【附28套精选模拟试卷】2020届河北省唐山市高三第二次模拟考试数学(理)试卷及答案

2020届河北省唐山市高三第二次模拟考试数学（理）试卷及答案
说明：
一、本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷．第Ⅰ卷为选择题；第Ⅱ卷为非选择题，分为必考和选考两部分．
二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．
三、做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮将原选涂答案擦干净后，再选涂其他答案．
四、考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合
题目要求．
（1）已知a∈R，若1＋ai
2－i
为实数，则a＝
（A）2 （B）－2 （C）－ 1
2（D）
1
2
（2）已知命题p：函数y＝e|x－1|的图象关于直线x＝1对称，q：函数y＝cos(2x＋π
6)的图象关于点(
π
6，0)
对称，则下列命题中的真命题为
（A）p∧q （B）p∧⌝q （C）⌝p∧q （D）⌝p∨⌝q （3）设变量x，y满足|x|＋|y|≤1，则2x＋y的最大值和最小值分别为（A）1，－1 （B）2，－2
（C）1，－2 （D）2，－1
（4）执行右边的程序框图，若输出的S是2047，则判断框内应填写（A）n≤9？（B）n≤10？
（C）n≥10？（D）n≥11?
（5）已知sinα＋2cosα＝3，则tanα＝
（A）
2
2（B） 2 （C）－
2
2
（D）－ 2
（6）已知函数f(x)＝s in(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则
f(π2)＝
（A）－
3
2（B）－
2
2
（C）
3
2（D）
2
2
（7）将6名男生，4名女生分成两组，每组5人，参加两项不同的活动，每组3名男生和2名女生，则不
同的分配方法有 （A ）240种
（B ）120种
（C ）60种
（D ）180种
（8）直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有顶点都在半径为2的球面上，AB ＝AC ＝3，AA 1＝2，则二面角
B -AA 1-
C 的余弦值为 （A ）－
1 3
（B ）－
1 2
（C ） 1 3
（D ） 1 2
（9）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
（A ）1136
（B ） 3 （C ）533
（D ）
43
3
（10）若正数a ，b ，c 满足c 2＋4bc ＋2ac ＋8ab ＝8，则
a ＋2
b ＋
c 的最小值为
（A ） 3 （B ）2 3 （C ）2
（D ）2 2
（11）已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2
b
2＝1（a ＞b ＞0）与圆C 2：x 2＋y 2＝b 2，若在椭圆C 1上存在点P ，使得由点P 所
作的圆C 2的两条切线互相垂直，则椭圆C 1的离心率的取值范围是 （A ）[ 1 2
，1)
（B ）[
22，32
] （C ）[
2
2
，1) （D ）[
32
，1) （12）若不等式lg 1x ＋2x ＋…＋(n －1)x ＋(1－a)n x
n
≥(x －1)lg n 对任意不大于1的实数x 和大于1的正整数n
都成立，则a 的取值范围是 （A ）[0，＋∞) （B ）(－∞，0] （C ）[ 1
2
，＋∞)
（D ）(－∞， 1
2
]
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．
（13）商场经营的某种袋装大米质量（单位：kg ）服从正态分布N (10，0.12)，任取一袋大米，质量不足9.8kg
的概率为__________．（精确到0.0001）
注：P (μ－σ＜x ≤μ＋σ)＝0.6826，P (μ－2σ＜x ≤μ＋2σ)＝0.9544，P (μ－3σ＜x ≤μ＋3σ)＝0.9974．
（14）已知向量a ＝(2，1)，b ＝(－1，2)，若a ，b 在向量c 上的投影相等，且(c －a)·(c －b)＝－ 5
2
，则向
量c 的坐标为________．
（15）已知F 1，F 2为双曲线
C ：x 2－
y 2
3
＝1的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2
俯视图
＝_________．
（16）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成等差数列，且A －C ＝90 ，则cos B ＝________．
三、解答题：本大题共70分，其中（17）—（21）题为必考题，（22），（23），（24）题为选考题．解答应
写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）
在公差不为0的等差数列{a n }中，a 3＋a 10＝15，且a 2，a 5，a 11成等比数列． （Ⅰ）求{a n }的通项公式；
（Ⅱ）设b n ＝1a n ＋1a n ＋1＋…＋1a 2n －1
，证明： 1
2≤b n ＜1．
（18）（本小题满分12分）
甲向靶子A 射击两次，乙向靶子B 射击一次．甲每次射击命中靶子的概率为0.8，命中得5分；乙命中靶子的概率为0.5，命中得10分．
（Ⅰ）求甲、乙二人共命中一次目标的概率； （Ⅱ）设为二人得分之和，求的分布列和期望．
（19）（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，且PA ⊥底面ABCD ，BD ⊥PC ，E 是PA 的中点．
（Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面EBD ；
（Ⅱ）若PA ＝AB ＝2，直线PB 与平面EBD 所成角的正弦值为 1
4
，求四棱锥P -ABCD 的体积．
（20）（本小题满分12分）
已知抛物线E ：y 2＝2px （p ＞0）的准线与x 轴交于点M ，过点M 作圆C ：(x －2)2＋y 2＝1的两条切线，切点为A ，B ，|AB |＝
42
3
． （Ⅰ）求抛物线E 的方程；
（Ⅱ）过抛物线E 上的点N 作圆C 的两条切线，切点分别为P ，Q ，若P ，Q ，O （O 为原点）三点共线，求点N 的坐标．
（21）（本小题满分12分）
已知函数f (x)＝x 2－ln x －ax ，a ∈R ．
（Ⅰ）若存在x ∈(0，＋∞)，使得f (x)＜0，求a 的取值范围；
（Ⅱ）若f (x)＝x 有两个不同的实数解u ，v （0＜u ＜v ），证明：f (u ＋v
2
)＞1．
请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，E 是圆O 内两弦AB 和CD 的交点，过AD 延长线上一点F 作圆O 的切线FG ，G 为切点，已知EF ＝FG ．求证：
（Ⅰ）△DEF ∽△EAF ； （Ⅱ）EF ∥CB ．
（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
长为3的线段两端点A ，B 分别在x 轴正半轴和y 轴的正半轴上滑动，BP →＝2PA →，点P 的轨迹为曲线C ．
（Ⅰ）以直线AB 的倾斜角α为参数，求曲线C 的参数方程； （Ⅱ）求点P 到点D (0，－2)距离的最大值．
（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数f (x)＝|x －a |－|x ＋3|，a ∈R ． （Ⅰ）当a ＝－1时，解不等式f (x)≤1；
（Ⅱ）若当x ∈[0，3]时，f (x)≤4，求a 的取值范围．
理科数学 参考答案
一、选择题：
A 卷：CABAA BBDCD CD
B 卷：DBBAA
BADCD
DC
二、填空题：
（13）0.0228 （14）( 1 2， 3
2
)
（15）
1
4
（16）
3 4
三、解答题： （17）解：
（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d ．由已知得
