18.1勾股定理上课用2

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沪科版数学八年级下册 18

能是 ( D )
A. 9 cm B. 12 cm C. 15 cm
D. 18 cm
3. 已知点 (2，5)，(-4，-3)，则这两点的距离为_1_0__.
4. 如图，有两棵树，一棵高 8 米，另一棵高 2 米，两棵树相距 8 米. 一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵的树梢，问小鸟至少飞行多少米？
B
y
解：如图，过点 A 作 x 轴的垂线，
过点 B 作 x，y 轴的垂线，相交于A
5 4
点 C，连接 AB.
3
则 AC = 5 - 2 = 3，BC = 3 + 1 = 4. C
2B
在 Rt△ABC 中，由勾股定理得
1
AB AC2 BC2 5.
-3 -2 -1-1 O 1 2 3 x
∴ A，B 两点间的距离为 5.
例3 在一次台风的袭击中，小明家房前的一棵大树在离地面 6 米处折断，树的顶部落在离树根底部 8 米处. 你能告诉小明这棵树折断之前有多高吗？
6 米
8米
A
6 米
C
8米
解：根据题意可以构建一个直角三角形模型，如图. 在 Rt△ABC 中， AC = 6 米，BC = 8 米，由勾股定理得
AB AC 2 BC 2 62 82
12
侧面展开图 12
A解：在 Rt△ABA′ 中，由勾股A 定理得
AB AA′2 BA′2 122 3 32 15(cm).
归纳立体图形中求表面上两点间的最短距离，一般把立体图形展开成平面图形，根据“两点之间线段最短” 确定最短路线，再根据勾股定理求最短路程.
例5 有一个圆柱形油罐，要以 A 点环绕油罐建梯子，正好建在 A 点的正上方点 B 处，问梯子最短需多少米 (已知油罐的底面半径是 2 m，高 AB 是 5 m，π 取 3)?

18.1 第1课时勾股定理(沪科版八年级数学下册教案)

第1课时　勾股定理1．经历探索勾股定理及验证勾股定理的过程，体会数形结合的思想；(重点)2．掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题．(重点)一、情境导入如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它由若干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形．各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧．你能说说其中的奥秘吗？二、合作探究探究点一：勾股定理的证明作8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，将它们像下图所示拼成两个正方形．求证：a 2＋b 2＝c 2.解析：从整体上看，这两个正方形的边长都是a ＋b ，因此它们的面积相等．我们再用不同的方法来表示这两个正方形的面积，即可证明勾股定理．证明：由图易知，这两个正方形的边长都是a ＋b ，∴它们的面积相等．左边的正方形面积可表示为a 2＋b 2＋12ab ×4，右边的正方形面积可表示为c 2＋12ab ×4.∵a 2＋b 2＋12ab ×4＝c 2＋12ab ×4，∴a 2＋b 2＝c 2.方法总结：根据拼图，通过对拼接图形的面积的不同表示方法，建立相等关系，从而验证勾股定理．探究点二：勾股定理【类型一】直接利用勾股定理求长度如图，已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5cm ，BC ＝3cm ，CD ⊥AB 交AB于点D ，求CD 的长．解析：先运用勾股定理求出AC 的长，再根据S △ABC ＝12AB ·CD ＝12AC ·BC ，求出CD 的长．解：∵在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5cm ，BC ＝3cm ，∴由勾股定理得AC 2＝AB 2－BC 2＝52－32＝42，∴AC ＝4cm.又∵S △ABC ＝12AB ·CD ＝12AC ·BC ，∴CD ＝A C ·B C A B ＝4×35＝125(cm)，故CD 的长是125cm.方法总结：由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，它常与勾股定理联合使用．【类型二】利用勾股定理求面积如图，以Rt △ABC 的三边长为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB ＝3，则图中△ABE 的面积为________，阴影部分的面积为________．解析：因为AE ＝BE ，∠E ＝90°，所以S △ABE ＝12AE ·BE ＝12AE 2.