a cosxdx=(a>0),则∫0a cosxdx=()
A、2
B、1
C、
D、
11、曲线y=x2+2与直线y=3x所围成的平⾯图形的⾯积为()
B 、
C 、
D 、1
12、若∫0k
(2x ﹣3x 2
)dx=0,则k 等于() A 、0 B 、1 C 、0或1 D 、以上均不对
13、如图所⽰,曲线y=x 2
和曲线y=围成⼀个叶形图(阴影部分),其⾯积是()
A 、1
B 、
C 、
D 、
14、由曲线y 2
=2x 和直线y=x ﹣4所围成的图形的⾯积为 _________ . 15、由曲线
和直线y=x ﹣4,x=1,x=2围成的曲边梯形的⾯积
是 _________ .
16、从如图所⽰的长⽅形区域内任取⼀个点M (x ,y ),则点M 取⾃阴影部分部分的概率为 _________ . 17、设函数f (x )=ax 2
+c (a≠0),若,0≤x 0≤1,则
x 0的值为 _________ . 18.设3
2
1()252
f x x x x =-
-+,当]2,1[-∈x 时,()f x m <恒成⽴,则实数m 的取值范围为。
19.函数322(),f x x ax bx a =+++在1=x 时有极值10,那么b a ,的值分别为________。
20.已知c bx ax x f ++=2
4)(的图象经过点(0,1),且在1x =处的切线⽅程是2y x =-
(1)求)(x f y =的解析式;(2)求)(x f y =的单调递增区间。
21.平⾯向量11),(2a b =-=
,若存在不同时为0的实数k 和t ,使
(3),,x a t b y ka tb =+-=-+ 且x y ⊥,试确定函数()k f t =的单调区间。
22.已知函数32()f x x ax bx c =+++在2
3
x =-与1x =时都取得极值 (1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间
(2)若对[1,2]x ∈-,不等式2()f x c <恒成⽴,求c 的取值范围。
23.已知23()log x ax b
f x x
++=,(0,)x ∈+∞,是否存在实数a b 、,使)(x f 同时满⾜下列两个
条件:(1))(x f 在(0,1)上是减函数,在[)1,+∞上是增函数;(2))(x f 的最⼩值是1,若存在,求出a b 、,若不存在,说明理由.。