⎩⎨⎧a 1＋2d ＋a 1＋9d ＝15，
(a 1＋4d)2＝(a 1＋d)(a 1＋10d)．
注意到d ≠0，解得a 1＝2，d ＝1． 所以a n ＝n ＋1．
…4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 b n ＝
1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ，b n ＋1＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋2
，
因为b n ＋1－b n ＝
12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2
＞0， 所以数列{b n }单调递增． …8分 b n ≥b 1＝ 1 2
．
…9分
又b n ＝
1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ≤1n ＋1＋1n ＋1＋…＋1n ＋1＝n n ＋1
＜1，
因此 1
2
≤b n ＜1．
…12分
（18）解：
（Ⅰ）记事件“甲、乙二人共命中一次”为A ，则
P(A)＝C120.8×0.2×0.5＋0.22×0.5＝0.18．…4分
（Ⅱ）的可能取值为0，5，10，15，20．
P(＝0)＝0.22×0.5＝0.02，P(＝5)＝C120.8×0.2×0.5＝0.16，
P(＝10)＝0.82×0.5＋0.22×0.5＝0.34，P(＝15)＝C120.8×0.2×0.5＝0.16，
P(＝20)＝0.82×0.5＝0.32．
的分布列为
…10分的期望为
E()＝0×0.02＋5×0.16＋10×0.34＋15×0.16＋20×0.32＝13．…12分
（19）解：
（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥BD ． 又BD ⊥PC ，所以BD ⊥平面PAC ，
因为BD ⊂平面EBD ，所以平面PAC ⊥平面EBD ．
…4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，BD ⊥AC ，所以ABCD 是菱形，BC ＝AB ＝2．
…5分
设AC ∩BD ＝O ，建立如图所示的坐标系O -xyz ，设OB ＝b ，OC ＝c ， 则P (0，－c ，2)，B (b ，0，0)，E (0，－c ，1)，C (0，c ，0)． PB →＝(b ，c ，－2)，OB →＝(b ，0，0)，OE →＝(0，－c ，1)．
设n ＝(x ，y ，z)是面EBD 的一个法向量，则n ·OB →＝n ·OE →＝0，
即⎩⎨⎧bx ＝0，－cy ＋z ＝0，
取n ＝(0，1，c)． …8分
依题意，BC ＝b 2＋c 2＝2．
①
记直线PB 与平面EBD 所成的角为θ，由已知条件 sin θ＝|n ·PB →|__________|n |·|PB →|＝c (1＋c 2)(b 2＋c 2＋22)＝ 1
4． ② 解得b ＝3，c ＝1．
…10分
所以四棱锥P -ABCD 的体积
V ＝ 1 3×2OB ·OC ·PA ＝ 1 3×23×1×2＝433
．
…12分
（20）解：
（Ⅰ）由已知得M (－
p
2
，0)，C (2，0)． 设AB 与x 轴交于点R ，由圆的对称性可知，|AR |＝22
3． 于是|CR |＝|AC |2－|AR |2＝ 1 3
， 所以|CM |＝
|AC |sin ∠AMC ＝|AC |sin ∠CAR
＝3，即2＋ p
2＝3，p ＝2．
故抛物线E 的方程为y 2＝4x ．
…5分
（Ⅱ）设N (s ，t)．
P ，Q 是NC 为直径的圆D 与圆C 的两交点． 圆D 方程为(x －s ＋22)2＋(y － t 2)2＝(s －2)2＋t 2
4，
即x 2＋y 2－(s ＋2)x －ty ＋2s ＝0．
① 又圆C 方程为x 2＋y 2－4x ＋3＝0． ② ②－①得(s －2)x ＋ty ＋3－2s ＝0．
③ …9分
P ，Q 两点坐标是方程①和②的解，也是方程③的解，从而③为直线PQ 的方程． 因为直线PQ 经过点O ，所以3－2s ＝0，s ＝ 3
2．
故点N 坐标为( 3 2，6)或( 3
2
，－6)．
…12分
（21）解：
（Ⅰ）当x ∈(0，＋∞)时，f (x)＜0等价于x －ln x
x ＜a ．
令g (x)＝x －ln x
x ，则g '(x)＝x 2－1＋ln x x 2
．
当x ∈(0，1)时，g '(x)＜0；当x ∈(1，＋∞)时，g '(x)＞0． g (x)有最小值g (1)＝1．
…4分 故a 的取值范围是(1，＋∞)．
…5分
（Ⅱ）因f (x)＝x ，即x 2－ln x ＝(a ＋1)x 有两个不同的实数解u ，v ． 故u 2－ln u ＝(a ＋1)u ，v 2－ln v ＝(a ＋1)v ． 于是(u ＋v)(u －v)－(ln u －ln v)＝(a ＋1)(u －v)．
…7分
由u －v ＜0解得a ＝u ＋v －
ln u －ln v
u －v
－1．
又f '(x)＝2x － 1
x
－a ，所以
f '(u ＋v 2)＝(u ＋v)－2u ＋v －(u ＋v)＋ln u －ln v u －v ＋1＝ln u －ln v u －v －2u ＋v ＋1． …9分
设h (u)＝ln u －ln v －2(u －v)u ＋v ，则当u ∈(0，v)时，h '(u)＝(u －v)2u(u ＋v)2＞0，
h (u)在(0，v)单调递增，h (u)＜h (v)＝0，
从而
ln u －ln v u －v －2
u ＋v
＞0，因此f '(u ＋v 2)＞1．
12分
（22）解：
（Ⅰ）由切割线定理得FG 2＝FA ·FD ． 又EF ＝FG ，所以EF 2＝FA ·FD ，即EF FA ＝FD
EF ．
因为∠EFA ＝∠DFE ，所以△FED ∽△EAF ．
…6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得∠FED ＝∠FAE ． 因为∠FAE ＝∠DAB ＝∠DCB ， 所以∠FED ＝∠BCD ，所以EF ∥CB ．
…10分
（23）解：
（Ⅰ）设P (x ，y)，由题设可知，
则x ＝ 2 3|AB |cos(π－α)＝－2cos α，y ＝ 1
3
|AB |sin(π－α)＝sin α，
所以曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2cos α，y ＝sin α
（α为参数，90︒＜α＜180︒）． …5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
|PD |2＝(－2cos α)2＋(sin α＋2)2＝4cos 2α＋sin 2α＋4sin α＋4 ＝－3sin 2α＋4sin α＋8＝－3(sin α－
2 3)2＋283
． 当sin α＝ 2 3时，|PD |取最大值221
3
．
…10分
（24）解：
（Ⅰ）当a ＝－1时，不等式为|x ＋1|－|x ＋3|≤1．
当x ≤－3时，不等式化为－(x ＋1)＋(x ＋3)≤1，不等式不成立；
当－3＜x ＜－1时，不等式化为－(x ＋1)－(x ＋3)≤1，解得－ 5
2≤x ＜－1；
当x ≥－1时，不等式化为(x ＋1)－(x ＋3)≤1，不等式必成立． 综上，不等式的解集为[－
5
2
，＋∞)．
…5分
（Ⅱ）当x ∈[0，3]时，f (x)≤4即|x －a |≤x ＋7， 由此得a ≥－7且a ≤2x ＋7．
当x ∈[0，3]时，2x ＋7的最小值为7， 所以a 的取值范围是[－7，7]．
…10分高考模拟数学试卷
注意事项：
1．本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、准 考证号填写在答题卡上．
2．回答第I 卷时．选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡
皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效，
第I 卷
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的一项。