又因为AE 2＋BE 2＝AB 2，所以2AE 2＝AB 2，所以S △ABE ＝14AB 2＝14×32＝94；同理可得S △AHC ＋S △BCF ＝14AC 2＋14BC 2.又因为AC 2＋BC 2＝AB 2，所以阴影部分的面积为14AB 2＋14AB 2＝12AB 2＝12×32＝92.故分别填94，92.方法总结：求解与直角三角形三边有关的图形面积时，要结合图形想办法把图形的面积与直角三角形三边的平方联系起来，再利用勾股定理找到图形面积之间的等量关系．【类型三】勾股定理与数轴如图所示，数轴上点A 所表示的数为a ，则a 的值是( )A.5＋1　B ．－5＋1　C.5－1 D.5解析：先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据两点间的距离公式即可求出A 点的坐标．图中的直角三角形的两直角边为1和2，∴斜边长为12＋22＝5，∴－1到A 的距离是5.那么点A 所表示的数为5－1.故选C.方法总结：本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，解答此题时要注意，确定点A 的符号后，点A 所表示的数是距离原点的距离．【类型四】利用勾股定理证明等式如图，已知AD 是△ABC 的中线．求证：AB 2＋AC 2＝2(AD 2＋CD 2)．解析：结论中涉及线段的平方，因此可以考虑作AE⊥BC交BC于点E.在△ABC中构造直角三角形，利用勾股定理进行证明．证明：如图，过点A作AE⊥BC交BC于点E.在Rt△ABE、Rt△ACE和Rt△ADE中，AB2＝AE2＋BE2，AC2＝AE2＋CE2，AE2＝AD2－ED2，∴AB2＋AC2＝(AE2＋BE2)＋(AE2＋CE2)＝2(AD2－ED2)＋(DB－DE)2＋(DC＋DE)2＝2AD2－2ED2＋DB2－2DB·DE＋DE2＋DC2＋2DC·DE＋DE2＝2AD2＋DB2＋DC2＋2DE(DC－DB)．又∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，∴AB2＋AC2＝2AD2＋2DC2＝2(AD2＋CD2)．方法总结：构造直角三角形，利用勾股定理把需要证明的线段联系起来．一般地，涉及线段之间的平方关系问题时，通常沿着这个思路去分析问题．【类型五】运用勾股定理解决折叠中的有关计算如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A对应点为A′，且B′C＝3，则AM的长是( )A．1.5 B．2 C．2.25 D．2.5解析：连接BM，MB′.设AM＝x，在Rt△ABM中，AB2＋AM2＝BM2.在Rt△MDB′中，B′M2＝MD2＋DB′2.∵MB＝MB′，∴AB2＋AM2＝BM2＝B′M2＝MD2＋DB′2，即92＋x2＝(9－x)2＋(9－3)2，解得x＝2，即AM＝2.故选B.方法总结：解题的关键是设出适当的线段的长度为x，然后用含有x的式子表示其他线段，然后在直角三角形中利用勾股定理列方程解答．【类型六】分类讨论思想在勾股定理中的应用在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD为BC边上的高，且AD＝12，求△ABC的周长．解析：应考虑高AD在△ABC内和△ABC外的两种情形．解：当高AD在△ABC内部时，如图①.在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD2＝AB2－AD2＝202－122＝162，∴BD＝16.在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81，∴CD＝9.∴BC＝BD＋CD＝25，∴△ABC的周长为25＋20＋15＝60；当高AD在△ABC外部时，如图②.同理可得BD＝16，CD＝9.∴BC＝BD－CD＝7，∴△ABC的周长为7＋20＋15＝42.综上所述，△ABC的周长为42或60.方法总结：题中未给出图形，作高构造直角三角形时，易漏掉原三角形为钝角三角形的情况．如在本例题中，易只考虑高AD在△ABC内的情形，忽视高AD在△ABC外的情形．三、板书设计让学生体会数形结合和由特殊到一般的思想方法，进一步提升学生的说理和简单推理的能力；进一步体会数学与现实生活的紧密联系．在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐；通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激励学生发奋学习.。

[数学]-专项18.1 勾股定理及其逆定理【九大题型】(举一反三)(沪科版)(原版)

