高中数学人教A版必修5课件第二章25第一课时等比数列的前n项和

(2)①∵an＝Sn－Sn－1 ＝(－1)nan－21n－(－1)n－1an－1＋2n1－1(n≥2)， ∴an＝(－1)nan－(－1)n－1an－1＋21n. 当 n 为偶数时，an－1＝－21n，
当 n 为奇数时，2an＋an－1＝21n，
∴当 n＝4 时，a3＝－214＝－116.
②根据以上{an}的关系式及递推式可求得． a1＝－212，a3＝－214，a5＝－216， a7＝－218， a2＝212，a4＝214，a6＝216，a8＝218. ∴a2－a1＝12，a4－a3＝213， a6－a5＝215，…，
A．4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B．－4
C．2
D．－2
解析：选 A 由 S5＝a1[11－－－－225]＝44， 得 a1＝4.
4．设等比数列{an}的公比 q＝2，前 n 项和为 Sn，则Sa24等于(
)
A．2
B．4
C．125
D．127
解析：选 C Sa24＝a111－－qq4×a11q＝11－－qq4q＝125.
等比数列的前 n 项和公式的基本运算
在等比数列{an}的五个量 a1，q，an，n，Sn 中，a1 与 q 是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可 以用 a1 与 q 表示 an 与 Sn，从而列方程组求解，在解方程组 时经常用到两式相除达到整体消元的目的．这是方程思想 与整体思想在数列中的具体应用．
[活学活用] 已知 a6－a4＝24，a3·a5＝64，求 S8.
2．设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 a1＝2，a2＝4，那么
S10 等于
()
A．210＋2
B．29－2
C．210－2
D．211－2
解析：选 D 等比数列的公比 q＝aa21＝42＝2，所以前 10 项和 S10＝a111－－qq10＝211－－2210＝211－2，选 D.
3．等比数列{an}中，公比 q＝－2，S5＝44，则 a1 的值为 ( )
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)求等比数列{an}的前 n 项和时可直接套用公式 Sn＝a111－－qqn
来求
()
(2)首项为 a 的数列既是等差数列又是等比数列，则其前 n 项和
为 Sn＝na
()
(3)若某数列的前 n 项和公式为 Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0 且
[典例] 等比数列{an}的前 n 项和 Sn＝48，前 2n 项和 S2n＝60，则前 3n 项和 S3n＝________.
[解析] 法一：设公比为 q，由已知易知 q≠1，由
a111－－qqn＝48， a111－－qq2n＝60
qn＝14， ⇒1－a1 q＝64，
所以 S3n＝a111－－qq3n＝
q≠1，n∈N*)，则此数列一定是等比数列
()
解析：(1)错误．在求等比数列前 n 项和时，首先应看公比 q 是否为 1，若 q≠1，可直接套用，否则应讨论求和． (2)正确．若数列既是等差数列，又是等比数列，则是非零常 数列，所以前 n 项和为 Sn＝na. (3)正确．根据等比数列前 n 项和公式 Sn＝a111－－qqn(q≠0 且 q≠1)变形为： Sn＝1－a1q－1－a1qqn(q≠0 且 q≠1)，若令 a＝1－a1q， 则和式可变形为 Sn＝a－aqn. 答案：(1)× (2)√ (3)√
因为当 n＝2 时，也符合 Tn＝3n－n2－2 5n＋11.
2，
n＝1，
所以 Tn＝3n－n2－2 5n＋11，n≥2，n∈N*.
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2．(浙江高考)设数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 S2＝4，an＋1＝ 2Sn＋1，n∈N*. (1)求通项公式 an； (2)求数列{|an－n－2|}的前 n 项和． 解：(1)由题意得aa12＋＝a22a＝1＋41，， 则aa12＝＝13，. 又当 n≥2 时，由 an＋1－an＝(2Sn＋1)－(2Sn－1＋1)＝2an， 得 an＋1＝3an， 所以数列{an}的通项公式为 an＝3n－1，n∈N*.
