安徽省阜阳市阜南县2023-2024学年高一上学期教学质量调研数学试题含解析

阜南县2023～2024学年度高一教学质量调研
数学（答案在最后）
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.命题“
2
0,320x x x ∀>-->”的否定是（）
A.2
0000,320x x x ∃>--≤ B.20,320x x x ∀≤-->C.2
0000,320x x x ∃>--< D.2
0000,320
x x x ∃≤--≤【答案】A 【解析】
【分析】根据全称命题的否定即可得答案.
【详解】命题“20,320x x x ∀>-->”的否定是“2
0000,320x x x ∃>--≤”.故选：A .
2.已知集合{}
{
}
2
16,560M x x N x x x =<<=-+<，则M N ⋂=（）
A.{}12x x <<
B.{}13x x <<
C.
{}
23x x << D.
{}
26x x <<【答案】C 【解析】
【分析】由集合的交集运算可得.
【详解】{
}{
}
2
56023N x x x x x =-+<=<<，{}
16M x x =<<，所以{
}23
M N x x ⋂=<<.
3.函数()1
f x x
=+
的定义域为（）．
A.{}2x x ≥
B.{}0x x <
C.
{2x x ≤且}
0x ≠ D.
{}
02x x <≤【答案】C 【解析】
【分析】根据具体函数有意义，需满足偶次开方被开方数大于等于0，分母不为0列方程组求解即可.
【详解】要使函数()1
f x x
=
+
有意义，只需满足20
0x x -≥⎧⎨≠⎩
，解得2x ≤且0x ≠，
所以函数()1
f x x
=+
的定义域为{2x x ≤且}0x ≠，故选：C.
4.已知0a b c d >>>>，则（）
A.a d b c +>+
B.ad bc <
C.ab cd >
D.ac bd
<【答案】B 【解析】
【分析】根据不等式的性质计算可以判断B 选项，赋值法可以判断A,C,D 选项.
【详解】0,a b c d >>>>令2,1,1,2,0,0,,a b c d a d b c a d b c ===-=-+=+=+=+A 选项错误；
0,0a b d c >>->->，根据不等式的性质可得ad bc ->-，所以ad bc <，B 选项正确,
0,2,1,1,2,2,2,,a b c d a b c d ab cd ab cd >>>>===-=-===C 选项错误；0,2,1,1,2,2,2,a b c d a b c d ac bd ac bd >>>>===-=-=-=-=,D 选项错误.
故选：B.
5.已知()()
2
5m
f x m m x =--为幂函数，则（
）
A.()f x 在(),0∞-上单调递增
B.()f x 在(),0∞-上单调递减
C.()f x 在()0,∞+上单调递增
D.()f x 在()0,∞+上单调递减
【答案】A
【分析】根据幂函数的定义求出参数m 的值，即可得出解析式，再分析其性质即可得出答案.【详解】()()
2
5m
f x m m x =-- 是幂函数，
251m m ∴--=，
解得2m =-或3m =，
()3f x x ∴=或()2f x x -=.
对于()3
f x x =，函数在R 上单调递增；
对于()2
f x x -=，函数在()0,∞+上单调递减，在(),0∞-上单调递增.
故只有A 选项“()f x 在(),0∞-上单调递增”符合这两个函数的性质.故选：A.
6.若3x >，则2611
3
x x x -+-的最小值为（
）
A.2
B.
C. D.【答案】D 【解析】
【分析】由基本不等式求最小值．【详解】3x >，则30x ->，
22
611(3)22
(3)333x x x x x x x -+-+==-+≥=---，当且仅当233x x -=-，即
3x =+故选：D ．
7.已知集合*
2
10|1,{1,,1}22A x B a a x x ⎧
⎫
=∈>=+⎨⎬-+⎩
⎭
N ，若A B =，则实数a 的值为（）
A.1
B.2
C.3
D.4
【答案】B 【解析】
【分析】解不等式确定集合A ，再由集合相等求得a 值．
【详解】N *x ∈，则2220x x -+>，22
10
1221022
x x x x >⇒-+<-+(2)(4)0x x ⇒+-<，N *x ∈，∴1,2,3x =，∴{1,2,3}A =，若A B =，则2a =，故选：B ．
8.已知函数()f x 为偶函数，当12x x ≠且(]12,,0x x ∈-∞时，()()()21210x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦，若
()()
21f ax f x x <++对任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（
）
A
.
