2017-2018学年河南省洛阳市洛龙区八年级(下)期中数学试卷(解析版)
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2017-2018学年河南省洛阳市洛龙区八年级(下)期中数
学试卷
一、选择题(本大题共10小题,共30.0分)
1.如果二次根式有意义,那么x的取值范围是()
A. B. C. D.
2.下列二次根式中最简二次根式是()
A. B. C. D.
3.如图,在平行四边形ABCD中,下列结论一定正确的是
()
A.
B.
C.
D.
4.下列运算结果正确的是()
A. B.
C. D.
5.下列说法错误的是()
A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
B. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D. 一组对边相等,对角线互相垂直的四边形是平行四边形
6.已知△ABC的三边分别为a、b、c,则下列条件中不能判定△ABC是直角三角形的
是()
A. :::4:5
B. a:b:::2
C. D.
7.如图,要测定被池塘隔开的A,B两点的距离.可以在AB
外选一点C,连接AC,BC,并分别找出它们的中点D,E,
连接DE.现测得AC=30m,BC=40m,DE=24m,则AB=
()
A. 50m
B. 48m
C. 45m
D. 35m
8.如图,E是平行四边形ABCD边BC上一点,且AB=BE,
连结AE,并延长AE与DC的延长线交于点F,∠F=70°,
则∠D的度数是()
A.
B.
C.
D.
9.如图所示,在数轴上点A所表示的数为a,则a的值为()
A. B. C. D.
10.如图,小蓓要赶上去实践活动基地的校车,她从点A知道校车
自点B处沿x轴向原点O方向匀速驶来,她立即从A处搭一辆
出租车,去截汽车.若点A的坐标为(2,3),点B的坐标为
(8,0),汽车行驶速度与出租车相同,则小蓓最快截住汽车的
坐标为()
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共5小题,共15.0分)
11.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,则AB边的长是______.
12.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=4,AC=6,点D、E分别是BC、AD的中点,
AF∥BC交CE的延长线于F.则四边形AFBD的面积为______.
三、计算题(本大题共2小题,共17.0分)
13.计算:
(1)2
(2)
14.已知:x=,求x2+5x-1的值.
四、解答题(本大题共6小题,共58.0分)
15.如图,在▱ABCD中,点E,F分别在边AD,BC上,点M,N在对角线AC上,且
AE=CF,AM=CN,求证:四边形EMFN是平行四边形.
16.
17.如图,在离水面高度为5米的岸上,有人用绳子拉
船靠岸,开始时绳子BC的长为13米,此人以0.5
米每秒的速度收绳,10秒后船移动到点D的位置,
问船向岸边移动了多少米?(假设绳子是直的,结
果保留根号)
18.如图,正方形网格中的每个小正方形边长都是1,每个小格的顶点叫做格点,以格
点为顶点分别按下列要求画三角形.
(1)在图1中,画一个直角三角形,使它的三边长都是有理数;
(2)在图2中,画一个直角三角形,使它们的三边长都是无理数;
(3)在图3中,画一个正方形,使它的面积是5.
19.“过三角形一边的中点,且平行于另一边的直线,必过第
三边的中点”.根据这个结论解决问题:
如图,S△ABC=32,AC=8,BC=10,点M为BC的中点,
MN AC于点N,求NC的长.
20.如图,平行四边形ABCD中,AB=4cm,BC=6cm,∠B=60°,G是CD的中点,E是
边AD上的动点(E不与A、D重合),且点E由A向D运动,速度为1cm/s,EG 的延长线与BC的延长线交于点F,连接CE、DF,设点E运动时间为t.
(1)求证:无论t为何值,四边形CEDF都是平行四边形;
(2)①当t=______s时,CE AD;
②当t=______s时,平行四边形CEDF的两条邻边相等.
21.如图1,抛物线y=ax2-6ax+6(a≠0)与x轴交于点A(8,0),与y轴交于点B,
在x轴上有一动点E(m,0)(0<m<8),过点E作x轴的垂线交直线AB于点N,交抛物线于点P,过点P作PM AB于点M.
(1)分别求出直线AB和抛物线的函数表达式.
(2)设△PMN的面积为S1,△AEN的面积为S2,若S1:S2=36:25,求m的值.(3)如图2,在(2)条件下,将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′,旋转角为α(0°<α<90°),连接E′A、E′B.
①在x轴上找一点Q,使△OQE′∽△OE′A,并求出Q点的坐标.
②求BE′+AE′的最小值.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
解:二次根式有意义,
则x的取值范围是:x≥3.
故选:A.
