2024学年吉林省吉林市龙潭区吉化第一高级中学高三3月统一质量检测试题数学试题

2024学年吉林省吉林市龙潭区吉化第一高级中学高三3月统一质量检测试题数学试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设数列{}n a 是等差数列，1356a a a ++=，76a =.则这个数列的前7项和等于（ ） A ．12
B ．21
C ．24
D ．36
2． “1
cos 22α=-
”是“3
k παπ=+，k Z ∈”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
3．已知抛物线2
20y x ＝的焦点与双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的一个焦点重合，且抛物线的准线被双曲线截得的
线段长为
9
2
，那么该双曲线的离心率为（ ） A ．
54 B ．
53
C ．
52
D ．5
4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长为（ ）
A ．5
B ．4
C ．2
D ．225．在ABC ∆中，D 在边AC 上满足1
3
AD DC =
，E 为BD 的中点，则CE =（ ）.
A ．
7388
BA BC - B ．3
788
BA BC -
C ．3788
BA BC +
D ．
7388
BA BC + 6．如图所示的程序框图，若输入4a =，3b =，则输出的结果是（ ）
A ．6
B ．7
C ．5
D ．8
7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A ．32
B ．
32
3
C ．16
D ．
163
8．函数sin y x x =+在[]2,2x ππ∈-上的大致图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．某程序框图如图所示，若输出的120S =，则判断框内为（ ）
A ．7?k >
B ．6?k >
C ．5?k >
D ．4?k >
10．已知命题:0p x ∀>,ln(1)0x +>；命题:q 若a b >，则22a b >，下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧
B ．p q ∧⌝
C ．p q ⌝∧
D ．p q ⌝∧⌝
11．已知直线1:240l ax y ++=，2:(1)20l x a y +-+=，则“1a =-”是“12l l ”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 12．
中，如果
，则
的形状是（ ）
A ．等边三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰直角三角形
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若5
2ax x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭展开式中的常数项为240，则实数a 的值为________. 14．已知变量()12,0,x x m ∈ (m >0)，且12x x <，若2112x
x
x x <恒成立，则m 的最大值________．
15．若双曲线()22
2
2:10,0x y C a b a b
-=>>的离心率为10，则双曲线C 的渐近线方程为______． 16．已知复数z 1＝1﹣2i ，z 2＝a +2i （其中i 是虚数单位，a ∈R ），若z 1•z 2是纯虚数，则a 的值为_____． 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）如图,在平面直角坐标系xOy 中,以x 轴正半轴为始边的锐角α的终边与单位圆O 交于点A ,且点A 的纵坐标是
10
10
．
（1）求3cos 4απ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
的值: （2）若以x 轴正半轴为始边的钝角β的终边与单位圆O 交于点B ,且点B 的横坐标为55
-
,求αβ+的值． 18．（12分）某市计划在一片空地上建一个集购物、餐饮、娱乐为一体的大型综合园区，如图，已知两个购物广场的占地都呈正方形，它们的面积分别为13公顷和8公顷；美食城和欢乐大世界的占地也都呈正方形，分别记它们的面积为1S 公顷和2S 公顷；由购物广场、美食城和欢乐大世界围成的两块公共绿地都呈三角形，分别记它们的面积为3S 公顷和4S 公顷.
（1）设BAC θ∠=，用关于θ的函数()S θ表示1234S S S S +++，并求()S θ在区间(0,)π上的最大值的近似值（精确到0.001公顷）；
（2）如果123452S S S S +++=，并且12S S <，试分别求出1S 、2S 、3S 、4S 的值.
19．（12分）如图所示，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，点D ，E 分别在线段1AA ，
1CC 上，且11
AD AA =，
//DE AC ，F 是线段AB 的中点.
（Ⅰ）求证：//EF 平面11B C D ；
（Ⅱ）若AB AC ⊥，AB AC =，13AA AB =，求直线BC 与平面1B DE 所成角的正弦值.
20．（12分）已知0a b >>，如图，曲线Γ由曲线1C ：22221(0)x y y a b +=≤和曲线2C ：22
221(0)x y y a b
-=>组成，其
中点12,F F 为曲线1C 所在圆锥曲线的焦点，点34,F F 为曲线2C 所在圆锥曲线的焦点.
