05[1].函数极限

lim f ( x ) ≠ A
ε 0 > 0 , M > 0, : x0 > M
f ( x0 ) A ≥ ε 0
4. 利用定义验证函数极限实例 1 (1)证明: lim x = 0 . x →+∞ 2 1 证:任意取定正数 1 > ε > 0 ,取 M = log 2 ( ) > 0 , 则当 x > M 时,有: ε 1 1 1 f ( x) A = x 0 = x < M = ε . 2 2 2 1 根据函数极限定义, lim x = 0 . x → +∞ 2 (2)证明: lim (3x +2 + 1) = 1 . x →∞ 证:任意取定 1 > ε > 0 ,取 M = 2 + log 3 ( 1 ) > 0 , 则当 x < M 时,有 : ε
8
ε
>0
, 则当 x > M 时,有: 3 x + 4 x >4 4x ≤ 3 ≤ x 2 x3 2
2 x 3 + 3x 3x + 4 f ( x) A = 2 = 3 x 2 x3 2
x3 2 ≥ x x >2
3
x x 2 2 x3 + 3x 根据函数极限定义, lim 3 =2 . x→∞ x 2
" n 无限增大 ",或 " n → +∞ " " x 正向无限增大 ",或 " x → +∞ " N ∈ Z + , s.t. n > N xn 0 < ε M > 0, s.t. x > M f ( x ) 0 < ε
综合以上数列极限和函数极限的数量化说法,可得: 综合以上数列极限和函数极限的数量化说法,可得:
≤
2
4 x x
3
2
≤
4 x
3 3
8 8 = < x M
= ε
5. 自变量 x 趋于无穷大时,函数有极限 的几何含义 趋于无穷大时, 以函数极限 lim f ( x ) = A 为例,它的数量化语言是:
ε > 0 , M > 0, : ∵
x →∞
x >M
f ( x) A < ε
x > M x < M or x > M ;
f ( x) A = 2x3 5x + 3 x
3
6
ε
3
>0
, 则当 x > M 时,有 :
5 x + 3 x3
2 =
x >3
5x 3 x
<
<
6x x
3
=
2x3 x 1 ∴ lim =2 . 3 x →∞ x
6 = ε. 2 < 2 x M
6
2 x 3 + 3x (5) 证明:lim 3 =2 . x →∞ x 2 证:任意取定正数 ε > 0 ,取 M =
ε > 0 , ,
极限现象,其数量化的本质就是: 极限现象,其数量化的本质就是:
f ( x) A < ε
这样, 这样,函数 y = f ( x ) = x2 + 1 当 x → 0 时,f ( x ) → 1 的
ε > 0 , δ > 0 , s.t.
x0 <δ
f ( x) 1 < ε
再看一个例子: 再看一个例子:
x 1 y = f ( x) = , x0 = 1. x 1
2
尽管点 x0 = 1 不在其定义域中, 不在其定义域中,
但该 点附近有无穷个自变量的取 值点, 值点, 所以仍可以考虑自变量趋于固 定点 x0 = 1 时,函数对应的 的问题. 值 有无明确变化趋势 的问题. 从图中容易看出, 从图中容易看出,
x →∞
lim f ( x) = A
或记为 : "当 x → ∞ 时, f ( x) → A "
第二种函数极限的形式逻辑符号表示: 第二种函数极限的形式逻辑符号表示:
ε > 0 , M > 0, : x < M
x →∞
f ( x) A < ε
lim f ( x) ≠ A
f ( x0 ) A ≥ ε 0
f ( x) A = (3 x + 2 + 1) 1 = 3 x + 2 < 3M + 2 = ε .
根据函数极限定义,
x → ∞
lim (3 x + 2 + 1) = 1 .
