2024学年浙江诸暨市牌头中学高三联合模拟考试数学试题试卷

2024学年浙江诸暨市牌头中学高三联合模拟考试数学试题试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．定义在R 上的函数()()f x x g x =+，()22(2)g x x g x =--+--，若()f x 在区间[)1,-+∞上为增函数，且存在
20t -<<，使得(0)()0f f t ⋅<.则下列不等式不一定成立的是（ ）
A ．()2
112f t t f ⎛⎫++> ⎪⎝⎭
B ．(2)0()f f t ->>
C ．(2)(1)f t f t +>+
D ．(1)()f t f t +>
2．已知命题:p 若1a <，则21a <，则下列说法正确的是（ ） A ．命题p 是真命题 B ．命题p 的逆命题是真命题
C ．命题p 的否命题是“若1a <，则21a ≥”
D ．命题p 的逆否命题是“若21a ≥，则1a <” 3．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（π
0,0,2
A >><ωϕ）的部分图象如图所示，且()()0f a x f a x ++-=，则a 的最小值为（ ）
A ．π12
B ．
π6 C ．π3
D ．5π12
4．已知()4sin 5πα+=
，且sin 20α<，则tan 4πα⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的值为（ ）
A ．7
B ．7-
C ．
17
D ．17
-
5．某地区高考改革，实行“3+2+1”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有（ ） A ．8种
B ．12种
C ．16种
D ．20种
6．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线的倾斜角为θ，且5
cos 5
θ=，则该双曲线的离心率为（ ）
A ．5
B ．
5
2
C ．2
D ．4
7．设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b m ⊥则“αβ⊥”是“a b ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．即不充分不必要条件
8．若P 是q ⌝的充分不必要条件，则⌝p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 9．函数
的定义域为（ ）
A ．[，3）∪（3，+∞）
B ．（-∞，3）∪（3，+∞）
C ．[，+∞）
D ．（3，+∞）
10．已知定义在R 上的偶函数()f x ，当0x ≥时，2
2()2x
x x f x e +=-，设2
2),(2),(ln )2
a f
b f
c f ===，
则（ ） A ．b a c >>
B ．b a c >=
C ．a c b =>
D ．c a b >>
11．若复数z 满足(23i)13i z +=，则z =（ ） A ．32i -+
B ．32i +
C ．32i --
D ．32i -
12．已知()()()[)3log 1,1,84,8,6
x x f x x x ⎧+∈-⎪
=⎨∈+∞⎪-⎩ 若()()120f m f x ⎡⎤--≤⎣⎦在定义域上恒成立，
则m 的取值范围是（ ） A ．()0,∞+
B ．[)1,2
C ．[)1,+∞
D ．()0,1
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．正四棱柱1111ABCD A B C D -中，4AB =
，1AA =若M 是侧面11BCC B 内的动点，且AM MC ⊥，则1A M 与平面11BCC B 所成角的正切值的最大值为___________.
14．已知实数,x y 满约束条件20,
250,1,x y x y y -+⎧⎪
+-⎨⎪⎩
，则3z x y =-+的最大值为___________.
15．ABC ∆内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos 2c B a b =+，则C ∠=__________．
16．从分别写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为__________.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知函数()|21||1|f x x ax =+--，a R ∈． （1）当2a =时，求不等式1()1f x -≤≤的解集；
（2）当1
(,0)2
x ∈-时，不等式()2f x x >恒成立，求实数a 的取值范围． 18．（12分）已知1()252
f x x x =+--. （1）求不等式()1f x 的解集；
（2）记()f x 的最小值为m ，且正实数,a b 满足
44
a b a mb b ma
+=+--.证明：2a b +.
19．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>
的离心率为2
，且过点()0,1A .
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）点P 是椭圆上异于短轴端点A ，B 的任意一点，过点P 作PQ y ⊥轴于Q ，线段PQ 的中点为M .直线AM 与直线1y =-交于点N ，D 为线段BN 的中点，设O 为坐标原点，试判断以OD 为直径的圆与点M 的位置关系. 20．（12分）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2
8cos 2cos 232
B C
A +-= （1）求A ；
（2）若2a =，且ABC
ABC 周长的取值范围.
