(易错题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试卷(含答案解析)(1)

一、选择题
1．1220
1x dx -=⎰
（ ）
A ．
12
π
B ．
3128
π+ C ．
368
π+ D ．
3
64
π+
2．直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ） A ．22
B ．42
C ．2
D ．4
3．如图，由曲线21y x =-直线0,2x x ==和x 轴围成的封闭图形的面积是（ ）
A ．1
B ．
23
C ．
43
D ．2
4．设1
1
30
,,a xdx b xdx c x dx =
==⎰
⎰⎰，则,,a b c 的大小关系为（ ）
A ．b c a >>
B ．b a c >>
C ．a c b >>
D ．a b c >>
5．对于函数()sin x f x x =
， 30,2x π⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
，下列说法错误的是（ ） A ．函数()f x 在区间()0,π是单调函数 B ．函数()f x 只有1个极值点 C ．函数()f x 在区间0,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
有极大值 D ．函数()f x 有最小值，而无最大值 6．曲线x
y e =在点（0，1）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） A ．
1
2
B ．1
C ．2
D ．3 7．定积分2
20
[4(2)]x x dx --⎰
的值为（ ）
A ．
2
4
π- B ．2π- C ．22π- D ．48π-
8．())
12
20
11d x x x --⎰的值是（ ）
A ．
π143- B ．
π14
- C ．
π123
- D ．
π12
-
9．若向区域(){},|0101x y x y Ω=
≤≤≤≤，
内投点，则该点落在由直线y x =
与曲线y = ）
A ．
1
8
B ．
16
C ．
13
D ．
12
10．函数(
)2,0
2
x x f x x -<⎧⎪=≤≤，则2
2
()f x dx -⎰
的值为（ ）
A ．6π+
B ．2π-
C ．2π
D ．8
11．函数0
()(4)x
f x t t dt =
-⎰
在[1,5]-上（ ）
A ．有最大值0，无最小值
B ．有最大值0，最小值32
3
-
C ．最小值32
3
-，无最大值 D ．既无最大值，也无最小值
12．
=⎰
（ ）
A ．1
B ．
4
π C ．
2
π D ．π
二、填空题
13．若2
211
S x dx =⎰
，2211S dx x
=⎰，2
31x S e dx =⎰，则1S ，2S ，3S 的大小关系为___．
14．
)
2
x dx =⎰
______.
15．设函数2y nx n =-+和11
22
y x n =-
+（*n N ∈，2n ≥）的图像与两坐标轴围成的封闭图形的面积为n S ，则lim n n S →∞
=________ 16．若11
2lim 22n n
n n n t t +-→+∞-=+ ，则实数t 的取值范围是_____________.
17．曲线2y
x x 和2y x x 所围成的封闭图形的面积是_______.
18．曲线()sin 0πy x x =≤≤与x 轴围成的封闭区域的面积为__________． 19．
(
)40
sin cos 2
x a x dx π
-=⎰，则实数a =____________. 20．从如图所示的正方形OABC 区域内任取一个点M （x ，y ），则点M 取自阴影部分的概率为__．
三、解答题
21．已知二次函数()f x 满足(0)0f =，且对任意x 恒有(1)()22f x f x x +-=+. （1）求()f x 的解析式；
（2）设函数()()'()g x f x f x λ=-，其中
'()f x 为()f x 的导函数.若对任意[0,1]x ∈，函
数()y g x =的图象恒在x 轴上方，求实数λ的取值范围.
22．设点P 在曲线y ＝x 2上，从原点向A (2,4)移动，如果直线OP ，曲线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积分别记为S 1、S 2.
