高中数学(新人教A版)选择性必修二：分类加法计数原理与分步乘法计数原理【精品课件】

种不同的选法.
答案 72
解析 先从男队员中选1人,有9种不同的选法,再从女队员中选1人,有8种不
同的选法.由分步乘法计数原理,得共有9×8=72(种)不同的选法
三、分类加法计数原理与分步乘法计数原理的联系与区别 1.联系:都是有关做一件事的不同方法种数的问题. 2.区别:分类加法计数原理针对的是“分类”问题,其中各种方法相互独立,用 其中任何一种方法都可以做完这件事;分步乘法计数原理针对的是“分步” 问题,各个步骤中的方法互相依存,只有每一个步骤都完成才算做完这件事.
微练习
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)从书架上任取数学书、语文书各一本是分类问题.( ) (2)分步乘法计数原理是指完成其中一步就完成了整件事情.( ) (3)分类加法计数原理可用来求完成一件事有若干类方法解决这类问 题.( ) (4)从甲地经丙地到乙地是分步问题.( )
素养形成
分类讨论思想的应用 典例在某种信息传输过程中,用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一 个信息,不同排列表示不同信息.若所用数字只有0和1,则与信息0110至多 有两个对应位置上的数字相同的信息个数为( ) A.10 B.11 C.12 D.15
解析 分0个相同、1个相同、2个相同讨论. (1)若0个相同,则信息为1001,共1个. (2)若1个相同,则信息为0001,1101,1011,1000,共4个. (3)若2个相同,又分为以下情况: ①若位置一与二相同,则信息为0101; ②若位置一与三相同,则信息为0011; ③若位置一与四相同,则信息为0000; ④若位置二与三相同,则信息为1111; ⑤若位置二与四相同,则信息为1100; ⑥若位置三与四相同,则信息为1010.共有6个. 故与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为1+4+6=11.
1.某校高一年级共8个班,高二年级共6个班,从中选一个班级担任学校星期
解 (1)分四类:第1类,从一班学生中选1人,有7种选法;第2类,从二班学生中 选1人,有8种选法;第3类,从三班学生中选1人,有9种选法;第4类,从四班学生 中选1人,有10种选法. 由分类加法计数原理知共有不同的选法N=7+8+9+10=34(种). (2)分四步:第1、2、3、4步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长.
根据分步乘法计数原理,共可以组成N=10×10×10×10=10 000个四位数
的号码.
延伸探究若各位上的数字不允许重复,那么这个拨号盘可以组成多少个四 位数的号码? 解 按从左到右的顺序拨号可以分四步完成: 第1步,有10种拨号方式,即m1=10; 第2步,去掉第1步拨的数字,有9种拨号方式,即m2=9; 第3步,去掉前两步拨的数字,有8种拨号方式,即m3=8; 第4步,去掉前三步拨的数字,有7种拨号方式,即m4=7.
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
课堂篇 探究学习
探究一 分类加法计数原理
例1某校高三共有三个班,各班人数如下表:
班级
男生人数 女生人数
高三(1)班 30
20
高三(2)班 30
30
高三(3)班 35
20
总人数 50 60 55
(1)从三个班中任选1名学生担任学生会主席,有多少种不同的选法? (2)从高三(1)班、高三(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学 生会生活部部长,有多少种不同的选法?
由分步乘法计数原理知共有不同的选法N=7×8×9×10=5 040(种).
(3)分六类,每类又分两步.从一、二班学生中各选1人,有7×8种不同的选法; 从一、三班学生中各选1人,有7×9种不同的选法;从一、四班学生中各选1 人,有7×10种不同的选法;从二、三班学生中各选1人,有8×9种不同的选 法;从二、四班学生中各选1人,有8×10种不同的选法;从三、四班学生中 各选1人,有9×10种不同的选法.由分类加法计数原理知共有不同的选法 N=7×8+7×9+7×10+8×9+8×10+9×10=431(种).
