上海市崇明县2021届新高考第一次适应性考试数学试题含解析

上海市崇明县2021届新高考第一次适应性考试数学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图，四边形ABCD 为平行四边形，E 为AB 中点，F 为CD 的三等分点（靠近D ）若AF x AC yDE =+u u u r u u u r u u u r ，则y x -的值为（ ）
A ．12-
B ．23-
C ．1
3- D ．1-
【答案】D
【解析】
【分析】
使用不同方法用表示出AF u u u r
，结合平面向量的基本定理列出方程解出．
【详解】 解：13AF AD DF AB AD =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 又11()()()()22
AF xAC yDE x AB AD y AB AD x y AB x y AD =+=++-=++-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 1231y x x y ⎧+=⎪∴⎨⎪-=⎩解得5949x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，所以1y x -=- 故选：D
【点睛】
本题考查了平面向量的基本定理及其意义，属于基础题．
2．下列命题中，真命题的个数为（ ）
①命题“若1122
a b <++，则a b >”的否命题； ②命题“若21x y +>，则0x >或0y >”；
③命题“若2m =，则直线0x my -=与直线2410x y -+=平行”的逆命题.
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【答案】C
【解析】
【分析】
否命题与逆命题是等价命题，写出①的逆命题，举反例排除；原命题与逆否命题是等价命题，写出②的逆否命题后，利用指数函数单调性验证正确；写出③的逆命题判，利用两直线平行的条件容易判断③正确.
【详解】
①的逆命题为“若a b >，则1122
a b <++”， 令1a =-，3b =-可知该命题为假命题，故否命题也为假命题；
②的逆否命题为“若0x ≤且0y ≤，则21x y +≤”，该命题为真命题，故②为真命题；
③的逆命题为“若直线0x my -=与直线2410x y -+=平行，则2m =”，该命题为真命题.
故选：C.
【点睛】
本题考查判断命题真假. 判断命题真假的思路：
(1)判断一个命题的真假时，首先要弄清命题的结构，即它的条件和结论分别是什么，然后联系其他相关的知识进行判断．
(2)当一个命题改写成“若p ，则q ”的形式之后，判断这个命题真假的方法：
①若由“p ”经过逻辑推理，得出“q ”，则可判定“若p ，则q ”是真命题；②判定“若p ，则q ”是假命题，只需举一反例即可．
3．要得到函数1cos 2y x =的图象，只需将函数1sin 223y x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象上所有点的（ ） A ．横坐标缩短到原来的
12
（纵坐标不变），再向左平移3π个单位长度 B ．横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向右平移6π个单位长度 C ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移
6π个单位长度 D ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移
3π个单位长度 【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角函数图像的变换与参数之间的关系，即可容易求得.
【详解】 为得到11sin 222y cosx x π⎛⎫==+ ⎪⎝
⎭， 将1sin 223y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），
故可得1sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭； 再将1sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭ 向左平移6π个单位长度， 故可得111sin sin 236222y x x cosx πππ⎛⎫⎛⎫=
++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：C.
【点睛】
本题考查三角函数图像的平移，涉及诱导公式的使用，属基础题.
4．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()()11f x f x +=-，当(]0,1x ∈时，()ax f x e =-（其中e 是自然对数的底数），若()2020ln 28f -=，则实数a 的值为( )
A ．3-
B ．3
C ．13-
D ．13 【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，求得函数周期，利用周期性和函数值，即可求得a .
【详解】
由已知可知，()()()2f x f x f x +=-=-，所以函数()f x 是一个以4为周期的周期函数，
所以()()()ln22020ln 2ln 2ln 228a a f f f e
-=-=-===， 解得3a =，
故选：B.
【点睛】
本题考查函数周期的求解，涉及对数运算，属综合基础题.
5．设全集,U R =集合{}{}1,||2M x x N x x =<=>，则()
U M N ⋂=ð（ ）
A ．{}|2x x >
B ．{}|1x x ≥
C ．{}|12x x <<
D ．{}|2x x ≥ 【答案】A
【解析】
【分析】
先求出U M ð，再与集合N 求交集.
