【全国重点校】黑龙江省哈尔滨市第六中学2019届高三上学期期末考试数学(文)试题 Word版含答案

哈尔滨市第六中学2018-2019学年度上学期期末考试
高三文科数学
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
相关公式：
1.独立性检验有关数据：
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的． 1．已知集合1
{1,10,
}10
A =,{|lg ,}
B y y x x A ==∈,则A B = ( ) A. 1
{}10 B. {10} C. {1} D. ∅
2．复数
313i
i
+-等于（ ） A ．i B ．i 2- C ．i 2 D ．i -3 3．若非零向量,满足0)2(|,|||=⋅+=，则与的夹角为( ) A ．︒30 B ．︒60 C ．︒120 D ．︒150 4.已知cos()13
π
α+
=-，则sin(26
π
α+
的值为（ ）
A. 1-
B.3-或1
C.3
3
-
D. 1 5.设y x ,满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≤--≥-≥+22142y x y x y x ，则y x z -=（ ）
A.有最小值2，无最大值
B.有最小值1-，无最大值
C.有最大值2，无最小值
D.既无最小值，又无最大值 6. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A.376+ B.310+ C.312+ D.12 7.右面的程序框图表示求式子3
2×35×311×323×347×3
95 的值, 则判断框内可以填的条件为（ ）
A. ?90≤i
B. ?100≤i
C. ?200≤i
D. ?300≤i 8. 若函数)(x f 同时满足下列三个性质: ①最小正周期为π; ②图像关于直线3
π
=x 对称;
③在区间⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-
3,6ππ上是增函数，则)(x f y =的解析式可以是（ ） A. )62sin(π
-=x y B. )62sin(π
+=x y C. )6
2cos(π-
=x y D. )3
2cos(π
+
=x y
9.已知等比数列{}n a 满足+∈>N n a n ,0，且)1(4323>=⋅-n a a n n ，则当1n ≥时， 212
3221l o g l o g l o g n a a a -+++
=
( ) A ． 2(1)n - B ．2(1)n + C ．(21)n n - D ．2
n
10.若直线01cos sin =+-θθy x 与圆1)1()1(22=-+-y x 相切，且θ为锐角，则该直线的斜率是（ ）
A.1
B.3-
C.1-
D.3
11.若P 是双曲线)0,0(1:22
221>>=-b a b
y a x C 和圆22222:b a y x C +=+的一个交点，
且,21122F PF F PF ∠=∠，其中21,F F 是双曲线1C 的两个焦点，则双曲线1C 的离心率为（ ）
A.13-
B. 3
C.2
D. 13+
12.定义域为R 的函数2(2)()1
(2)
x x f x x ⎧-≠=⎨
=⎩，若关于x 的方程2
()()0f x bf x c ++=,
恰有5个不同的实数解1234512345,,,,,()x x x x x f x x x x x ++++则等于（ ）
A ．0
B ．2
C ． 8
D ．10
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13.已知*)()(,111N n a a n a a n n n ∈-==+，则数列{}n a 的通项公式为 . 14. 已知函数)(x f 的定义域为A ，若其值域也为A ，则称区间A 为)(x f 的保值区间． 若()ln g x x m x =++的保值区间是[,)e +∞ ，则m 的值为 ．
15. 已知三棱锥ABC P -的三条侧棱PA PB PC 、、两两互相垂直，且
PA PB PC a ===,
则该三棱锥的外接球的体积为 ．
16.有如下四个命题：
①甲乙两组数据分别为甲：28,31,39,42,45,55,57,58,66；乙：29,34,35,48,42,46,55,53,55,67 则甲乙的中位数分别为45和44.
②相关系数83.0-=r ，表明两个变量的相关性较弱.
③若由一个2⨯2列联表中的数据计算得2
K 的观测值 4.103k ≈,那么有95%的把握认为
两个变量有关.