1．定义运算(a ，b)※((c ，d) =ac －bd ，则符合条件(z ，1+2i)※(1+i ，1－i)=0的复数z 所对应的点在 A.第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限
D ．第一象限
2．一算法的程序框图如图，若输出的y=1
2
，则输入的x 的值可能为 A. －1 B.0 C ．1
D ．5
3．把函数5sin(2)6
y x π
=-
图象上所有点的横坐标伸长
为原来的2倍（纵坐标不变），再把所得函数的图象向 右平移
3
π
个单位，得到图象的解析式为 A. y=5cosx B ．y=5cos4x C ．y=－5 cosx
D ．y=－5 cos4x
4．已知直线a ，b ，平画,αβ，且a ⊥α，b β⊂，则“a ⊥b”是“α∥β”的 A.充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．三个实数a 、b 、c 成等比数列，若a+-b+c=l 成立，则b 的取值范围是 A ．(0，13
] B ．[-1，
13] c ．[－13，0) D ．11,0)(0,3⎡
⎤-⎢⎥⎣
⎦U
6．如图，矩形ABCD 的四个顶点的坐标分别为
A(0，－1)，B(π，－1)，C （π，1），D(0，1)，正弦曲线 ()sin f x x =和余弦曲线()cos g x x =在矩形ABCD 内交于点F ，向矩形ABCD 区域内随机投掷一点， 则该点落在阴影区域内的概率是 A ．12
π
+ B ．
12
2π
+
C ．
1π
D ．12π
7．设,a b r r 为非零向量，2b a =r r ，两组向量1234,,,x x x x u r u u r u u r u u r 和1234,,,y y y y u u r u u r u u r u u r
均由2个a r 和2个b r 排列而
成．若．11223344....x y x y x y x y +++u r u u r u u r u u r u u r u u r u u r u u r
的所有可能取值中的最小值为24a r ，则a r 与b r 的夹角为
A ．
3
π
B ．
23
π
C ．
2
π
D ．
6
π 8．已知点E 、F 、G 分别是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱AA 1、CC 1、 DD 1的中点，点M 、N 、Q 、P 分别在线段DF 、AG 、BE-、C 1B 1上．以 M 、N 、Q 、P 为顶点的三棱锥P-MNQ 的俯视图不可能是
9．对于任意的x ∈R ，不等式222130x a x -+>恒成立．则实数a 的取值范围是 2
B ．2
C ．a≤3
D ．a<3
10.已知O 为坐标原点，向量(1,0),(1,2)OA OB ==-u u u r u u u r
.若平面区域D 由所有满足
(22,11)OC OA OB λμλμ=+-≤≤-≤≤u u u r u u u r u u u r
的点C 组成，则能够把区域D 的周长和面积同时分为相
等的两部分的曲线是 A ．515x
y n
x
-=+ B. 1y x
=
C ．1x x
y e e
-=+- D ． cos y x x =+
11.已知双曲线22
12221(0,0),,x y a b A A a b
-=>>是实轴顶点，F 是右焦点，B(0，b)是虚轴端点，若在线段
BF 上（不含端点）存在不同的两点P i （i=1，2），使得△P i A 1A 2 (i=l ，2)构成以A 1A 2为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e 的取值范围是
A ．2,)+∞
B ．51
)++∞ C ．51
)+ D ．51
(2,
)+ 12.斜率为k （k≠0）的两条直线分别切函数3
2
()(1)1f x x t x =+--的图象于A ，B 两点．若直线AB 的方
程为y=2x －l ，则t 十k 的值为 A.8
B ．7
C ．6
D ．5
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两个部分。

第(13)题第(21)题为必考题，每个考生都必须作答。

第(22)
题第(23)题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共四小题，每小题5分，共20分。

13.函数2()341(1)f x x x g x -++-，的定义域是 14．正偶数列有一个有趣的现象： ①2+4=6
②8+10 +12=14+16;
③18+20+22+24=26+28+30,…
按照这样的规律，则2016在第 个等式中。

15.若2
(),f x x t R =∃∈，对于[2,]x m ∀∈，都有()2f x t x +≤成立，则m 的最大值是 16.如图，A 是两条平行直线12,l l 之间的一个定点，且A 到12,l l 的距 离分别为AM=1，AN=2，设△ABC 的另两个顶点B ，C 分别在12,l l
上运动，且AB<AC ，cos cos AB AC
ABC ACB
=
∠∠，则以下命题中． ①△ABC 是直角三角形； ②12
AB AC
+
2； ③S 代表图形面积，则(S 四边形MBCN )min =(S △ABC )min +(S △AMB +S △ACN )min ； ④设△AMB 的周长为y l ，△ACN 酌周长为y 2，则(y 1+y 2)min =10．
正确的命题是 。