反思感悟1.使用两个原理的原则 使用两个原理解题时,一定要从“分类”“分步”的角度入手.“分类”是对于较 复杂应用问题的元素分成互相排斥的几类,逐类解决,用分类加法计数原 理;“分步”就是把问题分化为几个互相关联的步骤,然后逐步解决,这时可 用分步乘法计数原理. 2.应用两个计数原理计数的四个步骤 (1)明确完成的这件事是什么. (2)思考如何完成这件事. (3)判断它属于分类还是分步,是先分类后分步,还是先分步后分类. (4)选择计数原理进行计算.
探究二 分步乘法计数原理
例2一种号码锁有4个拨号盘,每个拨号盘上有从0到9共十个数字,这4个拨 号盘可以组成多少个四位数的号码?(各位上的数字允许重复) 解 按从左到右的顺序拨号可以分四步完成: 第1步,有10种拨号方式,所以m1=10; 第2步,有10种拨号方式,所以m2=10; 第3步,有10种拨号方式,所以m3=10; 第4步,有10种拨号方式,所以m4=10.
答案 B
方法点睛利用分类加法计数原理解题时的注意点 (1)切实理解“完成一件事”的含义,根据问题的特点确定一个合适的分类标 准,分类标准要统一,不能遗漏; (2)分类时,注意完成这件事情的任何一种方法必属于某一类方案,分类的 关键在于做到“不重不漏”; (3)确定题目中是否有特殊条件限制.
当堂检测
微思考 分类加法计数原理每一类方案中的方法和分步乘法计数原理每一步中的 方法有何区别? 提示 分类加法计数原理每一类方案中的每种方法可以单独完成一件事情, 而分步乘法计数原理每一步中的方法不能独立完成一件事情.
微练习
已知某乒乓球队有男队员9人、女队员8人,现从男、女队员中各选1人去
参加比赛,则共有
知识梳理 一、分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方 案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有N= m+n 种不同的方法.
每种方法都能完成这件事
名师点析 应用分类加法计数原理的注意事项 (1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事,怎么才算是完成这件事. (2)完成这件事的n类方案,无论用哪类方案中的哪种方法都可以单独完成 这件事,而不需要再用到其他的方法. (3)确立恰当的分类标准,准确地对“这件事”进行分类,不同类方案的任意两 种方法不同,也就是分类必须既“不重复”也“不遗漏”.从集合的角度看,若完 成一件事分A,B两类方案,则A∩B=⌀,A∪B=U(U表示全集).
二、分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同
的方法,那么完成这件事共有N= m×n
每步都完成才算完成这件事
名师点析 应用分步乘法计数原理的注意事项 (1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事,完成这件事必须要完成几步. (2)完成这件事需要分成若干个步骤,只有每个步骤都完成了,才算完成这 件事,缺少哪一步,这件事都不可能完成. (3)根据题意正确分步,要求各步之间必须关联,只有按照这几步逐步地去 做,才能完成这件事,各步骤之间既不能重复也不能遗漏.
微练习
(1)已知某校高二(1)班有54人,高二(2)班有56人,现从这两个班中任选一人
去参加演讲比赛,则共有
种不同的选法.
(2)某人从甲地到乙地,可以乘火车,也可以坐轮船,在这一天的不同时间里,
火车有4趟,轮船有3班,则此人的走法共有
种.
答案 (1)110 (2)7 解析 (1)若这个人来自(1)班,则有54种不同的选法;若来自(2)班,则有56种不 同的选法,所以共有110种不同的选法. (2)因为某人从甲地到乙地,乘火车的走法有4种,坐轮船的走法有3种,每一 种方法都能从甲地到乙地.根据分类加法计数原理可得此人的走法共有 4+3=7(种).
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
课标阐释
1.理分类加法计数原理与 分步乘法计数原理.(数学抽 象) 2.会用这两个原理分析和解 决一些简单的实际计数问 题.(数学建模、数学运算)
思维脉络
情境导入
今年暑假期间,李明想去北京旅游,可供选择的比较理想的乘车方案中,动 车有三个车次,飞机有两个班次,汽车有两个车次,那么他可以选择的往返 乘车方案共有几种呢?