21．（12分）已知函数()2
ln 1f x x x ax =-+，a R ∈.
（1）若曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线方程为1
2
y x b =
+，求a ，b ； （2）当1x ≥时，()2
31f x ax ax '≤-+，求实数a 的取值范围.
22．（10分）已知函数()()
2
1cos f x x x =+.
（Ⅰ）若α是第二象限角，且sin 3
α=，求()f α的值； （Ⅱ）求函数()f x 的定义域和值域.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D 【解题分析】
根据题意判断出函数的单调性，从而根据单调性对选项逐个判断即可． 【题目详解】
由条件可得(2)2(2)2()22()()f x x g x x g x x g x x f x --=--+--=--+++=+=
∴函数()f x 关于直线1x =-对称；
()f x 在[1-，)+∞上单调递增，且在20t -<<时使得(0)()0f f t <；
又
(2)(0)f f -=
()0f t ∴<，(2)(0)0f f -=>，所以选项B 成立；
22311
2()0224t t t ++-
=++>，21t t ∴++比12
离对称轴远， ∴可得21
(1)()2
f t t f ++>，∴选项A 成立；
22(3)(2)250t t t +-+=+>，|3||2|t t ∴+>+，∴可知2t +比1t +离对称轴远 (2)(1)f t f t ∴+>+，选项C 成立；
20t -<<，22(2)(1)23t t t ∴+-+=+符号不定，|2|t ∴
+，|1|t +无法比较大小，
(1)()f t f t ∴+>不一定成立．
故选：D ． 【题目点拨】
本题考查了函数的基本性质及其应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 2、B 【解题分析】
解不等式，可判断A 选项的正误；写出原命题的逆命题并判断其真假，可判断B 选项的正误；利用原命题与否命题、逆否命题的关系可判断C 、D 选项的正误.综合可得出结论. 【题目详解】
解不等式21a <，解得11a -<<，则命题p 为假命题，A 选项错误； 命题p 的逆命题是“若21a <，则1a <”，该命题为真命题，B 选项正确； 命题p 的否命题是“若1a ≥，则21a ≥”，C 选项错误； 命题p 的逆否命题是“若21a ≥，则1a ≥”，D 选项错误． 故选：B ． 【题目点拨】
本题考查四种命题的关系，考查推理能力，属于基础题. 3、A 【解题分析】
a 是函数()f x 的零点，根据五点法求出图中零点及y 轴左边第一个零点可得．
【题目详解】 由题意3114126T ππ=
-，T π=，∴函数()f x 在y 轴右边的第一个零点为56412
πππ
+=，在y 轴左边第一个零点是6
4
12
π
π
π
-
=-
，
∴a 的最小值是12
π
．
故选：A. 【题目点拨】
本题考查三角函数的周期性，考查函数的对称性．函数()sin()f x A x ωϕ=+的零点就是其图象对称中心的横坐标． 4、A 【解题分析】
由()4
sin 5
πα+=及sin 20α<得到sin α、cos α，进一步得到tan α，再利用两角差的正切公式计算即可. 【题目详解】
因为()4sin 5
πα+=
，所以4sin 5α=-，又sin 22sin cos 0ααα=<，所以3
cos 5α=，
4tan 3α=-，所以41tan 13tan 7441tan 13
πααα--
-⎛⎫-=
== ⎪+⎝
⎭-. 故选：A. 【题目点拨】
本题考查三角函数诱导公式、二倍角公式以及两角差的正切公式的应用，考查学生的基本计算能力，是一道基础题. 5、C 【解题分析】
分两类进行讨论：物理和历史只选一门；物理和历史都选，分别求出两种情况对应的组合数，即可求出结果. 【题目详解】
若一名学生只选物理和历史中的一门，则有12
2412C C =种组合； 若一名学生物理和历史都选，则有1