④用最小二乘法求出一组数据),,1(,),(n i y x i i =的回归直线方程a x b y
ˆˆˆ+=后要进行残差分析，相应于数据),,1(,),(n i y x i i =的残差是指()
a x
b y e i
i i ˆˆˆ+-=.
以上命题“错误”的序号是 .
三、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （本小题满分12分）
在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，且满足 cos 2A 3=⋅. （1）求ABC ∆的面积； （2）若6=+c b ,求a 的值.
18．（本小题满分12分）
某校高三文科500名学生参加了3月份的高考模拟考试，学校为了了解高三文科学生的历史、
地理学习情况，从500名学生中抽取100名学生的成绩进行统计分析，抽出的100名学生的地理、历史成绩如下表：
若历史成绩在[80,100]区间的占
30%， （1）求n m ,的值；
（2）请根据上面抽出的100名学生地理、历史成绩，填写下面地理、历史成绩的频数分布表：
根据频数分布表中的数据估计历史和地理的平均成绩及方差（同一组数据用该组区间的中点值作代表）
，并估计哪个学科成绩更稳定.
19. （本小题满分12分）
如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别是AB ，1BB 的中点. （1）证明：1//BC 平面11
ACD ； （2）设12AA AC CB ===，AB =1C A DE -的体积.
1
A
20. （本题满分12分）
设1F 、2F 分别是椭圆22
154
x y +=的左、右焦点. （1）若P 是该椭圆上的一个动点，求21PF PF ⋅的最大值与最小值.
（2）是否存在过点)0,5(A 的直线l 与椭圆交于不同的两点D C ,，使得D F C F 22=？
若存在，
求直线l 的方程；若不存在，请说明理由.
21. （本小题满分12分）
设函数)(ln )(2x x b ax x f -+=，已知曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线与直线01=+-y x 垂直. （1）求a 的值；
（2）求函数)(x f 的极值点.
请考生在题22,23中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题计分．做题时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．
22.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 过点
)0,4(N ，倾斜角为α．
（1）写出直线l 的参数方程，及当2
π
α=
时，直线l 的极坐标方程l '.
（2）已知从极点O 作直线m 与直线l '相交于点M ，在OM 上取一点P ，使
4=⋅OP OM ，求点P 的极坐标方程.
23（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数()2f x x a x =++-
（1）当3a =-时，求不等式()3f x ≥的解集；
（2）若()4f x x ≤- |的解集包含[]1,2，求a 的取值范围.
高三文科数学答案
答案1-5CACAB 6-10CBADA 11-12DC 13.n a n = 14. ①② 15. 1- 16.
32
3a π
17.（1
）因为cos
25
A =
，234cos 2cos 1,sin 255A A A ∴=-==，又由3AB AC ⋅=，得cos 3,bc A =5bc ∴=，1
sin 22
ABC S bc A ∆∴=
= （2）对于5bc =，又6b c +=，5,1b c ∴==或1,5b c ==，由余弦定理得
2222cos 20a b c bc A =+-=
，a ∴=18. 解：（1）∵由历史成绩在[80,100]区间的占30%，∴
8+9
0.3100
m +=，得13m =，
∴100898159971322n =--------=. 3分 可得
2222
90
=
=70S =2590-70+5070-70+2550-70=200100100
x ⨯⎡⎤⨯⨯⨯⎣⎦地理地理，（）（）（）2222
9030+7040+50301==70S =3090-70+4070-70+3050-70=240100100
x ⨯⨯⨯⎡⎤⨯⨯⨯⎣⎦历史历史，（）（）（）