（填正确命题的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题1 2分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且bsinC 3cos 0c B =。

(1)求角B ；
(2)若b=7，求△ABC,的周长的最大值． 高统计调查数据显示：全省名男生的身 级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被 测学生身高全部介于157. 5cm 和187.5 cm 之 间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组 [157.5，162.5)，第二组[162.5，167.5），…，第6
组[182.5，187.5]，下图是按上述分组方法得到 的频率分布直方图．
(2)求这50名男生身高在177.5cm 以上（含177.5 cm ）的人数；
(3)在这50名男生身高在177.5cm 以上（含177.5cm ）的人中任意抽取2人，该2人中身高排名（以高到
低）在全省前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望． 参考数据：
若2
~(,)()0.6826,(22)0.9544,N P P ξμσμσξμσμσξμσ-<≤+=-<≤+=
(33)0.9974P μσξμσ-<≤+=
19.（本小题12分）如图，ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面 ABCD ，AF ∥DE ，DE=3AF ，BE 与平面ABCD 所成角为60°． (1)求证：AC ⊥平面BDE; (2)求二面角F- BE-D 的余弦值；
20.（本小题12分）如图，已知点S(-2，0)和圆2
2
:4,O x y ST +=是圆O 的直经，从左到右M 、()和N
依次是ST 的四等分点，P(异于S 、T)是圆O 上的动点，PD ⊥ST ，交ST 于D ，PE ED λ=u u u r u u u r
，直线
PS 与TE 交于C ，|CM|+|CN|为定值． (1)求λ的值及点C 的轨迹曲线E 的方程；
(2)设n 是过原点的直线，l 是与n 垂直相交于Q 点、与
轨迹E 相交于A ，B 两点的直线，1OQ =u u u r
，是否存 在上述直线l ，使.1AQ QB =u u u r u u u r
成立？
若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由。

21.（本小题12分）已知二次函数2
()1f x x ax m =+++，关于x 的不等式2
()(21)1f x m x m <-+- 的
解集为(m ，m+1)，m≠0)，设()
()1
f x
g x x =-． (1)求“的值；
(2)k （k ∈R ）如何取值时，函数()()1(1)x g x k n x ϕ=--存在极值点，并求出极值点； (3)着rn=l ，且x>0，求证：*
[(1)](1)22()n
n
n
g x g x n N +-+≥-∈．
请考生在第22、23题中任选一题作答。

若多做，则按所做的第一题计分。

22．（本小题10分）选修4-4参数方程选讲
极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴。

已知曲线
C 1的极坐标方程为)4
π
ρθ=+
，曲线C 2的极坐标方程为sin (0)a a ρθ=>，射线
,,,4
4
2
π
π
π
θϕθϕθϕθϕ==+
=-
=
+与曲线C 1分别交异于极点O 的四点A ，B ，C ，D 。

（1）若曲线C 1关于曲线C 2对称，求“的值，并把曲线C 1和C 2化成直角坐标方程； （2）求|OA|·|OC|+|OB|·|OD|的值 23．（本小题10分）选修4-5不等式选讲
设函数1
()|
1|||()2
f x x x x R =++∈的最小值为，” （2）当23(,,)a b c m a b c R ++=∈时，求a 2+b 2+c 2的最小值．
参考答案
一、选择题：1~5 ：ACCBD ，6～10：BACDA ， 11~12 ：DB 二、填空题：13、(]1,4 14、31 15、8 16、①②④ 三、解答题：
17、解：（1） 因为sin cos 0,sin sin cos 0b C B B C C B =∴-= …………2分
sin 0C ≠因为 ,cos 0B ≠ ∴3tan =B ，3
B π
=
…………………………6分
（2）由22272cos a c ac B =+-,得22
49a c ac =+-，……………7分
∴223()349()494
a c ac a c +=+≤++ ∴14==7a c a c +≤（当且仅当时取等号），
∴ABC ∆周长的最大值为21……………………………………12分
1711.01851.01802.01753.01702.01651.0160=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯高于全省
的平均值170.5 ……4分
（Ⅱ）由频率分布直方图知，后两组频率为0.2，人数为0.2×50＝10，即这50名男生身高在177.5cm 以上(含177.5 cm)的人数为10人. ……………6分 （Ⅲ）Θ4 997.0)435.170435.170(=⨯+≤<⨯-ξP ，
0013.02
9974
.01)5.182(=-=
≥∴ξP ，0.0013×
100 000=130. 所以，全省前130名的身高在182.5 cm 以上，这50人中182.5 cm 以上的有5人. 随机变量ξ可取0,1,2，于是
924510)0(21025====C C P ξ,954525)1(2101
515====C C C P ξ,9
2
4510)2(21025====C C P ξ
19
2
2951920=⨯+⨯+⨯=∴ξE . ………………………………12分
19、解析：(1)证明： 因为DE ⊥平面ABCD ， 所以AC DE ⊥. ……………3分
因为ABCD 是正方形，所以BD AC ⊥，又,BD DE 相交从而AC ⊥平面BDE . …………6分 (2)解：因为DE DC DA ,,两两垂直，所以建立空间直角坐标系xyz D -如图所示.因为BE 与平面ABCD 所成角为060，即60DBE ∠=o ， 所以
3=DB
ED
.由3=AD 可知36DE =，6AF =. …8分 则(3,0,0)A ，(3,0,6)F ，(0,0,36)E ，(3,3,0)B ，(0,3,0)C ，
所以(0,3,6)BF =-u u u r ，(3,0,26)EF =-u u u r
设平面BEF 的法向量为=n (,,)x y z ，则00BF EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r
u u u r n n ，即360
3260
y z x z ⎧-+=⎪⎨
-=⎪⎩，令6z =，则=n (4,2,6).
因为AC ⊥平面BDE ，所以CA u u u r 为平面BDE 的法向量，(3,3,0)CA =-u u u r
，
所以613
cos ,133226CA CA CA
⋅〈〉==
=⨯u u u r
u u u r u u u r n n n . 因为二面角为锐角，所以二面角D BE F --的余弦值为
13
13
. ………12分 20、解析：(1)易得(2,0)T ，(1,0)M -，(1,0)N ，设00(,),(,)P x y C x y ，则0
0(,
)1y E x λ
+， 直线PS 与TE 交于C ，故2x ≠±，0022y y x x =++① 且0
0122
y y x x λ+=--，② 。