（Ⅰ）若23(2,0),(6,0)F F -，求曲线Γ的方程；
（Ⅱ）如图，作直线l 平行于曲线2C 的渐近线，交曲线1C 于点,A B ，求证：弦AB 的中点M 必在曲线2C 的另一条渐近线上；
（Ⅲ）对于（Ⅰ）中的曲线Γ，若直线1l 过点4F 交曲线1C 于点,C D ，求1CDF ∆面积的最大值. 21．（12分）已知函数()()0sin ax
f x e bx =，设()n f x 为()1n f x -的导数，*n N ∈．
（1）求()1f x ，()2f x ；
（2）猜想()n f x 的表达式，并证明你的结论．
22．（10分）有甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪80元，送餐员每单制成4元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分送餐员每单抽成6元，超过40单的部分送餐员每单抽成7元.现从这两家公司各随机选取一名送餐员，分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数分布表： 送餐单数
38
39
40
41
42
（1）从记录甲公司的50天送餐单数中随机抽取3天，求这3天的送餐单数都不小于40单的概率； （2）假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同，将频率视为概率，回答下列两个问题： ①求乙公司送餐员日工资的分布列和数学期望；
②小张打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，小张应选择哪家公司应聘？说明你的理由.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B 【解题分析】
根据等差数列的性质可得3a ，由等差数列求和公式可得结果. 【题目详解】
因为数列{}n a 是等差数列，1356a a a ++=， 所以336a =，即32a =， 又76a =，
所以73
173a a d -==-，1320a a d =-=， 故1777()
212
a a S +=
= 故选：B 【题目点拨】
本题主要考查了等差数列的通项公式，性质，等差数列的和，属于中档题. 2、B 【解题分析】
先求出满足1
cos 22
α=-的α值，然后根据充分必要条件的定义判断． 【题目详解】 由1cos 22α=-
得2223k παπ=±，即3k παπ=±，k Z ∈ ，因此“1
cos 22α=-”是“3
k παπ=+，k Z ∈”的必要
不充分条件． 故选：B ． 【题目点拨】
本题考查充分必要条件，掌握充分必要条件的定义是解题基础．解题时可根据条件与结论中参数的取值范围进行判断． 3、A 【解题分析】
由抛物线2
20y x ＝的焦点(5,0)得双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的焦点(5,0)±，求出5c ＝，由抛物线准线方程
5x =-被曲线截得的线段长为92，由焦半径公式229
2
b a =，联立求解.
【题目详解】
解：由抛物线2
20y x ＝，可得220p ＝，则10p ＝
，故其准线方程为5x =-， 抛物线2
20y x ＝的准线过双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左焦点，
5c ∴＝．
抛物线2
20y x ＝的准线被双曲线截得的线段长为
9
2
， 2292
b a ∴=，又22225
c a b +＝＝，
4,3a b ∴＝＝，
则双曲线的离心率为5
4
c e a ==． 故选：A ． 【题目点拨】
本题考查抛物线的性质及利用过双曲线的焦点的弦长求离心率. 弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长． 4、D
先根据三视图还原几何体是一个四棱锥，根据三视图的数据，计算各棱的长度. 【题目详解】
根据三视图可知，几何体是一个四棱锥，如图所示：
由三视图知：2AD = ，3,2,CE SD ==
所以2SC DC ==， 所以
2
2
2
2
22,22SA SD
AD
SB SC
BC
=+==+=
所以该几何体的最长棱的长为22故选：D 【题目点拨】
本题主要考查三视图的应用，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题. 5、B 【解题分析】 由1
3
AD DC =
，可得34CD CA =，1()2CE CB CD =+13()24CB CA =+，再将CA BA BC =-代入即可.
【题目详解】 因为1
3
AD DC =
，所以34CD CA =，故1()2CE CB CD =+=13()24CB CA +=
133
()244BC BA BC -+-=3788
BA BC -. 故选：B. 【题目点拨】
本题考查平面向量的线性运算性质以及平面向量基本定理的应用，是一道基础题. 6、B
列举出循环的每一步，可得出输出结果. 【题目详解】
4i =，3S =，22S a b >不成立，239S ==，415i =+=；
22S a b >不成立，2981S ==，516i =+=； 22S a b >不成立，2816561S ==，617i =+=； 22S a b >成立，输出i 的值为7.