(1)当S 1＝S 2时，求点P 的坐标；
(2)当S 1＋S 2有最小值时，求点P 的坐标和最小值． 23．已知函数2
()11
x
f x x =
++，2()e (0)ax g x x a =<． （1）求函数()f x 的单调区间．
（2）若对任意1x ，2[0,2]x ∈，12()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围．
24．设函数()32,0
{,0
x
x x x f x axe x ->=≤，其中0a >. （1）若直线y m =与函数()f x 的图象在(]
0,2上只有一个交点，求m 的取值范围； （2）若()f x a ≥-对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围. 25．计算下列各式的值． （1） ()0
sin cos d x x x π
-⎰；
（2）
21
32d x x x +-⎰
．
26．已知函数()x
ae f x x x
=+．
（1）若函数()f x 的图象在(1,(1))f 处的切线经过点(0,1)-，求a 的值；
（2）是否存在负整数a ，使函数()f x 的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a 的值；若不存在，请说明理由；
（3）设0a >，求证：函数()f x 既有极大值，又有极小值
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
令21y x =-，则()2
2
10x y y +=≥，点(),x y 的轨迹表示半圆，则该积分表示该半圆
与y 轴，1
2
x =，x 轴围成的曲边梯形的面积，求出面积即可. 【详解】
解：令21y x =-，则()2
2
10x y y +=≥，点(),x y 的轨迹表示半圆，
12
20
1x dx -⎰
表示以原点为圆心，2为半径的圆的上半圆与y 轴，1
2
x =
，x 轴围成的曲边梯形的面积，如图：
故
1220
1131311222612
OAB BOC
x dx S
S ππ
-=+=⨯⨯⨯=+扇形. 故选：B. 【点睛】
本题考查定积分的几何意义，属基础题.
2．D
解析：D 【解析】
直线4y x =与曲线3y x =的交点坐标为(0,0)和(2,8)， 故直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积
2
3242001(4)2|8444S x x dx x x ⎛⎫=⎰-=-=-= ⎪⎝
⎭．故选D ．
3．D
解析：D 【解析】
由曲线21y x =-直线0,2x x ==和x 轴围成的封闭图形的面积是
1
2
2
20
1
(1)(1)S x dx x dx =---⎰⎰
3132
01
11281()|()|2133333
x x x x -+-=+--+ 4．D
解析：D 【解析】
根据微积分定理，31
200
22|33a x ⎛⎫=
== ⎪⎝⎭
，1
210
011|22b xdx x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎰，1
3410
011|44c x dx x ⎛⎫
=== ⎪⎝⎭⎰，所以a b c >>，故选择D 。

5．C
解析：C
【解析】函数()sin x f x x =
，可得函数()2cos sin 'x x x f x x -= ，当02x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，时，由三角函数线可知， tan x x <，即不等式cos sin 0x x x -<成立，可得02x π⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，时，
()'0f x < ，函数是减函数．当,2x ππ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时， cos sin 0x x x -<，函数是减函数．函数
在2
x π= 时连续，所以函数()()sin 0,x
f x x x
π=
∈，的单调区间为()0π，，又当3,
2x π
π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时， cos sin 0x x x ->，即()'0f x >，则函数在x π=时取得极小值，所以函数()f x 有最小值，而无最大值，据此可知选项C 错误，故选C. 点睛：对于①针对函数()sin x f x x =
的性质，当02x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，时，由三角函数线可知， tan x x <；利用商的导数运算法则及基本初等函数的导数公式，求出函数的导数
()2
cos sin 'x x x
f x x -=
，然后根据导函数的符号确定函数的单调性和函数的极值即可得到
结论．
6．A
解析：A 【解析】
试题分析：'
0x
x
y e y e x =∴=∴=时'
11y k =∴=，直线方程为1y x =+，与两坐标轴
交点为()()1,0,0,1-，所以三角形面积为12
考点：导数的几何意义及直线方程
7．B
解析：B 【解析】
试题分析：由定积分的几何意义有2
20
4(2)x dx --⎰
表示的是以(2,0)为圆心，半径为2
的圆的
1
4
部分，而20xdx ⎰表示的是直线y x =，0,2,x x x ==轴所围成的面积，故
2
20
[4(2)]x x dx ---⎰表示的图形如下图的阴影部分，面积为2
21122242
ππ⨯-⨯=-.故选B.
考点：1.定积分的几何意义；2.方程的化简.