……2分 ①②相乘得2
2220144y y x x λ+=--，又点P 是圆O 上的动点，故22141y x λ=--+即22144
1x y λ
+
=+，4分 要使CM CN +为定值，则4
41,1λ
-=+解得13λ= 此时()2212,43x y x +
=≠±
即1
3λ=时，点C 的轨迹曲线E 的方程为()2212.43x y x +=≠ …………6分 （2）设A ，B 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，假设使1AQ QB =u u u r u u u r
g
成立的直线l 存在， （ⅰ）当l 不垂直于x 轴时，设l 的方程为y kx m =+，
由l 与n 垂直相交于Q 点且|OQ uuu r |=1.
1=，即221m k =+ …………7分 ∵1,AQ QB =u u u r u u u r g 1OQ =u u u r ∴2()()0OA OB OQ QA OQ QB OQ OQ QB QA OQ QA QB =++=+++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
g g g g g
即12120x x y y += ，将y kx m =+代入椭圆方程，得222
(34)8(412)0k x kmx m +++-=
由求根公式可得122
834km
x x k
-+=+， ④ 212241234m x x k -=+ ⑤ 121212120()()x x y y x x kx m kx m =+=+++ = 22121212()x x k x x km x x m ++++
= 22
1212(1)()k x x km x x m ++++
将④，⑤代入上式并化简得 222222
(1)(412)8(34)0k m k m m k +--++= ⑥
将22
1m k =+代入⑥并化简得2
5(1)0k -+=，矛盾 即此时直线l 不存在 …………10分
（ⅱ）当l 垂直于x 轴时，满足||1OQ =u u u r
的直线l 的方程为x=1或x=-1，
当=1时，A,B,Q 的坐标分别为33(1,),(1,),(1,0)22-，∴33
(0,),(0,)22
AQ QB =-=-u u u r u u u r ，
∴9
14AQ QB =≠u u u r u u u r g 当x=-1时，同理可得1AQ QB ≠u u u r u u u r g
，矛盾 即此时直线l 也不存在 综上可知，使1AQ QB =u u u r u u u r
g
成立的直线l 不存在. …………12分 21、（1）解：∵关于x 的不等式()()2
211f
x m x m <-+-的解集为()
1m m ,+，
等价于()
22120x a m x m m ++-++=的解为1m m +,，
∴(
)
1221a m m +-=-+. ∴2a =-. …………3分
（2）解由（Ⅰ）得()()
1f x g x x =-()221111
x x m m
x x x -++==-+--. ∴()
()x
g x ϕ=-()1k x ln -()11
m
x x =-+
-()1k x ln --的定义域为()1,+∞.由
()1x ϕ'=-
()2
11m
k
x x ---()()
22
211x k x k m x -++-+=-. 由题意，函数()
()x
g x ϕ=-()1k x ln -存在极值点等价于函数()x ϕ'有两个不等的零点，且至少
有一个零点在()
1,+∞上. 令()x ϕ'()()
22
21
1x k x k m x -++-+=
-0=,
得()
221x k x k m -++-+0=, (*) 则()
()2
224140Δk
k m k m =+--+=+>,(**)
方程（*
）的两个实根为1x =
, 2x =
.
①当0m >时，0Δ>，方程（*
）的两个实根为11x ,=
<
21x ,=
>则函数()x ϕ在()21x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增.
∴函数()
x ϕ有极小值点2x .
②当0m <时，由0Δ>,
得k <-
k >，
若k <-
11x ,=
<21x ,=
<
故x ∈()
1,+∞时，()0x ϕ'>，∴函数()x ϕ在()1,+∞上单调递增. 函数()
x ϕ没有极值点.
若k >
时，11x ,=
>21x ,=
>
∴函数()x ϕ在()11x ,上单调递增，在()12x x ,上单调递减，在()
2x ,+∞上单调递增. ∴函数()
x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x .
综上所述, 当0m >时，k 取任意实数, 函数()
x ϕ有极小值点2x ；
当0m <
时，k >()
x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x . (
其中1x =
2x =
…………8分
（3）证法1：∵1m =， ∴()g x
=()1
11
x x -+
-. ∴()()
1111n
n
n
n n g x g x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎡⎤+-+=+-+ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝
⎭ 12
2412n n n n n n n C x
C x C x ----=+++L .
令T 12
2412n n n n n n n C x
C x C x ----=+++L ，∵x 0>，
⇒2T ()()()
1222441
22n n n n n n n n
n n C x x C x x C x x -------=++++++L
121
n n n n C C C -≥⋅+⋅++⋅L
(
)
0121
02n n n
n n n n n n n
C C C C C C C -=+++++--L (
)
222n
=-.
∴22n T ≥-，即()
()
1122n
n
n
g x g x ⎡⎤+-+≥-⎣⎦. …………12分
证法2：用数学归纳法证明不等式11n
n n x x x x ⎛⎫⎛⎫
+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭22n ≥-.
① 当1n =时，左边110x x x x ⎛⎫⎛⎫=+
-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，右边1
220=-=，不等式成立； ② 假设当n k =k (∈N *
)时，不等式成立，即11k
k k x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭22k ≥-，
则 1
1111k k k x x x x +++⎛⎫⎛⎫
+-+ ⎪
⎪⎝
⎭⎝
⎭
11111111k
k k k k
k k x x x x x x x x x x x x ++⎡⎤⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++-++++-+ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢⎥⎝
⎭⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
111k
k k x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
111k k x x --⎛⎫+ ⎪⎝⎭
(
)
22k ≥⋅-+ 122k +=-. …………12分 也就是说，当1n k =+时，不等式也成立. 由①②可得，对∀n ∈N *，:: 22、解：（1）1C ：2
2
(1)(1)2x y -+-=，2C ：y a =，
Q 曲线1C 关于曲线2C 对称，1a =，∴2C ：1y =
（2
）||)4OA π
φ=+
；||)2
OB π
φφ=+=
||OC φ=
，3||)4
OD π
φ=+
||||||||OA OC OB OD ⋅+⋅= 23、解析：（1）f (x)＝⎩
⎨⎧－
3
2x －1 ，x ＜－2，－ 1
2x ＋1，－2≤x≤0， 3
2
x ＋1，x ＞0．
当x ∈(－∞，0]时，f (x)单调递减，当x ∈[0，＋∞)时，f (x)单调递增， 所以当x ＝0时，f (x)的最小值m ＝1．
………5分
(2) 由柯西不等式，
故，当且仅当时取等号. …………10分
高考模拟数学试卷
一、选择题（每小题5分、共12个小题） 1．已知集合A=
{}2,0,2- {}02|2
=--=x x
x B 则B A I =
A ．φ
B ．{}2
C ．{}0
D ．{}2- 2. 已知角α的终边上一点P (x ，-2)，且αcos =3
1
-
.则x = A ．
21
B ．22-
C ．22
D ．2
2±
3．已知a ρ=（-2，1），b ρ=（x ，2
1
-），且 a ρ//b ρ ，则x =
A ．1
B ．2
C ．3
D ．5 4. 在等差数列
{}n a 中，21
=a
，3a +5a =10,则7a =
A ．5
B ．8
C ．10
D ．14
5. 已知)(x f 是奇函数、g （x ）是偶函数，且f （-1）+ g （1）=2，f （1）+g （-1）=4 则g （1）=
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1 6. 函数)(x f =sin （2
x －4
π）在区间⎥⎦
⎤⎢⎣⎡2,0π上的最小值为
A ．-1
B ．22-
C ．0
D ．2
2
7. 设a =7
3log ，b=21.1
，c=0.83.1
，则
Ａ．b ＜a ＜c B ．c ＜b ＜a C ．c ＜a ＜b D ．a ＜c ＜b
8. 若将函数)(x f =sin 2x +cos 2x 的图象向右平移ϕ()0>ϕ个单位，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小值是
A ．
8π B ．4π C ．83π D ．4
3π
9. 已知数列{}n a 是等比数列，
Sn 是其前n 项和,且3a =2, S 3=6,则5a =
A ．2或-
21 B ．21或-2 C ．2± D ．2或2
1
10. 已知∆ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,若B=2A, a =1，b=3，则c=
A ．23
B ．2
C ．2
D ．1
A ．6+23
B ．7+23
C ．6+43
D ．
7+43 12. 奇函数)(x f 的定义域为R,若)2(+x f 为偶函数，且)1(f =1 则)8(f +)9(f = A ．-2 B ．-1 C ．0 D ．1 二、填空题：（每小题5分，共4个小题）
13. 设0＜θ＜2
π
,向量a ρ=（θθcos 2sin ，）,b ρ=（1，-cos θ）,若a ρ·b ρ=0,则tan θ=
14. 若向量OA =(1，-3)，OB OA =， OA ·OB =0，则=AB 15. 已知sin 2α=32，则2
cos （α+4
π）= 16. 已知数列{}n a 中,1
a =1,且1+n a
=4
n a +3,Sn 是其前n 项和,则6S =
三、解答题： 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题12分） 已知等差数列
{}n a 的前n 项和Sn,满足3S
=0,
5S =-5。