【详解】
由已知，{|1}U M x x =≥ð，又{}|2N x x =>，所以{|2}U M N x x ⋂=>ð.
故选：A.
【点睛】
本题考查集合的基本运算，涉及到补集、交集运算，是一道容易题.
6．若1(1)z a i =+-（a R ∈），||z =
a =（ ） A ．0或2
B ．0
C ．1或2
D ．1 【答案】A
【解析】
【分析】
利用复数的模的运算列方程，解方程求得a 的值.
【详解】
由于1(1)z a i =+-（a R ∈），||z =
=0a =或2a =. 故选：A
【点睛】
本小题主要考查复数模的运算，属于基础题.
7．正项等比数列{}
n a 中的1a 、4039a 是函数()3214633f x x x x =
-+-的极值点，则2020a =（ ）
A ．1-
B ．1
C
D ．2 【答案】B
【解析】
【分析】
根据可导函数在极值点处的导数值为0，得出140396a a =，再由等比数列的性质可得.
【详解】
解：依题意1a 、4039a 是函数()3214633f x x x x =
-+-的极值点，也就是()2860f x x x '=-+=的两个根
∴140396a a =
又{}n a 是正项等比数列，所以2020a ==
∴2020
1a ==.
故选：B
【点睛】
本题主要考查了等比数列下标和性质以应用，属于中档题.
8．已知点(3,0),(0,3)A B -，若点P 在曲线21y x =--上运动，则PAB △面积的最小值为（ ） A ．6
B ．3
C ．93222-
D ．93222
+ 【答案】B
【解析】
【分析】
求得直线AB 的方程，画出曲线表示的下半圆，结合图象可得P 位于(1,0)-，结合点到直线的距离公式和两点的距离公式，以及三角形的面积公式，可得所求最小值.
【详解】
解：曲线21y x =--表示以原点O 为圆心，1为半径的下半圆(包括两个端点)，如图，
直线AB 的方程为30x y -+=，
可得||32AB =，由圆与直线的位置关系知P 在(1,0)-时，P 到直线AB 距离最短，即为22
=， 则PAB △的面积的最小值为
132232
⨯⨯=. 故选：B.
【点睛】
本题考查三角形面积最值，解题关键是掌握直线与圆的位置关系，确定半圆上的点到直线距离的最小值，这由数形结合思想易得．
9．执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值是（ ）
A ．8
B ．32
C ．64
D ．128
【答案】C
【解析】
【分析】 根据给定的程序框图，逐次计算，结合判断条件，即可求解.
【详解】
由题意，执行上述程序框图，可得
第1次循环，满足判断条件，1,1S k ==；
第2次循环，满足判断条件，2,2S k ==；
第3次循环，满足判断条件，8,3S k ==；
第4次循环，满足判断条件，64,4S k ==；
不满足判断条件，输出64S =.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出，其中解答中认真审题，逐次计算，结合判断条件求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
10．如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为( )
A ．23
B ．43
C ．233
D ．433
【答案】A
【解析】
【分析】 根据三视图可得几何体为直三棱柱，根据三视图中的数据直接利用公式可求体积.
【详解】
由三视图可知几何体为直三棱柱，直观图如图所示：
其中，底面为直角三角形，2AD =，3AE =
2AB =. ∴该几何体的体积为1232232
V =
⨯= 故选：A.
【点睛】
本题考查三视图及棱柱的体积，属于基础题. 11．平行四边形ABCD 中，已知4AB =，3AD =，点E 、F 分别满足2AE ED =uu u r uu u r ，DF FC =u u u r u u u r ，且6AF BE ⋅=-u u u r u u u r ，则向量AD u u u r 在AB u u u r 上的投影为（ ）
A ．2
B ．2-
C ．32
D ．32
- 【答案】C
【解析】
【分析】 将,AF BE u u u r u u u r 用向量AD u u u r 和AB u u u r 表示，代入6AF BE ⋅=-u u u r u u u r 可求出6AD AB ⋅=u u u r u u u r ，再利用投影公式AD AB AB
⋅u u u r u u u r u u u r 可得答案.
