高考数学复习考点知识讲解课件51 成对数据的统计分析

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[解析] 由给出的四组数据的散点图可以看出，r1，r3大于0，r2，r4小于0，题图1和 题图2的点相对更加集中，所以r1接近于1，r2接近于－1，由此可得r2<r4<0<r3<r1.故选A．
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3．(2022·江西南昌一模)根据分类变量x与y的观察数据，计算得到χ2＝2.974，依据下 表给出的χ2独立性检验中的小概率值和相应的临界值，作出下列判断，正确的是( D )
样本号 i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 根部横截
0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6 面积 xi 材积量 yi 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9
n
xi－－x yi－－y
n xiyi－n－x －y
其中b^＝i＝1
n
xi－－x 2
i＝1
＝
，
n xi2－n－x 2
i＝1
i＝1
a^＝－y －b^－x .
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(2)利用决定系数R2刻画回归效果
n
yi－^yi2
i＝1
R2＝1－
，R2越 大 ，即拟合效果越好，R2越 小 ，模型拟合效果越差．
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(2)临界值
χ2＝
nad－bc2 a＋bc＋da＋cb＋d
.忽略χ2的实际分布与该近似分布的误差后，对于任何小
概率值α，可以找到相应的正实数xα，使得P(χ2≥xα)＝α成立．我们称xα为α的临界值，这 个临界值就可作为判断χ2大小的标准．
(3)独立性检验
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2．样本相关系数 (1)相关系数r的计算 变量x和变量y的样本相关系数r的计算公式如下：
n
xi－－x yi－－y
i＝1
r＝
.
n
xi－－x 2
n
yi－－y 2
i＝1
i＝1
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(2)相关系数r的性质 ①当r>0时，称成对样本数据 正 相关；当r<0时，成对样本数据 负 相关；当r＝0
97＋a 5
，所以这组数据的样本中心点为
750，97＋ 5 a
，代入回归直线方
程得，97＋ 5 a＝0.035×750－3.25，解得a＝18.
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核心考点突破
02
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对点训练
考点一 成对数据的相关性——自主练透
1．(2022·重庆诊断)某商家今年上半年各月的人均销售额(单位：千元)与利润率统计 表如下：
由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个经验回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x的经验回归方程类型的是( D )
A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx2 C．y＝a＋bex D．y＝a＋blnx
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[解析] 根据题中散点图可知，散点大致分布在某一条“对数型”函数曲线的周 围，而A选项是“直线型”的拟合函数，B选项是“抛物线型”的拟合函数，C选项是 “指数型”的拟合函数，只有D选项的拟合函数更符合．故选D．
时，成对样本数据间没有线性相关关系． ②样本相关系数r的取值范围为 [－1,1] ． 当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越 强 ． 当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越 弱 ．
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3．一元线性回归模型 (1)经验回归方程与最小二乘法 我们将 ^y ＝ b^ x＋ a^ 称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式， 其图形称为经验回归直线．这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的 b^ ， a^ 叫 做b，a的最小二乘估计，
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基础知识夯实
01
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知识梳理 1．变量的相关关系 (1)相关关系 两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这 种关系称为相关关系． (2)相关关系的分类：正相关和负相关． (3)线性相关 一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在 一条直线 附 近，我们就称这两个变量线性相关． 一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非 线性相关或曲线相关．
高考数学复习考点知识讲解课件
第三节 成对数据的统计分析
基础知识夯实 核心考点突破
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考试要求：1.结合实例，了解样本相关系数的统计含义，了解样本相关系数与标准 化数据向量夹角的关系；2.结合实例，会通过相关系数比较多组成对数据的相关性；3.结 合具体实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义，了解最小二乘 原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法；4.针对实际问题，会用一元线 性回归模型进行预测；5.掌握分类变量的含义，通过实例，理解2×2列联表的统计意 义，了解2×2列联表独立性检验及其应用．
10
10
10
并计算得x2i ＝0.038，y2i ＝1.6158，xiyi＝0.2474.
i＝1
i＝1
i＝1
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(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到 0.01)．
[解析] 在两个变量 y 与 x 的回归模型中，它们的决定系数 R2 越接近 1，模型拟合效 果越好，在四个选项中 A 的决定系数最大，所以拟合效果最好的是模型 1.
