第五章、矩阵的特征值和特征向量习题答案
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1 1
1 1 1 1 ( n ) 1 1 1
1 1 1 0 1 n1 ( n ) ( n) 0 0 0
1 n, 2 3 n 0
2、 A 0E A A E 2 A E 0
8 2 3 2 8 3 X 3 3 3
3 E AX
1 1 0 2 0 1 1 X 2 0 0 0
1 x1 2 x3 1 x2 x3 2
x1 x3 x 1 x 2 2 3
3 2 1 2
T
3 2 e3 3 3
1 3
2 3
T
P e1 e2 e3
P 1 AP
8、 解：
A 1 (2) 3 6 0 A* A A1
A可逆
A 1 的特征值为1，-1/2，1/3，
2
A 0 或 A E 0
5、 E A 0
2
3 4
0
1 x 0 5
1
0
( ຫໍສະໝຸດ Baidu 1)
2
4
1 0 5
( 1)2 ( 6) 0
因为矩阵A是可以对角化的， 所以当 1 2 1时，
( E A) X 有两个线性无关的特征向量。
1E AX
2 2 3 2 2 3X 3 3 7
1 1 0 0 0 1X 0 0 0
x1 x2 x3 0
1 1 1 0
T
X k11 (k1 R, k1 0)
3 1 1 2T
X k33 (k3 R, k3 0)
5、 已知3阶矩阵A的特征值为1，2，3，求:
A3 5 A 2 7 E
解：
f ( A) A 5 A 7 E
3
' 1 3 ' 2 5 ' 11 3
f ( ) 5 7
2 1 2 5 a 3 1 b 2
2 6 2 2 3 2 6
4E AX
1 0 1 1 0 1 X 2 0 0 0
4 5 2 2 8 2 X 4 2 5
' 3
A3 5 A2 7 E 165
设矩阵 6、
5 0 0 1 2 4 A 2 x 2 与 0 4 0 相似， 0 0 y 4 2 1
P 1 AP 求x,y;并求一个正交矩阵P，使
1 0 1 ( E A) 3 0 x 4 0 4 1 1 0 1 1 0 ~ 3 0 x ~ 0 0 x 3 0 0 0 0 0 0
x3
R( E A) 1
（方法二） 1 1 1 （方法普通， 设 1 1, 1 , 0 , 1 0 0 但较麻烦） 已知 1 , , , 线性无关，
然后将其正交化即得 1, 2 ,3
1 e1 1
1 1 1 3 2 6 1 2 1 3 1 , e2 , e3 6 , 3 2 2 3 0 1 2 3 6
第五章
矩阵的特征值和特征向量习题答案
向量的内积和正交化
矩阵的特征值与特征向量
相似矩阵 实对称矩阵的对角化
练习题五
1 (1,1,1)T , 试求两个向量 2 , 3 , 已知向量 1、 使 1 , 2 , 3 , 为 R 3 的一组正交基。
（方法一） 1 X
0
1 2 3 1
3 1 2 E AX 5 2 3X 1 0 1 1 0 1 x1 x3 0 1 1X x2 x3 0 0 0
1 1 1T
x1 x2 x3
（方法一）
1 1 1 P ( P , P2 , P3 ) 1 1 0 1 1 0 1
1 3 1 1 P 3 1 6 3 1 P AP 3 3
A PP
1
1 3 2 3 1 3
1 3 1 3 2 3
?????????? ????????
（方法二） 1 1 1 P1 1, 2 P2 1 , 1 0
1 1 1 2 1 1 ( P3 , P2 ) 3 P3 P2 0 1 , ( P2 , P2 ) 2 2 1 0 1
X k (k R, k 0)
1 2 3 ( 2 ) 2 1 3 3 3 6
1
3
2
3 3 6
E A 2
1
3
3 82 9 ( 1)( 9)
1 1, 2 0, 3 9
( AB)( AB) ( AB) ( AB) E
T T
3、 A是n阶正交矩阵，且 A 1, 设 E是n阶单位矩阵，证明：A E 0. （-1是A的特征值）。 证明： AAT AT A E
A 1
( E A)T E A
A E A AAT A( E AT ) A E AT
A* 的特征值为-6，3，-2，
设 1 9、 P , P2 是A的属于特征值3的线性无关的 两个向量 P1T P2 0 PT X T 1 P1 P3 0
x1 x2 x3 0
1 1 P2 1 , P3 0 0 1
2 A E 0
A E 0
-1是A的特征值。
求下列矩阵的特征值和特征向量： 4、
2 1 2 (1) 5 3 3 1 0 2
2
1
1
2 3 2
E A 5
3 32 3 1 ( 1)3
3
解： 5 4 y 1 x 1 A 5 ( 4) y
x 4 y 5
矩阵A的特征值为5，-4，5，
5E AX
1 0 0 1 2 0 0 1 0X 0
T
4 2 4 2 1 2X 4 2 4
P 1 P T
T
P (e1 , e2 , e3 ),
1
A PP PP
?????????? ????????