( B.
()
2,2- C.
()
3,3- D.
()
4,4-【答案】C 【解析】
【分析】根据偶函数性质可得()()
2
1f
ax f x
x <++，结合单调性可得21ax x x <++，分0x =和
0x ≠两种情况，根据恒成立问题结合基本不等式运算求解.
【详解】由题意知()f x 在(],0-∞上单调递减，且()f x 是偶函数，所以()f x 在[)0,∞+上单调递增，且()()()f x f x f x -==，
因为()()
2
1f ax f x x <++恒成立，所以()()
2
1f
ax f x
x <++，
所以2
1ax x x <++恒成立，
当0x =时，01<，符合题意，a ∈R ；当0x ≠时，可得1
1a x x
<+
+，
又因为1113x x ++≥=，当且仅当1x x =，即1x =±时，等号成立，
所以3a <，即33a -<<；
综上所述：实数a 的取值范围为()3,3-.故选：C.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.下列说法正确的是（
）．
A.R x ∃∈，2210x x -+=
B.R x ∀∈，都有32
x x >C.设,R x y ∈，则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的必要不充分条件D.设,R a b ∈，则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件【答案】AD 【解析】
【分析】根据特称命题真假判断判断A ；全称命题真假判断和特殊值判断B ；根据充分条件和必要条件的定义判断C 、D.
【详解】对于A ，当1x =时，2210x x -+=，故A 正确；对于B ，当=1x -时，321,1x x =-=，此时32x x <，故B 错误；
对于C ，2x ≥且2y ≥则224,4x y ≥≥，则228x y +≥，则2x ≥且2y ≥能推出“224x y +≥”，反之，当224x y +≥时，例0x =，3y =符合要求，不能推出2x ≥且2y ≥，故“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的充分不必要条件，故C 错误；对于D ，0ab ≠等价于0a ≠且0b ≠，所以0a ≠不能推出0ab ≠，
反之0ab ≠能推出0a ≠，故“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件，故D 正确，故选：AD.
10.十六世纪中叶，英国数学教育家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若
,,a b c ∈R ，则下列命题正确的是（
）
A.若01a <<，则3a a <
B.若22ac bc >，则33a b >
C.若
11
0a b <<，则2b a a b
+<-D.若c b a <<且0a b c ++=，则0ac <【答案】ABD 【解析】
【分析】根据不等式的性质一一判断即可.
【详解】对于A ：3
201,1a a a a
<<∴=< ，3a a ∴<，故A 正确；
对于B ：222,0,ac bc c a b >∴>∴> ，又函数3y x =在R 上单调递增，33a b ∴>，故B 正确；对于C ：由
11
0a b
<<可得0b a <<，所以0b a >，0a b >，故C 错误；
对于D ：c b a <<Q 且0,0,0,0a b c a c ac ++=∴><∴<，故D 正确.故选：ABD
11.已知不等式20ax bx c ++≤的解集为{3x
x ≤-∣或4}x ≥，则（）
A.0c <
B.0a b c -+>
C.不等式
1202
ax c
x ->-的解集为{12}x
x -<<∣D.不等式2230bx ax c b +--≤的解集为{}
35x
x -≤≤∣【答案】BCD 【解析】
【分析】根据一元二次不等式的解集，先求得,,a b c 的关系式，然后对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】因为不等式20ax bx c ++≤的解集为{3x
x ≤-∣或4}x ≥，则0a <，且关于x 的方程20ax bx c ++=的两根分别为3,4-，由根与系数的关系可得34,34b c
a a
-+=-
-⨯=，所以,12b a c a =-=-.对于A ，120c a =->，A 错误；
对于B ，1-不在不等式20ax bx c ++≤的解集内，令=1x -，则有0a b c -+>，B 正确；对于C ，
1212121
000222ax c ax a x x x x -++>⇒>⇒<---，
该不等式的解集为{12}x
x -<<∣，C 正确；对于D ，不等式2230bx ax c b +--≤即为22150ax ax a -++≤，化简可得()()2
215530x x x x --=-+≤，解得35x -≤≤，
因此，不等式2230bx ax c b +--≤的解集为{}
35x
x -≤≤∣，D 正确.故选：BCD
12.已知定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()()()f xy f x f y -=，且()46f =，当1x >时，()0f x >，则（
）
A.()10f =
B.()23
f =C.()f x 在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增D.不等式()313f x f x ⎛⎫
+-< ⎪⎝⎭
的解集是()0,2【答案】ABD 【解析】
【分析】对于A ，令1x y ==，可得()10f =，A 正确；对于B ，令2x y ==，可得()23f =，B 正确；对于C ，利用函数单调性定义可判断出()f x 在()0,∞+上单调递增，C 错误；对于D ,利用题中条件变形不等式，利用函数单调性转化不等式，解出即可判断.