故选：B. 【题目点拨】
本题考查利用程序框图计算输出结果，一般要将算法的每一步列举出来，考查计算能力，属于基础题. 7、D 【解题分析】
根据三视图判断出几何体是由一个三棱锥和一个三棱柱构成，利用锥体和柱体的体积公式计算出体积并相加求得几何体的体积. 【题目详解】
由三视图可知该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，该多面体体积为1122223⨯⨯⨯+11622223
⨯⨯⨯⨯=.故选D. 【题目点拨】
本小题主要考查三视图还原为原图，考查柱体和锥体的体积公式，属于基础题. 8、D 【解题分析】
讨论x 的取值范围，然后对函数进行求导，利用导数的几何意义即可判断. 【题目详解】
当0x ≥时，sin y x x =+，则cos 10y x '=+≥， 所以函数在[]0,2π上单调递增， 令()cos 1g x x =+，则()sin g x x '=-， 根据三角函数的性质，
当[]0,x π∈时，()sin 0g x x '=-<，故切线的斜率变小，
当0x <时，sin y x x =-+，则cos 10y x '=-+≥， 所以函数在[]2,0π-上单调递增， 令 ()cos 1h x x =-+，()sin h x x '=，
当[]2,x ππ∈--时，()sin 0h x x '=>，故切线的斜率变大， 当[],0x π∈-时，()sin 0h x x '=<，故切线的斜率变小，可排除C ， 故选：D 【题目点拨】
本题考查了识别函数的图像，考查了导数与函数单调性的关系以及导数的几何意义，属于中档题. 9、C 【解题分析】
程序在运行过程中各变量值变化如下表：
故退出循环的条件应为k>5? 本题选择C 选项.
点睛：使用循环结构寻数时，要明确数字的结构特征，决定循环的终止条件与数的结构特征的关系及循环次数．尤其是统计数时，注意要统计的数的出现次数与循环次数的区别．
10、B 【解题分析】
解：命题p ：∀x ＞0，ln （x+1）＞0，则命题p 为真命题，则￢p 为假命题； 取a=﹣1，b=﹣2，a ＞b ，但a 2＜b 2，则命题q 是假命题，则￢q 是真命题．
故选B ．
11、C
【解题分析】
先得出两直线平行的充要条件，根据小范围可推导出大范围，可得到答案.
【题目详解】
直线1:240l ax y ++=，()2:120l x a y +-+=，12l l 的充要条件是()1221a a a a -=⇒==-或，当a=2时，化简后发现两直线是重合的，故舍去，最终a=-1.因此得到“1a =-”是“12l l ”的充分必要条件.
故答案为C.
【题目点拨】
判断充要条件的方法是：①若p ⇒q 为真命题且q ⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的充分不必要条件；②若p ⇒q 为假命题且q ⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的必要不充分条件；③若p ⇒q 为真命题且q ⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的充要条件；④若p ⇒q 为假命题且q ⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p 与命题q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p 与命题q 的关系．
12、B
【解题分析】
化简得lg cos A ＝lg
＝﹣lg 2，即，结合， 可求，得代入sinC ＝sinB ，从而可求
C ，B ，进而可判断.
【题目详解】 由
，可得lg cos A ＝＝﹣lg 2，∴， ∵，∴，，∴sin C ＝sin B ＝＝，∴tanC ＝，C ＝，B ＝. 故选：B
【题目点拨】
本题主要考查了对数的运算性质的应用，两角差的正弦公式的应用，解题的关键是灵活利用基本公式，属于基础题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、－3
【解题分析】 依题意可得二项式展开式的常数项为3
323152C T ax x x +⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭
即可得到方程，解得即可； 【题目详解】
解：∵二项式52ax x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为3323152C 80240T ax x a x +⎛⎫=⋅-=-= ⎪⎝⎭
， ∴解得3a =-.
故答案为：3-
【题目点拨】
本题考查二项式展开式中常数项的计算，属于基础题.