8．A
解析：A 【详解】
因为定积分()()1
11
222200011d 11)(x d x x x x dx x ⎫
⎫--=---⎪⎪⎭⎭
⎰⎰⎰，结合定积分的几何意义可知,原式等于圆心为（1,1），半径为1的四分之一个圆的面积减去
1
3
得到，即为1
43
-π
，选A. 9．B
解析：B 【解析】 区域(){},|01,01x y x y Ω=
≤≤≤≤是正方形，面积为1，根据定积分定理可得直线
y x =与曲线y x =)
1
321200
211|326x x dx x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭⎰，根据几何概型概率公式可得该点落在由直线y x =与曲线y x =1
6
，故选B ．
10．A
解析：A 【分析】 先求出
2
2
()f x dx -=⎰
2
2
64x dx +-⎰
,再求出2
20
4x dx π-=⎰
即得解.
【详解】 由题得
20
2
2220
222
2
01()(2)4(2)|42
f x dx x dx x dx x x x dx ---=-+-=-
+-⎰
⎰⎰
⎰
220
64x dx =+-⎰
,
设24(02,0)y x x y =
-<≤≥,
所以22+4x y =，
所以24(02,0)y x x y =
-<≤≥表示圆22
+4x y =在第一象限的部分(包含与坐标轴的交
点)，其面积为1
4=4
ππ⨯⨯. 所以20
4x dx π-=⎰
.
所以
2
2
()6f x dx π-=+⎰
.
故选：A 【点睛】
本题主要考查定积分的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
11．B
解析：B 【分析】
根据定积分的运算，可得3
21()23
f x x x =-，再利用导数求得()f x 的单调性和极值，检验端点值，即可得答案.
【详解】
由题意，函数3232
011()(4)2233x
x
f x t t dt t t x x ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭⎰，
则2()4(4)f x x x x x '=-=-，
当[1,0)x ∈-时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当(0,4)x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当(4,5]x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增； 又由7(1)3f -=-
，(0)0f =，32(4)3f =-，25
(5)3
f =-， 所以函数()f x 的最大值为0，最小值为32
3
-. 故选：B . 【点睛】
本题考查定积分的运算，利用导数求函数的最值问题，考查分析理解，求值化简的能力，属中档题.
12．B
解析：B 【分析】
令21(1),(0)y x y =--≥，它表示以(1,0)为圆心，以1为半径的圆的上半圆，再利用定积分的几何意义求解即可. 【详解】
令21(1),0y x y =--∴≥， 所以22(1)1x y -+=，(0)y ≥，
它表示以(1,0)为圆心，以1为半径的圆的上半圆，如图所示，
()2
11x dx --⎰
表示由0,10x x y ===，和半圆围成的曲边梯形的面积，即14
个圆的面
积.
由题得
14
个圆的面积为2
11=44ππ⨯⨯.
由定积分的几何意义得=
⎰
4
π
. 故选：B. 【点睛】
本题主要考查定积分的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
二、填空题
13．【分析】先利用积分基本定理计算三个定积分再比较它们的大小即可【详解】故答案为：【点睛】本小题主要考查定积分的计算不等式的大小比较等基础知识考查运算求解能力属于中档题 解析：213S S S <<
【分析】
先利用积分基本定理计算三个定积分，再比较它们的大小即可． 【详解】
223
2
11
1173
3
S x dx x ===
⎰ 2
221112S dx lnx ln x
===⎰
2
2
2311
|x x S e dx e e e ===-⎰
27
23
ln e e <
<- 213S S S ∴<<
故答案为：213S S S << 【点睛】
本小题主要考查定积分的计算、不等式的大小比较等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
14．【分析】由定积分性质可知而可利用几何意义求解【详解】令即由几何意义可知：表示在第一象限部分的一半与直角边长为2的等腰三角形的面积和所以因此故答案为：【点睛】本题主要考查了定积分的性质计算特别是定积分 解析：π
【分析】
由定积分性质可知)
2
x dx =
⎰
20
xdx -⎰
⎰，而0
⎰
可利用几
何意义求解. 【详解】
)
2
x dx =
⎰
2
xdx -⎰
⎰
2200
1|2
x =-
⎰
2=-⎰
令(0)y y =≥， 即228(0)x y y +=≥，
由几何意义可知：
⎰
表示228(0)x y y +=≥在第一象限部分的一半与直角边
长为2的等腰三角形的面积和，
所以0
2π=+⎰
，
因此
)
2
22x dx ππ=+-=⎰
，
故答案为：π 【点睛】
本题主要考查了定积分的性质，计算，特别是定积分的几何意义是解题关键，属于中档题.