专题18.1 勾股定理及其逆定理【九大题型】【沪科版】【题型1 勾股定理的运用】 (1)【题型2 直角三角形中的分类讨论思想】 (2)【题型3 勾股定理解勾股树问题】 (3)【题型4 勾股定理解动点问题】 (4)【题型5 勾股定理的验证】 (5)【题型6 直角三角形的判定】 (7)【题型7 勾股数问题】 (8)【题型8 格点图中求角的度数】 (9)【题型9 勾股定理及其逆定理的运用】 (10)【题型1 勾股定理的运用】【例1】（2022•和平区三模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝1.5，BD＝2.5，则AC的长为（）A．5B．4C．3D．2【变式1-1】（2022春•上杭县期中）如图在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，AC＝10，AC的垂直平分线DE分别交AB、AC于D、E两点，则BD的长为（）A ．32B ．74C ．2D ．52【变式1-2】（2022春•汉阳区期中）如图，在△ABC 中AB ＝AC ＝10，BC ＝16，若∠BAD ＝3∠DAC ，则CD ＝．【变式1-3】（2021秋•朝阳区校级期末）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝30，D 是AC 上一点，AD ：CD ＝25：7，且DB ＝DA ，过AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BD 于F ，则PE +PF 长是．【题型2 直角三角形中的分类讨论思想】【例2】（2022春•长沙月考）已知△ABC 中，AB ＝13，AC ＝15，BC 边上的高为12．则△ABC 的面积为（） A ．24或84B ．84C ．48或84D ．48【变式2-1】（2022春•宁津县期中）△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长是（） A ．42B ．32C ．42或32D ．42或37【变式2-2】（2022春•香河县期中）已知直角三角形两边的长为5和12，则此三角形的周长为（） A ．30B ．√119+17C ．√119+17或30D ．36【变式2-3】（2022春•海淀区校级期中）在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，AB ＝5．点P 在直线AC 上，且BP ＝6，则线段AP 的长为．【题型3 勾股定理解勾股树问题】【例3】（2021秋•南关区期末）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、D的面积依次为6、10、24，则正方形C的面积为（）A．4B．6C．8D．12【变式3-1】（2021秋•高新区校级期末）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若S1+S4＝135，S3＝49，则S2＝（）A．184B．86C．119D．81【变式3-2】（2022春•泗水县期中）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，他将变得“枝繁叶茂”，请你计算出“生长”了2022次后形成的图形中所有正方形的面积之和为（）A．2020B．2021C．2022D．2023【变式3-3】（2022春•张湾区期中）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC：BC＝4：3，这个直角三角形三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角边之比为4：3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形，图③是2次操作后的图形．如果图①中的直角三角形的周长为12，那么10次操作后的图形中所有正方形的面积和为（）A ．225B ．250C ．275D ．300【题型4 勾股定理解动点问题】【例4】（2021秋•开福区校级期末）如图，Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，AB ＝25cm ，AC ＝7cm ，动点P 从点B 出发沿射线BC 以2cm /s 的速度运动，设运动时间为ts ，当△APB 为等腰三角形时，t 的值为（）A ．62596或252B ．252或24或12C ．62596或24或12 D ．62596或252或24【变式4-1】（2021秋•宛城区期末）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝40cm ，AC ＝30cm ，动点P 从点B 出发沿射线BA 以2cm /s 的速度运动．则当运动时间t ＝ s 时，△BPC 为直角三角形．【变式4-2】（2022春•蚌山区校级期中）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，点P 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A ﹣B ﹣C 运动．