等比数列的前n项和
第一课时 等比数列的前 n 项和
预习课本 P55~58，思考并完成以下问题
(1)公比是 1 的等比数列的前 n 项和如何计算？ (2)能否根据首项、末项与项数求出等比数列的前 n 项和？ (3)能否根据首项、公比与项数求出等比数列的前 n 项和？ (4)等比数列前 n 项和的性质有哪些？
[活学活用]
1．设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若SS63＝3，则SS96＝ (
)
A．2
B．73
C．83
D．3
解析：选 B 由等比数列的性质：S3，S6－S3，S9－S6 仍成等
比数列，于是，由 S6＝3S3，可推出 S9－S6＝4S3，S9＝7S3，
∴SS96＝73.故选 B.
2．一个项数为偶数的等比数列{an}，全部各项之和为偶数项 之和的 4 倍，前 3 项之积为 64，求数列的通项公式． 解：设数列{an}的首项为 a1，公比为 q，所有奇数项、偶数 项之和分别记作 S 奇，S 偶，由题意可知， S 奇＋S 偶＝4S 偶，即 S 奇＝3S 偶． 因为数列{an}的项数为偶数，所以有 q＝SS偶 奇＝13. 又因为 a1·a1q·a1q2＝64，所以 a13·q3＝64，即 a1＝12，故所求 通项公式为 an＝12×13n－1.
1－a1 q·[1－(qn)3]＝64×1－614＝63. 法二：由 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 成等比数列，得(S2n－Sn)2
＝Sn·(S3n－S2n)，即(60－48)2＝48(S3n－60)⇒S3n＝63. [答案] 63
运用等比数列求和性质解题时，一定要注意性质成立的 条件．否则会出现失误．如 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…成等比 数列的前提是 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 均不为 0.
等比数列及其前 n 项和的综合应用
[典例] (1)已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝14，则 a1a2＋
a2a3＋…＋anan＋1＝ A．16(1－4－n)
B．16(1－2－n)
()
C．332(1－4－n)
D．332(1－2－n)
(2)设 Sn 为数列{an}的前 n 项和，Sn＝(－1)nan－21n，n∈N*，
当 a4＝－8 时，a6－a4＝24，∴a6＝16. ∴q2＝aa64＝－2，无解．故 q＝±2. 当 q＝2 时，a1＝aq43＝1，S8＝a111－－qq8＝255. 当 q＝－2 时，a1＝aq43＝－1，S8＝a111－－qq8＝2535. 综上知，S8＝255 或2535.
等比数列的前 n 项和的性质
解：法一：由题意，得aa1q1q5－2·aa11qq34＝＝246，4，
化简得aa11qq33＝q2±－8，1＝24，
① ②
①÷②，得 q2－1＝±3，负值舍去，
∴q2＝4，∴q＝2 或 q＝－2.
当 q＝2 时，代入①得 a1＝1. ∴S8＝a111－－qq8＝255.
当 q＝－2 时，代入①得 a1＝－1. ∴S8＝a111－－qq8＝2535. 综上知 S8＝255 或2535. 法二：由等比数列的性质得 a3·a5＝a42＝64， ∴a4＝±8. 当 a4＝8 时，∵a6－a4＝24，∴a6＝32， ∴q2＝aa64＝4， ∴q＝±2.