(1) 求数列
{}n a 的通项公式；
(2) 求数列{}1
2121+-n n a a 的前n 项和。

18. （本小题12分）已知a 、b 、c 分别为△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边， c=3a SinC-c cosA （1）求A;
（2）若a =2，△ABC 的面积为3，求b,c 。

19. (本小题12分)已知函数)(x f =A )sin(ϕω+x )2
0,0(π
ϕω<<>∈，R x 的部分图象如图所示。

（1）求函数)(x f 的解析式; （2）求函数g )(x =)12
(π
-x f －)12
(π
+
x f 的单调递增区间。

20. （本小题12分）已知数列{}n a 的前n 项和Sn=C n
-（其中C,为常数）,且2
a
=4 6a =83a
（1）求n a ; （2）求数列{}n na 的前n 项和T n 。

21. (本小题12分)设函数)(x f =e x
-ax -2
（1）求)(x f 的单调区间;
（2）若a =1 ,为整数,且当x >0时,（x -）)(x f '+x +1>0，求的最大值
22. （本小题10分）已知)(x f =3-x -1 （1）若)(x f ≥2,求x 的取值范围;
（2）R x ∈∀，)(x f ＞1+x -a 恒成立，求a 的范围。

一、选择题（每小题5分、共12个小题）[ 题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12[ 答案
二、填空题：（每小题5分，共4个小题）
13. 14. 15. 16． 三、解答题： 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本题满分12分）
18．（本题满分12分）19．（本题满分12分）
20．（本题满分12分）
21．（本题满分12分）22．（本题满分10分）
高考模拟数学试卷
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合{}1,2,3,4A =，{}|03B x x =<<，则A B =I （ ） A ．{}1,2,3 B ．{}2,3
C ．{}1,2
D ．{}2,3,4
2.复数2
1z i
=
-+，则（ ） A ．z 的虚部为1-
B ．z 的实部为1
C ．||2z =
D ．z 的共轭复数为1i +
3.在区间,22ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣
⎦上随机选取一个实数x ，则事件“sin 0x ≥”发生的概率为（ ） A ．1
B ．
1
2
C ．
13
D ．
112
4.已知双曲线C 的方程为
22
149
y x -=，则下列说法正确的是（ ） A ．焦点在x 轴上
B ．虚轴长为4
C ．渐近线方程为230x y ±=
D ．离心率为
13 5.执行如图所示的程序框图，如果输入的6a =，4b =，5c =，那么输出的值为（ ） A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
6.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且0x ≥时，
3()log (6)3f x x a a =++-，则()f a =（ ）
A ．9
B ．6
C ．3
D ．1
7.已知x ，y 满足约束条件220,220,1,x y x y y +-≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥-⎩
则2z x y =+的最大值为（ ）
A ．7
B ．7-
C ．2
D ．1
8.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士、凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，5人以爵次进行分配
A ．三分鹿之一
B ．三分鹿之二
C ．一鹿
D ．一鹿、三分鹿之一
9.如图，格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视
图，则该几何体的体积是（ ）
A ．168π-
B ．648π-
C ．644π-
D ．164π-
10.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||ϕπ<）的部
分图象如图所示，则()f x 的解析式为（ ）
A ．()23sin(
)84x f x ππ
=+ B ．3()23sin()84x f x ππ
=+
C ．()23sin()
84x f x ππ
=- D ．3()23sin()84
x f x ππ
=-
11.三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，若2AB =，3BC =，4PA =，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A ．13π
B ．20π
C ．25π
D ．29π
12.已知函数22,2,()2,2,x x x
x f x e x x ⎧+>⎪
=⎨⎪+≤⎩
函数()()g x f x m =-有两个零点，则实数m 的取值范围为（ ）
A ．2
8(,
)e -∞ B ．2
8
(
,4]e C ．2
8(0,
)e D ．2
8
(,
)[4,)e -∞+∞U 第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知向量(1,2)a =-r ，(,2)b m =r
，若2a b ⋅=r r ，则m = ．
14.已知数列{}n a 为等比数列，且2
311724a a a π+=，则113tan()a a 的值为 ．
15.设抛物线2
2(0)y px p =>的焦点为F ，过点F 且倾斜角为
4
π
的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，||4AB =，则该抛物线的方程为 ．
16.已知三次函数32
()f x ax bx cx d =+++的图象如图所示，则
'(0)
'(1)
f f = ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(2)cos cos 0a c B b A ++=，5b =． （1）求角B ； （2）若ABC ∆的面积为
153
4
，求ABC ∆的周长． 18.如图，已知四边形ABCD 是直角梯形，AB AD ⊥，且PA AB ⊥，//AB DC ，PAD ∆是等边三角形，22AB AD DC ===，M 为PB 的中点.
（1）求证：//CM 平面PAD ； （2）求三棱锥P ACM -的体积．
学习时间 [0,1)
[1,2)
[2,3)
[3,4)
[4,5)
[]5,6
频数
3
1
8
4
2
2
（3）若周日学习时间不小于4小时为学习投入时间较多，否则为学习投入时间较少，依据上述样本研究学习投入时间与学生所在年级是否有关，完成下列22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为学习投入
2
2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．
20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b