设点P 的运动时间为t 秒（t ＞0）．（1）BC 的长是．（2）当点P刚好在∠BAC的角平分线上时，t的值为．【变式4-3】（2022春•河东区期中）如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，同时停止．（1）P、Q出发4秒后，求PQ的长；（2）当点Q在边CA上运动时，出发几秒钟后，△CQB能形成直角三角形？【题型5 勾股定理的验证】【例5】勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b﹣a∵S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABC=12b2+12ab．又∵S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCB=12c2+12a（b﹣a）∴12b2+12ab=12c2+12a（b﹣a）∴a2+b2＝c2请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB＝90°．求证：a2+b2＝c2．【变式5-1】（2022春•巢湖市校级期中）学习勾股定理之后，同学们发现证明勾股定理有很多方法．某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图1点B是正方形ACDE边CD上一点，连接AB，得到直角三角形ACB，三边分别为a，b，c，将△ACB裁剪拼接至△AEF位置，如图2所示，该同学用图1、图2的面积不变证明了勾股定理．请你写出该方法证明勾股定理的过程．【变式5-2】（2021秋•朝阳区期末）【阅读理解】我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c．图中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c2+4×12ab，即（a+b）2＝c2+4×12ab，所以a2+b2＝c2．【尝试探究】美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形BCDE，其中△BCA≌△ADE，∠C＝∠D＝90°，根据拼图证明勾股定理．【定理应用】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c．求证：a2c2+a2b2＝c4﹣b4．【变式5-3】（2022春•寿光市期中）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．（1）弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理．（2）如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（粗线）的周长为24，OC＝3，求该飞镖状图案的面积．（3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，则S2＝．【题型6 直角三角形的判定】【例6】（2022春•绥宁县期中）若△ABC的三边长分别为a、b、c，下列条件中能判断△ABC是直角三角形的有（）①∠A＝∠B﹣∠C，②∠A：∠B：∠C＝3：4：5，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B=12∠C，⑤a2＝（b+c）（b﹣c），⑥a：b：c＝5：12：13．A．3个B．4个C．5个D．6个【变式6-1】（2022春•赣州月考）下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A．在△ABC中，若a=35c，b=45c．则△ABC为直角三角形B．三边长的平方之比为1：2：3C．三内角之比为3：4：5D．三边长分别为a，b，c，c＝1+n2，a＝n2﹣1，b＝2n（n＞1）【变式6-2】（2022春•汉滨区期中）若△ABC的三边长a，b，c满足（a﹣c）2＝b2﹣2ac，则（）A．∠A为直角B．∠B为直角C．∠C为直角D．△ABC不是直角三角形【变式6-3】（2022春•开州区期中）下列是直角三角形的有（）个①△ABC中a2＝c2﹣b2②△ABC的三内角之比为3：4：7③△ABC的三边平方之比为1：2：3④三角形三边之比为3：4：5A．1B．2C．3D．4【题型7 勾股数问题】【例7】（2022春•滑县月考）在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．a68101214…b815243548…c1017263750…则当a＝24时，b+c的值为（）A．162B．200C．242D．