【南方新课堂】高考数学总复习第一章集合与逻辑用语练习理

第一章 集合与逻辑用语 第1讲 集合的含义与基本关系
1．(2015年广东江门一模)集合A ＝{x |2<x <7}，B ＝{x |3≤x <10}，A ∩B ＝( ) A ．(2,10) B ．[3,7) C ．(2,3] D ．(7,10)
2．(2015年广东深圳一模)已知集合U ＝{2,0,1,5}，集合A ＝{0,2}，则∁U A ＝( ) A ．∅ B ．{0,2}
C ．{1,5}
D ．{2,0,1,5}
3．(2015年安徽四模改编)设集合M ＝{x |0≤x <2}，集合N ＝{x |x 2
＋2x －3<0}，集合M ∩N ＝( )
A ．{x |0≤x <1}
B ．{x |0≤x <2}
C ．{x |0≤x ≤1} D．{x |0≤x ≤2}
4．(2013年大纲)设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中元素的个数为( )
A ．3个
B ．4个
C ．5个
D ．6个
5．已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x 2＋y 2
＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且y ＝x }，则A ∩B 的元素个数为( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
6．对任意两个正整数m ，n ，定义某种运算⊕：m ⊕n ＝⎩
⎪⎨⎪
⎧
m ＋n ，m 与n 奇偶性相同，mn ， m 与n 奇偶性不同，则
集合P ＝{(a ，b )|a ⊕b ＝8，a ，b ∈N *
}中元素的个数为( )
A ．5个
B ．7个
C ．9个
D ．11个
7．在集合M ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫12，1，2，3的所有非空子集中任取一个集合，则该集合满足条件“对∀x ∈A ，有1
x
∈A ”的概率是________．
8．(2013年广东广州二模)某校高三(1)班50个学生选择选修模块课程，他们在A ，B ，C 3个模块中进行选择，且至少需要选择1个模块，具体模块选择的情况如下表：
则3
A．7人 B．6人 C．5人 D．4人
9．已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0，a∈R}．
(1)若A是空集，求a的取值范围；
(2)若A中只有一个元素，求a的值，并写出A中的元素；
(3)若A中至多有一个元素，求a的取值范围．
10．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m∈R}．
(1)若A∩B＝[0,3]，求实数m的值；
(2)若A⊆∁R B，求实数m的取值范围．
第2讲 命题、量词与简单的逻辑联结词
1．(2014年湖北)命题“∀x ∈R ，x 2
≠x ”的否定是( )
A ．∀x R ，x 2≠x
B ．∀x ∈R ，x 2
＝x
C ．∃x 0R ，x 20≠x 0
D ．∃x 0∈R ，x 2
0＝x 0
2．(2014年重庆)已知命题p ：对任意x ∈R ，总有|x |≥0，q ：x ＝1是方程x ＋2＝0的根，则下列命题为真命题的是( )
A ．p ∧q
B ．p ∧q
C ．p ∧q
D ．p ∧q 3．“xy ≠0”是指( )
A ．“x ≠0，且y ≠0”
B ．“x ≠0，或y ≠0”
C ．“x ，y 至少有一个不为0”
D ．“x ，y 不都是0”
4．若函数f (x )＝x 2
＋ax (a ∈R )，则下列结论正确的是( ) A ．∃a 0∈R ，f (x )是偶函数 B ．∃a 0∈R ，f (x )是奇函数
C ．∀a ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是增函数
D ．∀a ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是减函数 5．(2013年天津)已知下列三个命题：
①若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的1
8
；
②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；
③直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2
＝12
相切．
其中真命题的序号是( ) A ．①②③ B ．①② C ．①③ D ．②③
6．(2013年湖北，由人教版选修1­1P 28­1改编)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )
A ．(p )∨(q )
B ．p ∨(q )
C ．(p )∧(q )
D ．p ∧q
7．已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x ”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2
＋4x ＋a ＝0”．若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )
A ．(4，＋∞) B．[1,4] C ．[e,4] D ．(－∞，1]
8．(2013年广东珠海二模)下列四种说法中，错误的个数是( )
①命题“∃x ∈R ，x 2－x >0”的否定是“∀x ∈R ，x 2
－x ≤0”； ②命题“p ∨q 为真”是命题“p ∧q 为真”的必要不充分条件；
③“若am 2<bm 2
，则a <b ”的逆命题为真；
④若实数x ，y ∈[0,1]，则满足x 2＋y 2
>1的概率为π4
.
