3 拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理
拉格朗日（Lagrange ）中值定理
ξ
()()
(,) , () .
f b f a a b f b a ξξ-'∃∈=-则使得(1) () [,] ;
f x a b 在连续(2) () (,) ,
f x a b 在可导定理
x
y
a
A
B
b
O
ξ'
拉格朗日中值定理
Lagrange (法)
1736-1813
x
y
a
b
O
ξ'
ξ
)(='ξf 罗尔中值定理
A
B
O
x
y
)(x f y =ξ
ξa
b
A
B
切线与弦线AB 平行
()()
()()
AB f b f a y f a x a b a
-=+--弦的方程：
如何利用罗尔定理来证明？分析()() ()()()()f b f a x f x f a x a b a
φ-=----令
()() ()()()()f b f a x f x f a x a b a
φ-=----令则由已知条件可得：
()([, ]) ,x C a b φ∈() (, ) ,
x a b φ在内可导 ()()0 .
a b φφ==且故由罗尔中值定理，至少存在一点(, ) , a b ξ∈使得
()()
()()0.
f b f a f b a
φξξ-''=-=- ()()()().
f b f a f b a ξ'-=-即分析证
z
()()(())(), (01).
f b f a f a b a b a ,θθ'-=+--∈定理的证明方法很多,例如,可作辅助函数
()(()())()()
F x f b f a x b a f x =---1 a b a b <>不论还是定理中的公式均可写成()()()() ( , )
f b f a f b a a b ξξ'-=-在之间2
3
拉格朗日有限增量公式
()()() (01)f x x f x f x x x θθ'+∆-=+∆∆<<() ( )
y f x x x x ξξ'∆=∆+∆在与之间
拉格朗日中值定理告诉我们, 在t=a 到t=b 的
时间段内, 连续运动的物体至少会在某一时刻达到它的平均速度.
()() () .
s b s a v t b a
-=-
z
由拉格朗日中值定理可以得出其它的什么结论？
()()() ()
f b f a f b a ξ'-=-2121()()() ()
f x f x f x x ξ'-=-(1) ()0 (, ).
f x x a b '=∈().
f x =常数(2) |()| .
f x M '≤00|()()| ||.
f x f x M x x -≤-(3) ()0 (0).
f x '≥≤() ()
f x ↑↓()
f ξ'?
??
z
12 ()0 , I . , I ,
f x x x x '=∈∀∈若则有1212()()()()0 ,
f x f x f x x ξ'-=-= ()0 , I , () , I .
f x x f x C x '=∀∈=∈若则12()() .
f x f x =推论1证
z
推论2证 ()() I , ()() I .
f x
g x x f x g x C x ''=∈=+∈若则(C 为常数)
(()())()(),
f x
g x f x g x '''-=-因为 ()() I , f x g x x ''=∈若则 (()())0 , I , f x g x x '-=∈故
()() , I .
f x
g x C x -=∈
z
推论3证
|()|, (, ), f x M x a b '≤∈且则
|()()|||.
f b f a M b a -≤- () [, ] ,
f x a b 若在上满足拉格朗日中值定理条件 |()| ( () ) ,
f x M f x ''≤若即有界 |()()| |()||| || .
f b f a f b a M b a ξ'-=-≤-则用来证明一些重要的不等式.
z
推论4证
用来判断函数的单调性.
() I , ()0 (()0) ,
f x f x f x ''≥≤若在区间可导且 () I ()f x 则在区间上单调增加减少．
1221,I , .
x x x x ∀∈>不妨设212112()()()() ()
f x f x f x x x x ξξ'-=-<<21 ()0 I , ()() ,
f x x f x f x '>∈>若则21 ()0 I , ()() .
f x x f x f x '<∈<若则
z
推论5证
用来证明不等式.
() , () I , ()()( I ) .
f x
g x f a g a a =∈设在区间内可导且 ()() (, )I ,f x g x x a b ''>∈⊂若则
()() , (, ) .
f x
g x x a b >∈ ()()() , ()0, ()0.
x f x g x x a φφφ'=->=令则再由推论4 , 即得命题成立.
z
() (, ) ()() ,
f x f x f x '-∞+∞=证明：若在内满足关系式(0) 1 , ().x f f x e ==且则() 1 , (, ) x
f x x e
⇔≡∈-∞+∞() (), (, ),
x f x x x e φ=∈-∞+∞令 ()x C φ=问题转化为证明
2()() ()x
x
x
f x e f x e x e
φ'-'=0, (, ), x =∈-∞+∞证 (), (, ).x C x φ∴=∈-∞+∞ (0) 1 ,
f =又() () 1.x f x x e φ==0(0) (0) 1.f e φ==故 1 . C =从而(), (, ) .
x
f x e x =∈-∞+∞例
分析问题的条件,改写结论的形式，作出辅助函数是解题的关键.
如果曲线用参数方程表示，拉格朗日中值定理的结论会变成怎样的形式？。