288【变式7-1】（2022•湖北）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是（结果用含m的式子表示）．【变式7-2】（2022春•白云区期末）（1）3k，4k，5k（k是正整数）是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；（2）如果a，b，c是一组勾股数，那么ak，bk，ck（k是正整数）也是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由．【变式7-3】（2022•石家庄三模）已知：整式A＝n2+1，B＝2n，C＝n2﹣1，整式C＞0．（1）当n＝1999时，写出整式A+B的值（用科学记数法表示结果）；（2）求整式A2﹣B2；（3）嘉淇发现：当n取正整数时，整式A、B、C满足一组勾股数，你认为嘉淇的发现正确吗？请说明理由．【题型8 格点图中求角的度数】【例8】（2021秋•伊川县期末）如图，正方形ABCD是由9个边长为1的小正方形组成的，点E，F均在格点（每个小正方形的顶点都是格点）上，连接AE，AF，则∠EAF的度数是．【变式8-1】（2022•惠山区一模）如图所示的网格是由相同的小正方形组成的网格，点A，B，P是网格线的交点，则∠P AB+∠PBA＝°．【变式8-2】（2022春•武侯区校级期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D，P都在格点上，连接AP，CP，CD，则∠P AB﹣∠PCD＝．【变式8-3】（2022春•孝南区期中）如图所示的网格是正方形网格，△ABC和△CDE的顶点都是网格线交点，那么∠BCA+∠DCE＝．【题型9 勾股定理及其逆定理的运用】【例9】（2021秋•蓝田县校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是CA的延长线上一点，连接BD．（1）若AC＝8，AD＝17，BD＝15，判断AB与BD的位置关系，并说明理由；（2）若∠D＝28°，∠DBC＝121°，求∠DAB的度数．【变式9-1】（2022春•陵城区期中）如图，在△ABC中，AD、BE分别为边BC、AC的中线，分别交BC、AC于点D、E．（1）若CD＝4，CE＝3，AB＝10，求证：∠C＝90°；（2）若∠C＝90°，AD＝6，BE＝8，求AB的长．【变式9-2】（2021春•当涂县期末）如图，在△ABC中．D是AB边的中点，DE⊥AB于点D，交AC于点E，且AE2﹣CE2＝BC2，（1）试说明：∠C＝90°；（2）若DE＝6，BD＝8，求CE的长．【变式9-3】（2022春•汉阳区校级月考）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，CD ＝10，AD＝10√2．（1）求四边形ABCD的面积．（2）求对角线BD的长．。

八年级数学下册第18章勾股定理 18.1 勾股定理第2课时勾股定理的应用课件

18.1 第2课时勾股定理的应用 (ɡōu ɡǔ dìnɡ lǐ)
知识(zhī shi)目标
1．理解勾股定理，会利用勾股定理解决实际问题． 2．在理解勾股定理的基础上，能将斜三角形转化为直角三角形，会利用勾股定理求斜三角形的边长．
第三页，共十九Leabharlann 。18.1 第2课时勾股定理的应用 (ɡōu ɡǔ dìnɡ lǐ)
目标突破
目标一会利用勾股定理解决(jiějué)实际问题
例 1 教材例 1 针对训练如图 18－1－2 所示，一架 2.5 米长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足到墙底端的距离为 0.7 米，如果梯子的顶端下滑 0.4 米，则梯足将向外移___0_._8___米．
图 18－1－2
第四页，共十九页。
第十七页，共十九页。
18.1 第2课时勾股定理的应用 (ɡōu ɡǔ dìnɡ lǐ)
当 BC 边上的高 AD 在△ABC 外时，如图②.
在 Rt△ACD 和 Rt△ABD 中，由勾股定理分别求得 CD＝ AC2－AD2＝ 132－122＝5， BD＝ AB2－AD2＝ 152－122＝9， ∴BC＝BD－CD＝9－5＝4， ∴△ABC 的周长＝AB＋BC＋AC＝15＋4＋13＝32. 综上所述，△ABC 的周长为 42 或 32.
18.1 第2课时勾股定理(ɡōu ɡǔ dìnɡ lǐ)的应用
解：根据题意，得△AFE≌△ADE，所以 AF＝AD＝10 cm，EF＝ED，则 EF＋EC＝CD＝8 cm. 在 Rt△ABF 中，根据勾股定理，得 AF2＝AB2＋BF2，即 102＝82＋BF2，所以 BF＝6 cm，所以 FC＝4 cm. 设 EC＝x cm，则 EF＝CD－EC＝(8－x)cm. 在 Rt△EFC 中，根据勾股定理，得 EC2＋FC2＝EF2，即 x2＋42＝(8－x)2，解得 x＝3，即 EC 的长为 3 cm.