从以上计算数据来看，地理学科的成绩更稳定。

………………………………12分
19.(1)略 (2).1=V
20. 解：（Ⅰ）易知)0,1(),0,1(,1,2,521F F c b a -=∴===
设P （x ，y ），则1),1(),1(2
221-+=--⋅---=⋅y x y x y x PF
35
1
1544222+=--
+x x x ]5,5[-∈x ，
0=∴x 当，即点P 为椭圆短轴端点时，21PF PF ⋅有最小值3；
当5±=x ，即点P 为椭圆长轴端点时，21PF PF ⋅有最大值4
（Ⅱ）假设存在满足条件的直线l 易知点A （5，0）在椭圆的外部，当直线l 的斜率不存在时，直线l 与椭圆无交点，所在直线l 斜率存在，设为k 直线l 的方程为)5(-=x k y
由方程组22
22221(54)5012520054
(5)x y k x k x k y k x ⎧+
=⎪+-+-=⎨⎪=-⎩
，得
依题意220(1680)0k k ∆=->-
<<
，得 当5
5
55<
<-
k 时，设交点C ),(),(2211y x D y x 、，CD 的中点为R ),(00y x ， 则4
5252,455022
2102
221+=+=+=+k k x x x k k x x .4
520)54525()5(22200+-=-+=-=∴k k
k k k x k y
又|F 2C|=|F 2D|122-=⋅⇔⊥⇔R F k k l R F
1204204
5251)4520(02
22
222-=-=+-+-
-⋅=⋅∴k k k k k k
k k k R
F
∴20k 2=20k 2－4，而20k 2=20k 2－4不成立， 所以不存在直线l ，使得|F 2C|=|F 2D| 综上所述，不存在直线l ，使得|F 2C|=|F 2D|
21.【 解析】（1）)11
(2)(-+='x b ax x f ，所以12)1(-=='=a f k ，所以2
1-
=a . （2）)(ln 2
1)(2
x x b x x f -+-
=，其定义域为),0(+∞， x
b
bx x x b x x f +--=-+-='2)11()(，
令),0(,)(2+∞∈+--=x b bx x x h ，b b 42+=∆，
①当04≤≤-b 时，042
≤+=∆b b ，有0)(≤x h ，即0)(≤'x f ，所以)(x f 在区间)
,0(+∞上单调递减，故)(x f 在区间),0(+∞无极值点.
②当4-<b 时，0>∆，令0)(=x h ，有2
4,242221b b b x b b b x ++-=
+--=，012>>x x ，
当),0(1x x ∈时，0)(<x h ，即0)(<'x f ，得)(x f 在),0(1x 上递减； 当),(21x x x ∈时，0)(>x h ，即0)(>'x f ，得)(x f 在),(21x x 上递增； 当),(2+∞∈x x 时，0)(<x h ，即0)(<'x f ，得)(x f 在),(2+∞x 上递减，
此时)(x f 有一个极小值点242b b b +--和一个极大值点2
42b
b b ++-.
③当0>b 时，0>∆，令0)(=x h ，有02
4,0242221>++-=<+--=b
b b x b b b x ，
当),0(2x x ∈时，0)(<x h ，即0)(<'x f ，得)(x f 在),0(2x 上递增； 当),(2+∞∈x x 时，0)(<x h ，即0)(<'x f ，得)(x f 在),(2+∞x 上递减，
此时)(x f 有唯一的极大值点2
42b
b b ++-.
综上可知，当4-<b 时，函数)(x f 有一个极小值点2
42b
b b +--和一个极大值点
2
42b
b b ++-；
当04≤≤-b 时，函数)(x f 在),0(+∞无极值点；
当0>b 时，函数)(x f 有唯一的极大值点2
42b
b b ++-，无极小值点.
22.（1）⎩⎨
⎧=+=ααsin cos 4:t y t x l （t 为参数）⎩⎨⎧=='t
y x l 4
: （t 为参数）∴l '的极坐标方程为
4cos :=θρl
设点),(θρP ，)
,(θρo M ，4cos =θρo ，4=⋅o ρρ，θρcos =∴，x y x =+22，即
点P 的轨迹方程为412122
=+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-y x 。

23.答案(1){}{}
41≥⋃≤x x x x ; (2)[].0,3-∈a。