【详解】对于A ，令1x y ==，得()()()111f f f -=，即()10f =，A 正确；对于B ，令2x y ==，得()()422f f =，因为()46f =，所以()23f =，B 正确；
对于C ，对任意120x x >>，则1
2
1x x >，所以()()11220x f x f x f x ⎛⎫
-=> ⎪⎝⎭，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，C 错误；
对于()23D,13x x f x f f x ⎛⎫+⎛⎫
+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又()23f =，
所以原不等式等价于()223x x f f ⎛⎫
+< ⎪⎝⎭
，
因为()f x 在()0,∞+上单调递增，所以2103
023
x x x x
⎧
⎪+>⎪⎪>⎨⎪
⎪+<⎪
⎩，解得02,D x <<正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知集合{}{}
2
1,2,,1,2,2A a B a ==-，若A B =，则=a __________.
【答案】1-【解析】
【分析】根据集合相等求参再检验即可.
【详解】因为A B =，所以22a a =-，解得1a =-或2a =，当2a =时，与集合中元素的互异性矛盾，故2a =不符合题意.
经检验可知1a =-符合.故答案为：-1.
14.已知函数()()224,1
1,1x ax x f x a x x ⎧-+-≤⎪=⎨->⎪⎩
在R 上单调递增，则a 的取值范围是__________．
【答案】(]
1,4【解析】
【分析】分段函数单调递增，在各段区间单调递增，且由区间端点处满足的大小关系列不等式组求解即可.【详解】函数()f x 在R 上单调递增，
所以1
101241a a a a ≥⎧⎪
->⎨⎪-+-≤-⎩
，解得14a <≤，
所以a 的取值范围是(]
1,4，故答案为：(]
1,4.
15.若()f x 为定义在R 上的偶函数，函数()()(
)1
2g x f x x x
-=-+，则
()()20242024g g -+=__________．
【答案】4【解析】
【分析】根据()f x 为定义在R 上的偶函数得到()()f x f x -=，通过研究()g x -与()g x 的关系得到结果.
【详解】因为()f x 为定义在R 上的偶函数，所以()()f x f x -=，
所以()()()()()()
11
22
g x f x x x f x x x --⎡⎤-=----+=--+⎣⎦
()()()1
244
f x x x
g x -⎡⎤=--++=-+⎣⎦所以()()4g x g x -+=所以()()202420244g g -+=，故答案为：4.
16.已知奇函数()f x 在(),0∞-上单调递增，且()20f =，则不等式()()
220f x f x x
--<的解集为
__________.
【答案】()()1,00,1-U 【解析】
【分析】根据奇函数的定义简化不等式得出()020x f x >⎧⎨<⎩或()0
20x f x <⎧⎨>⎩
，再根据已知画出函数草图，即可
根据草图得出不等式，解出答案.【详解】()f x 为奇函数，
()()
()()
()2222220f x f x f x f x f x x
x
x
--+∴
=
=
<，即
()
20f x x
<，则()020x f x >⎧⎨
<⎩或()
20x f x <⎧⎨>⎩，
()20f =Q ，且()f x 为奇函数，
()20f ∴-=，
函数()f x 在(),0∞-上是增函数，
∴函数()f x 在()0,∞+上也为增函数，画出函数单调性示意图如下，
结合函数()f x 的单调性示意图可得022x <<或220x -<<.解得()()1,00,1x ∈-U 故答案为：()()1,00,1-U .