15．【分析】联立两直线得到交点坐标当时判断出两直线与坐标轴围成的封闭区间的形状即可求出对应的面积【详解】解当时直线斜率此时直线与轴交点为当时直线斜率此时直线与轴交点为此时函数和的图象与两坐标轴围成的封闭
解析：1
4
【分析】
联立两直线，得到交点坐标，当n →+∞时，判断出两直线与坐标轴围成的封闭区间的形状，即可求出对应的面积． 【详解】
解，当n →+∞时，直线2y nx n =-+斜率1k →-∞，此时，直线与x 轴交点为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 当n →+∞时，直线1122y x n =-
+斜率20k →，此时，直线与y 轴交点为10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
， 此时函数2y nx n =-+和11
(*,2)22
y x n N n n =-+∈的图象与两坐标轴围成的封闭图形近似于边长为
1
2
的正方形， 故111
lim 224
n n S →∞=⨯=， 故答案为：
1
4
．
【点睛】
本题考查极限的计算，可以先由n →+∞，判断围成四边形的形状，再计算，属于中档题．
16．【分析】利用数列的极限的运算法则转化求解即可【详解】解：当|t|≥2时可得可得t ＝﹣2当|t|＜2时可得：综上可得：实数t 的取值范围是：﹣22）故答案为﹣22）【点睛】本题考查数列的极限的运算法则的 解析：[)2,2-
【分析】
利用数列的极限的运算法则，转化求解即可． 【详解】
解：当|t |≥2时，n+1n
n n-1n 2-t lim =22+t
→∞，
可得2n 2
2()1
1t lim 2121
n t t t
→∞
⨯--==⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ，可得t ＝﹣2． 当|t |＜2时，
n+1n n n-1n 2-t lim =22+t
→∞可得： 2
2()
2lim 211?()2
n n
t t t →∞+=+ ， 综上可得：实数t 的取值范围是：[﹣2，2）． 故答案为[﹣2，2）． 【点睛】
本题考查数列的极限的运算法则的应用，考查计算能力．
17．【解析】【分析】本题首先可以绘出曲线和的图像并找出两曲线图像围成的区域然后通过微积分以及定积分的基本定理即可解出答案【详解】如图所示曲线和所围成的封闭图形的面积为：故答案为【点睛】本题考查几何中面积
解析：1
3
【解析】 【分析】
本题首先可以绘出曲线2y x x 和2y x x 的图像，并找出两曲线图像围成的区域，然
后通过微积分以及定积分的基本定理即可解出答案。

【详解】
如图所示，曲线2y
x x 和2y x x 所围成的封闭图形的面积为：
2222
3
221
3
331
1
12210
x x x x dx
x x dx x x ，故答案为13。

【点睛】
本题考查几何中面积的求法，考查利用微积分以及定积分的相关性质求解面积，考查数形结合思想，考查推理能力，考查化归与转化思想，是中档题。

18．2【解析】与轴所围成的封闭区域的面积故答案为2
解析：2 【解析】
sin (0π)y x x =≤≤与x 轴所围成的封闭区域的面积
π
πsin d cos cos πcos020
S x x x
==-=-+=⎰，故答案为2.