直接利用二次根式的定义分析得出答案.
此题主要考查了二次根式有意义的条件,正确把握定义是解题关键.
2.【答案】C
【解析】
解:A、被开方数含开的尽的因数或因式,故A不符合题意;
B、被开方数含开的尽的因数或因式,故B不符合题意;
C、最简二次根式的被开方数不含分母,被开方数不含开的尽的因数或因式,故C符合题意
D、被开方数含开的尽的因数或因式,故D不符合题意;
故选:C.
检查最简二次根式的两个条件是否同时满足,同时满足的就是最简二次根式,否则就不是.
本题考查了最简二次根式,最简二次根式的被开方数不含分母,被开方数不
含开的尽的因数或因式.
3.【答案】B
【解析】
解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AD=BC,AB∥CD,AD∥BC,∠A=∠C,
∴∠A+∠B=180°.
故一定正确的是B.
故选:B.
由四边形ABCD是平行四边形,根据平行四边形的性质,可得对角相等,邻
角互补,继而求得答案.
此题考查了平行四边形的性质.注意熟记定理是解此题的关键.
4.【答案】C
【解析】
解:A、2、3不是同类二次根式,不能合并,此选项错误;
B、2×3=6,此选项错误;
C、=2÷=2,此选项正确;
D、=6,此选项错误;
故选:C.
根据二次根式的加法、乘法、除法和二次根式的性质逐一计算即可得.
本题主要考查二次根式的混合运算,解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则.
5.【答案】D
【解析】
解:A、对角线互相平分的四边形是平行四边形,正确;
B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形,正确;
C、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,正确;
D、一组对边相等,对角线互相垂直的四边形是平行四边形,不一定是平行四边形;
故选:D.
根据平行四边形的定义即可判断;
本题考查平行四边形的判定,解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法,属于中考常考题型.
6.【答案】A
【解析】
解:A、∵∠A:∠B:∠C=3:4:5,∴∠C=×180°=75°,故不能判定△ABC是直角三角形;
B、∵12+()2=22,∴∠C=90°,故能判定△ABC是直角三角形;
C、∵∠C=∠A-∠B,∴∠A=∠B+∠C,∴∠A=90°,故能判定△ABC是直角三角形;
D、∵b2=a2-c2,∴b2+c2=a2,故能判定△ABC是直角三角形.
故选:A.
由勾股定理的逆定理,只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是90°即可.
本题考查勾股定理的逆定理的应用.判断三角形是否为直角三角形,可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断.
7.【答案】B
【解析】
解:∵D是AC的中点,E是BC的中点,
∴DE是△ABC的中位线,
∴DE=AB,
∵DE=24m,
∴AB=2DE=48m,
故选:B.
根据中位线定理可得:AB=2DE=48m.
本题考查了三角形的中位线定理,属于基础题,熟练掌握三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.
8.【答案】B
【解析】
解:如图所示,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥DC,∠B=∠D,
∴∠1=∠F=70°.
∵AB=BE,
∴∠1=∠3=70°,
∴∠B=40°,
∴∠D=40°.
故选:B.
利用平行四边形的性质以及平行线的性质得出∠1=∠3,进而得出其度数,利
用平行四边形对角相等得出即可.
此题主要考查了平行四边形的性质以及平行线的性质等知识,熟练应用平行四边形的性质得出是解题关键.
9.【答案】A
【解析】
解:如图,点A在以O为圆心,OB长为半
径的圆上.
∵在直角△BOC中,OC=2,BC=1,则根据
勾股定理知OB===,
∴OA=OB=,
∴a=-1-.
故选:A.
点A在以O为圆心,OB长为半径的圆上,所以在直角△BOC中,根据勾股定
理求得圆O的半径OA=OB=,然后由实数与数轴的关系可以求得a的值.本题考查了勾股定理、实数与数轴.找出OA=OB是解题的关键.
10.【答案】C
【解析】
解:作出题目中给出的图形:
已知AC=3,OC=2,OB=8,
在D点小蓓与汽车相遇,设OD=x,
则CD=x-2,
在直角△ACD中,AD为斜边,
则AD2=AC2+CD2,
AD=
∵OD=x,则BD=8-x,
存在8-x=,
两边平方得到,3x2+4x-16=0
解得:x=,
故D点坐标(,0)
故选:C.
在D点小蓓与汽车相遇,则小蓓的行进路线为AD,设OD=x,在直角△ACD 中,AD为斜边,已知AC,CD,即可求AD,且BC=OB-OC=8,根据BD=AD
的等量关系可以求得x,即可求相遇点D的坐标.