初中数学教学设计.18.1.勾股定理

18.1 勾股定理一、教学目标知识技能：了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程；运用勾股定理进行简单的计算；运用勾股定理解释生活中的实际问题．数学思考：1．在勾股定理的探索过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想．2．通过从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，初步掌握转化和数形结合的思想方法．问题解决：1．通过拼图活动，体验数学思维的严谨性，发展形象思维．2．在探究活动中，学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探究结果．3．能运用勾股定理解决直角三角形相关的问题．情感态度：1．通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学习热情．2．在探究活动中，体验解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探索精神．3.通过研究一系列富有探究性的问题，培养学生与他人交流、合作的意识和品质．二、重难点分析教学重点：探索和证明勾股定理；勾股定理的应用．根据教材的特点，本节课从知识与方法、能力与素质的层面确定了相应的教学目标．把学生的探索和验证活动放在首位，一方面要求学生在老师的引导下自主探索，合作交流，另一方面要求学生对探究过程中用到的数学思想方法有一定的领悟和认识，达到培养能力的目的．本节课运用的教学方法是“启发探索”式，采用教师引导启发、学生独立思考、自主探究、师生讨论交流相结合的方式，为学生提供观察、思考、探索、发现的时间和空间．使学生以一个创造者或发明者的身份去探究知识，从而形成自觉实践的氛围，达到收获的目的．教学难点：用拼图的方法证明勾股定理；勾股定理在实际生活中的应用．本节课采用探究发现式教学，由浅入深，由特殊到一般地提出问题，鼓励学生采用观察分析、自主探索、合作交流的学习方法，让学生经历数学知识的形成与应用过程.三、学习者学习特征分析学生对几何图形的观察，几何图形的分析能力已初步形成。

部分学生解题思维能力比较高，能够正确归纳所学知识，通过学习小组讨论交流，能够形成解决问题的思路.现在的学生已经厌倦教师单独的说教方式，希望教师设计便于他们进行观察的几何环境，给他们自己探索、发表自己见解和展示自己才华的机会；更希望教师满足他们的创造愿望.学生已经具备一定的观察、归纳、探索和推理的能力．在小学，他们已学习了一些几何图形面积的计算方法（包括割补法），但运用面积法和割补思想解决问题的意识和能力还远远不够．部分学生听说过“勾三股四弦五”，但并没有真正认识什么是“勾股定理”．此外，学生普遍学习积极性较高，探究意识较强，课堂活动参与较主动，但合作交流能力和探究能力有待加强．四、教学过程（一）创设情境，引入新课内容：2002年世界数学家大会在我国北京召开，投影显示本届世界数学家大会的会标：会标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形，数学家曾建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号．今天我们就来一同探索勾股定理．（板书课题）（多媒体素材图片6）意图：紧扣课题，自然引入，同时渗透爱国主义教育.效果：激发起学生的求知欲和爱国热情.（二）合作交流，探索新知1．探究活动一：内容：（1）投影显示如下地板砖示意图，让学生初步观察：（2）引导学生从面积角度观察图形：问：你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？学生通过观察，归纳发现：结论1 以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积．意图：从观察实际生活中常见的地板砖入手，让学生感受到数学就在我们身边．通过对特殊情形的探究得到结论1，为探究活动二作铺垫.效果：1．探究活动一让学生独立观察，自主探究，培养独立思考的习惯和能力；2．通过探索发现，让学生得到成功体验，激发进一步探究的热情和愿望.2．探究活动二：内容：由结论1我们自然产生联想：一般的直角三角形是否也具有该性质呢？（1）观察下面两幅图：（多媒体素材图片1）（2）填表：（多媒体素材动画推导勾股定理）（3）你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流．（学生可能会做出多种方法，教师应给予充分肯定．）学生的方法可能有：方法一：如图1，将正方形C 分割为四个全等的直角三角形和一个小正方形，13132214=+⨯⨯⨯=C S ．方法二：如图2，在正方形C 外补四个全等的直角三角形，形成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，133221452=⨯⨯⨯-=C S ．方法三：如图3，正方形C 中除去中间5个小正方形外，将周围部分适当拼接可成为正方形，如图3中两块红色（或两块绿色）部分可拼成一个小正方形，按此拼法，13542=+⨯=C S ．（4）分析填表的数据，你发现了什么？学生通过分析数据，归纳出：结论2 以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积．意图：探究活动二意在让学生通过观察、计算、探讨、归纳进一步发现一般直角三角形的性质．