19．【分析】直接根据定积分的运算法则再分别计算定积分解得的值【详解】根据定积分的运算法则所以解得故答案为【点睛】本题主要考查了定积分的求解涉及正弦函数和余弦函数的定积分和积分运算法则的应用属于基础题 2【分析】
直接根据定积分的运算法则，()4440
sin cos sin cos πππx a x dx xdx a xdx -=
-⎰⎰⎰，再分别
计算定积分，解得a 的值． 【详解】
根据定积分的运算法则，
()4440
sin cos sin cos πππx a x dx xdx a xdx -=-⎰⎰⎰
4
40
222sin 1cosx
a x
π
π
=--⋅== 所以2
102
a -
=，解得2a = 2 【点睛】
本题主要考查了定积分的求解，涉及正弦函数和余弦函数的定积分和积分运算法则的应
用，属于基础题．
20．【解析】试题分析：由题意可知此题求解的概率类型为关于面积的几何概型由图可知基本事件空间所对应的几何度量S （Ω）=1先将y2=x 化成：联立的：因为x≥0所以解得：x=0或x=1所以曲线y=x2与所围成
解析：1
3
【解析】
试题分析：由题意可知，此题求解的概率类型为关于面积的几何概型， 由图可知基本事件空间所对应的几何度量S （Ω）=1， 先将y 2=x 化成：，
联立的：因为x≥0，所以解得：x=0或x=1，
所以曲线y=x 2与所围成的图形的面积S ，即满足所取的点落在阴影部分内部所对应
的几何度量： S （A ）=
=．
则点M 取自阴影部分的概率为P （A ）=
考点：几何概型；定积分在求面积中的应用
点评：本题考查了利用定积分求面积以及几何摡型知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题
三、解答题
21．（1）()2
f x x x =+；（2）{|0}λλ<
【解析】
分析：（1）设2()f x ax bx c =++，代入已知，由恒等式知识可求得,,a b c ； （2）由（1）得()g x ，题意说明()0<g x 在[0,1]x ∈上恒成立，由分离参数法得
221x x x λ+<+，问题转化为求22([0,1])21
x x
x x +∈+的最小值． 详解：（1）设()()2
0f x ax bx c a =++≠，
()00f =，0c ∴=.
于是()()()()2
2
111f x f x a x b x ax bx +-=+++--
222ax a b x =++=+.
解得1a =，1b =. 所以()2
f x x x =+.
（2）由已知得()()2
21g x x x x λ=+-+ 0>在[]
0,1x ∈上恒成立.
即221x x x λ+<+在[]0,1x ∈上恒成立.
令()221
x x
h x x +=+，[]0,1x ∈
可得()()()()()
2
2222
212221
'02121x x x x x h x x x +-+++==>++. ∴函数()h x 在[]0,1单调递增，∴ ()()min 00h x h ==. ∴ λ的取值范围是{|0}λλ<.
点睛：本题考查用导数研究不等式恒成立问题，不等式恒成立问题通常伴随着考查转化与化归思想，例如常用分离参数法化为()()g h x λ≤，这样只要求得()h x 的最小值min ()h x ，然后再解min ()()g h x λ≤，即得λ范围． 22．（1）41639⎛⎫
⎪⎝⎭
，，（2）(
)
22，，8423
-
【解析】
试题分析：（1）可考虑用定积分求两曲线围成的封闭图形面积，直线OP 的方程为y=tx ，则S 1为直线OP 与曲线y=x 2
当x ∈（0，t ）时所围面积，所以，S 1=∫0t （tx ﹣x 2）dx ，S2为直线OP 与曲线y=x 2当x ∈（t ，2）时所围面积，所以，
S 2=∫t 2（x 2﹣tx ）dx ，再根据S 1=S 2就可求出t 值．
（Ⅱ）由（2）可求当S 1+S 2，化简后，为t 的三次函数，再利用导数求最小值，以及相应的x 值，就可求出P 点坐标为多少时，S 1+S 2有最小值． 试题
（1）设点P 的横坐标为t （0＜t ＜2），则P 点的坐标为（t ，t2）， 直线OP 的方程为y=tx S 1=∫0t （tx ﹣x 2）dx=
，S 2=∫t 2（x 2﹣tx ）dx=
，
因为S 1=S 2，，所以t=，点P 的坐标为41639⎛⎫ ⎪⎝⎭
， （2）S=S 1+S 2=
=
S ′=t 2﹣2，令S'=0得t 2﹣2=0，t=
因为0＜t ＜时，S'＜0；＜t ＜2时，S'＞0
所以，当t=
时，S min =
842
3
-，P 点的坐标为)
22，．