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3．(2022·全国乙卷节选)某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为 估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了 10 棵这种树木，测量每棵树的根部横截面 积(单位：m2)和材积量(单位：m3)，得到如下数据：
月份
1
2
34
5
6
人均销售额
6
5
83
4
7
利润率(%) 12.6 10.4 18.5 3.0 8.1 16.3
根据表中数据，下列说法正确的是( A )
A．利润率与人均销售额成正相关关系
B．利润率与人均销售额成负相关关系
C．利润率与人均销售额成正比例函数关系
D．利润率与人均销售额成反比例函数关系
[解析] 由统计表可得利润率与人均销售额不是正比例关系，也不是反比例关系，排
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5．(教材P96T3改编)某校一个课外兴趣小组统计了一些地区鸟的种类数与该地区海拔
高度的数据得到了如下的表格，并由此计算得到的经验回归方程为^y＝0.035x－3.25，
后来小组成员不慎将下表的统计数据a丢失．则表中丢失的统计数据a＝_____1_8____.
地区
A
B
CDE
海拔/米(x)
1256 1003 751 496 244
鸟的种类/种(y)
35
25 22 a 15
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[解析]
由表格数据可知，
－x
＝
1 5
(1256＋1003＋751＋496＋244)＝750，
－y
＝
1 5
(35＋
25＋22＋a＋15)＝
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A．有95%的把握认为变量x与y独立 B．有95%的把握认为变量x与y不独立 C．变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过10% D．变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过10%
i＝1
＝(0.2474－10×0.06×0.39)÷( 0.038－10×0.062× 1.6158－10×0.392)
＝
0.0134 0.002× 0.0948
＝ 1.809.061×3410－4≈113374.7≈0.97，
所以该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数是 0.97.
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诊断自测 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)散点图是判断两个变量相关关系的一种重要方法和手段．( √ ) (2)经验回归直线 ^y ＝ b^ x＋ a^ 至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一个 点．( × ) (3)样本相关系数的绝对值越接近1，成对样本数据的线性相关程度越强．( √ ) (4)若分类变量X，Y关系越密切，则由观测数据计算得到的χ2的观测值越小．( × )
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下表给出了χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值
α
0.1
0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
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常用结论 1．求解经验回归方程的关键是确定回归系数 a^ ， b^ ，应充分利用经验回归直线过样本 点的中心(－x ，－y )． 2．根据经验回归方程计算的^y值，仅是一个预报值，不是真实发生的值． 3．根据χ2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若χ2越大，则两分类变量有 关的把握越大．
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2．(教材P103T1改编)对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其样本相关系数的 比较，正确的是( A )
A．r2<r4<0<r3<r1 B．r4<r2<0<r1<r3 C．r4<r2<0<r3<r1 D．r2<r4<0<r1<r3
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基于小概率值α的检验规则是：
当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超
过α；
当χ2<xα时，我们没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立． 这种利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方
独立性检验”，简称独立性检验．
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除 C 和 D；其属于正相关关系，A 正确，B 错误．
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2．两个变量 y 与 x 的回归模型中，分别选择了 4 个不同模型，它们的决定系数 R2 如下，其中拟合效果最好的模型是( A )
A．模型 1 的决定系数 R2 为 0.98 B．模型 2 的决定系数 R2 为 0.80 C．模型 3 的决定系数 R2 为 0.50 D．模型 4 的决定系数 R2 为 0.25
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附：相关系数
n
∑ xi－ x yi－ y
r＝
i＝1
n
∑
xi－ x 2∑n
， yi－ y 2
1.896≈1.377.
i＝1
i＝1
10
10
[解] (1)由题意可知xi＝0.6，yi＝3.9，所以这 10 棵树木的根部横截面积和材积
i＝1
i＝1
量的平均值分别为－x ＝110i＝ 101xi＝0.06，－y ＝110i＝ 101yi＝0.39，所以估计该林区这种树木平均一
n
yi－－y 2
i＝1
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4．列联表与独立性检验 (1)2×2列联表 一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2 列联表为
Hale Waihona Puke xx＝x1 x＝x2 合计
y y＝y1
a c a＋c
y＝y2 b d
b＋d
合计
a＋b c＋d n＝a＋b＋c＋d
棵的根部横截面积与平均一棵的材积量分别为 0.06 和 0.39.
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(2)因为 r＝
10
xi－－x yi－－y
i＝1
＝
10
xi－－x 2
10
yi－－y 2
i＝1
i＝1
10 xiyi－10－x －y
i＝1
10 x2i －10－x 2·
i＝1
10 y2i －10－y 2
[解析] 因为χ2＝2.974>2.706，所以变量x与y不相互独立，这个结论犯错误的概率 不超过10%.
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4．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：℃)的关系， 在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi，yi)(i＝1,2，…，20)得到下 面的散点图：