工程力学 第6章扭转

max
M n max Wn
式中：
max — —横截面圆周处的最大 剪应力。
M n max — —横截面上的最大扭矩 。 Wn — —抗扭截面系数 (m m3 ),只与截面形状和大小有 关的几何量。
抗扭截面系数计算公式： Wn
对于直径为D的实心圆截面： Wn
I R
0.2 D 3

A
2 dA
2 4 令： dA I — —极惯性矩（ mm ） A
得：
Mn I
剪 应 力 分 布 图
结论：（1）圆轴扭转时其横截面上只有剪应力而无正应力。 （2）圆轴扭转时横截面上任一点的剪应力与该点到 圆心的距离成正比，与半径垂直。
三.圆轴扭转强度计算
3.圆轴扭转的强度条件:
D 3
16
D D 3 对于内外径比为 的空心圆截面： Wn 1 4 0.2 D 3 1 4 d 16




三.圆轴扭转强度计算
4.强度条件的应用
（1）校核轴的扭转强度。
（2）确定圆轴的直径。 （3）确定轴所能传递的功率或转速。
解：（1）求A、B、C点的剪应力
截面上的扭矩： M n M e 4 106 N mm
一.扭转的概念
1.扭转变形 受力特点——两外力偶作用面与杆件轴线垂直。 变形特点——杆件相邻两横截面绕轴线发生相对转动。
2.在工程中，作用在圆轴上的外力偶矩通常根据轴所传递的 功率和轴来的转速来计算。 外力偶矩的计算公式：
N (kW ) m 9549 n(r / min)
式中： m——外力偶矩（牛米） N——轴传递的功率（千瓦） n——轴的转速为（转/分）
0, M M n 0
M n M
例1 试作该轴的扭矩图。
解： （1）用截面法分段计算各段扭矩
1 1截面： x 0, M n1 6 0
M n1 6kNm
2 2截面： x 0, Mn1 8 6 0
M n2 2kNm
3 3截面： x 0,M n3 3 0
三.圆轴扭转强度计算
hh d d （ 1 ）几何变形关系： eh dx dx
(2)物理关系：根据剪切胡 克定律，有： G G
(3)静力学关系： M n dA (G
A A
d dx
d d )dA G dx dx
一.扭转的概念
螺 图
二.扭转的内力
1.扭矩——扭转时圆轴横截面上的内力偶。 扭矩的正负号规定：当右手拇指指向与截面的外法线方向一致 时扭矩为正，反之为负。称为右手螺旋法则。 2.扭矩图——表示扭矩沿轴线随截面位置变化规律的图形。
M
x
M n3 3kNm
（2）画扭矩图
三.圆轴扭转强度计算
1.扭转的平面假设——圆轴扭转变形后其横截面仍保持为平面，且形状、大小、 间距都不改变，半径仍为直线。如同一个刚性圆盘绕轴线转过一个角度。
试验后：圆周线的形状、大小、间距不变，各圆周线绕轴线转过一个角度。ε =0 →σ =0 纵向线倾斜了同一角度。原小方格变成一个平行四边形。γ ≠0 →τ ≠0
极惯性矩：I
D 4
32
32 D 3 1003 抗扭截面系数： Wn m m3 16 16

1004
m m4
（2）求最大剪应力
max A 20.38Mpa
M e A 4 106 50 32 A 20.38Mpa 4 I 100
结论—— 圆轴扭转时横截面上没有正应力，只有垂直于半径方向的剪应力。
三.圆轴扭转强度计算
2.圆轴扭转时横截面上任一点的剪应力

Mn I
式中：
— —横截面上与圆心距离 为处的剪应力。
M n — —横截面上的扭矩。
— —截面上所计算剪应力 处到圆心的距离。
I — —横截面对其形心的极 惯性矩(m m4 ),与截面形状和大小有关 的几何量。
M e B 4 106 25 32 B 10.19Mpa I 1004
C
MeC 0 I
例3. 圆轴扭转强度计算
四.圆轴扭转变形
1.扭转变形 扭转角Φ——两横截面相对转过的角度，称为扭转变形。 2.扭转角计算公式：
Mn l (rad ) G I
工程力学
第六章 扭转
主要内容
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节
扭转的概念 扭转内力 圆轴扭转强度计算 圆轴扭转变形计算 矩形截面杆扭转时的应力简介
一.扭转的概念
常见的出现扭转变形的构件：汽车的传动轴、转向轴。
转向轴
汽车的方向盘和转向轴
汽车的方向盘和转向轴受力简图
扭转变形是杆件变形的一种基本形式。当圆轴受到垂直于轴线作用面的 力偶作用时，杆件的各个横截面都将绕轴线发生相对转动。
式中：
— —扭转角。（弧度）
M n — —横截面上的扭矩。 G — —剪切弹性模量。（ Gpa）。 I — —横截面对其形心的极 惯性矩(m m4 )。
四.圆轴扭转变形
3.单位扭转角
max
Mn G I
式中：
— —单位扭转角。 （rad / m）
l M n — —横截面上的扭矩。 G — —剪切弹性模量。（ Gpa）。 I — —横截面对其形心的极 惯性矩(m m4 )。
4.圆轴扭转的刚度条件：
式中：
max
M n 180o G I
— —单位扭转角。 （ / m）
l M n — —横截面上的扭矩。 G — —剪切弹性模量。（ Gpa）。 I — —横截面对其形心的极 惯性矩(m m4 )。
例3.已知某及其轴的最大扭矩Mnmax=286.47N∙m, 轴材料的[τ ]=40Mpa, [θ ]=1゜/m,剪切弹性模量G=80Gpa 。 试按照轴的强度条件和刚度条件设计轴的直径。 解（1）按照强度条件设计轴的直径