福建省漳州市漳浦县三校高二数学下学期期中联考试卷 理

2014-2015学年度漳浦县期中考试高二年三校联考
(理科)数学试题
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.i 为虚数单位，则（1－i ）2
的虚部为（ ）
A 、2
B 、-2
C 、2i
D 、i 2-
2．已知函数()y f x =的图象如右图所示，则其导函数()y f x '=的图象可能．．
是
A B C D A.A B B C.C D.D
3.函数
3
y x x =+的递增区间是( ). A ．(0,)+∞ B ．(,1)-∞ C ．(1,)+∞ D ．(,)-∞+∞
4．设函数6
()()f x x a =+，满足
3)
0()0(-='f f ，则)(x f 的展开式中4
x 的系数为( ) A ．－360 B ．360 C ．－60 D ．60
5. 4名同学从跑步、跳高、跳远三个项目中任意选报比赛项目，每人报且只能报一项，共有 （ ）种报名的方法。

A ．81
B ．64 C. 4 D.24
6.证明：21111
11(1)22342n n n n +<+++++<+>，当2n =时，中间式子等于 A.1 B.
112+
C.11123++
D.111
1234+++
7.已知点P 在曲线32
3y x x =-+
上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则α的取值范围是
( )
A ．[0，π2]
B ．[0，π2
]∪
(,0)
2
π
-
C ．[3π4，π]
D ．[0，π2)∪[3π
4
，π)
8. 若
321()
n
x x +
展开式中只有第6项系数最大，则展开式的常数项是 （ ）
A ．210
B ．120 C. 461 D.416
9.设a 、b 、c +
∈R ，那么关于
b a 1+
、c b 1+、a c 1
+这三个数正确的结论是
A.都不大于2
B.都不小于2
C.至少有一个不大于2
D.至少有一个不小于2
10．dx x n )13(022-=⎰，则二项式n x x )1(2-展开式中的常数项为（ ）
A.15
B.20
C.25
D.70
11. 已知函数
3
()3f x x x c =-+的图像与x 轴恰好有三个不同的公共点，则实数c 的取值范围是（ ）
.A (1,1)- .B [1,1]- .C (2,2)- .D [2,2]-
12．设()e (0)ax
f x a =>．过点(,0)P a 且平行于y 轴的直线与曲线:()C y f x =的交点为Q ，曲线C 过点Q 的切线交x 轴于点R ，则PQR ∆的面积的最小值是
A ．1 B
．e
2
D ．2e 4
二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在相应位置.
13．计算是积分=-⎰dx x 2
40
2__________.
14.在复平面内，复数Z 满足i i Z +=+⋅7)43(，则Z
=___________.
15．三对夫妻排成一排照相，仅有一对夫妻相邻的排法种数为 ．
16.在平面几何中有如下结论：正△ABC 的内切圆面积为1S ，外接圆面积为2S ，则412
1=S S 。

推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体ABCD 的内切球体积为1V ，外接球体积为2V ，
则=21
V V ___________.
三．解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.
17. （本小题满分12分）已知函数1
()sin ,(0,)2f x x x x π=-
∈．
(1)求函数()f x 的单调递增区间；
(2)求函数()f x 的图象在点
3x π
=
处的切线方程．
18.（本小题满分12分）
设,)(,0x a ax
x f a +=
>令*
11),(,1N n a f a a n n ∈==+.
（Ⅰ）求
4321,,,a a a a 的值；
（Ⅱ）猜想数列
}{n a 的通项公式，并用数学归纳法证明.
19．（本小题满分12分）
福建师大附中高二年级将于4月中旬进行年级辩论赛，每个班将派出6名同学分别担任一辩、二辩、三辩、四辩、五辩和六辩。

现某班已有3名男生和3名女生组成了辩论队，按下列要求，能分别安排出多少种不同的辩论顺序？（要求：先列式，再计算，最后用数字作答） （1）三名男生和三名女生各自排在一起；
（2）男生甲不担任第一辩，女生乙不担任第六辩；
（3）男生甲必须排在第一辩或第六辩，3位女生中有且只有两位排在一起。