复习题五
1、
1
1 E A 1
1 1 1
1 1 1 1 1 1
n n n 1 1 1
6、 3 2 0
2
( 2)( 1) 0
1 或 2
7、
(1) AP P1 1
2 1 2 1 1 3 1 1 5 a 1 b 2 1 1
1 x1 x2 x3 2
1 1 0 1 , 2 1 2 0
1 1 0 1
T
T
1 2 ( 2 , 1 ) 2 2 1 2 (1 , 1 ) 1 2
2 2 1 2 e1 0 , e2 2 1 2 2
x1 x2 x3 0
1 1 x1 x2 x3 1 1 , 2 0 0 1 1 1 1 1, 2 1 1 , 1 0 1 2 ( 2 , 2 ) 3 2 2 12 （方法最普通，也是 ( 2 , 2 ) 最常用的 ） 1
1 2 3 2 1 3 X 3 3 6
x1 x3 x2 x3
2 E AX
1 0 1 0 1 1X 0 0 0
2 1 1 1
T
X k22 (k2 R, k2 0)
矩阵A的特征值为0，-1/2，1，
矩阵A+E的特征值为1，1/2，2，
A E 1
3、 A 0 1 2 0
ab
a b 0（说明等于0的原因）
4、 A 2 21 2
A 2 2 A1 A 2
2
( A2 A) 2 2 A1
A A A( A E ) 0
（方法较好，但太特殊） （方法三） 1 1 1 已知 1 1, 令 2 1, 3 1 , 1 0 2 得 1 , 2 , 3 , 正交
1 1 （方法四） 已知 1 1, 令 2 1, 0 1 则： T 0 1 3 （方法较好） T 2 3 0 2、 设A,B都是n阶正交矩阵， 证明AB也是正交矩阵。
（方法一）
A,B都是n阶正交矩阵，
A 1 AT 1 B BT
( AB)1 B1 A1 BT AT ( AB)T
（方法二）
A,B都是n阶正交矩阵，
AA T AT A E T BB B T B E
( AB)( AB)T ABBT AT AEAT E ( AB)T ( AB) BT AT AB BT EB E
1 1 1 1 ( n ) 1 1 1
1 1 1 0 1 n1 ( n ) ( n) 0 0 0
1 n, 2 3 n 0
2、 A 0E A A E 2 A E 0
8 2 3 2 8 3 X 3 3 3
3 E AX
1 1 0 2 0 1 1 X 2 0 0 0
1 x1 2 x3 1 x2 x3 2
x1 x3 x 1 x 2 2 3
3 2 1 2
T
3 2 e3 3 3
1 3
2 3
T
P e1 e2 e3
P 1 AP
8、 解：
A 1 (2) 3 6 0 A* A A1
A可逆
A 1 的特征值为1，-1/2，1/3，
2
A 0 或 A E 0
5、 E A 0
2
3 4
0
1 x 0 5
1
0
( ຫໍສະໝຸດ Baidu 1)
2
4
1 0 5
( 1)2 ( 6) 0
因为矩阵A是可以对角化的， 所以当 1 2 1时，
( E A) X 有两个线性无关的特征向量。
1E AX
2 2 3 2 2 3X 3 3 7
1 1 0 0 0 1X 0 0 0
x1 x2 x3 0
1 1 1 0
T
X k11 (k1 R, k1 0)
3 1 1 2T
X k33 (k3 R, k3 0)
5、 已知3阶矩阵A的特征值为1，2，3，求:
A3 5 A 2 7 E
解：
f ( A) A 5 A 7 E
3
' 1 3 ' 2 5 ' 11 3
f ( ) 5 7
2 1 2 5 a 3 1 b 2
2 6 2 2 3 2 6
4E AX
1 0 1 1 0 1 X 2 0 0 0
4 5 2 2 8 2 X 4 2 5
' 3
A3 5 A2 7 E 165
设矩阵 6、
5 0 0 1 2 4 A 2 x 2 与 0 4 0 相似， 0 0 y 4 2 1
P 1 AP 求x,y;并求一个正交矩阵P，使
1 0 1 ( E A) 3 0 x 4 0 4 1 1 0 1 1 0 ~ 3 0 x ~ 0 0 x 3 0 0 0 0 0 0
x3
R( E A) 1
（方法二） 1 1 1 （方法普通， 设 1 1, 1 , 0 , 1 0 0 但较麻烦） 已知 1 , , , 线性无关，
然后将其正交化即得 1, 2 ,3
1 e1 1
1 1 1 3 2 6 1 2 1 3 1 , e2 , e3 6 , 3 2 2 3 0 1 2 3 6
第五章
矩阵的特征值和特征向量习题答案
向量的内积和正交化
矩阵的特征值与特征向量
相似矩阵 实对称矩阵的对角化
练习题五
1 (1,1,1)T , 试求两个向量 2 , 3 , 已知向量 1、 使 1 , 2 , 3 , 为 R 3 的一组正交基。
（方法一） 1 X
0
1 2 3 1
3 1 2 E AX 5 2 3X 1 0 1 1 0 1 x1 x3 0 1 1X x2 x3 0 0 0
1 1 1T
x1 x2 x3
（方法一）
1 1 1 P ( P , P2 , P3 ) 1 1 0 1 1 0 1
1 3 1 1 P 3 1 6 3 1 P AP 3 3
A PP
1
1 3 2 3 1 3
1 3 1 3 2 3
?????????? ????????