变式训练3用0到9这十个数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数
为
.
答案 328
解析 若个位数字为0,没有重复数字的三位偶数的个数为9×8=72;
若个位数字不为0,则确定个位数字有4种方法,确定百位数字有8种方法,确
定十位数字有8种方法,所以没有重复数字的三位偶数的个数为
4×8×8=256.
所以可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为256+72=328.
30+30+20=80.
反思感悟1.分类加法计数原理的推广 分类加法计数原理:完成一件事有n类不同的方案,在第1类方案中有m1种不 同的方法,在第2类方案中有m2种不同的方法……在第n类方案中有mn种不 同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不同的方法.
2.能用分类加法计数原理解决的问题具有如下特点 (1)完成一件事有若干种方案,这些方案可以分成n类; (2)用每一类中的每一种方法都可以单独完成这件事; (3)把各类的方法数相加,就可以得到完成这件事的所有方法数.
(2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会 生活部部长,共有三类不同的方案. 第1类,从高三(1)班男生中选出1名学生,有30种不同的选法; 第2类,从高三(2)班男生中选出1名学生,有30种不同的选法; 第3类,从高三(3)班女生中选出1名学生,有20种不同的选法. 根据分类加法计数原理知,从高三(1)班、高三(2)班男生中或从高三(3)班 女生中选1名学生担任学生会生活部部长,不同选法的种数为
根据分步乘法计数原理,共可以组成N=10×9×8×7=5 040个四位数的号
码.
要点笔记利用分步乘法计数原理解题的一般思路 (1)分步,将完成这件事的过程分成若干步; (2)计数,求出每一步中的方法数; (3)结论,将每一步中的方法数相乘得最终结果.
变式训练2张老师要从教学楼的一层走到三层,已知从一层到二层有4个扶 梯可走,从二层到三层有2个扶梯可走,则张老师从一层到三层有多少种不 同的走法? 解 第1步,从一层到二层有4种不同的走法; 第2步,从二层到三层有2种不同的走法. 根据分步乘法计数原理知,张老师从教学楼的一层到三层的不同走法的种
3.利用分类加法计数原理解题的一般步骤 (1)分类,即将完成这件事情的方法分成若干类; (2)计数,求出每一类中的方法数; (3)结论,将各类的方法数相加得出结果.
变式训练1甲盒中有3个编号不同的红球,乙盒中有5个编号不同的白球,某 同学要从甲、乙两盒中摸出1个球,则不同的方法有( ) A.3种 B.5种 C.8种 D.15种 答案 C 解析 要完成“摸出1个球”这件事,有两类不同的方法.第1类,从甲盒中取出1 个球,有3种不同的取法;第2类,从乙盒中取出1个球,有5种不同的取法.故共 有3+5=8(种)不同的方法.
数为4×2=8.
探究三 两个计数原理的应用
例3现有高一年级四个班的学生34人,其中一、二、三、四班各有7人、8 人、9人、10人,他们自愿组成数学课外小组. (1)选其中一人为负责人,有多少种不同的选法? (2)每班选一名组长,有多少种不同的选法? (3)推选两人做中心发言,这两人需来自不同的班级,有多少种不同的选法?
思路分析(1)从每个班任选1名学生担任学生会主席都能独立地完成这件 事,因此应采用分类加法计数原理;(2)完成这件事有三类方案,因此也应采 用分类加法计数原理.
解 (1)从三个班中任选1名学生担任学生会主席,共有三类不同的方案. 第1类,从高三(1)班中选出1名学生,有50种不同的选法; 第2类,从高三(2)班中选出1名学生,有60种不同的选法; 第3类,从高三(3)班中选出1名学生,有55种不同的选法. 根据分类加法计数原理知,从三个班中任选1名学生担任学生会主席,不同 选法的种数为50+60+55=165.