人教版高中数学选修(2-1)-3.2《立体几何中的向量方法(第4课时)》教学课件
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解 如图，分别以AB、AD、AP所在直线 为x、y、z轴建系，则P(0，0，1)，B(3， 0，0)，D(0，4，0)，
∴P→B＝(3，0，－1)，B→D＝(－3，4，0)， ∴P→B|B· →DB→| D＝－59，
P 到 BD 的距离 d＝
|P→B|2－|PB―→·→BD―→|2
|BD| ＝ 10－（－59）2＝153. ∵P 到 BD 的距离为153.
(0， 3， 3)，
由nn⊥ ⊥BB→→MC，，得nn··BB→→MC＝＝00，，即x＋3y＋3y＝3z0＝，0，
令 x＝ 3，则平面 BMC 的一个法向量为 n＝( 3，－1，1) 10 分
又B→A＝(0，0，2 3)，则所求距离 d＝|B→A|n·| n|＝2 515.
d＝
|C→C1|2－|C→C1·A1C→―→|2＝
1－13＝
6 3.
|A1C|
规律方法 利用向量求点线距时，不用找到点在直线上的 垂足，直接按向量法的求解步骤来求就行，同时线上的点 可以任意取，但一般选择特殊点，同时直线的方向向量也 可以任意取．
【变式2】 如图，P为矩形ABCD所在平面外 一点，PA⊥平面ABCD，若已知AB＝3， AD＝4，PA＝1，求点P到BD的距离．
名师点睛
点到平面距离的求法 如图，BO⊥平面 α，垂足为 O，则点 B 到平面 α 的距离就是线段 BO 的长度． 若 AB 是平面 α 的任一条斜线段，则在 Rt△BOA
中，|B→O|＝|B→A|·cos∠ABO＝ |B→A|·|B→O|B|→·Oc| os∠ABO.如果令平面 α 的法向量为 n，考虑到法 向量的方向，可以得到 B 点到平面 α 的距离为|B→O|＝|A→B|n·| n|.
3.2立体几何中的向量方法（四）
空间中的距离问题
空间中的距离
自学导引
想一想：在求两条异面直线间的距离，直线到平面的距 离，两个平面间的距离时能转化为点到平面的距离求解 吗？ 提示 能．因为直线与平面平行，两个平面平行时，直线 上的点或其中一个平面上的点到另一个平面的距离均相 等，而两条异面直线可以构造线面平行，所以在求以上距 离时均可转化为点到平面的距离．
因此用向量法求一个点到平面的距离，可以分以下几步完 成： (1)求出该平面的一个法向量； (2)找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； (3)求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法 向量的模，即可求出点到平面的距离．
由于|nn|＝n0 可以视为平面的单位法向量，所以点到平面的距 离实质就是平面的单位法向量与从该点出发的斜线段向量
以O为坐标原点，分别以直线OC，BO，OM为x轴、y轴、
z轴，建立空间直角坐标系Oxyz.
3分
∵△BCD 与△MCD 都是边长为 2 的正三角形，
∴OB＝OM＝ 3，则 O(0，0，0)，C(1，0，0)，M(0，0， 3)，B(0，
－ 3，0)，A(0，－ 3，2).
5分
设平面 MBC 的法向量为 n＝(x，y，z)，则B→C＝(1， 3，0)，B→M＝
(1)计算直线 A1C 的方向向量A→1C＝(1，
1，－1)．
(2)找到直线 A1C 上一点 C(1，1，0)．
(3)求点 C1 与直线 A1C 上一点 C(1，1，0)的向量
C→C1＝(0，0，1)． (4)求C→C1在A→1C上的投影，C→C1·|AA→→11CC|＝－31.
(5)点 C1 到直线 A1C 的距离
【变式1】 如图所示，在120°的二面角α -AB-β 中，AC⊂α，BD⊂β且AC⊥AB，BD⊥AB， 垂足分别为A、B，已知AC＝AB＝BD＝6， 试求线段CD的长． 解 ∵AC⊥AB，BD⊥AB，∴C→A·A→B＝0，B→D·A→B＝0，
又∵二面角 α -AB-β 的平面角为 120°，
∴〈C→A，B→D〉＝60°， ∴CD2＝|C→D|2＝(C→A＋A→B＋B→D)2 ＝C→A2＋A→B2＋BD2＋2(C→A·A→B＋C→A·BD＋B→D·A→B)
解 法一 建立如图所示的空间直角坐
标系．
则 A(1，0，0)，F(1，1，0)，C(0，0，1)
∵CM＝BN＝ 22，
且四边形 ABCD、ABEF 为正方形，
∴M(12，0，12)，N(12，12，0)，
∴M→N＝(0，12，－12)，
∴|M→N|＝
0＋14＋14＝
22，即
MN＝
2 2.