14、e
【解题分析】
在不等式两边同时取对数，然后构造函数f （x ）＝
ln x x
，求函数的导数，研究函数的单调性即可得到结论． 【题目详解】
不等式两边同时取对数得2112ln ln x x x x <，
即x 2lnx 1＜x 1lnx 2，又()12,0,x x m ∈ 即1212
ln ln x x x x <成立， 设f （x ）＝ln x x
，x ∈（0，m ）， ∵x 1＜x 2，f （x 1）＜f （x 2），则函数f （x ）在（0，m ）上为增函数， 函数的导数22
1x ln x 1ln x x ()x x f x '⋅--==， 由f ′（x ）＞0得1﹣lnx ＞0得lnx ＜1，
得0＜x ＜e ，
即函数f （x ）的最大增区间为（0，e ），
则m 的最大值为e
故答案为：e
【题目点拨】
本题考查函数单调性与导数之间的应用，根据条件利用取对数得到不等式,从而可构造新函数，是解决本题的关键 15、3y x =±
【解题分析】 利用22
110c b a a ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,得到,a b 的关系式,然后代入双曲线C 的渐近线方程b y x a =±即可求解.
【题目详解】
因为双曲线C 的离心率为222c e c a b a
===+, 所以222210c a a b ==+,即3b a =,
因为双曲线C 的渐近线方程为b y x a
=±, 所以双曲线C 的渐近线方程为3y x =±.
故答案为:3y x =±
【题目点拨】
本题考查双曲线的几何性质;考查运算求解能力;熟练掌握双曲线的几何性质是求解本题的关键;属于基础题.
16、-1
【解题分析】
由题意124(22)z z a a i ⋅=++-，令40220a a +=⎧⎨
-≠⎩即可得解. 【题目详解】
∵z 1＝1﹣2i ，z 2＝a +2i ，
∴12(12)(2)4(22)z z i a i a a i ⋅=-+=++-，
又z 1•z 2是纯虚数，∴40220a a +=⎧⎨
-≠⎩，解得：a ＝﹣1． 故答案为：﹣1．
【题目点拨】
本题考查了复数的概念和运算，属于基础题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）2）34αβπ+= 【解题分析】
（1）依题意,任意角的三角函数的定义可知,10sin α=,进而求出cos 10
α=． 在利用余弦的和差公式即可求出3cos 4απ⎛⎫- ⎪⎝
⎭.
（2）根据钝角β的终边与单位圆交于点B ,且点B 的横坐标是-得出cos β=,进而得出sin β=利用
正弦的和差公式即可求出()sin αβ+=
,结合α为锐角,β为钝角,即可得出αβ+的值. 【题目详解】
解：因为锐角α的终边与单位圆交于点A ,点A 的纵坐标是10
,
所以由任意角的三角函数的定义可知,sin α=
从而cos α==． （1）于是333cos cos cos sin sin 444
αααπππ⎛
⎫-=+ ⎪⎝⎭
1021025⎛⎛=-+⨯=- ⎝⎭⎝⎭
（2）因为钝角β的终边与单位圆交于点B ,且点B 的横坐标是5
-
所以cos β=,从而sin β==． 于是()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+
2
⎛= ⎝⎭． 因为α为锐角,β为钝角,所以3,22ππαβ⎛⎫+∈
⎪⎝⎭ 从而34
αβπ+=． 【题目点拨】
本题本题考查正弦函数余弦函数的定义,考查正弦余弦的两角和差公式,是基础题.
18、（1）123442S S S S θ+++=+，最大值52.198公顷；（2）17、25、5、5.