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.设集合{|(2)()0,R}A x x x a a =--=∈，{|(1)0}B x x x =-=．（1）若1a =，求A B ⋂，A B ⋃；
（2）设C A B = ，若集合C 有8个子集，求a 的取值集合．【答案】（1）{1}A B ⋂=，{0,1,2}A B = ；（2）{0,1,2}.【解析】
【分析】（1）解方程得{1,2}A =、{0,1}B =，应用集合的交并运算求结果；
（2）由题设集合C 有3个元素，讨论2a ≠、2a =满足题设情况下a 的取值，即可得结果.【小问1详解】
由题设{1,2}A =，{0,1}B =，所以{1}A B ⋂=，{0,1,2}A B = .【小问2详解】
由C A B = ，且集合C 有8个子集，故集合C 有3个元素，当2a ≠时{,2}A a =，此时0a =或1a =满足题设；当2a =时{2}A =，满足题设；综上，{0,1,2}a ∈.
18.已知()2
:2320p x x x --<，()()()2
:2110q x x a x a a --+-<．
（1）若(){}1x q x ∈，求实数a 的取值范围；
（2）若()q x 是()p x 的充分条件，求实数a 的取值范围．
【答案】（1）12
a <<（2）122
a ≤≤【解析】【分析】（1）首先求出不等式()()22110x a x a a --+-<的解集，再根据元素与集合的关系得到不等式组，
解得即可；
（2）先求出()p x 所对应的不等式的解集，令{}1A x a x a =-<<，集合1|22B x x ⎧⎫-
<<⎨⎬⎩⎭
，依题意可得A B ⊆，即可得到不等式组，解得即可.
【小问1详解】
解：由()()22110x a x a a --+-<，得()()10x a x a ⎡⎤---<⎣⎦，解得1a x a -<<，所以(){}{}1x q x x a x a =-<<，
因为(){}1x q x ∈，所以111a a -<⎧⎨
>⎩，解得12a <<；【小问2详解】
解：由22320x x --<得()()2120x x +-<，解得122x -
<<，设集合{}1A x a x a =-<<，集合1|22B x x ⎧
⎫-<<⎨⎬⎩⎭
，因为()q x 是()p x 的充分条件，所以A B ⊆，所以1122
a a ⎧-≥-⎪⎨⎪≤⎩，解得122a ≤≤.19.已知函数()()2
212f x x a x =+--.（1）若关于x 的方程()30f x +=有两个不等的正实数根，求实数a 的取值范围；
（2）当[]1,2x ∈时，设()f x 的最小值为()g a ，求()g a 的表达式.
【答案】（1）1,2⎛
⎫-∞- ⎪⎝⎭
（2）()234,,2931,,422122,.2a a g a a a a a a ⎧≤-⎪⎪⎪=-+--<<-⎨⎪⎪-≥-⎪⎩
【解析】
【分析】（1）根据一元二次函数与方程之间的关系，结合韦达定理即可求解；
（2）利用一元二次函数图像，分类讨论给定区间与对称轴之间的关系，求出各种情况下函数()f x 的最小值.
【小问1详解】
方程()30f x +=即()2
2110x a x +-+=，设方程两根为12,x x ，要使方程有两个不等的正实数根，则21212Δ(21)40,210210
a a x x x x ⎧=-->⎪⎪-⎛⎫+=->⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪=>⎩解得12a <-，即a 的取值范围是1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝
⎭.【小问2详解】
当[]1,2x ∈时，①若
1222a -≥，即32a ≤-，则()f x 在[]1,2上单调递减，()min ()24f x f a ∴==；②若1212a -≤，即12a ≥-，则()f x 在[]1,2上单调递增，()min ()122f x f a ∴==-；③若12122a -<<，即3122a -<<-，则2min 129()24a f x f a a -⎛⎫==-+- ⎪⎝⎭
.
综上，()234,,2931,,422122,.2a a g a a a a a a ⎧≤-⎪⎪⎪=-+--<<-⎨⎪⎪-≥-⎪⎩
20.一艘运送化工原料的船只在江面上发生故障导致化学品泄漏，发现时已有21000m 的水面被污染，且污染面积以每小时220m 的速度扩大，经测算，水面被污染造成的直接经济损失约为每平方米300元.有关部门在发现的同时立即安排清污船清理被污染的水面，该部门需要支付一次性租金为每条清污船1600元，劳务费和耗材费合计为每条清污船每小时200元.若安排()*2,x x x >∈N 条清污船清理水面，
假设每条清污船每小时可以清理210m 的水面，需要k 小时完成污染水面的清理（污染面积减小到20m ）.