20．(本小题满分12分)现有一批货物从海上由A 地运往B 地，已知货船的最大航行速度为35海里/时，A 地至B 地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元．
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/时)的函数； (2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？
21．(本小题满分12分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；
②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；
③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；
④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos (-48°)；
⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos (-55°).
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
22.（本小题满分14分）
已知函数
)
(3
ln
)
(R
a
ax
x
a
x
f∈
-
-
=．
（Ⅰ）求函数
)
(x
f的单调区间；
（Ⅱ）若函数
)
(x
f
y=的图像在点))
2(
,2(f处的切线的倾斜角为︒
45，问：m在什么
范围取值时，对于任意的
[]2,1
∈
t，函数⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+
+
=)
('
2
)
(2
3x
f
m
x
x
x
g
在区间
)3,(t上总存在极
值？
2014-2015学年度漳浦县期中考试高二年三校联考 (理科)数学答案
一、选择题：（每小题5分，共60分）
二、填空题：（每小题4
分，共16分）
13._________ 14._____
______
15.__192_________ 16. 1/8
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.
17. （本小题满分12分）已知函数1
()sin ,(0,)2f x x x x π=-
∈．
(1)求函数()f x 的单调递增区间；
(2)求函数()f x 的图象在点
3x π
=
处的切线方程．
解析：(1)由x ∈(0，π)及f′(x)＝cos x －12>0，解得x ∈(0，π
3)，
∴函数f(x)的单调递增区间为(0，π
3
)．……………….6分
(2)f(π3)＝sin π3－12×π3＝32－π6，切线的斜率k ＝f′(π3)＝cos π3－1
2＝0，
∴所求切线方程为y ＝
32－π
6
…………………………..12分 18.（本小题满分12分）
设,)(,0x a ax
x f a +=
>令*
11),(,1N n a f a a n n ∈==+.
（Ⅰ）求
4321,,,a a a a 的值；
（Ⅱ）猜想数列
}{n a 的通项公式，并用数学归纳法证明.
解：（1）∵11=a ∴
a a a f a a a a f a a a f a f a +==+==+=
==3)(,2)(,1)1()(342312，
………………………………….4分
（2）猜想：
*()
(1)n a
a n N n a =
∈-+……………………………6分
下面用数学归纳法证明： 当1=n 时，11=a ，猜想成立；
假设当
),1(*
N k k k n ∈≥=时猜想成立，即：(1)k a
a k a =
-+
则1(1)()(1)1(1)k k k k a
a a a a k a
a f a a a a k a a k a +⋅
⋅-+====
+-+++-+
[(1)1]a
k a =
+-+
∴当1+=k n 时猜想也成立.
由①，②可知，对任意
,*
N n ∈都有a n a
a n +-=
)1(成立…………….12分
19．（本小题满分12分）
福建师大附中高二年级将于4月中旬进行年级辩论赛，每个班将派出6名同学分别担任一辩、二辩、三辩、四辩、五辩和六辩。

现某班已有3名男生和3名女生组成了辩论队，按下列要求，能分别安排出多少种不同的辩论顺序？（要求：先列式，再计算，最后用数字作答） （1）三名男生和三名女生各自排在一起；
（2）男生甲不担任第一辩，女生乙不担任第六辩；
（3）男生甲必须排在第一辩或第六辩，3位女生中有且只有两位排在一起。