点睛：本题考查了曲线围成的图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和定积分计算公式等知识，属于基础题；用定积分求平面图形的面积的步骤：（1）根据已知条件，作出平面图形的草图；根据图形特点，恰当选取计算公式；（2）解方程组求出每两条曲线的交点，以确定积分的上、下限；（3）具体计算定积分，求出图形的面积．
23．（1）单调增区间为(1,1)-，单调减区间(,1)-∞和(1,)+∞．（2）(,ln 2]-∞-． 【解析】
试题分析：(1)求出函数的导数()()()
(
)
2
2111
x x f x x '-+=
+,解不等式,求出函数的单调区间即可;
(2)问题等价于“对于任意[]
0,2x ∈，()()min max f x g x ≥恒成立”．分 10a -≤<， 1a <-讨论函数的单调性求出a 的范围即可. 试题 （1）()(
)
()()
(
)
2
2
2
221111
1
x x x f x x x -+-=
=
+'+．
令()0f x '>，则11x -<<，令()0f x '<，则1x <-或1x >． 故函数()f x 的单调增区间为()1,1-，单调减区间(),1-∞和()1,+∞．
（2）依题意，“对于任意1x ，[]
20,2x ∈，()()12f x g x ≥恒成立”等价于“对于任意
[]0,2x ∈，()()min max f x g x ≥恒成立”．
由（1）知，函数()f x 在[]0,1上单调递增，在[]
1,2上单调递减． ∵()01f =，()2
2115
f =+>，∴函数()f x 的最小值为()01f =， ∴()max 1
g x ≤．
∵()2e ax
g x x =，∴()()
22e ax g x ax x =+'．
∵0a <，令()0g x '=，得10x =，22x a
=-． ①当2
2a
-≥，即10a -≤<时，当[]0,2x ∈时，()0g x '≥，函数()g x 在[]0,2上单调递增，
∴函数()()2max 24a
g x g e ==．
由24e 1a ≤得，ln2a ≤-， ∴1ln2a -≤≤-． ②当202a <-
<，即1a <-时，20,x a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时()0g x '≥，2,2x a ⎛⎤
∈- ⎥⎝⎦
时，
()0g x '<，
∴函数()g x 在20,a ⎡
⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递增，在2,2a ⎛⎤- ⎥⎝⎦
上单调递减， ∴()22max 24e
g x g a a ⎛⎫=-
= ⎪⎝⎭．
由
2241e a ≤得，2e
a ≤-， ∴1a <-．
综上所述，a 的取值范围是(]
,ln2-∞-． 24．（1）04m ≤≤或427m =-.（2）4,27a ⎡⎫
∈+∞⎪⎢⎣⎭
【解析】
试题分析：（1）根据函数的单调性，由数形结合可得； （2）研究0x >和0x ≤时函数的最值，并比较大小求a 即可. 试题
解：(1)当0x >时，()2
'32f x x x =-，令()'0f x =时得2
3
x =
；令()'0f x >得()2
,3
x f x >
递增； 令()'0f x <得()20,3x f x <<
递减，()f x ∴在2
3
x =处取得极小值，且极小值为()()24,
00,24327f f f ⎛⎫
=-== ⎪⎝⎭
，所以由数形结合可得04m ≤≤或4
27
m =-
. (2) 当0x ≤时，()()1,0x
f x a x e a '=+>，令()'0f x =得1x =-；令()'0f x >得
()10,x f x -<<递增；令()'0f x <得()1,x f x <-递减.()f x ∴在1x =-处取得极小
值，且极小值为()1a
f e
-=-
. 0,0a a e >∴-
<,因为当427a e -≥-即4027
a e <≤时，()min 24444,,327272727f x f a a e ⎛⎫
==-∴-≤-∴≤≤ ⎪⎝⎭.当427a e -<-即427a e >时，
()()min 1,a a f x f a e e =-=-∴-≤-，即40,27a a e ≥∴>.综上，4,27a ⎡⎫
∈+∞⎪⎢⎣⎭
.
点睛：利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法
（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)≥a 恒成立，只需f(x)min≥a 即可；f(x)≤a 恒成立，只需f(x)max≤a 即可.