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
9．设函数f (x )＝x 2
－2x ＋m .
(1)若∀x ∈[0,3]，f (x )≥0恒成立，求m 的取值范围； (2)若∃x ∈[0,3]，f (x )≥0成立，求m 的取值范围．
10．已知命题p ：关于x 的不等式a x
>1(a >0，且a ≠1)的解集为{x |x <0}，命题q ：函数f (x )＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R .若“p ∧q ”为假命题，“p ∨q ”为真命题，求实数a 的取值范围．
第3讲充分条件与必要条件
1．(2013年福建)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的( ) A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．(2014年北京，由人教版选修1­1P28­3改编)设a，b是实数，则“a>b”是“a2>b2”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．(2013年湖北黄冈一模)下列命题中，真命题是( )
A．∃x0∈R，使得e x0≤0
B．∀x∈R,2x>x2
C．“a>1，b>1”是“ab>1”的充分条件
D．sin2x＋
2
sin x
≥3(x≠kπ，k∈Z)
4．命题“一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根”的充分不必要条件是( )
A．a<0 B．a>0 C．a<－1 D．a>1
5．对于任意实数a，b，c，给出下列命题：
①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件；
②“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；
③“a>b”是“a2>b2”的充分条件；
④“a<5”是“a<3”的必要条件．
其中真命题的个数是( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
6．“m <14
”是“一元二次方程x 2
＋x ＋m ＝0有实数根”的( )
A ．充分不必要条件
B ．充要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
7．已知命题p ：|x ＋2|>1，命题q ：x <a ，且q 是p 的必要不充分条件，则a 的取值范围可以是( )
A ．a ≥3 B．a ≤－3 C ．a <－3 D ．a >3
8．(2014年江西)下列叙述中正确的是( )
A ．若a ，b ，c ∈R ，则“ax 2＋bx ＋c ≥0”的充分条件是“b 2
－4ac ≤0”
B ．若a ，b ，c ∈R ，则“ab 2>cb 2
”的充要条件是“a >c ”
C ．命题“对任意x ∈R ，有x 2≥0”的否定是“存在x ∈R ，有x 2
≥0”
D ．l 是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β
9．已知函数f (x )＝x 2
－2ax ＋1，若使得f (x )没有零点的a 的取值范围为集合A ，使得f (x )在区间(m ，m ＋3)上不是单调函数的a 的取值范围为集合B .
(1)求A ，B ；
(2)若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，求m 的取值范围．
10．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2
＝2x 相交于A ，B 两点．
(1)求证：命题“如果直线l 过点T (3,0)，那么OA →·OB →
＝3”是真命题； (2)写出(1)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．
第一章 集合与逻辑用语 第1讲 集合的含义与基本关系
1．B 2.C 3.A
4．B 解析：注意集合元素具有互异性，M ＝{5,6,7,8}．故选B.
5．C 解析：集合A 表示由圆x 2＋y 2
＝1上的所有点组成的集合，集合B 表示直线y ＝x 上的所有点组成的集合．由于直线经过圆心O (0,0)，故直线与圆有两个交点．故选C.
6．C 解析：当a ，b 奇偶性相同时，a ⊕b ＝a ＋b ＝1＋7＝2＋6＝3＋5＝4＋4；当a ，b 奇偶性不同时，a ⊕b ＝ab ＝1×8.由于(a ，b )有序，故共有元素4×2＋1＝9个．
7.15 解析：集合M 的非空子集有24
－1＝15个，而满足条件“对∀x ∈A ，有1x
∈A ”的集合A 中的元素为1，12或2，且1
2，2要同时出现，故这样的集合有3个：{1}，
⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，⎩
⎨⎧⎭⎬⎫1，12，2.因此，所求的概率为315＝1
5
.
8．B 解析：方法一：设三个模块都选择的学生人数为x ，
由韦恩图D54，得5＋x ＋2＋x ＋1＋x ＋11－x ＋12－x ＋13－x ＋x ＝50，得x ＝6.
图D54
方法二：由题，得28＋26＋26－11－12－13＋x ＝50，得x ＝6.
9．解：集合A 是方程ax 2
－3x ＋2＝0在实数范围内的解组成的集合．
(1)若A 是空集，即方程ax 2
－3x ＋2＝0无解，当a ＝0时，x ＝23
，不合题意；则
⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ≠0，Δ＝－32
－8a <0，
∴a >9
8
，
即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫98，＋∞. (2)当a ＝0时，方程只有一解23，此时A 中只有一个元素2
3；
当a ≠0时，应有Δ＝0，∴a ＝9
8
.
此时方程有两个相等的实数根．
当a ＝98时，解得x 1＝x 2＝43，A 中只有一个元素43
.
∴当a ＝0或a ＝98时，A 中只有一个元素，分别是23或4
3
.
(3)A 中至多有一个元素，包括A 是空集和A 中只有一个元素两种情况，根据(1)，(2)
的结果，得a ＝0或a ≥9
8，即a 的取值范围是⎩
⎨⎧⎭⎬⎫a |a ＝0，或a ≥98.
10．解：A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}． (1)∵A ∩B ＝[0,3]，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
m －2＝0，m ＋2≥3，即⎩
⎪⎨
⎪⎧
m ＝2，
m ≥1.∴m ＝2.
故所求实数m 的值为2.
(2)∵∁R B ＝{x |x <m －2，或x >m ＋2}， 若A ⊆∁R B ，则m －2>3或m ＋2<－1. ∴m >5或m <－3.
因此，实数m 的取值范围是m >5或m <－3.
第2讲 命题、量词与简单的逻辑联结词
1．D 解析：对于命题的否定，要将命题中的“∀”变为“∃”，且否定结论，则原命
题的否定是“∃x 0∈R ，x 2
0＝x 0”．故选D.
2．A 解析：命题p ：对任意x ∈R ，总有|x |≥0，为真命题；命题q ：x ＝1是方程x ＋2＝0的根，为假命题，则p ∧q 为真命题．
3．A 解析：xy ≠0是指x ，y 均不能为0.故选A. 4．A 解析：当a ＝0时，f (x )是偶函数．
5．C 解析：球的体积公式为V ＝43πr 3
，故①正确；如2,2,2和1,2,3这两组数据的平
均数相等，标准差不相等，故②错误；d ＝|0＋0＋1|2
＝2
2＝r ，故③正确．故选C.
6．A 解析：由题意，得綈p 是“甲没降落在指定范围”，綈q 是“乙没降落在指定范围”．
命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”，或“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”，或“甲、乙均没降落在指定范围”三种．
则所求命题可表示为(p )∨(q )．
7．C 解析：∀x ∈[0,1]，a ≥e x ，即a ≥(e x )max ＝e 1＝e ；∃x ∈R ，x 2
＋4x ＋a ＝0，Δ＝16－4a ≥0，a ≤4.命题“p ∧q ”是真命题，即p 真q 真．故选C.
8．C 解析：①②正确；③④错误．故选C.
9．解：(1)若对∀x ∈[0,3]，f (x )≥0恒成立，即f (x )min ≥0. f (x )＝x 2－2x ＋m ＝(x －1)2＋m －1， f (x )min ＝f (1)＝m －1≥0，即m ≥1.