44C =种组合；
因此共有12416+=种组合. 故选C 【题目点拨】
本题主要考查两个计数原理，熟记其计数原理的概念，即可求出结果，属于常考题型. 6、A 【解题分析】
由倾斜角的余弦值，求出正切值，即,a b 的关系，求出双曲线的离心率. 【题目详解】
解：设双曲线的半个焦距为c ，由题意[0,)θπ∈
又cos θ=
，则sin θ=，tan 2θ=，2b a =
，所以离心率c e a === 故选：A . 【题目点拨】
本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题
7、A 【解题分析】
试题分析：α⊥β， b ⊥m 又直线a 在平面α内，所以a ⊥b ，但直线
不一定相交，所以“α⊥β”是“a ⊥b”
的充分不必要条件，故选A. 考点：充分条件、必要条件. 8、B 【解题分析】
试题分析：通过逆否命题的同真同假，结合充要条件的判断方法判定即可．
由p 是q ⌝的充分不必要条件知“若p 则q ⌝”为真，“若q ⌝则p”为假，根据互为逆否命题的等价性知，“若q 则p ⌝”为真，“若p ⌝则q”为假，故选B ． 考点：逻辑命题 9、A 【解题分析】
根据幂函数的定义域与分母不为零列不等式组求解即可. 【题目详解】 因为函数，
解得且
；
函数的定义域为
, 故选A ．
【题目点拨】
定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域由不等式
求出.
10、B 【解题分析】
根据偶函数性质，可判断,a c 关系；由0x ≥时，22()2
x x x f x e +=-，求得导函数，并构造函数()1x g x e x =--，由()g x '进而判断函数()f x 在0x ≥时的单调性，即可比较大小. 【题目详解】
()f x 为定义在R 上的偶函数，
所以(ln c f f f ⎛⎛==-= ⎝⎭⎝⎭
所以a c =;
当0x ≥时，22()2
x
x x
f x e +=-，
则)1(x
f x e x =--'， 令()1x
g x e x =--
则1()x g x e '=-，当0x ≥时，)0(1x
g x e =-≥'， 则()1x g x e x =--在0x ≥时单调递增，
因为0
00)10(g e =--=，所以1(0)x
g x e x --=≥， 即)0(1x x f x e =--≥'，
则22()2
x
x x
f x e +=-在0x ≥时单调递增，
而0<<
(
f f
<，
综上可知，(ln ln 2f f f
⎛=< ⎝⎭
即a c b =<， 故选：B. 【题目点拨】
本题考查了偶函数的性质应用，由导函数性质判断函数单调性的应用，根据单调性比较大小，属于中档题. 11、B 【解题分析】 由题意得,13i
23i
z =+,求解即可. 【题目详解】
因为(23i)13i z +=,所以13i 13i(23i)26i 39
32i 23i (23i)(23i)49
z -+====+++-+. 故选:B.
【题目点拨】
本题考查复数的四则运算,考查运算求解能力,属于基础题. 12、C 【解题分析】
先解不等式()2f x ≤，可得出89x ≥-，求出函数()y f x =的值域，由题意可知，不等式()()819
m f x -≥-在定义域上恒成立，可得出关于m 的不等式，即可解得实数m 的取值范围. 【题目详解】
()()()[)3log 1,1,84,8,6
x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨∈+∞⎪-⎩，先解不等式()2f x ≤.
①当18x -<<时，由()()3log 12f x x =+≤，得()32log 12x -≤+≤，解得889x -≤≤，此时8
89
x -≤<； ②当8x ≥时，由()4
26
f x x =
≤-，得8x ≥. 所以，不等式()2f x ≤的解集为89x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭
.
下面来求函数()y f x =的值域.
