广东省湛江市第一中学2018-2019学年高一上学期第一次大考试题数学Word版含答案

湛江一中2018-2019学年度第一学期“第一次大考”
高一级 数学科试卷
考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：凌 志
审题人：龙清清 做题人：彭静静
一、选择题（每题5分，共12题60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目只有一项符合题目要求的）
1. 设集合A ＝{0,2,4,6,8,10}，B ＝{4,8}，则C A B ＝( )
A. {4,8}
B. {0,2,6}
C. {0,2,6,10}
D. {0,2,4,6,8,10} 2.函数3
1
32)(-+
-=
x x x f 的定义域为( ) A ．),23[+∞ B ．),3()3,-(+∞⋃∞ C.),3()3,2
3[+∞⋃
D ．
),3(+∞ 3．设}21|{},20|{≤≤=≤≤=y y B x x A ，下列图形中表示集合A 到集合B 的函数图形的是
( )
A B C D
4．设函数)(x f
=()
0102x
x x ⎧≥,
⎪
⎨,<,⎪⎩
则=-))4((f f ( ) A ． 4- B ．
4
1
C ．1
D ．4 5、9.04=a 、48
.08=b 、5.1)2
1(-=c 的大小关系是 ( )
A ．c ＞a ＞b
B ．b ＞a ＞c C.a ＞b ＞c
D ．a ＞c ＞b
6.若{}
2
1,,0,,b a a a b a ⎧
⎫=+⎨⎬⎩⎭
，则20172017
b a
+的值为( ) A ．0 B ．1 C.1- D ．1或1-
7.不等式x x ax ax 424222+<-+对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是( ) A.
B.
C.
D.
8.已知函数)(x f 是定义在上的偶函数，当时，
是增函数，且0)1(=-f ，
则不等式的解集为( ) A.
B.
C.
D.
9. 若ax x x f 2)(2
+-=与x
a x g -+=1)1()(在区间[1，2]上都是减函数，则a 的取值范围
是( )
A.]1,21
( B.]2
1,0( C ．[0，1]
D ．(0，1]
10．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为2
23y x =-，值域为{}1,5-的“孪生函数”共有( )
A ．10个
B ．9个
C ．8个
D ．4个
11、函数()⎩⎨⎧≥<-+-=0
,0,33x a x a x x f x 是R 上的减函数，则a 的取值范围是( )
A ．（0，1）
B ．]32
,0( C.)1,3
2[
D ．]3
2
,
( -∞ 12已知)(x f 是定义域为的奇函数，满足)1()1(x f x f +=-，若2)1(=f ，则
A. 50-
B. 0
C. 2
D. 50
二、填空题（每题5分，共4题20分） 13、不论()1,0≠>a a a 为何值，函数()12
+=-x a x f 的图象一定经过点P ，则点P 的坐
标为___________.
14、已知函数)2(x
f 的定义域是[－1,1]，则)(x f 的定义域为___________.
15．已知 )(x f ，)(x g 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且1)()(2
3++=-x x x g x f ，则=+)1()1(g f ___________.
16．若关于x 的函数225
2
22018()(0)tx x t x f x t x t
+++=>+的最大值为M ，最小值为N ，且M ＋N ＝4，则实数t 的值为___________.
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）(1)求值：2102
3213(2)(9.6)(3)(1.5)48
-----++144[(5)]-
(2)已知1
12
2
3a a -
+=，求332
2
a a -
+的值．
18．（12分）已知全集U ＝R ，集合}121|{+<<-=a x a x A ，}10|{<<=x x B ． (1)若2
1
=
a ，求A ∩B ； (2)若A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围．
19． （12分）已知函数()x f 是定义在R 上的偶函数，且当0≤x 时，()x x x f 22
+=．
（1）现已画出函数()x f 在y 轴左侧的图像，如图所示，请补全函数()x f 的图像，并根据图像直接写出函数()()R x x f ∈的增区间；
（2）求函数()()R x x f ∈的解析式；（3）求函数()
()R x x f ∈的值域。

（第2、3小题必须有解答过程）
０.
20. （12分）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的年收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的年收益分别为0．125万元和0．5万元（如图）． （1）分别写出两种产品的年收益与投资额的函数关系式；
（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大
年收益，其最大年收益是多少万元？
21.（12分）已知定义域为R 的函数12()22
x x b f x +-+=+是奇函数．
（Ⅰ）求b 的值；
（Ⅱ）证明函数()f x 在R 上是减函数；
（Ⅲ）若对任意的t R ∈，不等式22
(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围．
22.(12分)对于区间[],()a b a b <，若函数()y f x =同时满足：①()f x 在[],a b 上是单调函数；②函数()y f x =，[],x a b ∈的值域是[],a b ，则称区间[],a b 为函数()f x 的“保值”区间.
（1）求函数2
y x =的所有“保值”区间.
（2）函数2
(0)y x m m =+≠是否存在“保值”区间？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由.