(2)若∃x ∈[0,3]，f (x )≥0成立，即f (x )max ≥0. f (x )＝x 2－2x ＋m ＝(x －1)2＋m －1， f (x )max ＝f (3)＝m ＋3≥0，即m ≥－3. 10．解：若p 为真命题，则0<a <1； 若p 为假命题，则a ≥1或a ≤0.
若q 为真命题，由⎩
⎪⎨⎪⎧
a >0，Δ＝1－4a 2
<0，得a >1
2； 若q 为假命假，则a ≤1
2
.
又p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，即p 和q 有且仅有一个为真命题，
当p 真q 假时，0<a ≤1
2
；当p 假q 真时，a ≥1.
故实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，12∪[1，＋∞)． 第3讲 充分条件与必要条件
1．A 解析：当a ＝3时，有A ⊆B ；当A ⊆B 时，a ＝3或a ＝2，所以“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分不必要条件．故选A.
2．D 解析：由“a >b ”不能得到“a 2>b 2
”，如a ＝1，b ＝－2；
由“a 2>b 2
”不能得到“a >b ”，如a ＝－2，b ＝1.
所以“a >b ”是“a 2>b 2
”的既不充分也不必要条件．故选D.
3．C 解析：∀x ∈R ，e x
>0，A 错误；
当x ＝2时，22＝22
，B 错误；
当sin x ＝－1时，sin 2
x ＋2sin x
＝－1，D 错误．故选C.
4．C 解析：一元二次方程ax 2
＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根，则x 1x 2＝1a
<0，
∴a <0，其充分不必要条件应该是集合(－∞，0)的真子集，只有C 符合题意． 5．B 解析：只有②④正确．故选B.
6．A 解析：由x 2
＋x ＋m ＝0有实根知，Δ＝1－4m ≥0⇔m ≤14
.故选A.
7．B 解析：命题p ：x <－3或x >－1， 则p ：3≤x ≤－1，q ：x ≥a .
由题意有p ⇒q ，q p ，则a ≤－3.
8．D 解析：当a <0时，由“b 2－4ac ≤0”推不出“ax 2
＋bx ＋c ≥0”，A 错误；当b ＝0
时，由“a >c ”推不出“ab 2>cb 2”，B 错误；命题“对任意x ∈R ，有x 2
≥0”的否定是“存在x ∈R ，有x 2<0”，C 错误；因为与同一条直线垂直的两个平面平行，所以D 正确．
9．解：(1)若f (x )没有零点，则Δ＝4a 2
－4<0， ∴－1<a <1，即A ＝{a |－1<a <1}．
若f (x )＝(x －a )2＋1－a 2
在区间(m ，m ＋3)上不单调， 则m <a <m ＋3，即B ＝{a |m <a <m ＋3}． (2)若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，
则A B ，∴⎩
⎪⎨⎪⎧
m ≤－1，
m ＋3≥1.∴－2≤m ≤－1.
10．(1)证明：设过点T (3,0)的直线l 交抛物线y 2
＝2x 于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝3，
此时，直线l 与抛物线相交于点A (3，6)，B (3，－6)．
∴OA →·OB →
＝3.
当直线l 的斜率存在时，
设直线l 的方程为y ＝k (x －3)，其中k ≠0.
由⎩⎪⎨⎪⎧
y 2
＝2x ，y ＝k x －3
，
得ky 2
－2y －6k ＝0，则y 1y 2＝－6.
又∵x 1＝12y 21，x 2＝12
y 2
2，
∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝14
(y 1y 2)2
＋y 1y 2＝3.
综上所述，命题“如果直线l 过点T (3,0)，那么OA →·OB →
＝3”是真命题．
(2)解：逆命题：如果OA →·OB →
＝3，那么直线l 过点T (3,0)． 该命题是假命题，理由如下：
例如：取抛物线上的点A (2,2)，B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1，此时OA →·OB →＝3，
直线AB 的方程为y ＝2
3
(x ＋1)，而T (3,0)不在直线AB 上．。