2020年贵州黔西南、黔南中考数学复习课件第44课二次函数和三角形综合(共19张PPT)

综上，点
Q(
3，－2
3)、(－
3，2
3
)
、
－1＋ 2
13，3－32
13
、
－1－ 2
13，3＋32
13.
【总结】本题考查的是二次函数综合运用，涉及解直角三角形、三角形相似、 面积的计算等，其中(3)，要注意分类求解，避免遗漏．
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∠ACB＝AAHC＝
2 ，则 5
tan∠ACB＝2，
图2
则直线 OQ 的表达式为：y＝－2x…②，
联立①②并解得：x＝± 3， 故点 Q( 3，－2 3)或(－ 3，2 3) ②∠BAC＝∠BOQ 时， tan∠BAC＝OOCA＝31＝3＝tan∠BOQ， 则直线 OQ 的表达式为：y＝－3x…③， 联立①③并解得：x＝－1±2 13， 故点 Q－1＋2 13，3－32 13或－1－2 13，3＋32 13；
(3)∵OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
∵∠ABC＝∠OBE，故△OBE 与△ABC 相似时，分为两种情况：
①当∠ACB＝∠BOQ 时，
AB＝4，BC＝3 2，AC＝ 10，
过点 A 作 AH⊥BC 与点 H，
S△ABC＝12×AH×BC＝12AB×OC，解得：AH＝2 2，
则
sin
中考例题精讲
例 1.(2019· 西 藏 ) 已 知 ： 如 图 ， 抛 物 线 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ 3 与 坐 标 轴 分 别 交 于 点 A ， B(－3,0)，C(1,0)，点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．
(2)小题图
(3)小题图
(1)求抛物线解析式； (2)当点P运动到什么位置时，△PAB的面积最大？ (3)过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E， 连接DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若 不存在，说明理由．
∴P－5＋2
17，－5＋23
17
综上所述，点 P 坐标为(－2,3)或－5＋2 17，－5＋23 17时使△PDE 为等腰直角
三角形．
【总结】本题考查了二次函数的图象与性质、求二次函数最值、等腰直角三角
形的性质、中点坐标公式，一元二次方程的解法．分类讨论进行计算时，要注意讨
论求得的解是否符合分类条件，是否需要舍去．
例2.(2019·娄底)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(－1,0)，点B(3,0)， 与y轴交于点C，且过点D(2，－3)．点P、Q是抛物线y＝ax2＋bx＋c上的动点．
(1)求抛物线的解析式； (2)当点P在直线OD下方时，求△POD面积的最大值． (3)直线OQ与线段BC相交于点E，当△OBE与△ABC相似时，求点Q的坐标．
【分析】(1)用待定系数法即可求抛物线解析式． (2)设点P横坐标为t，过点P作PF∥y轴交AB于点F，求直线AB解析式，即能用t 表示点F坐标，进而表示PF的长．把△PAB分成△PAF与△PBF求面积和，即得到 △PAB面积与t的函数关系，配方即得到当t为何值时，△PAB面积最大，进而求得此 时点P坐标． (3)设点P横坐标为t，即能用t表示PD的长．根据对称性可知点P、E关于抛物线 对称轴对称，用中点坐标公式可得用t表示点E横坐标，进而用t表示PE的长(注意点 P、E左右位置不确定，需分类讨论)．由于△PDE要成为等腰直角三角形，∠DPE＝ 90°，所以PD＝PE，把含t的式子代入求值即得到点P坐标．
∵点 P 在线段 AB 上方抛物线上 ∴设 P(t，－t2－2t＋3)(－3＜t＜0) ∴F(t，t＋3) ∴PF＝－t2－2t＋3－(t＋3)＝－t2－3t ∴S△PAB＝S△PAF＋S△PBF＝12PF·OH＋12PF·BH＝12PF·OB＝32(－t2－3t)＝－32t＋322 ＋287 ∴点 P 运动到坐标为－32，145，△PAB 面积最大
(3)存在点 P 使△PDE 为等腰直角三角形
设 P(t，－t2－2t＋3)(－3＜t＜0)，则 D(t，t＋3)
∴PD＝－t2－2t＋3－(t＋3)＝－t2－3t
∵抛物线 y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4
∴对称轴为直线 x＝－1

∵PE∥x 轴交抛物线于点 E
∴yE＝yP，即点 E、P 关于对称轴对称
【解答】(1)∵抛物线 y＝ax2＋bx＋3 过点
B(－3,0)，C(1,0)
∴9aa＋－b3＋b＋3＝3＝0 0 解得ab＝＝－－12 ； ∴抛物线解析式为 y＝－x2－2x＋3
(2)过点 P 作 PH⊥x 轴于点 H，
交 AB 于点 F
∵x＝0 时，y＝－x2－2x＋3＝3
图1
∴A(0,3)
∴直线 AB 解析式为 y＝x＋3
第44课 二次函数与三角形综合
专题解说
二次函数与三角形的综合题，各地中考常常作为压轴题进行考查，这 知识内容
类题目难度大，考查知识很全面，常常能够区分出优等生和中等生. 解这类习题的关键就是要牢牢把握三角形的特性，运用设坐标法表示 备考注意点 相关线段，通过勾股定理或者三角形相似的相关知识求解.
图1
图2
【解答】解：(1)函数的表达式为：y＝a(x＋1)(x－3)，将点D坐标代入上式并解 得：a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2－2x－3…①；
图1
(2)设直线 PD 与 y 轴交于点 G，设点 P(m，m2－2m－3)， 将点 P、D 的坐标代入 一次函数表达式：y＝sx＋t 并解得：直线 PD 的表达式 为：y＝mx－3－2m， 则 OG＝3＋2m， S△POD＝12×OG(xD－xP)＝12(3＋2m)(2－m)＝－m2＋12m＋3， ∵－1＜0，故 S△POD 有最大值，当 m＝14时，其最大值为4196；
∴xE＋2 xP＝－1；∴xE＝－2－xP＝－2－t
图2
∴PE＝|xE－xP|＝|－2－2t| ∵△PDE 为等腰直角三角形，∠DPE＝90° ∴PD＝PE 即－t2－3t＝|－2－2t| ①当－3＜t≤－1 时，PE＝－2－2t ∴－t2－3t＝－2－2t 解得：t1＝1(舍去)，t2＝－2；∴P(－2,3) ②当－1＜t＜0 时，PE＝2＋2t；∴－t2－3t＝2＋2t 解得：t1＝－5＋2 17，t2＝－5－2 17(舍去)