当18x -<<时，019x <+<，则()3log 12x +<，此时()()3log 10f x x =+≥； 当8x ≥时，62x -≥，此时()(]4
0,26
f x x =
∈-. 综上所述，函数()y f x =的值域为[)0,+∞， 由于()()120f m f x ⎡⎤--≤⎣⎦在定义域上恒成立，
则不等式()()819
m f x -≥-在定义域上恒成立，所以，10m -≥，解得m 1≥. 因此，实数m 的取值范围是[
)1,+∞. 故选：C. 【题目点拨】
本题考查利用函数不等式恒成立求参数，同时也考查了分段函数基本性质的应用，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、2. 【解题分析】
如图，以D 为原点建立空间直角坐标系，设点(),4,M m n ，由AM MC ⊥得()2
224m n -+=，证明11A MB 为1A M
与平面11BCC B 所成角，令22cos ,2sin m n θθ=+=，用三角函数表示出11tan A MB ∠，求解三角函数的最大值得到结果. 【题目详解】
如图，以D 为原点建立空间直角坐标系，设点(),4,M m n ，则()()(14,0,0,0,4,0,4,4,23A C B ，
()(),0,,4,4,CM m n AM m n ∴==-，又AM MC ⊥，
得2240,AM CM m m n ⋅=-+=即()2
224m n -+=；
又11A B ⊥平面11BCC B ，11A MB ∴∠为1A M 与平面11BCC B 所成角， 令[]22cos ,2sin ,0,m n θθθπ=+=∈，
()
()
()
()
11
112
2
12
2
tan 423
2cos 22sin 23
2016sin 6A B A MB B M m n πθθθ∴∠=
=-+-=
=
⎛
⎫-+--+ ⎪
⎝
⎭
∴当3
π
θ=
时，11tan A MB ∠最大，即1A M 与平面11BCC B 所成角的正切值的最大值为2.
故答案为：2 【题目点拨】
本题主要考查了立体几何中的动点问题，考查了直线与平面所成角的计算.对于这类题，一般是建立空间直角坐标，在动点坐标内引入参数，将最值问题转化为函数的最值问题求解，考查了学生的运算求解能力和直观想象能力. 14、8 【解题分析】
画出可行域和目标函数，根据平移计算得到答案.
【题目详解】
根据约束条件20,250,1,x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪⎩
，画出可行域，图中阴影部分为可行域. 又目标函数3,3
z z x y =-+表示直线30x y z -+=在y 轴上的截距， 由图可知当30x y z -+=经过点(1,3)P 时截距最大，故z 的最大值为8.
故答案为：8.
【题目点拨】
本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.
15、120︒
【解题分析】
∵2cos 2c B a b =+，∴222
222a c b c a b ac
+-⨯=+，即222a b c ab +-=-， ∴2221cos 22
a b c C ab +-==-，∴120C =︒． 16、58
【解题分析】
基本事件总数4416n =⨯=，抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数包含的基本事件有10种，由此能求出抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率．
【题目详解】
从分别写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，
基本事件总数4416n =⨯=，
抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数包含的基本事件有10种，分别为：
(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)， 则抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为105168
p ==． 故答案为：58
【题目点拨】
本题考查古典概型概率的求法，考查运算求解能力，求解时注意辨别概率的模型．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、 (1) 11[,]44
- (2) [4,0)-
【解题分析】
（1）当2a =时，12,211()|21||21|4,2212,2x f x x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+--=-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩，当21x <-或12x >时，|()|2f x =，所以1()1f x -≤≤可转化为112
4211x x -≤-≤≤⎧≤⎪⎨⎪⎩， 解得1144x -
≤≤，所以不等式1()1f x -≤≤的解集为11[,]44
-． （2）因为1(,0)2x ∈-，所以|21|21x x +=+， 所以()2f x x >，即21|1|2x ax x +-->，即|1|1ax -<．
当0a ≥时，因为1(,0)2x ∈-，所以|1|1ax -≥，不符合题意．
当0a <时，解|1|1ax -<可得20x a
<<， 因为当1(,0)2
x ∈-时，不等式()2f x x >恒成立，所以12(,0)(,0)2a -⊆， 所以212
a ≤-，解得40a -≤<，所以实数a 的取值范围为[4,0)-． 18、（1）13|2x x ⎧-
⎨⎩或76x ⎫-⎬⎭
；（2）见解析 【解题分析】 （1）根据1()252
f x x x =+--，利用零点分段法解不等式，或作出函数()f x 的图像，利用函数的图像解不等式；
（2）由（1）作出的函数图像求出()f x 的最小值为3-，可知3m =-，代入44a b a mb b ma +=+--中，然后给等式两边同乘以+a b ，再将44a b +写成(3)(3)a b a b +++后，化简变形，再用均值不等式可证明.