法二 以A→D、A→B、A→F为基向量，
求点到平面的距离
【例3】 (12 分)如图，△BCD 与△MCD 都
是边长为 2 的正三角形，平面 MCD⊥ 平面 BCD，AB⊥平面 BCD，AB＝2 3. 求点 A 到平面 MBC 的距离．
[规范解答]取CD的中点O，连结OB，OM，则OB⊥CD，
OM⊥CD，又平面MCD⊥平面BCD，则MO⊥平面BCD.
＝3×62＋2×62×cos 60°＝144，∴CD＝12.
求点到直线的距离
【例2】 正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，利用向量法求 点C1到A1C的距离． [思路探索] 本题可先建系，再按求点线距的步骤求解．
解 建系如图，以 AB、AD、AA1 所在直 线分别为 x 轴、y 轴、z 轴， 则 A1(0，0，1)，C(1，1，0)，C1(1，1， 1)．
的数量积的绝对值，即 d＝|A→B·n0|.
求两点间的距离
【例1】 如图，正方形 ABCD 和 ABEF 的边 长都是 1，且它们所在平面互相垂直，点
M 在 AC 上，点 N 在 BF 上．若 CM＝
BN＝
2，求 2
MN
的长．
[思路探索] 考虑到所给图形易建坐标系，所以可用向量法求
解，即求|M→N|.
∵CM＝BN＝ 22，∴A→M＝12A→C，F→N＝12F→B. ∴M→N＝M→A＋A→N＝－12(A→D＋A→B)＋A→F＋12(A→B－A→F) ＝－12A→D＋12A→F， ∴|M→N|2＝14A→D2＋14A→F2＝12， ∴|M→N|＝ 22，即 MN＝ 22.
规律方法 求两点间的距离的向量法主要是坐标法(易建系 的)和基向量法(各基向量的模和夹角已知或可求)，利用向 量模的定义求解．
∴P→B＝(3，0，－1)，B→D＝(－3，4，0)， ∴P→B|B· →DB→| D＝－59，
P 到 BD 的距离 d＝
|P→B|2－|PB―→·→BD―→|2
|BD| ＝ 10－（－59）2＝153. ∵P 到 BD 的距离为153.
(0， 3， 3)，
由nn⊥ ⊥BB→→MC，，得nn··BB→→MC＝＝00，，即x＋3y＋3y＝3z0＝，0，
令 x＝ 3，则平面 BMC 的一个法向量为 n＝( 3，－1，1) 10 分
又B→A＝(0，0，2 3)，则所求距离 d＝|B→A|n·| n|＝2 515.
d＝
|C→C1|2－|C→C1·A1C→―→|2＝
1－13＝
6 3.
|A1C|
规律方法 利用向量求点线距时，不用找到点在直线上的 垂足，直接按向量法的求解步骤来求就行，同时线上的点 可以任意取，但一般选择特殊点，同时直线的方向向量也 可以任意取．
【变式2】 如图，P为矩形ABCD所在平面外 一点，PA⊥平面ABCD，若已知AB＝3， AD＝4，PA＝1，求点P到BD的距离．
名师点睛
点到平面距离的求法 如图，BO⊥平面 α，垂足为 O，则点 B 到平面 α 的距离就是线段 BO 的长度． 若 AB 是平面 α 的任一条斜线段，则在 Rt△BOA
中，|B→O|＝|B→A|·cos∠ABO＝ |B→A|·|B→O|B|→·Oc| os∠ABO.如果令平面 α 的法向量为 n，考虑到法 向量的方向，可以得到 B 点到平面 α 的距离为|B→O|＝|A→B|n·| n|.