【解题分析】
（1）由余弦定理求出三角形ABC 的边长BC ，进而可以求出1S ，2S ，由面积公式求出 3S ，4S ，即可求出()S θ，
并求出最值；（2）由（1）知，1242S S +=，34S S =，即可求出3S 、4S ，再算出sin ,cos θθ，代入（1）中表达式求出1S ，2S 。

【题目详解】
（1）由余弦定理得，2BC 1382138cos 21426cos θθ=+-⨯⨯=-，
所以，121426cos S θ=-，同理可得221426cos )=21426cos S πθθ=--+（
又341138sin 26sin 2
S S θθ==⨯⨯= ， 所以1234()==42226sin S S S S S θθ++++，
故()S θ在区间(0,)π上的最大值为42226+，近似值为52.198。

（2）由（1）知，1242S S +=，34S S = ，所以34=5S S =，进而5sin 26
θ=， 由12S S <知，cos 0θ>，1cos 26
θ∴=，12S =21417,21425S -==+= 故1S 、2S 、3S 、4S 的值分别是17、25、5、5。

【题目点拨】
本题主要考查利用余弦定理解三角形以及同角三角函数平方关系的应用，意在考查学生的数学建模以及数学运算能力。

19、（Ⅰ）证明见详解；（Ⅱ）
105
. 【解题分析】
（Ⅰ）取1B D 中点为G ，根据几何关系，求证四边形1FGC E 为平行四边形，即可由线线平行推证线面平行； （Ⅱ）以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量和平面的法向量，即可求得线面角的正弦值.
【题目详解】
（Ⅰ）取1B D 的中点G ，连接1C G ，FG .如下图所示：
因为F ，G 分别是线段AB 和1B D 的中点，
所以FG 是梯形1ADB B 的中位线，所以//FG AD .
又1//AD CC ，所以1FG//CC .
因为1//AD CC ，//DE AC ，
所以四边形ADEC 为平行四边形，所以AD CE =. 所以1123C E CC =，111223
AD BB FG CC C E +===. 所以四边形1FGC E 为平行四边形，所以1//EF C G . 又EF ⊄平面11B C D ，1C G ⊂平面11B C D ，
所以//EF 平面11B C D .
（Ⅱ）因为AB AC ⊥，且1AA ⊥平面ABC ，
故可以A 为原点，AB 的方向为x 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
如下图所示：
不妨设1AB AC ==，则13AA =，
所以(0,0,1)C ，(1,0,0)B ，1(1,3,0)B ，(0,1,0)D ，(0,1,1)E .
所以BC (1,0,1)=-，1B D (1,2,0)=--，DE (0,0,1)=.
设平面1B DE 的法向量为n (,,)x y z =，
则100n B D n DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩
所以20,0.x y z +=⎧⎨=⎩ 可取n (2,1,0)=-.
设直线BC 与平面1B DE 所成的角为θ，
则10sin 552
θ==⨯.
故可得直线BC 与平面1B DE
【题目点拨】 本题考查由线线平行推证线面平行，以及用向量法求解线面角，属综合中档题.
20、（Ⅰ）221(0)2016x y y +=和221(0)2016x y y -=>.；（Ⅱ）证明见解析；
（Ⅲ）3
. 【解题分析】
(Ⅰ)由23(2,0),(6,0)F F -，可得2222364
a b a b ⎧+=⎨-=⎩，解出即可； (Ⅱ)设点()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ，设直线:()b l y x m a
=-，与椭圆方程联立可得：()222220x mx m a -+-=，利用>0∆，根与系数的关系、中点坐标公式，证明即可；
(Ⅲ)由(Ⅰ)知，曲线22
1(0)2016
x y y +=，且4(6,0)F ，设直线1l 的方程为：6(0)x ny n =+>，与椭圆方程联立可得：()225448640n y ny +++= ，利用根与系数的关系、弦长公式、三角形的面釈计算公式、基本不等式的性质，即可求解.
【题目详解】
(Ⅰ)由题意：23(2,0),(6,0)F F -，
2222364a b a b ⎧+=∴⎨-=⎩，解得222016a b ⎧=⎨=⎩
， 则曲线Γ的方程为：221(0)2016x y y +=和22
1(0)2016
x y y -=>. (Ⅱ)证明：由题意曲线2C 的渐近线为：b y x a =±
， 设直线:()b l y x m a
=-， 则联立2222
()1b y x m a x y a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得()222220x mx m a -+-=， ()222480m m a ∴∆=-->
，解得：m <<， 又由数形结合知2a m a <.