3x 1 3 (3)证明:lim = . x →∞ 2 x 2
证: 任意取定
ε > 0 ,取 M =
f ( x) A
x →+∞
lim f ( x ) = A ; 或记为 : "当 x → +∞ 时, f ( x ) → A "
第一种函数极限的形式逻辑符号表示: 第一种函数极限的形式逻辑符号表示:
x →+∞
lim f ( x) = A
f ( x) A < ε
ε > 0 , M > 0, : x > M
x →+∞
§2. 函数极限 一 . 自变量 x 趋向无穷大情况 这类情况包括三种可能 : (1) 自变量 x 沿数轴正向远离原点; 沿数轴正向远离原点; (2) 自变量 x 沿数轴负向远离原点; 沿数轴负向远离原点; (3) 自变量 x 沿数轴无限远离原点(不一定有固定方向) 沿数轴无限远离原点(不一定有固定方向) 1. 自变量 x 沿数轴正向远离原点情况
" x 无限远离原点(可正可 负) " ,或 " x → ∞ " M > 0 , s.t. x > M
于是,自变量 x 沿数轴 无限远离原点 (不一定有固定方向)时 函 于是, 不一定有固定方向) 数极限的数量化说法可表述为: 数极限的数量化说法可表述为:
第三种函数极限的定义 给定函数 y = f ( x ) , x ∈ ( - ∞ ,+ ∞ ) 和 一个常数 A .若对于任意给定的正数 ε ,不论它多小,都可找到 不论它多小, 一个距离尺度 M > 0 , 使得对于满足不等式 | x | > M 的一切 x , 相应的函数值 f ( x ) 均满足不等式 : | f ( x ) - A | < ε , 则称 " 当自变量 x 趋于无穷大 ( 可正向也可负向 ) 时,函数 f
f ( x) A < ε ε < f ( x) A < ε A ε < f ( x) < A + ε
∴ 数量化语言 " ε > 0 , M > 0, s.t.
它的几何含义如下图所示: 它的几何含义如下图所示:
x > M f (x) A < ε "
" s.t. x < M or x > M A ε < f ( x) < A + ε "
从图中容易看出, 从图中容易看出,f ( x ) → 1 . 也就是说, 也就是说,当 x "无限趋近 "点 x0 时,对应的函数值 y = f ( x ) 无限趋近 "无限地趋近 " 常数 A = 1 . 无限地趋近
如何用定量化语言 如何用定量化语言 来描绘上述两个 "无限趋近 " ? x "无限趋近 " 点 x0 可以用两点之间的 距离 | x - x0 | 无限地 无限趋近 表示一个很小的正数,于是 小 来刻画 ;设 δ 表示一个很小的正数 于是 距离 | x - x0 | 无限 可以表示成: 地 小 可以表示成: | x - x0 | < δ ; f ( x ) "无限地趋近 " 常数 A = 1 可以沿用前面自变量趋向无穷 无限地趋近 大时所用的数 量化方法,即: 量化方法,
ε 0 > 0 , M > 0, : x0 < M
3. 自变量 x 沿数轴无限远离原点(不一定有固定方向)情况 沿数轴无限远离原点(不一定有固定方向)
1 y= 2 x 4 3 2 1 -4 -2 2 4
从图上容易看出,此例中自变量 x 沿数轴 不论正向或负向远离原 从图上容易看出,此例中自变量 点 时,函数值都无限趋近于零 .
二 . 自变量 x 趋向有穷数情况 1. 自变量 x 趋于有限数时,函数极限 概念的探讨及其数量化定义 趋于有限数时, 若给定函数 y = f ( x ) , x ∈ ( a , b ) 和 一个固定点 x0 ∈ ( a , b ) . 由于点 x0 附近有无穷个自变量的取值点,所以可以考虑自变量趋 附近有无穷个自变量的取值点, 函数对应的值有无明确变化趋势 的问题. 于固定点 x0 时,函数对应的值有无明确变化趋势 的问题. 在很多 情况下,这个问题是有意义的,例如: 情况下,这个问题是有意义的,例如: 函数 y = f ( x ) = x2 + 1 当 x → x0 = 0 时,
(x)
无限趋近于数 ( " = 简记为: lim f Ax) , A 简记为:
x →∞
或记为 : "当 x → ∞ 时, f ( x) → A "
第三种函数极限的形式逻辑符号表示: 第三种函数极限的形式逻辑符号表示:
ε > 0 , M > 0, : x > M
x →∞
f ( x) A < ε
n→+∞
x → +∞
lim xn = 0
ε > 0 , N ∈ Z + , s.t. n > N xn 0 < ε