由于正方形C 的面积计算是一个难点，为此设计了一个交流环节.效果：学生通过充分讨论探究，在突破正方形C 的面积计算这一难点后得出结论2. 3．议一议：内容：（1）你能用直角三角形的边长a 、b 、c 来表示上图中正方形的面积吗？（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？（3）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度．2中发现的规律对这个三角形仍然成立吗？勾股定理（gou-gu theorem ）：如果直角三角形两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么222c b a =+ ．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名．（在西方称为毕达哥拉斯定理）弦股勾意图：议一议意在让学生在结论2的基础上，进一步发现直角三角形三边关系，得到勾股定理.效果：1．让学生归纳表述结论，可培养学生的抽象概括能力及语言表达能力.（三）应用新知，体验成功内容：例1如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面10m处折断倒下，树顶落在离树根24m处. 大树在折断之前高多少？（教师板演解题过程）例2在△ABC中，∠C=90°(1)若a=8，b=6，则c=_________；(2)若c=20，b=12，则a=_________；(3)若a∶b=3∶4，c=10，则a=_________，b=_________.［师生共析］分析：在△ABC中，∠C=90°，所以有关系：a2+b2=c2.在此关系式中，涉及到三个量，利用方程的思想，可“知二求一”.解：根据题意可得a2+b2=c2 .(1)若a=8，b=6，所以82+62=c2.即c2=100，c＞0，所以c=10；(2)若c=20，b=12，所以a2+122=202，即a2=202－122=(20+12)(20－12)=32×8=162，a＞0，所以a=16；(3)若a∶b=3∶4，可设a=3x，b=4x，所以(3x)2+(4x)2=102.化简，得9x2+16x2=100，25x2=100，x2=4，x=2(x＞0)，所以a=3x=6；b=4x=8.评注：综合上述解法可以发现，形(即△ABC为直角三角形)与数(a2+b2=c2)的统一，所以我们说勾股定理是形与数的结合.例3有一根70 cm的木棒，要放在长、宽、高分别是50 cm、40 cm、30 cm的木箱中，能放进去吗？过程：在实际生活中，往往工程设计方案比较多，应用所学的知识进行计算方可解决，而此题正是需要我们大胆实践和创新，用我们学过的勾股定理和丰富的空间想像力来解决.我们可注意到木棒虽比木箱的各边都长，按各边的大小放不进去，但木箱是立体图形，可以利用空间的最长长度.如AC ′.结果：由下图可得，AA ′=30 cm ，A ′B ′=50 cm ，B ′C ′=40 cm.△A ′B ′C ′， △AA ′C ′都为直角三角形.由勾股定理，得A ′C ′2=A ′B ′2+B ′C ′2. 在Rt △AA ′C ′中 .AC ′最长，则 AC ′2=AA ′2+A ′B ′2+B ′C ′2=302+402+502=5000＞702.故70 cm 的棒能放入长、宽、高分别为50 cm ，40 cm ，30 cm 的大箱中.练习：1、基础巩固练习：（口答）求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度：2、生活中的应用：小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机. 小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了．你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？（多媒体素材图片3）意图：练习第1题是勾股定理的直接运用，意在巩固基础知识．效果：例题和练习第2题是实际应用问题，体现了数学来源于生活，又服务于生活，意在培养学生“用数学”的意识．运用数学知识解决实际问题是数学教学的重要内容.?225100x1517（四）课堂小结，体验收获内容：教师提问：1．这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？ 2．对这些内容你有什么体会？请与你的同伴交流．在学生自由发言的基础上，师生共同总结：1．知识：勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么222c b a =+. 2．方法：① 观察—探索—猜想—验证—归纳—应用； ② 面积法；③ “割、补、拼、接”法.3．思想：① 特殊—一般—特殊； ② 数形结合思想．意图：鼓励学生积极大胆发言，可增进师生、生生之间的交流、互动．效果：通过畅谈收获和体会，意在培养学生口头表达和交流的能力，增强不断反思总结的意识.（五）拓展延伸，布置作业一、必做题: 1．填空题⑴在Rt △ABC ，∠C=90°，a=8，b=15，则c= . ⑵在Rt △ABC ，∠B=90°，a=3，b=4，则c= .⑶在Rt △ABC ，∠C=90°，c=10，a ：b=3：4，则a= ，b= . ⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 . ⑸已知直角三角形的两边长分别为3cm 和5cm ，，则第三边长为 . ