常考问题12 空间中的平行与垂直

常考问题12空间中的平行与垂直

[真题感悟]

1．(2013·安徽卷)在下列命题中，不是公理的是()．

A．平行于同一个平面的两个平面相互平行

B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面

C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内

D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

解析选项A是面面平行的性质定理．

答案 A

2．(2013·广东卷)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是()．

A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n

B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，，则m∥n

C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β

D．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β

解析A中，m与n可垂直、可异面、可平行；B中m与n可平行、可异面；C 中，若α∥β，仍然满足m⊥n，m⊂α，n⊂β，故C错误；故D正确．

答案 D

3．(2013·新课标全国Ⅱ卷)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l 满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则()．

A．α∥β且l∥α

B．α⊥β且l⊥β

C．α与β相交，且交线垂直于l

D．α与β相交，且交线平行于l

解析假设α∥β，由m⊥平面α，n⊥平面β，则m∥n，这与已知m，n为异面直线矛盾，那么α与β相交，设交线为l1，则l1⊥m，l1⊥n，在直线m上任取一点作n1平行于n，那么l1和l都垂直于直线m与n1所确定的平面，所以l1∥l. 答案 D

4．(2013·江西卷)如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB ∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m＋n等于()．

A．8 B．9 C．10 D．11

解析如图，∵CE⊂平面ABPQ，CE∥平面A1B1P1Q1，∴CE与正方体的其余四个面所在平面均相交，m＝4，取CD的中点G，连接EG，FG，则易证CD⊥EG，CD⊥FG，所以CD⊥平面EFG，又AB∥CD，所以AB⊥平面EFG，故平面BPP1B1∥平面EFG，∴EF∥平面BPP1B1，且EF∥平面AQQ1A1，∴EF与正方体的其余四个面所在平面均相交，n＝4，故m＋n＝8，选A.

答案 A

[考题分析]

题型选择题、填空题、解答题

难度低档线、面位置关系的判断．

中档线面平行关系与垂直关系的证明.

1．直线、平面平行的判定及其性质

(1)线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α.

(2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b.

(3)面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β.

(4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.

2．平行关系的转化

两平面平行问题常常可以转化为直线与平面的平行，而直线与平面平行又可转化为直线与直线平行，所以要注意转化思想的应用，以下为三种平行关系的转化示

意图．

3．直线、平面垂直的判定及其性质

(1)线面垂直的判定定理：m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α.

(2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.

(3)面面垂直的判定定理：a⊂β，a⊥α⇒α⊥β.

(4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.

4．垂直关系的转化

与平行关系之间的转化类似，它们之间的转化如下示意图．

在垂直的相关定理中，要特别注意记忆面面垂直的性质定理：两个平面垂直，在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面，当题目中有面面垂直的条件时，一般都要用此定理进行转化.

热点一空间线面位置关系的判断

例1(1)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()．

A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3

B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3

C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面

D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面

(2)已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下面四个命题：

①m∥n，m⊥α⇒n⊥α；②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n；③m∥n，m∥α⇒n∥α；

④n∥β，m∥n，m⊥α⇒α⊥β.

其中假命题的序号是()．

A．①④B．②④C．①②D．②③

解析(1)当l1⊥l2，l2⊥l3时，l1也可能与l3相交或异面，故A不正确；l1⊥l2，l2

∥l3⇒l1⊥l3，故B正确；当l1∥l2∥l3时，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故C不正确；l1，l2，l3共点时，l1，l2，l3未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱，故D不正确．

(2)因为α∥β，m⊂α，n⊂β，所以可能有m∥n，也可能有m与n异面，故②错；m∥n，m∥α，则可能有n∥α，也可能有n⊂α，故③错．易知①④正确．

答案(1)B(2)D

[规律方法] 正确理解基本概念，学会用三种语言表达公理、定理并做到真正理解是解决此类题目的关键．

训练1(1)若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则下列命题中假命题的序号是________．

①过点P有且仅有一条直线与l，m都平行；②过点P有且仅有一条直线与l，m 都垂直；③过点P有且仅有一条直线与l, m都相交；④过点P有且仅有一条直线与l，m都异面．

(2)设l是直线，α，β是两个不同的平面()．

A．若l∥α，l∥β，则α∥β

B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β

C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β

D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β

解析(2)利用线与面、面与面的关系定理判定，用特例法．

设α∩β＝a，若直线l∥a，且l⊄α，l⊄β，则l∥α，l∥β，因此α不一定平行于β，故A错误；由于l∥α，故在α内存在直线l′∥l，又因为l⊥β，所以l′⊥β，故α⊥β，所以B正确；若α⊥β，在β内作交线的垂线l，则l⊥α，此时l在平面β内，因此C错误；已知α⊥β，若α∩β＝a，l∥a，且l不在平面α，β内，则l ∥α且l∥β，因此D错误．

答案(1)①③④(2)B

热点二空间中的平行与垂直关系

例2如图，在四棱锥P-ABCD中