+=>>经过点 （1）求椭圆的方程；
（2）过坐标原点作两条直线1l ，2l ，直线1l 交椭圆于A ，C ，直线2l 交椭圆于B ，D ，且
2222||||||||24AB BC CD DA +++=，直线1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，求证：2212k k 为定值．
21.已知函数2()2ln ()f x x ax a R =-∈．
（1）当1a =时，求函数()f x 的极值；
（2）若函数()f x 的图象始终在函数3
()2g x x =图象的下方，求实数a 的取值范围．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线1C 的极坐标方程为1ρ=，曲线2C 的参数方程为2cos ,sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩
（ϕ为参数）． （1）求曲线1C 的直角坐标方程和曲线2C 的普通方程；
（2）直线l ：y x =与曲线1C 交于A ，B 两点，P 是曲线2C 上的动点，求PAB ∆的面积的最大值．
23.选修4-5：不等式选讲
（1）已知a ，b R ∈，且||1a <，||1b <，求证：22221a b a b +>+．
（2）若关于x 的不等式|1|2|2|x x m -+-≤有解，求实数m 的取值范围．
一、选择题
1-5CABCC 6-10BAACD 11、12：DC
二、填空题
13.6 14.3 15.22y x = 16.1 三、解答题 17.解：（1）∵(2)cos cos 0a c B b A ++=，由正弦定理可得：
sin cos 2sin cos sin cos 0A B C B B A ++=，
即1cos 2B =-，又(0,)B π∈，则23
B π=． （2）由AB
C ∆的面积为
1534，∴1153sin 24ac B =，则15ac =，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-2()22cos a c ac ac B =+--，得210a c +=， 则周长2105a b c ++=+．
18.（1）证明：取PA 的中点N ，连接MN ，DN .
由于M ，N 分别为PB ，PA 的中点，由题意知//
MN 1//2
AB CD ， 则四边形CMND 为平行四边形，所以//CM DN ，
又CM ⊄平面PAD ，DN ⊂平面PAD ，
所以//CM 平面PAD ．
（2）解：由（1）知//CM DN ，PAD ∆是等边三角形，所以DN PA ⊥，
因为AB AD ⊥，且PA AB ⊥，且AD PA A =I ，AD ⊂平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，
所以AB ⊥平面PAD ，
又因为DN ⊂平面PAD ，
所以DN AB ⊥，
又因为AB AP A =I ，AB ⊂平面ABP ，AP ⊂平面ABP ，则DN ⊥平面ABP ，即CM ⊥平面ABP ，CM 为三棱锥C APM -的高，
3CM DN ==111221222
PAM PAB S S ∆∆==⨯⨯⨯=， 133P ACM C PAM PAM V V S CM --∆==⨯=．
其中[3,4)这一组中恰有1人被抽中的情况包含(,)A a ，(,)A b ，(,)B a ，(,)B b ，(,)C a ，(,)C b ，(,)D a ，(,)D b 共计8种，因此这一组中恰有1被抽中的概率为
158． （3）
2
240(411169) 2.849 6.635
20201327
K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯， 所以没有99%的把握认为学习投入时间多少与学生所在年级有关．
20.解：（1）2c e a ==，又222a b c =+，将点代入椭圆M 方程22211a b +=得到2a =，b =，c =M 的方程为22
142
x y +=． （2）由对称性可知，四边形ABCD 是平行四边形，
设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则11(,)C x y --，22(,)D x y --，
由22142x y +=，得2
222
x y =-， 222222||||||||2(||||)
AB BC CD DA AB DA +++=+2222121212122()()()()x x y y x x y y ⎡⎤=-+-++++⎣⎦
222212124()x x y y =+++222
2121
24(22)2422x x x x =+-++-=， 所以22124x x +=，
222222122212122212122222221212121(2)(2)4()12244x x x x x x y y k k x x x x x x ---++====， 故2212k k 为定值14
． 21.解：（1）当1a =时，2()2ln f x x x =-，定义域为(0,)+∞．
2'()2f x x x =-2(1)(1)x x x
-+=，令'()0f x =，则1x =， ∵(0,1)x ∈时，'()0f x >；(1,)x ∈+∞时，'()0f x <，
∴1x =时，()(1)1f x f ==-极大值；无极小值．
（2）令32()()()22ln F x g x f x x x ax =-=-+，由题意，函数()f x 的图象始终在函数3()2g x x =图象
的下方，等价于()0F x >在(0,)+∞恒成立，即3222ln 0x ax x +->恒成立，得到
max 22ln (2)x a x x
>-((0,))x ∈+∞． 令22ln ()2x h x x x
=-（0x >），33324ln 224ln '()2x x x h x x x ---=-=， 显然'(1)0h =，又函数3224ln y x x =--在(0,)+∞上单调递减；
所以当(0,1)x ∈时，'()0h x >；(1,)x ∈+∞时，'()0h x <，
则()(1)2h x h ≤=-，因此2a >-，
所以(2,)a ∈-+∞．
22.解：（1）因为曲线1C 的极坐标方程为1ρ=，则直角坐标方程为221x y +=；
曲线2C 的参数方程为2cos ,sin x y ϕϕ
=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），则普通方程为2
214x y +=． （2）由题意知||2AB =，设(2cos ,sin )P ϕϕ，
点P 到直线y x =
所以11||2|sin()|2222PAB S AB d ϕθ∆=⨯=⨯=+≤． 23.（1）证明：∵2222222221(1)(1)(1)(1)a b a b a b b b a +--=-+-=--，
又a ，b R ∈，且||1a <，||1b <，∴210a -<，210b -<，
∴22(1)(1)0b a -->，即22221a b a b +>+．
（2）解：|1|2|2|x x m -+-≤有解等价于min (|1|2|2|)m x x ≥-+-，
53,1,|1|2|2|3,12,35,2,x x x x x x x x -<⎧⎪-+-=-≤<⎨⎪-≥⎩
由单调性知|1|2|2|1x x -+-≥，
所以1m ≥．
高考模拟数学试卷
本试卷共4页，分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

共150分，考试时间l20分钟．
第I 卷(选择题共50分)
注意事项：
1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．
2．每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号．
一、选择题：本大题共l0小题。

每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数2满足z(1+i)=2i ，则在复平面内z 对应的点的坐标是
(A)(1，1) (B)(1，-l) (C)(-l ，1) (D)(-l ，-l)
2．设全集U=R ，集合A={|21x x >}，B={|15x x -≤≤}，则U ()A B I ð等于
(A)[-1，0) (B)(0，5] (C)[-1，0] (D)[0，5]
3．已知命题p 、q ，“p ⌝为真”是“p q ∧为假”的
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
4．若圆C 经过(1，0)，(3，0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的
方程为
(A) 22(2)(2)3x y -+±= (B) 22(2)(3)3x y -+±=
(C) 22(2)(2)4x y -+±= (D) 22(2)(3)4x y -+±=
5．运行如图所示的程序框图，则输出的结果S 为
(A) 1007
(B) 1008
(C) 2013
(D) 2014
(A) 13 (B) 17 (C) 19 (D) 21
7．函数||
x y a =与sin y ax =(0a >且1a ≠)在同一直角坐标系下的图象可能是
8．三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的表面上，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，又SA=AB= BC=1，则球O 的表面积为
(A) 32π (B) 32
π (C) 3π (D) 12π
9．对任意实数a ，b 定义运算“⊗”：,1,, 1.
b a b a b a a b -≥⎧⊗=⎨-<⎩设2()(1)(4)f x x x =-⊗+，若函数()y f x k =+的图象与x 轴恰有三个不同交点，则k 的取值范围是
(A)(-2，1) (B)[0，1]
(C)[-2，0) (D)[-2，1)
10．如图，已知直线l ：y=k(x+1)(k>0)与抛物
线C ：y 2=4x 相交于A 、B 两点，且A 、B 两
点在抛物线C 准线上的射影分别是M 、N ，
若|AM|=2|BN|，则k 的值是
(A)
13 (B) 23 (C) 223
(D) 22
第Ⅱ卷 (非选择题共100分)
注意事项：
将第Ⅱ卷答案用0．5mm 的黑色签字笔答在答题卡的相应位置上。

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

1 1．已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边上一点的坐标为(3，4)，则cos2α= ．
12．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
13．若x 、y 满足条件2102101x y x y y x --≤⎧⎪++≥⎨⎪≤+⎩
，则z=x+3y 的最大值是 .
14．已知a>b>0,ab=1，则22
a b a b
+-的最小值为 ． 15．已知函数()y f x =为奇函数，且对定义域内的任意x 都有
(1)(1)f x f x +=--．当(2,3)x ∈时，2()log (1)f x x =-
给出以下4个结论：
①函数()y f x =的图象关于点(k ，0)(k ∈)成中心对称；
②函数|()|y f x =是以2为周期的周期函数；
③当(1,0)x ∈-时，2()log (1)f x x =--；
④函数(||)y f x =在(k ，k+1)( k ∈)上单调递增．
其一中所有正确结论的序号为
三、解答题：本大题共6小题，共75分。

解答应寓出文字说明．证明过程或演算步骤．
16．(本小题满分l2分)
已知函数()sin cos f x x x =+．
(I)求函数()y f x =在[0,2]x π∈上的单调递增区间；
(Ⅱ)在∆ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知m=(a ，b)，n=(f(C),1)且m//n ，求B ．
17．(本小题满分12分)
如图，底面是等腰梯形的四棱锥E —ABCD 中，EA ⊥平面
ABCD ，AB//CD ，AB=2CD ，∠ABC=3
π． (I)设F 为EA 的中点，证明：DF//平面EBC ；
(II)若AE=AB=2，求三棱锥—CDE 的体积．
18，(本小题满分l2分)
甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：
甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为l50，边界忽略不计)即为中奖．
乙商场：从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2球(球除颜色外不加区分)，如果摸到的是2个红球，即为中奖．
问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大?
19．19．(本小题满分12分)
已知数列{n a }的前n 项和21n n S a n =+-，数列{n b }满足113(1)n n n n b n a na ++=+-g
，且13b =． (I)求n a ，n b ；
(Ⅱ)设n T 为数列{n b }的前n 项和，求n T ．
20．(本小题满分13分)
已知函数3()f x x x =-
(I)判断()f x x
的单调性； (Ⅱ)求函数()y f x =的零点的个数；
(III)令2()ln
g x x =+，若函数()y g x =在(0，1e )内有极值，求实数a 的取值范围；
21．(本小题满分14分)
已知双曲线C ：22
221x y a b
-=的焦距为0x =．以双曲线C 的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E ，过原点O 的动直线与椭圆E 交于A 、B 两点．
(I)求椭圆E 的方程；
(II)若点P 为椭圆的左顶点，2PG GO =u u u r u u u r ，求22||||GA GB +u u u r u u u r 的取值范围；
(Ⅲ)若点P 满足|PA|=|PB|，求证222112||||||
OA OB OP ++为定值.。