【详解】
解：()()
AF BE AD DF BA AE ⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 21123223AD AB AD AD AB AB AB AD =⋅+⋅-⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 22421346332
AD AB =⋅+⨯-⨯=u u u r u u u r ，
得6AD AB ⋅=u u u r u u u r
， 则向量AD u u u r 在AB u u u r 上的投影为6342AD AB AB
⋅==u u u r u u u r u u u r . 故选：C.
【点睛】
本题考查向量的几何意义，考查向量的线性运算，将,AF BE u u u r u u u r 用向量AD u u u r 和AB u u u r 表示是关键，是基础题.
12．一个圆锥的底面和一个半球底面完全重合，如果圆锥的表面积与半球的表面积相等，那么这个圆锥轴截面底角的大小是（ ）
A ．15︒
B ．30︒
C ．45︒
D ．60︒ 【答案】D
【解析】
【分析】
设圆锥的母线长为l,底面半径为R,再表达圆锥表面积与球的表面积公式,进而求得2l R =即可得圆锥轴截面底角的大小.
【详解】
设圆锥的母线长为l,底面半径为R,则有2222R Rl R R ππππ+=+,解得2l R =,所以圆锥轴截面底角的余弦值是12
R l =,底角大小为60︒. 故选：D
【点睛】
本题考查圆锥的表面积和球的表面积公式,属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知,x y R ∈，i 为虚数单位，且(2)1x i y i --=-+，则x y +=_____.
【答案】4
【解析】
【详解】
解：利用复数相等，可知由21,1x y -==有4x y +=．
14．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，若四棱锥P ABCD -为阳马，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且3PA =，4BC AB ==，设该阳马的外接球半径为R ，内切球半径为r ，则R r
=__________．
【答案】41 2
【解析】【分析】
该阳马补形所得到的长方体的对角线为外接球的直径，由此能求出
41
2
R=，内切球1O在侧面PAD内的正视图是PAD
∆的内切圆，从而内切球半径为，由此能求出
R
r
．
【详解】
Q四棱锥P ABCD
-为阳马，侧棱PA⊥底面ABCD，
且3
PA=，4
BC AB
==，设该阳马的外接球半径为R，
∴该阳马补形所得到的长方体的对角线为外接球的直径，
()2222
21616941
R AB AD AP
∴=++=++=，
41
R
∴=，
Q侧棱PA⊥底面ABCD，且底面为正方形，
∴内切球
1
O在侧面PAD内的正视图是PAD
∆的内切圆，
∴内切球半径为
2
1
PAD
PAD
S
r
L
∆
∆
==，
故
41
2
R
r
=．
故答案为
41
．
【点睛】
本题考查了几何体外接球和内切球的相关问题，补形法的运用，以及数学文化，考查了空间想象能力，是中档题．解决球与其他几何体的切、接问题，关键是能够确定球心位置，以及选择恰当的角度做出截面.球心位置的确定的方法有很多，主要有两种：（1）补形法（构造法），通过补形为长方体（正方体），球心
位置即为体对角线的中点；（2）外心垂线法，先找出几何体中不共线三点构成的三角形的外心，再找出过外心且与不共线三点确定的平面垂直的垂线，则球心一定在垂线上.
15．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，2AD =，11AA =，E 为BC 的中点，则点A 到平面1A DE 的距离是______.