解：（1)72; (2)504 (3)144 各4分
20．(本小题满分12分)现有一批货物从海上由A 地运往B 地，已知货船的最大航行速度为35海里/时，A 地至B 地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元．
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/时)的函数； (2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？
解：(1)依题意得y ＝500x (960＋0.6x2)＝480 000
x ＋300x ，且由题意知，函数的定义域为(0,35]，
即y ＝480 000
x ＋300x(0＜x≤35)．………….5分
(2)由(1)知，y′＝－480 000
x2＋300，
令y′＝0，
解得x ＝40或x ＝－40(舍去)．……………7分 因为函数的定义域为(0,35]， 所以函数在定义域内没有极值点． 又当0＜x≤35时，y′＜0，
所以y ＝480 000
x ＋300x 在(0,35]上单调递减，………………10分
故当x ＝35时，
函数y ＝480 000
x
＋300x 取得最小值．
故为了使全程运输成本最小，轮船应以35海里/时的速度行驶…………….12分
21．(本小题满分12分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin 2
13°＋cos 2
17°－sin 13°cos 17°； ②sin 2
15°＋cos 2
15°－sin 15°cos 15°； ③sin 2
18°＋cos 2
12°－sin 18°cos 12°；
④sin 2
(－18°)＋cos 2
48°－sin(－18°)cos (-48°)； ⑤sin 2
(－25°)＋cos 2
55°－sin(－25°)cos (-55°). (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解析： 方法一：(1)选择②式，计算如下：
sin 2
15°＋cos 2
15°－sin 15°cos 15° ＝1－12sin 30°＝1－14＝3
4
……………4分
(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2
(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.
证明如下：
sin 2
α＋cos 2
(30°－α)－sin αcos(30°－α)
＝sin 2
α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2
－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)
＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α －12sin 2
α
＝34sin 2
α＋34cos 2α＝34………………………12分 方法二：(1)同方法一．
(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2
(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.
证明如下：
sin 2
α＋cos 2
(30°－α)－sin αcos(30°－α)
＝
1－cos 2α2＋1＋cos 60°－2α
2
－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)
＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2
α ＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－1
4(1－cos 2α) ＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝3
4…………………12分
22.（本小题满分14分）
已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=． （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；
（Ⅱ）若函数)(x f y =的图像在点))2(,2(f 处的切线的倾斜角为︒45，问：m 在什么
范围取值时，对于任意的[]2,1∈t ，函数
⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡++=)('2)(23x f m x x x g 在区间)3,(t 上总存在极值？
解：（Ι）由
x x a x f )
1()('-=
知：
当0>a 时，函数)(x f 的单调增区间是)1,0(，单调减区间是),1(+∞； 当0<a 时，函数)(x f 的单调增区间是),1(+∞，单调减区间是)1,0(；
当0=a 时，函数是常数函数3)(-=x f ，无单调区间. ………………………5分 （Ⅱ）
由
()21
2
a
f '=-
=2a ⇔=-, ∴
()223
f x ln x x =-+-，
()2
2f 'x x =-
. ………………………7分
故3232()'()(2)222m m g x x x f x x x x
⎡⎤
=++=++-⎢⎥⎣⎦，
∴2
'()3(4)2g x x m x =++-,
∵ 函数)(x g 在区间)3,(t 上总存在极值，
∴ 函数)(x g 在区间)3,(t 上总存在零点， ………………………9分 又∵函数)('x g 是开口向上的二次函数，且02)0('<-=g
∴ ⎩
⎨
⎧><0)3('0)('g t g ………………………11分 由
4320)('--<
⇔<t t m t g ，令=)(t H 432--t t ，则=)('t H 0
322<--t ，
所以)(t H 在上[]2,1单调递减，所以m <
min ()(2)9H t H ==-；
由023)4(27)3('>-⨯++=m g ，解得
337
-
>m ；
综上得37
9.3m -
<<-：
所以当m 在)9,337(--内取值时，对于任意的[]2,1∈t ，函数
⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=)('2)(23x f m x x x g 在区间)3,(t 上总存在极值. ………………………14分
2014-2015学年度漳浦县期中考试高二年三校联考(理科)数学答题卡 一、选择题：（每小题5分，共60分）
二、填空题：（每小题4分，共16分）
13._________
14.___________
15.___________ 16.
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.
17.已知函数
1
()sin ,(0,)2f x x x x π=-
∈．
(1)求函数()f x 的单调递增区间；
(2)求函数()f x 的图象在点3x π
=
处的切线方程．
18. 设,)(,0x a ax x f a +=
>令*
11),(,1N n a f a a n n ∈==+.
（Ⅰ）求
4321,,,a a a a 的值；
（Ⅱ）猜想数列
}{n a 的通项公式，并用数学归纳法证明.
19.福建师大附中高二年级将于4月中旬进行年级辩论赛，每个班将派出6名同学分别担任一辩、二辩、三辩、四辩、五辩和六辩。

现某班已有3名男生和3名女生组成了辩论队，按下列要求，能分别安排出多少种不同的辩论顺序？（要求：先列式，再计算，最后用数字作答） （1）三名男生和三名女生各自排在一起；
（2）男生甲不担任第一辩，女生乙不担任第六辩；
（3）男生甲必须排在第一辩或第六辩，3位女生中有且只有两位排在一起
20. 现有一批货物从海上由A 地运往B 地，已知货船的最大航行速度为35海里/时，A 地至B 地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元． (1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/时)的函数； (2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？
21. 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin 2
13°＋cos 2
17°－sin 13°cos 17°； ②sin 2
15°＋cos 2
15°－sin 15°cos 15°； ③sin 2
18°＋cos 2
12°－sin 18°cos 12°；
④sin 2
(－18°)＋cos 2
48°－sin(－18°)cos (-48°)；
⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos (-55°).
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论
22. 已知函数
)
(3
ln
)
(R
a
ax
x
a
x
f∈
-
-
=．
（Ⅰ）求函数
)
(x
f的单调区间；
（Ⅱ）若函数
)
(x
f
y=的图像在点))
2(
,2(f处的切线的倾斜角为︒
45，问：m在什么
范围取值时，对于任意的
[]2,1
∈
t，函数⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+
+
=)
('
2
)
(2
3x
f
m
x
x
x
g
在区间
)3,(t上总存在极
值？。