湛江一中2018-2019学年度第一学期“第一次大考”
高一级 数学科答案
一、选择题
二、填空题
13、（2，2） 14、⎥⎦
⎤⎢⎣⎡2,21 15、 1 16、2
三、解答题
17. 解: （１）原式＝
11
2 (2) 原式＝18 ……………10分 18．解 (1)若a ＝12，则A ＝}22
1
|{<<-x x ，……………2分
又}10|{<<=x x B ，∴}10|{<<=⋂x x B A ．……………5分 (2)当A ＝∅时，121+≥-a a ，
∴2-≤a ，此时满足A ∩B ＝∅；……………7分 当A ≠∅时，则由A ∩B ＝∅，}10|{<<=x x B ，
易得⎩⎨
⎧≥-->+11112a a a 或⎩⎨⎧≤+->+0
12112a a a ，……………10分
∴2≥a 或2
1
2--≤<a
. 综上可知，实数a 的取值范围}2,2
1|{≥-
≤a a a .……………12分 19.解析:（1）()x f 在区间()01
，-，()∞+，1上单调递增 （写成并集形式，扣1分）……………4分
（2） 函数()x f 是定义在R 上的偶函数，且当0≤x 时，
()x x x f 22+=，∴当00x x >-<，
()()()()2
222f x f x x x x x =-=-+⨯-=-……………7分
()()
()
⎩⎨⎧>-≤+=∴02022
2x x
x x x
x x f ……………8分
（3）当0x ≤时，2
2
()2(1)11f x x x x =-=--≥-，……………10分 当x>0时，2
2
()2(1)11f x x x x =+=+-≥-，（或由f(x)是偶函数得到） ∴函数的值域是{}1-≥y y
……………12分
20. 解：（1）依题意可设1()(0),()f x k x x g x k =≥=(x ≥0)
1211(1),(1)82f k g k ====1()(0),()8f x x x g x ∴=≥=≥0) ……4分
（2）设投资债券类产品x 万元，则股票类投资为(20)x -万元，年收益为y 万元 依题意得：()(20)y f x g x =+-
即20)8x y x =≤≤ ……6分
令t =
则220,[0,x t t =-∈
则220,[0,82
t t
y t -=+∈……………10分
即2
1(2)3,8
y t t =--+∈
∴当2t = 即16x =时，收益最大，最大值为3万元 ……………12分
21．解：（Ⅰ）∵()f x 是奇函数，所以1(0)014
b
f b -==⇔=(经检验符合题设) ．……………3分
（Ⅱ）由（1）知21
()2(21)
x x f x -=-+．对12,x x R ∀∈，当12x x <时，总有
2112220,(21)(21)0x x x x ->++> ．
∴1221
12121212121122()()()0221212(21)(21)
x x x x x
x x x f x f x ----=-⋅-=⋅>++++， 即12()()f x f x >．
∴函数()f x 在R 上是减函数．……………7分 （Ⅲ）∵函数
()f x 是奇函数且在R 上是减函数，
∴2
2
2
2
2
(2)(2)0(2)(2)(2)f t t f t k f t t f t k f k t -+-<⇔-<--=-．
……………9分
222211
22323()33
t t k t k t t t ⇔->-⇔<-=--．
（*）……………11分 对于t R ∀∈（*）成立1
3k ⇔<-．
∴k 的取值范围是1
(,)3
-∞-．……………12分
22.试题解析：
（1）因为函数2
y x =的值域是[)0,+∞，且2
y x =在[],a b 的值域是[],a b ，
所以[][),0,a b ⊆+∞，所以0a ≥，从而函数2
y x =在区间[],a b 上单调递增， (2)
分
故有22a a b b
⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得0101a a b b ==⎧⎨==⎩或或.……………4分
又a b <，所以0
1
a b =⎧⎨
=⎩.
所以函数2
y x =的“保值”区间为[]0,1.……………5分 （2）若函数2
(0)y x m m =+≠存在“保值”区间，则有： ①若0a b <≤，此时函数2
y x m =+在区间[],a b 上单调递减，
所以22a m b b m a
⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，消去m 得22
a b b a -=-，整理得()()10a b a b -++=.
因为a b <，所以10a b ++=，即1a b =--. 又01b b b
≤⎧⎨
--<⎩，所以1
02b -<≤.
因为2
2
1m b a b b =-+=---2
1310242b b ⎛⎫⎛⎫
=-+--<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
所以3
14
m -≤<-
.……………8分 ②若0b a >≥，此时函数2
y x m =+在区间[],a b 上单调递增，
所以22a m a b m b
⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，消去m 得22
a b a b -=-，整理得()()10a b a b -+-=.
因为a b <，所以10a b +-=，即1b a =-. 又01a a a
≥⎧⎨
<-⎩，所以1
02a ≤<.
因为2
21124m a a a ⎛
⎫=-+=--+ ⎪⎝
⎭102a ⎛⎫
≤<
⎪⎝⎭
， 所以1
04
m <<
.……………11分 综合①、②得，函数2
(0)y x m m =+≠存在“保值”区间，此时m 的取值范围是
311,0,44⎡⎫⎛⎫--⋃⎪ ⎪⎢⎣
⎭⎝⎭. ……………12分。