【答案】
63
【解析】
【分析】 利用等体积法求解点到平面的距离
【详解】 由题在长方体中，1111211=323
A ADE V -=⨯⨯⨯⨯， 221115,2,3A D DE EA A A AE ===+=
所以22211A D DE A E =+，所以1DE A E ⊥，
11623=22
A DE S =△ 设点A 到平面1A DE 的距离为h
1161=323
A A DE V h -=⨯，解得6=3h 6 【点睛】
此题考查求点到平面的距离，通过在三棱锥中利用等体积法求解，关键在于合理变换三棱锥的顶点. 16．已知半径为R 的圆周上有一定点A ，在圆周上等可能地任意取一点与点A 连接，则所得弦长介于R 与3R 之间的概率为__________． 【答案】13
【解析】
在圆上其他位置任取一点B ，设圆半径为R ， 其中满足条件AB 弦长介于R
之间的弧长为
1
3
•2πR ， 则AB 弦的长度大于等于半径长度的概率P=1
23
2R R
ππ⋅=1
3
； 故答案为：1
3
．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>
）的离心率为2
，它的四个顶点构成的四边形面积为（1）求椭圆C 的方程；
（2）设P 是直线2x a =上任意一点，过点P 作圆2
2
2
x y a +=的两条切线，切点分别为M ，N ，求证：直线MN 恒过一个定点.
【答案】（1）2
212
x y +=；（2）证明见解析.
【解析】 【分析】
（1）根据椭圆的基本性质列出方程组，即可得出椭圆方程；
（2）设点()02,P y ，()11,M x y ，()22,N x y ，由PM OM ⊥，PN ON ⊥，结合斜率公式化简得出
110220x y y --=，220220x y y --=，即()11,M x y ，()22,N x y 满足0220x yy --=，由0y 的任意
性，得出直线MN 恒过一个定点(1,0). 【详解】
（1
）依题意得2221
222
2a b c a b c a ⎧
⎪=+⎪
⎪⋅⋅=⎨⎪⎪=⎪
⎩
22
2
21a b c ⎧=⎨==⎩ 即椭圆C ：2
212
x y +=；
（2）设点()02,P y ，()11,M x y ，()22,N x y
其中22112x y +=，22
222x y +=
由PM OM ⊥，PN ON ⊥得1011112y y y x x -⋅=--，202
22
12y y y x x -⋅=-- 即221111020x y x y y +--=，22
2222020x y x y y +--=
注意到22112x y +=，22
222x y +=
于是110220x y y --=，220220x y y --= 因此()11,M x y ，()22,N x y 满足0220x yy --=
由0y 的任意性知，1x =，0y =，即直线MN 恒过一个定点(1,0).
【点睛】
本题主要考查了求椭圆的方程，直线过定点问题，属于中档题. 18．已知函数2()2(3)2ln f x x a x a x =+-+，其中a R ∈.
（1）函数()f x 在1x =处的切线与直线210x y -+=垂直，求实数a 的值； （2）若函数()f x 在定义域上有两个极值点12,x x ，且12x x <. ①求实数a 的取值范围； ②求证：()()12100f x f x ++>. 【答案】（1）1
2
；（2）①01a <<；②详见解析. 【解析】 【分析】
（1）由函数()f x 在1x =处的切线与直线210x y -+=垂直，即可得1
(1)12
f '⋅=-，对其求导并表示(1)f '，代入上述方程即可解得答案；
（2）①已知要求等价于2()22(3)0a
f x x a x
'=+-+
=在(0,)+∞上有两个根12,x x ，且12x x <，即222(3)20x a x a +-+=在(0,)+∞上有两个不相等的根12,x x ，由二次函数的图象与性质构建不等式组，
解得答案，最后分析此时单调性推及极值说明即可；
②由①可知，()1212,0x x x x <<是方程222(3)20x a x a +-+=的两个不等的实根，由韦达定理可表达根与系数的关系，进而用含的式子表示()()12f x f x +，令()()12()g a f x f x =+，对()g a 求导分析单调性，即可知道存在常数(
)
3
,1t e -∈使()g a 在(0,)t 上单调递减，在(,1)t 上单调递增，进而求最值证明不等式成立. 【详解】
解：（1）依题意，2
()2(3)2ln f x x a x a x =+-+，0x >，
故2()22(3)a
f x x a x
'=+-+
，所以(1)44f a '=-， 据题意可知，1
(44)12a -⋅=-，解得12a =.