（方法二） 1 1 1 P1 1, 2 P2 1 , 1 0
1 1 1 2 1 1 ( P3 , P2 ) 3 P3 P2 0 1 , ( P2 , P2 ) 2 2 1 0 1
X k (k R, k 0)
1 2 3 ( 2 ) 2 1 3 3 3 6
1
3
2
3 3 6
E A 2
1
3
3 82 9 ( 1)( 9)
1 1, 2 0, 3 9
( AB)( AB) ( AB) ( AB) E
T T
3、 A是n阶正交矩阵，且 A 1, 设 E是n阶单位矩阵，证明：A E 0. （-1是A的特征值）。 证明： AAT AT A E
A 1
( E A)T E A
A E A AAT A( E AT ) A E AT
A* 的特征值为-6，3，-2，
设 1 9、 P , P2 是A的属于特征值3的线性无关的 两个向量 P1T P2 0 PT X T 1 P1 P3 0
x1 x2 x3 0
1 1 P2 1 , P3 0 0 1
2 A E 0
A E 0
-1是A的特征值。
求下列矩阵的特征值和特征向量： 4、
2 1 2 (1) 5 3 3 1 0 2
2
1
1
2 3 2
E A 5
3 32 3 1 ( 1)3
3
解： 5 4 y 1 x 1 A 5 ( 4) y
x 4 y 5
矩阵A的特征值为5，-4，5，
5E AX
1 0 0 1 2 0 0 1 0X 0
T
4 2 4 2 1 2X 4 2 4
P 1 P T
T
P (e1 , e2 , e3 ),
1
A PP PP
?????????? ????????
复习题五
1、
1
1 E A 1
1 1 1
1 1 1 1 1 1
n n n 1 1 1
6、 3 2 0
2
( 2)( 1) 0
1 或 2
7、
(1) AP P1 1
2 1 2 1 1 3 1 1 5 a 1 b 2 1 1
1 x1 x2 x3 2
1 1 0 1 , 2 1 2 0
1 1 0 1
T
T
1 2 ( 2 , 1 ) 2 2 1 2 (1 , 1 ) 1 2
2 2 1 2 e1 0 , e2 2 1 2 2
x1 x2 x3 0
1 1 x1 x2 x3 1 1 , 2 0 0 1 1 1 1 1, 2 1 1 , 1 0 1 2 ( 2 , 2 ) 3 2 2 12 （方法最普通，也是 ( 2 , 2 ) 最常用的 ） 1
1 2 3 2 1 3 X 3 3 6
x1 x3 x2 x3
2 E AX
1 0 1 0 1 1X 0 0 0
2 1 1 1
T
X k22 (k2 R, k2 0)
矩阵A的特征值为0，-1/2，1，
矩阵A+E的特征值为1，1/2，2，
A E 1
3、 A 0 1 2 0
ab
a b 0（说明等于0的原因）
4、 A 2 21 2
A 2 2 A1 A 2
2
( A2 A) 2 2 A1
A A A( A E ) 0
（方法较好，但太特殊） （方法三） 1 1 1 已知 1 1, 令 2 1, 3 1 , 1 0 2 得 1 , 2 , 3 , 正交
1 1 （方法四） 已知 1 1, 令 2 1, 0 1 则： T 0 1 3 （方法较好） T 2 3 0 2、 设A,B都是n阶正交矩阵， 证明AB也是正交矩阵。
（方法一）
A,B都是n阶正交矩阵，
A 1 AT 1 B BT
( AB)1 B1 A1 BT AT ( AB)T
（方法二）
A,B都是n阶正交矩阵，
AA T AT A E T BB B T B E
( AB)( AB)T ABBT AT AEAT E ( AB)T ( AB) BT AT AB BT EB E