(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解. 25．（1） 2；（2） π 【分析】 （1）由题得
()00sin cos d (cos sin )|x x x x x π
π
-=--⎰，计算即得解；
（2）如图，先求出扇形ACB 的面积，再利用定积分的几何意义求解即可. 【详解】 （1）由题得
()00sin cos d (cos sin )|(cos sin )(cos0sin 0)x x x x x π
π
ππ-=--=-----⎰ =10102-++=；
（2）令222(32),(1)4(13,0)y x x x y x y =+-∴-+=≤≤≥，
因为
3
21
32d x x x +-⎰
等于1,3,x x x ==轴和曲线ADB 所围成的曲边梯形的面积，
如图扇形ACB ， 扇形ACB 的面积为21
2=4
ππ⨯⨯， 所以
3
21
32d x x x π+-=⎰
.
【点睛】
本题主要考查定积分的计算，考查圆的方程的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
26．（1）1a e
=-；（2）见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】
（1）利用导数的几何意义布列关于a 的方程即可得到结果；
（2）根据可导函数极值的定义，找到极值点，求出极值，当极大值为正数时，从而判定负整数是否存在；
（3）利用单调性与极值的关系，求证：既存在极大值，有存在极小值． 【详解】 （1）∵()()2
2
1'x ae x x f x x
-+=
∴()'11f =, ()11f ae =+
∴函数()f x 在()()
1,1f 处的切线方程为：()11y ae x -+=-，又直线过点()0,1-
∴()111ae --+=-，解得：1a e
=- （2）若0a <，()()2
2
1'x ae x x f x x
-+=
，
当(),0x ∈-∞时，()'0f x >恒成立，函数在(),0-∞上无极值； 当()0,1x ∈时，()'0f x >恒成立，函数在()0,1上无极值；
在()1,+∞上，若()f x 在0x 处取得符合条件的极大值()0f x ，则()()00010'0
x f x f x ⎧>⎪
>⎨⎪=⎩
，
则()000002
00
2
01
102103x x x ae x x ae x x x ⎧
⎪
>⎪⎪⎪+>⎨⎪
⎪-+⎪=⎪⎩
（）（）（），由（3）得：0
2001x x ae x =--，代入（2）得：
00001x x x -+>-，结合（1）可解得：02x >，再由()0
000
0x ae f x x x =+>得：02
x x a e
>-，
设()2
x x h x e
=-，则()()2'x
x x h x e -=，当2x >时，()'0h x >，即()h x 是增函数， 所以()()02
42a h x h e >>=-
， 又0a <，故当极大值为正数时，24,0a e ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
，从而不存在负整数a 满足条件． （3）设()()21x
g x ae
x x =-+，则()()'2x g x x ae =+，
因为0a >，所以，当0x >时，()'0g x >，()g x 单调递增；当0x <时，()'0g x <，
()g x 单调递减；故()g x 至多两个零点．
又()00g a =-<，()110g =>，所以存在()10,1x ∈，使()10g x = 再由()g x 在()0,+∞上单调递增知， 当()10,x x ∈时，()0g x <，故()()2
'0g x f x x
=
<，()f x 单调递减； 当()1x x ∈+∞，
时，()0g x >，故()()2
'0g x f x x
=>，()f x 单调递增；
所以函数()f x 在1x 处取得极小值． 当0x <时，1x e <，且10x -<， 所以()()()22211x
g x ae
x x a x x x ax a =-+>-+=+-，
函数2y x ax a =+-是关于x 的二次函数，必存在负实数t ，使()0g t >，又
()00g a =-<，
故在(),0t 上存在2x ，使()20g x =， 再由()g x 在(),0-∞上单调递减知， 当()2,x x ∈-∞时，()0g x >，故()()2
'0g x f x x =>，()f x 单调递增；
当()2,0x x ∈时，()0g x <，故()()
2'0g x f x x
=
<，()f x 单调递减；
所以函数()f x 在2x 处取得极大值． 综上，函数()f x 既有极大值，又有极小值． 【点睛】
本题考查了导数的几何意义及可导函数极值的求解，并运用了分类讨论的解题方法，对学生的思维强度要求高，属于难题．。