所以实数a 的值为1
2
.
（2）①因为函数()f x 在定义域上有两个极值点12,x x ，且12x x <， 所以2()22(3)0a
f x x a x
'=+-+
=在(0,)+∞上有两个根12,x x ，且12x x <， 即2
22(3)20x a x a +-+=在(0,)+∞上有两个不相等的根12,x x .
所以2
2(3)0,224(3)160,20,a a a -⎧->⎪⨯⎪∆=-->⎨⎪>⎪⎩
解得01a <<.
当01a <<时，若10x x <<或2x x >，2
22(3)20x a x a +-+>，()0f x '>，函数()f x 在()10,x 和
()1,x +∞上单调递增；若1
2x
x x <<，222(3)20x a x a +-+<，()0f x '<，函数()f x 在()12,x x 上单调
递减，故函数()f x 在(0,)+∞上有两个极值点12,x x ，且12x x <. 所以，实数a 的取值范围是01a <<.
②由①可知，()1212,0x x x x <<是方程222(3)20x a x a +-+=的两个不等的实根，
所以1212
3,,x x a x x a +=-⎧⎨=⎩其中01a <<.
故()()2
2
121112222(3)2ln 2(3)2ln f x f x x a x a x x a x a x +=+-+++-+
()()2
1212121222(3)2ln x x x x a x x a x x =+-+-++
22(3)22(3)(3)2ln 2ln 49a a a a a a a a a a =--+--+=-+-，
令2
()2ln 49g a a a a a =-+-，其中01a <<.故()2ln 26g a a a '=-+，
令()()2ln 26h a g a a a '==-+，2
()20h a a
'=->，()()h a g a '=在(0,1)上单调递增. 由于()3
3
20h e
e
--=-<，(1)40h =>，
所以存在常数(
)
3
,1t e -∈，使得()0h t =，即ln 30t t -+=，ln 3t t =-， 且当(0,)a t ∈时，()()0h a g a '=<，()g a 在(0,)t 上单调递减； 当(,1)a t ∈时，()()0h a g a '=>，()g a 在(,1)t 上单调递增，
所以当01a <<时，222
()()2ln 492(3)4929g a g t t t t t t t t t t t =-+-=--+-=--…
， 又(
)
3
,1t e -∈，22
29(1)1010t t t --=-->-，
所以()10g a >-，即()100g a +>， 故()()12100f x f x ++>得证. 【点睛】
本题考查导数的几何意义、两直线的位置关系、由极值点个数求参数范围问题，还考查了利用导数证明不等式成立，属于难题.
19．如图所示，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 是线段EF 的中点．
求证：(1)AM ∥平面BDE ； (2)AM ⊥平面BDF.
【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】
(1)建立如图所示的空间直角坐标系，设AC∩BD ＝N ，连结NE.
则N 22,,0⎛⎫ ⎪
⎪⎝⎭，E(0，0，1)，A(2，2，0)，M 22,,1⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
. ∴NE uuu r ＝22,,122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，AM u u u u r ＝22,,122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭.
∴NE uuu r ＝AM u u u u r
且NE 与AM 不共线．∴NE ∥AM.
∵NE
⊂平面BDE ，AM ⊄平面BDE ，∴AM ∥平面BDE.
(2)由(1)知AM u u u u r ＝22,22⎛⎫
-- ⎪ ⎪⎝⎭
，
∵2，0，0)，22，1)，∴DF u u u r
＝(02，1)，
∴AM u u u u r ·DF u u u r
＝0，∴AM ⊥DF.同理AM ⊥BF.又DF∩BF ＝F ，∴AM ⊥平面BDF.
20．已知等差数列{}n a的公差2
d=，且1a，2a，4a成等比数列．（1）求数列{}n a的通项公式；
（2）设
1
2
n
a
n
b
⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
，求数列{}
n
n
a b
+的前n项和
n
S．
【答案】（1）2
n
a n
=；（2）2
11
343
n n
S n n
=+-+
⨯
.