[活学活用] 1．公差不为 0 的等差数列{an}的部分项 ak1，ak2，ak3，…构成等
比数列，且 k1＝1，k2＝2，k3＝6，则 k4＝________. 解析：设等差数列{an}的公差为 d， 因为 a1，a2，a6 成等比数列，所以 a22＝a1·a6， 即(a1＋d)2＝a1·(a1＋5d)， 所以 d＝3a1，所以 a2＝4a1，所以等比数列 ak1，ak2，ak3，… 的公比 q＝4， 所以 ak4＝a1·q3＝a1·43＝64a1. 又 ak4＝a1＋(k4－1)·d＝a1＋(k4－1)·(3a1)， 所以 a1＋(k4－1)·(3a1)＝64a1，a1≠0， 所以 3k4－2＝64，所以 k4＝22. 答案：22
[典例] 在等比数列{an}中，公比为 q，前 n 项和为 Sn. (1)a1＝8，an＝14，Sn＝643，求 n； (2)S3＝72，S6＝623，求 an 及 Sn.
[解] (1)显然 q≠1，由 Sn＝a11－－aqnq，即81－－14qq＝643， ∴q＝12.又 an＝a1qn－1，即 8×12n－1＝14，∴n＝6. (2)法一：由 S6≠2S3 知 q≠1，由题意得 a111－－qq3＝72， ① a111－－qq6＝623， ② ②÷①，得 1＋q3＝9，∴q3＝8，即 q＝2.
∴S1＋S2＋…＋S100＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋…＋(a100－a99)－ 12＋212＋213＋…＋21100
＝12＋213＋…＋2199－12＋212＋…＋21100 ＝1321100－1. [答案] (1)C (2)①－116 ②1321100－1
求解数列综合问题的步骤 (1)分析题设条件． (2)分清是 an 与 an＋1 的关系，还是 an 与 Sn 的关系． (3)转化为等差数列或等比数列，特别注意 an＝Sn－ Sn－1(n≥2，n 为正整数)在 an 与 Sn 的关系中的应用． (4)整理求解．
则 ①a3＝________； ②S1＋S2＋…＋S100＝________.
[解析] (1)由 a5＝a2q3，得 q3＝18， 所以 q＝12，而数列{anan＋1}也为等比数列， 首项 a1·a2＝8，公比 q2＝14， 所以 a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1 ＝811－－414－n＝332(1－4－n)．
[新知初探]
1．等比数列的前 n 项和公式
na1q＝1， Sn＝ a111－－qqnq≠1
Sn＝
na1q＝1， a11－－aqnqq≠1
[点睛] 在应用公式求和时，应注意到 Sn＝a111－－qqn的使用 条件为 q≠1，而当 q＝1 时应按常数列求和，即 Sn＝na1.
2．等比数列前 n 项和的性质 (1)等比数列{an}中，若项数为 2n，则SS偶奇＝q；若项数为 2n ＋1，则S奇S－偶 a1＝q. (2)若等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 Sn，S2n－Sn，S3n －S2n…成等比数列(其中 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…均不为 0)． (3)若一个非常数列{an}的前 n 项和 Sn＝Aqn－A(A≠0， q≠0，n∈N*)，则数列{an}为等比数列，即 Sn＝Aqn－A(A≠0， q≠0，q≠1，n∈N*)⇔数列{an}为等比数列．
代入①得 a1＝12，∴an＝a1qn－1＝12×2n－1＝2n－2， Sn＝a111－－qqn＝2n－1－12. 法二：由 S3＝a1＋a2＋a3，S6＝S3＋a4＋a5＋a6＝S3＋q3(a1＋ a2＋a3)＝S3＋q3S3＝(1＋q3)S3. ∴1＋q3＝SS63＝9，∴q3＝8，即 q＝2. 代入①得 a1＝12，∴an＝a1qn－1＝12×2n－1＝2n－2， Sn＝a111－－qqn＝2n－1－12.
(2)设 bn＝|3n－1－n－2|，n∈N*，则 b1＝2，b2＝1. 当 n≥3 时，由于 3n－1＞n＋2，故 bn＝3n－1－n－2，n≥3. 设数列{bn}的前 n 项和为 Tn，则 T1＝2，T2＝3， 当 n≥3 时，Tn＝3＋911－－33n－2－n＋72n－2＝3n－n2－2 5n＋11，