本题考查了勾股定理在实际生活中的运用,考查了根据题意画出图形的能力,本题中找到汽车行驶速度为摩托车速度的2倍的等量关系,并且根据其求D 点坐标是解题的关键.
11.【答案】10
【解析】
解:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,
∴由勾股定理,得
AB===10.
故答案是:10.
根据勾股定理得到AB=.
本题考查了勾股定理的知识,属于基础题目,像这类直接考查定义的题目,
解答的关键是熟练掌握勾股定理的定义及其在直角三角形中的表示形式.
12.【答案】12
【解析】
【分析】
本题考查平行四边形的性质与判定,涉及全等三角形的判定与性质,平行四
边形的判定与性质,勾股定理等知识,综合程度较高.由于AF∥BC,从而易证△AEF≌△DEC(AAS),所以AF=CD,从而可证四边形AFBD是平行四边形,
所以S
四边形AFBD =2S△ABD,又因为BD=DC,所以S△ABC=2S△ABD,所以S
四边
形AFBD
=S△ABC,从而求出答案.【解答】
解:∵AF∥BC,
∴∠AFC=∠FCD,
在△AEF与△DEC中,
∴△AEF≌△DEC(AAS).
∴AF=DC,
∵BD=DC,
∴AF=BD,
∴四边形AFBD是平行四边形,
∴S
=2S△ABD,
四边形AFBD
又∵BD=DC,
∴S△ABC=2S△ABD,
∴S
=S△ABC,
四边形AFBD
∵∠BAC=90°,AB=4,AC=6,
∴S△ABC=AB•AC=×4×6=12,
∴S
=12.
四边形AFBD
故答案为12.
13.【答案】解:(1)原式=4-2+12
=14;
(2)原式=(+2-3)×
=-×
=-4.
【解析】
(1)先把各二次根式化简为最简二次根式,然后合并即可.
(2)先把括号内的各二次根式化简为最简二次根式,然后合并后进行二次根式的乘法运算.
本题考查了二次根式的混合运算:先把各二次根式化简为最简二次根式,然后进行二次根式的乘除运算,再合并即可.在二次根式的混合运算中,如能结合题目特点,灵活运用二次根式的性质,选择恰当的解题途径,往往能事半功倍.
14.【答案】解:当x=时,
x2+5x-1
=()2+5()-1
=5-2+1+5-5-1
=3.
【解析】
将x的值代入求值即可.
考查了二次根式的化简求值.属于基础计算题,熟记二次根式的计算法则即可解题.
15.【答案】解:在平行四边形ABCD中,AD∥BC,
∴∠DAC=∠BCA,
∵AE=CF,AM=CN,
∴△AEM≌△CFN,
∴EM=FN,∠AME=∠CNF,
∴∠EMN=∠FNM,
∴EM∥FN,
∴四边形EMFN是平行四边形.
【解析】
想办法证明EM=FN,EM∥FN即可解决问题.
本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.
16.【答案】解:在Rt△ABC中:
∵∠CAB=90°,BC=13米,AC=5米,
∴AB==12(米),
∵此人以0.5米每秒的速度收绳,10秒后船移动到点D的位置,
∴CD=13-0.5×10=8(米),
∴AD===(米),
∴BD=AB-AD=12-(米),
答:船向岸边移动了(12-)米.
【解析】
在Rt△ABC中,利用勾股定理计算出AB长,再根据题意可得CD长,然后再次利用勾股定理计算出AD长,再利用BD=AB-AD可得BD长.
此题主要考查了勾股定理的应用,关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型,画出准确的示意图.领会数形结合的思想的应用.
17.【答案】解:(1)如图1所示,Rt△ABC即为所求;
(2)如图所示,Rt△DEF即为所求;
(3)如图所示,正方形PQRS即为所求.
【解析】
(1)画一个边长3,4,5的三角形即可;
(2)利用勾股定理,找长为、2、的线段,画三角形即可.
(3)利用勾股定理作一个边长为的正方形即可得.
此题主要考查了作图与应用作图.本题需仔细分析题意,结合图形,利用勾
股定理即可解决.
18.【答案】解:连接AM,
∵点M为BC的中点,S△ABC=32,
∴S△AMC=16,
∵MN AC于点N,AC=8,
∴MN=4,
在Rt△MNC中,CM=5,MN=4,可得:CN=.
【解析】
连接AM,根据三角形中线的性质得到△AMC的面积,根据面积公式得出MN,再根据勾股定理求得CN的长.
本题综合运用三角形的中线的性质,勾股定理.关键是根据三角形中线的性
质得到△AMC的面积.