3.2立体几何中的向量方法（四）
空间中的距离问题
空间中的距离
自学导引
想一想：在求两条异面直线间的距离，直线到平面的距 离，两个平面间的距离时能转化为点到平面的距离求解 吗？ 提示 能．因为直线与平面平行，两个平面平行时，直线 上的点或其中一个平面上的点到另一个平面的距离均相 等，而两条异面直线可以构造线面平行，所以在求以上距 离时均可转化为点到平面的距离．
因此用向量法求一个点到平面的距离，可以分以下几步完 成： (1)求出该平面的一个法向量； (2)找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； (3)求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法 向量的模，即可求出点到平面的距离．
由于|nn|＝n0 可以视为平面的单位法向量，所以点到平面的距 离实质就是平面的单位法向量与从该点出发的斜线段向量
以O为坐标原点，分别以直线OC，BO，OM为x轴、y轴、
z轴，建立空间直角坐标系Oxyz.
3分
∵△BCD 与△MCD 都是边长为 2 的正三角形，
∴OB＝OM＝ 3，则 O(0，0，0)，C(1，0，0)，M(0，0， 3)，B(0，
－ 3，0)，A(0，－ 3，2).
5分
设平面 MBC 的法向量为 n＝(x，y，z)，则B→C＝(1， 3，0)，B→M＝
(1)计算直线 A1C 的方向向量A→1C＝(1，
1，－1)．
(2)找到直线 A1C 上一点 C(1，1，0)．
(3)求点 C1 与直线 A1C 上一点 C(1，1，0)的向量
C→C1＝(0，0，1)． (4)求C→C1在A→1C上的投影，C→C1·|AA→→11CC|＝－31.
(5)点 C1 到直线 A1C 的距离
【变式1】 如图所示，在120°的二面角α -AB-β 中，AC⊂α，BD⊂β且AC⊥AB，BD⊥AB， 垂足分别为A、B，已知AC＝AB＝BD＝6， 试求线段CD的长． 解 ∵AC⊥AB，BD⊥AB，∴C→A·A→B＝0，B→D·A→B＝0，
又∵二面角 α -AB-β 的平面角为 120°，
∴〈C→A，B→D〉＝60°， ∴CD2＝|C→D|2＝(C→A＋A→B＋B→D)2 ＝C→A2＋A→B2＋BD2＋2(C→A·A→B＋C→A·BD＋B→D·A→B)
解 法一 建立如图所示的空间直角坐
标系．
则 A(1，0，0)，F(1，1，0)，C(0，0，1)
∵CM＝BN＝ 22，
且四边形 ABCD、ABEF 为正方形，
∴M(12，0，12)，N(12，12，0)，
∴M→N＝(0，12，－12)，
∴|M→N|＝
0＋14＋14＝
22，即
MN＝
2 2.
法二 以A→D、A→B、A→F为基向量，
求点到平面的距离
【例3】 (12 分)如图，△BCD 与△MCD 都
是边长为 2 的正三角形，平面 MCD⊥ 平面 BCD，AB⊥平面 BCD，AB＝2 3. 求点 A 到平面 MBC 的距离．
[规范解答]取CD的中点O，连结OB，OM，则OB⊥CD，
OM⊥CD，又平面MCD⊥平面BCD，则MO⊥平面BCD.
＝3×62＋2×62×cos 60°＝144，∴CD＝12.
求点到直线的距离
【例2】 正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，利用向量法求 点C1到A1C的距离． [思路探索] 本题可先建系，再按求点线距的步骤求解．
解 建系如图，以 AB、AD、AA1 所在直 线分别为 x 轴、y 轴、z 轴， 则 A1(0，0，1)，C(1，1，0)，C1(1，1， 1)．
的数量积的绝对值，即 d＝|A→B·n0|.
求两点间的距离
【例1】 如图，正方形 ABCD 和 ABEF 的边 长都是 1，且它们所在平面互相垂直，点
M 在 AC 上，点 N 在 BF 上．若 CM＝
BN＝
2，求 2
MN
的长．
[思路探索] 考虑到所给图形易建坐标系，所以可用向量法求
解，即求|M→N|.
∵CM＝BN＝ 22，∴A→M＝12A→C，F→N＝12F→B. ∴M→N＝M→A＋A→N＝－12(A→D＋A→B)＋A→F＋12(A→B－A→F) ＝－12A→D＋12A→F， ∴|M→N|2＝14A→D2＋14A→F2＝12， ∴|M→N|＝ 22，即 MN＝ 22.
规律方法 求两点间的距离的向量法主要是坐标法(易建系 的)和基向量法(各基向量的模和夹角已知或可求)，利用向 量模的定义求解．