【解析】
【分析】
（1）根据等比中项性质可构造方程求得1a，由等差数列通项公式可求得结果；
（2）由（1）可得n b，可知{}n b为等比数列，利用分组求和法，结合等差和等比数列求和公式可求得结果.
【详解】
（1）
124
,,
a a a
Q成等比数列，2
214
a a a
∴=，即()()
2
111
3
a d a a d
+=+，
()()
2
111
26
a a a
∴+=+，解得：12
a=，
()
2212
n
a n n
∴=+-=.
（2）由（1）得：
2
111
224
n
a n n
n
b
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
===
⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，1
1
4
n
n
b
b
+
∴=，
1
1
4
b=，
∴数列{}n b是首项为1
4
，公比为
1
4
的等比数列，
()()
123123
n n n
S a a a a b b b b
∴=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+
()23
221111
24444
n
n n⎡⎤
+⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=++++⋅⋅⋅+
⎢⎥
⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎢⎥
⎣⎦2
11
343
n
n n
=+-+
⨯
．
【点睛】
本题考查等差数列通项公式的求解、分组求和法求解数列的前n项和的问题；关键是能够根据通项公式证得数列{}n b为等比数列，进而采用分组求和法，结合等差和等比数列求和公式求得结果.
21．在以ABCDEF为顶点的五面体中，底面ABCD为菱形，∠ABC＝120°，AB＝AE＝ED＝2EF，EF//AB，点G为CD中点，平面EAD⊥平面ABCD.
（1）证明：BD⊥EG；
（2）若三棱锥1
2
E FBC V -=，求菱形ABCD 的边长.
【答案】（1）详见解析；（2）2. 【解析】 【分析】
（1）取AD 中点O ，连,OE OG ，可得OE AD ⊥，结合平面EAD ⊥平面ABCD ，可证
OE ⊥平面ABCD ，进而有OE BD ⊥，再由底面是菱形可得AC BD ⊥，可得OG BD ⊥，
可证得BD ⊥平面EOG ，即可证明结论；
（2）设底面边长为a ，由EF //AB ，AB ＝2EF ，11
22
E FBC A FBC E ABC V V V ---==，求出体积，建立a 的方
程，即可求出结论. 【详解】
（1）取AD 中点O ，连OE ，
底面ABCD 为菱形，AB AD AE ED ===，
OE AD ∴⊥，平面EAD ⊥平面ABCD ，
平面EAD I 平面,ABCD AD OE =⊂平面ADE ，
OE ∴⊥平面,ABCD BD ⊂平面,ABCD OE BD ∴⊥，
Q 底面ABCD 为菱形，AC BD ∴⊥， Q G 为CD 中点，//,OG AC OG BD ∴⊥，
,,OG OE O OG OE =⊂I 平面EOG ，
BD ⊥平面,EOG EG ⊂平面EOG ，BD EG ∴⊥；
（2）设菱形ABCD 的边长为a ，则OE =
， //,2EF AB AB EF =Q ，
1111
2222E FBC A FBC F ABC E ABC V V V V ----∴====，
32111338
E ABC
ABC a V OE S -=⨯⨯===V ， 2a ∴=，所以菱形ABCD 的边长为2.
【点睛】
本题考查线线垂直的证明和椎体的体积，注意空间中垂直关系之间的相互转化，体积问题要熟练应用等体积方法，属于中档题.
22．已知在平面直角坐标系xOy 中，直线2C 的参数方程为22x t
y t
=-⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x
轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为()cos cos 2ρθρθ=+. （1）求曲线1C 与直线2C 的直角坐标方程；
（2）若曲线1C 与直线2C 交于,A B 两点，求AB 的值.