【题目详解】
（1）解法一：1°52x -
时，()1f x ，即1112x --，解得132x -； 2°5122x -<<时，()1f x ，即9312x +，解得7162
x -<； 3°12x 时，()1f x ，即1112x +，解得12x . 综上可得，不等式()1f x 的解集为13|2x x ⎧
-⎨⎩或76x ⎫-⎬⎭
. 解法二：由115,,221951()253,,2222
111,,22x x f x x x x x x x ⎧---⎪⎪⎪=+--=+-<<⎨⎪⎪+⎪⎩
作出()f x 图象如下：
由图象可得不等式()1f x 的解集为13|2x x ⎧
-⎨⎩或76x ⎫-⎬⎭
. （2）由115,,221951()253,,2222
111,,22x x f x x x x x x x ⎧---⎪⎪⎪=+--=+-<<⎨⎪⎪+⎪⎩
所以()f x 在5,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上单调递减，在)
5,2⎡-+∞⎢⎣上单调递增，
所以min 5()32f x m f ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭
， 正实数,a b 满足4433a b a b b a +=+++，则244()()33a b a b a b b a ⎛⎫++=+ ⎪++⎝⎭
， 即1133[(3)(3)]22243333a b b a a a b b a a b b a b a a b b ++⎛⎫⎛++++=+++= ⎪ ++++⎝⎭⎝， （当且仅当
3333a b b a b a a b ++=++即a b =时取等号） 故2a b +≥，得证.
【题目点拨】
此题考查了绝对值不等式的解法，绝对值不等式的性质和均值不等式的运用，考查了分类讨论思想和转化思想，属于中档题.
19、（1）2
214
x y +=（2）点M 在以OD 为直径的圆上 【解题分析】
（1）根据题意列出关于a ，b ，c
的方程组，解出a ，b ，c 的值，即可得到椭圆C 的标准方程；
（2）设点0(P x ，0)y ，则0(2
x M ，
0)y ，求出直线AM 的方程，进而求出点N 的坐标，再利用中点坐标公式得到点D 的坐标，下面结合点P 在椭圆C 上证出0OM DM →→⋅=，所以点M 在以OD 为直径的圆上．
【题目详解】
（1）由题意可知，2221b c a
a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，
∴椭圆C 的标准方程为：2214
x y +=. （2）设点0(P x ，0)y ，则0(2
x M ，0)y ， ∴直线AM 的斜率为000012(1)02
y y x x --=-， ∴直线AM 的方程为：00
2(1)1y y x x -=+， 令1y =-得，00
1x x y =-，
∴点N 的坐标为00(
1x y -，1)-， ∴点D 的坐标为00(
2(1)x y -，1)-， ∴0(2
x OM DM →→⋅=，2220000000000)(,1)22(1)444x x x x y y y y y y ⋅-+=+-+--， 又点0(P x ，0)y 在椭圆C 上， ∴220014
x y +=，220044x y =-， ∴2000004(1)11(1)04(1)y OM DM y y y y →→
-⋅=-+=-++=-， ∴点M 在以OD 为直径的圆上．
【题目点拨】
本题主要考查了椭圆方程，考查了中点坐标公式，以及平面向量的基本知识，属于中档题．
20、（1）3A π
=（2）(4,6]
【解题分析】
（1）利用二倍角公式及三角形内角和定理，将28cos 2cos 232
B C A +-=化简为24cos 4cos 30A A +-=，求出cos A 的值，结合(0,)A π∈，求出A 的值；
（2
求出4bc .由余弦定理，结合2a =，3A π=
，求出b c +的范围，注意2b c a +>=.进而求出周长的范围.
【题目详解】
解：（1）28cos 2cos 232
B C A +-= 4(1cos())2cos 23B C A ∴++-=
整理得24cos 4cos 30A A +-=
解得1cos 2
A =或3cos 2A =-(舍去) 又(0,)A π∈
3A π
∴=；
（
2）由题意知ABC 1sin 2S bc A ∆==≤
4bc ∴，
又222
2cos ,2b c a bc A a +-==， 224b c bc ∴+=+，
2()4316b c bc ∴+=+
又2b c +>
24b c ∴<+<
46a b c ∴<++
ABC ∴周长的取值范围是(4,6]
【题目点拨】
本题考查了二倍角余弦公式，三角形面积公式，余弦定理的应用，求三角形的周长的范围问题.属于中档题.
21、（1）1414
a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
；（2）[)1,+∞ 【解题分析】 (1)对函数求导，运用()112
f '=可求得a 的值，再由()()1,1f 在直线上，可求得b 的值； (2)由已知可得2ln 0x ax ax -+≤恒成立，构造函数()2ln
g x x ax ax =-+，对函数求导，讨论a 和0的大小关系，
结合单调性求出最大值即可求得a 的范围.
【题目详解】
（1）由题得()ln 12f x x ax '=+-，
因为()y f x =在点()()1,1f 与12
y x b =+相切 所以()()111221112f a f a b ⎧=-=⎪⎪⎨⎪=-=+⎩'⎪，∴1414a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（2）由()231f x ax ax '≤-+得2ln 0x ax ax -+≤，令()2ln g x x ax ax =-+，只需()max 0g x ≤
()21212ax ax g x ax a x x
-++'=-+=，设()221h x ax ax =-++（1x ≥）， 当0a =时，()0g x '≥，()g x 在1x ≥时为增函数，所以()()10g x g ≥=，舍；
当0a <时，()h x 开口向上，对称轴为14
x =
，()110h a =->，所以()g x 在1x >时为增函数， 所以()()10g x g ≥=，舍； 当0a >时，二次函数()h x 开口向下，且()010h =>，
所以()h x 在0x >时有一个零点0x ，在()00,x 时()0h x >，在()0,x +∞时()0h x <，
①当()110h a =-≤即1a ≥时，()h x 在()1,+∞小于零，
所以()g x 在1x ≥时为减函数，所以()()10g x g ≤=，符合题意；
②当()110h a =->即1a <时，()h x 在()01,x 大于零，
所以()g x 在()01,x 时为增函数，所以()()010g x g ≥=，舍.
综上所述：实数a 的取值范围为[)1,+∞
【题目点拨】
本题考查函数的导数，利用导数求函数的单调区间及函数的最小值，属于中档题．处理函数单调性问题时，注意利用导函数的正负，特别是已知单调性问题，转化为函数导数恒不小于零，或恒小于零，再分离参数求解，求函数最值时分析好单调性再求极值，从而求出函数最值．
22、（Ⅱ）函数()f x 的定义域为,,2x x R x k k Z ππ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭
且，值域为13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【解题分析】
（1）由α为第二象限角及sin α的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cos α及tan α的值，再代入()f x 中即可得到结果.
（2）函数()f x 解析式利用二倍角和辅助角公式将()f x 化为一个角的正弦函数，根据x 的范围，即可得到函数值域.
【题目详解】
解：（1）因为α是第二象限角，且sin 3α=
，
所以cos α=
所以sin tan cos ααα
==
所以()(2
1133f α⎛=-= ⎝⎭.
（2）函数()f x 的定义域为,,2x x R x k k Z ππ⎧
⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭
且.
化简，得()()
21cos f x x x ==
21cos x ⎛= ⎝
2cos cos x x x =
1cos 222x x +=+ 1sin 262x π⎛⎫=++ ⎪⎝
⎭， 因为x ∈R ，且2x k ππ≠+
，k Z ∈， 所以72266x k π
ππ+≠+
， 所以1sin 216x π⎛
⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭
. 所以函数()f x 的值域为13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
. （注：或许有人会认为“因为2x k ππ≠+
，所以()0f x ≠”，其实不然，因为06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭.） 【题目点拨】
本题考查同角三角函数的基本关系式，三角函数函数值求解以及定义域和值域的求解问题，涉及到利用二倍角公式和辅助角公式整理三角函数关系式的问题，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，属于常考题型.。