19.【答案】3.5;2
【解析】
解:(1)四边形ABCD是平行四边形,
∴CF∥ED,
∴∠FCD=∠GCD,
又∠CGF=∠EGD.
G是CD的中点,
CG=DG,
在△FCG和△EDG中,
∵,
∴△CFG≌△EDG(ASA),
∴FG=EG,
∵CG=DG,
∴四边形CEDF是平行四边形;
(2)①当t=3.5s时,CE AD,
理由是:过A作AM BC于M,
∵∠B=60°,AB=3,
∴BM=1.5,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠CDA=∠B=60°,DC=AB=3,BC=AD=5,
∵AE=3.5,
∴DE=1.5=BM,
在△MBA和△EDC中,
∵,
∴△MBA≌△EDC(SAS),
∴∠CED=∠AMB=90°,
即CE AD;
②当t=2s时,平行四边形CEDF的两条邻边相等,理由是:∵AD=5,AE=2,
∴DE=3,
∵CD=3,∠CDE=60°,
∴△CDE是等边三角形,
∴CE=DE,
即平行四边形CEDF的两条邻边相等
(1)证△CFG≌△EDG,推出FG=EG,根据平行四边形的判定推出即可;(2)①求出△MBA≌△EDC,推出∠CED=∠AMB=90°,即可得出答案;
②求出△CDE是等边三角形,推出CE=DE,即可得出答案.
本题考查了平行四边形的性质和判定,等边三角形的性质和判定,全等三角形的性质和判定的应用,注意:有一组邻边相等的平行四边形是菱形.20.【答案】解:(1)把点A(8,0)代入抛物线y=ax2-6ax+6,得64a-48a+6=0,∴16a=-6,a=-,
∴y=-x2+x+6与y轴交点,令x=0,得y=6,
∴B(0,6).
设AB为y=kx+b过A(8,0),B(0,6),
∴ ,解得:,
∴直线AB的解析式为y=-x+6.
(2)∵E(m,0),
∴N(m,-m+6),P(m,-m2+m+6).
∵PE∥OB,
∴△ANE∽△ABO,
∴=,
∴=,解得:AN=.
∵PM AB,
∴∠PMN=∠NEA=90°.
又∵∠PNM=∠ANE,
∴△NMP∽△NEA.
∵=,
∴=,
∴PM=AN=×=12-m.
又∵PM=-m2+m+6-6+m=-m2+3m,
∴12-m=-m2+3m,整理得:m2-12m+32=0,解得:m=4或m=8.
∵0<m<8,
∴m=4.
(3)①在(2)的条件下,m=4,
∴E(4,0),
设Q(d,0).
由旋转的性质可知OE′=OE=4,
若△OQE′∽△OE′A.
∴=.
∵0°<α<90°,
∴d>0,
∴=,解得:d=2,
∴Q(2,0).
②由①可知,当Q为(2,0)时,
△OQE′∽△OE′A,且相似比为===,
∴AE′=QE′,
∴BE′+AE′=BE′+QE′,
∴当E′旋转到BQ所在直线上时,BE′+QE′最小,即为BQ长度,
∵B(0,6),Q(2,0),
∴BQ==2,
∴BE′+AE′的最小值为2.
【解析】
(1)把点A(8,0)代入抛物线y=ax2-6ax+6,可求得a的值,从而可得到抛物线的解析式,然后求得点A和点B的坐标,最后利用待定系数法可求得直线AB 的解析式;
(2)E(m,0),则N(m,-m+6),P(m,-m2+m+6),然后证明
△ANE∽△ABO,依据相似三角形的性质可求得AN的长,接下来,再证明
△NMP∽△NEA,然后依据相似三角形的性质可得到=,从而可求得
PM=12-m,然后依据PM=-m2+3m,然后列出关于m的方程求解即可;(3)①在(2)的条件下,m=4,则OE′=OE=4,然后再证明△OQE′∽△OE′A,依据相似三角形的性质可得到=,从而可求得OQ的值,于是可得到点Q的坐标;
②由①可知,当Q为(2,0)时,△OQE′∽△OE′A,且相似比为===
,于是得到BE′+AE′=BE′+QE′,当点B、Q、E′在一条直线上时,BE′+QE′最小,最小值为BQ的长.
本题主要考查的是二次函数的综合应用,解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、一次函数的解析式、相似三角形的性质和判定、旋转的性质,列出关于m的方程是解题答问题(2)的关键,明确当点点B、Q、E′在一
条直线上时BE′+AE′取得最小值是解题的关键.。