【答案】（1）曲线1C 的直角坐标方程为2
2y x =；直线2C 的直角坐标方程为40x y +-=（2）62【解析】 【分析】 （1）由公式cos sin x y ρθ
ρθ
=⎧⎨
=⎩可化极坐标方程为直角坐标方程，消参法可化参数方程为普通方程；
（2）联立两曲线方程，解方程组得两交点坐标，从而得两点间距离． 【详解】
解：（1）()cos cos 2ρθρθ+Q
2cos 2cos ρρθθ∴=+ 222cos 2cos ρρθρθ∴=+ 2222x y x x ∴+=+
∴曲线1C 的直角坐标方程为22y x =
直线2C 的直角坐标方程为40x y +-=
（2）据242y x y x =-+⎧⎨=⎩解，得22x y =⎧⎨=⎩
或8
4x y =⎧⎨
=-⎩ ()
()2
2
28242AB ∴=
-+--=⎡⎤⎣⎦【点睛】
本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查参数方程与普通方程的互化，属于基础题．
23．已知函数()21
1x
ax x f x e
++=-. （1）证明：当0x >时，5
2x e x >；
（2）若函数()f x 只有一个零点，求正实数a 的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）1
2
. 【解析】 【分析】
（1）把5
2x e x >转化成5ln 2x x >，令()5
ln 2
g x x x =-，由题意得，即证明()min 0g x >恒成立，通过导
数求证即可
（2）直接求导可得，21'()x
a a x x a e
f x -⎛
⎫-- ⎪⎝⎭=，令()'0f x =，得12x a =-或0x =，故根据0与12a +的大小关系来进行分类讨论即可 【详解】
证明：（1）令()5ln 2g x x x =-
，则()2'55
122x x x
g x -=-=. 分析知，函数()g x 的增区间为5,2⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
，减区间为50,2⎛⎫
⎪⎝⎭.
所以当()0,x ∈+∞时，()min 5555ln 2222g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭55551ln 1ln 02222⎛⎫⎛
⎫⎛⎫=--> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
. 所以5
ln 2x x >
，即52ln x x >， 所以5
2e x x >.
所以当0x >时，5
2e x x >.
解：（2）因为21()1x ax x f e x ++=-，所以()22121'()x x
a a x x ax a x a f x e e
-⎛
⎫-- ⎪-+-⎝⎭==. 讨论：
①当1
2a =时，22'()022x x x x f x e e ⎛⎫=--≤ ⎪⎝⎭
，此时函数()f x 在区间(),-∞+∞上单调递减.
又()00f =，
故此时函数()f x 仅有一个零点为0；
②当1
02a <<
时，令()'0f x >，得
210a x a -<<，故函数()f x 的增区间为21,0a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭
，减区间为21,a a -⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭，()0,∞+.
又极大值()00f =，所以极小值210a f a -⎛⎫
< ⎪⎝⎭
.
当1
x a
<-
时，有01x e <<. 又2210ax x ax x ++>+>，此时()0f x >， 故当1
02
a <<
时，函数()f x 还有一个零点，不符合题意； ③当12a >
时，令()'0f x >得210a x a -<<，故函数()f x 的增区间为210,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭
，减区间为(),0-∞，
21,a a -⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
. 又极小值()00f =，所以极大值210a f a -⎛⎫
>
⎪⎝⎭
. 若2x >，则()()
2
2
2
111a x ax x x x +-++=--，得()22
11a x ax x +>++，
所以21
()1x
ax x f e x ++=- 2(1)1x
a x e
+<- ()21x x
e a x e +-=
()5
2
2
1x
x
e a x +-<
()21x
x a e
⎡+⎣⎦=， 所以当2x >且()2
1x a >+时，()0f x <，故此时函数()f x 还有一个零点，不符合题意.
综上，所求实数a 的值为12
. 【点睛】
本题考查不等式的恒成立问题和函数的零点问题，本题的难点在于把导数化成因式分解的形式，如
21'()x
a a x x a e f x -⎛
⎫-- ⎪⎝⎭=
，进而分类讨论，本题属于难题。