（1）写出k 关于x 的函数表达式；
（2）应安排多少条清污船清理水面才能使总损失最小？（总损失=水面被污染造成的直接经济损失+清污工作的各项支出）
【答案】（1）*100,2,2k x x x =
>∈-N ；（2）安排22条.
【解析】
【分析】（1）根据给定信息列等式，再变形即得.
（2）根据给定的函数模型，结合（1）求出总损失关于x 的函数关系，再利用基本不等式求解即得.
【小问1详解】
依题意，10100020kx k =+，所以*100,2,2
k x x x =>∈-N .【小问2详解】
设总损失为y 元，则()300100020160020032000064001600y k x kx k x
=+++=++64000032000016002x x =++-()640000323200160022
x x =++--323200232000387200≥+⨯=，当且仅当
()640000160022x x =--，即22x =时取等号，
所以应安排22条清污船清理水面才能使总损失最小.
21.（1）已知函数()f x 满足()2
3f x x --为奇函数，函数()2f x x +为偶函数，求()f x 的解析式；（2）已知函数()g x 满足
()1121562g x g x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，判断()g x 在()2,+∞上的单调性并用定义证明.【答案】（1）()223x x x f =-+；（2）单调递减，证明见解析.
【解析】
【分析】（1）利用奇偶性得到(),()f x f x -的方程组，求解可得；
（2）以1x
替换x ，构造另一个等式()1115262g g x x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，联立解方程组可得.【详解】（1）()23f x x -- 为奇函数，
()()22()33f x x f x x ∴----=-++.
()()226f x f x x ∴+-=+①.
()2f x x + 为偶函数，
()()22f x x f x x ∴--=+.
()()4f x f x x ∴--=-②
①+②，得()2
2246f x x x =-+，()223f x x x ∴=-+.
（2）()1121562g x g x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭
，①把x 用
1x 替换，得()1115262g g x x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，②由①+②4⨯得()156015302g x x x
-=+-，()824g x x x
∴=--+.判断：()g x 在()2,+∞上单调递减.
证明：设任取12,(2,)x x ∈+∞，且12x x <，
则()()()()()211221************ x x x g x g x x x x x x x --⎛⎫-=-+-= ⎪⎝⎭
，1121222,0,4x x x x x x <<∴->> ，则
()()
222111240x x x x x x -->，()()11220,()()g x g x g x g x ∴->>，
()g x ∴在()2,+∞上单调递减.
22.已知关于x 的方程23340mx px q ++=（其中,,m p q 均为实数）有两个不等实根()1212,x x x x <．（1）若1p q ==，求m 的取值范围；
（2）若12,x x 为两个整数根，p 为整数，且1,34
p p m q -=-=，求12,x x ；（3）若12,x x 满足2212121x x x x +=+，且1m =，求p 的取值范围．
【答案】（1）116
m <且0m ≠；（2）121,2x x ==或120,3x x ==；
（3）22p -<<．
【解析】
【分析】（1）由判别式大于0可得；
（2）利用韦达定理得12x x +，12x x ，代入条件得123x x +=，
1211x x p
=-，利用整数知识得1p =-或1p =，分类求出12,x x ；（3）把韦达定理的结论代入2212121x x x x +=+得241q p =-，代入0∆>可得p 的范围．
【小问1详解】
由题意若0m =时，方程不是一元二次方程，没有两个实数根，若方程23340mx x ++=有两个不等的实数解，
0Δ3480m m ≠⎧⎨=->⎩，116m <且0m ≠，
所以m 的范围是116
m <
且0m ≠；【小问2详解】首先0m ≠（否则方程没有两个实数根），由题意121243p x x m q x x m ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，3p m =-123x x ⇒+=，14
p q -=12111p x x p p -⇒==-，12,,x x p 均为整数，∴1p =-或1p =，
1p =-时，122x x =，又123x x +=且12x x <，∴121,2x x ==，1p =时，120x x =，又123x x +=且12x x <，∴120,3x x ==．综上，121,2x x ==或120,3x x ==．
【小问3详解】
1m =，方程为23340x px q ++=，29480p q =->!，则121243x x p q x x +=-⎧⎪⎨=⎪⎩
，又2212121x x x x +=+，∴244()2133q q p --⨯=+，241q p =-，所以222948912(1)0p q p p ∆=-=-->，∴22p -<<．。