设点()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ，
则12x x m +=，22
122
m a x x -=， 02m x ∴=，02bm y a
=-， 00b y x a
∴=-，即点M 在直线b y x a =-上. (Ⅲ)由(Ⅰ)知，曲线22
1:1(0)2016
x y C y +=，点4(6,0)F ， 设直线1l 的方程为：6(0)x ny n =+>，
∴联立22612016
x ny x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得：()225448640n y ny +++=， ()
22(48)464540n n ∴∆=-⨯⨯+>21n ⇒>，
设()()3344,,,C D x y y x ， 3424854n y y n ∴+=-+，342
6454y y n =+，
34254y y n
∴-==+， 1CDF ∴∆
面积123411822S F F y y =-=⨯=
令0t >，221n t ∴=+
，
21659
4934S t t t ∴
==++
当且仅当32t =
，即2n =时等号成立，所以1CDF ∆面积的最大值为3
. 【题目点拨】
本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、直线与椭圆的相交问题、弦长公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质,考查了推理论证能力与运算求解能力，属于难题.
21、()1()()()1
2221sin ax f x a b e bx ϕ=++,()()()222sin 2ax f x a b e bx ϕ=++；
()2()()()222sin n ax n f x a
b e bx n ϕ=++，证明见解析
【解题分析】 ()1对函数()0f x 进行求导,并通过三角恒等变换进行转化求得()1f x 的表达式,对函数()1f x 再进行求导并通过三角恒等变换进行转化求得()2f x 的表达式;
()2根据()1中()1f x ，()2f x 的表达式进行归纳猜想,再利用数学归纳法证明即可.
【题目详解】
（1）()()()()10sin cos ax ax
f x f x ae bx be bx '==+
(
)()ax
bx bx ⎡⎤=⎥
⎦()sin ax bx ϕ=+
，其中sin ϕ=
cos ϕ=
()(
)()()21sin cos ax ax f x f x ae bx be bx ϕϕ'⎤==+++⎦
()()sin cos ax a bx b bx ϕϕ⎡⎤=+++⎣⎦[
()()22sin 2ax a b e bx ϕ=++
，其中sin ϕ=
cos ϕ= （2）猜想()()()222sin n ax n f x a b e bx n ϕ=++，*n N ∈
下面用数学归纳法证明：
①当1n =时，()()()12221sin f x a b bx ϕ=++成立，
②假设n k =时，猜想成立
即()()()222sin k ax k f x a b e bx k ϕ=++
当1n k =+时，()()1k k f x f x +'=
()()()222sin cos k ax ax a b
ae bx k be bx k ϕϕ⎡⎤=++++⎣⎦ (
)(
)()1
222k ax
a b e bx k bx k ϕϕ+⎡⎤=+++⎥⎦ ()()()1
222sin 1k ax a b e bx k k ϕ+=+++
∴当1n k =+时，猜想成立
由①②()()()222sin n ax n f x a b e bx n ϕ=++对*n N ∈成立
【题目点拨】
本题考查导数及其应用、三角恒等变换、归纳与猜想和数学归纳法;考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力;熟练掌握用数学归纳法进行证明的步骤是求解本题的关键;属于中档题.
22、（1）29140
；（2）①分布列见解析，()238.6E X =；②小张应选择甲公司应聘. 【解题分析】
（1）记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件A ，可得P （A ）的值．
（2）①设乙公司送餐员送餐单数为a ，可得当38a =时，386X =⨯，以此类推可得：当39a =时，当40a =时，X 的值．当41a =时，X 的值，同理可得：当42a =时，X ．X 的所有可能取值．可得X 的分布列及其数学期望． ②依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数．可得甲公司送餐员日平均工资，与乙数学期望比较即可得出．
【题目详解】
解：（1）由表知，50天送餐单数中有30天的送餐单数不小于40单，
记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件A ，
则()33035029140
C P A C ==． （2）①设乙公司送餐员的送餐单数为n ，日工资为X 元，则
当38n =时，386228X =⨯=；当39n =时，396234X =⨯=；当40n =时，406240X =⨯=；
当41n =时，4067247X =⨯+=；当42n =时，40614254X =⨯+=．
所以X 的分布列为
13111()228234240247254238.65105510
E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． ②依题意，甲公司送餐员的日平均送餐单数为
380.2390.2400.3410.2420.139.8⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，
所以甲公司送餐员的日平均工资为80439.8239.2+⨯=元，
因为238.6239.2<，所以小张应选择甲公司应聘．
【题目点拨】
本题考查了随机变量的分布列与数学期望、古典概率计算公式、组合计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中
档题．。