高中数学6.3《平面向量基本定理及坐标表示》基础过关练习题

第六章 6.3 6.3.2 6.3.3 6.3.4

A 级——基础过关练

1．给出下面几种说法： ①相等向量的坐标相同；

②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标； ③一个坐标对应于唯一的一个向量；

④平面上一个点与以原点为始点、该点为终点的向量一一对应． 其中正确说法的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3

D ．4

【答案】C 【解析】由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故③错误．

2．设i ，j 是平面直角坐标系内分别与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量，O 为坐标原点，若OA →＝4i ＋2j ，OB →＝3i ＋4j ，则2OA →＋OB →

的坐标是( )

A ．(1，－2)

B ．(7,6)

C ．(5,0)

D ．(11,8)

【答案】D 【解析】因为OA →＝(4,2)，OB →＝(3,4)，所以2OA →＋OB →

＝(8,4)＋(3,4)＝(11,8)． 3．(2020年重庆月考)若向量a ＝(1，－2)，b ＝(3，－1)，则与a ＋b 共线的向量是( ) A ．(－1,1) B ．(－3，－4) C ．(－4,3)

D ．(2，－3)

【答案】C 【解析】向量a ＝(1，－2)，b ＝(3，－1)，则a ＋b ＝(4，－3)，所以与a ＋b 共线的向量是λ(4，－3)，其中λ∈R .当λ＝－1时，共线向量是(－4,3)．故选C ．

4．(2020年宁波月考)已知A (－1,2)，B (2，－1)，若点C 满足AC →＋AB →

＝0，则点C 坐标为( )

A ．⎝⎛⎭⎫12，12

B ．(－3,3)

C ．(3，－3)

D ．(－4,5)

D 【解析】设C (x ，y )，由A (－1,2)，B (2，－1)，得AC →＝(x ＋1，y －2)，AB →

＝(3，－

3)．又AC →＋AB →＝0，∴AC →＝－AB →

，即⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＋1＝－3，y －2＝3，解得⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝－4，

y ＝5.∴点C 坐标为(－4,5)．故

选D ．

5．已知A (－3,0)，B (0,2)，O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，且∠AOC ＝45°，设OC →

＝λOA →＋(1－λ)OB →

(λ∈R )，则λ的值为( )

A ．1

5

B ．1

3

C ．2

5

D ．23

【答案】C 【解析】如图所示，因为∠AOC ＝45°，所以设C (x ，－x )，则OC →

＝(x ，－

x )．又因为A (－3,0)，B (0,2)，所以λOA →＋(1－λ)OB →

＝(－3λ，2－2λ)．所以⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝－3λ，

－x ＝2－2λ⇒

λ＝25

.

6．(2020年道里区校级期中)我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称作“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽．如图，大正方形ABCD 是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若AB →＝a ，AD →＝b ，E 为BF 的中点，则AE →

＝( )

A ．45a ＋2

5b

B ．25a ＋45b

C ．43a ＋2

3

b

D ．23a ＋43

b

【答案】A 【解析】如图所示，建立直角坐标系．设AB ＝1，BE ＝x ，则AE ＝2x .∴x 2

＋4x 2＝1，解得x ＝

55.设∠BAE ＝θ，则sin θ＝55，cos θ＝255.∴x E ＝255cos θ＝45，y E ＝255

sin θ＝25.设AE →＝mAB →＋nAD →

，则⎝⎛⎭⎫45，25＝m (1,0)＋n (0,1)．∴m ＝45，n ＝25.∴AE →＝45a ＋25

b .故选A ．

7．(2020年苏州期末)已知A (2，－3)，B (8,3)，若AC →＝2CB →

，则点C 的坐标为________． 【答案】(6,1) 【解析】设C (x ，y )，∵A (2，－3)，B (8,3)，AC →＝2CB →

，∴(x －2，y ＋3)＝

2(8－x,3－y )＝(16－2x,6－2y )．∴⎩

⎪⎨⎪⎧

x －2＝16－2x ，

y ＋3＝6－2y ，解得x ＝6，y ＝1.∴点C 的坐标为(6,1)．

8．(2020年广州模拟)已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(m,1)．若向量(a －2b )∥b ，则m ＝________. 【答案】－3

2 【解析】∵向量a ＝(3，－2)，b ＝(m,1)，∴a －2b ＝(3－2m ，－4)．∵(a －

2b )∥b ，∴－4m ＝3－2m .∴m ＝－3

2

.

9．已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，|OA →

|＝43，∠xOA ＝60°. (1)求向量OA →

的坐标；

(2)若B (3，－1)，求BA →

的坐标．

解：(1)设点A (x ，y )，则x ＝43cos 60°＝23，y ＝43sin 60°＝6，即A (23，6)，OA →

＝(23，6)．

(2)BA →

＝(23，6)－(3，－1)＝(3，7)．

10．如图，已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，求AC 与OB 的交点P 的坐标．

解：由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →

＝(4λ，4λ)， 则AP →＝OP →－OA →

＝(4λ－4,4λ)．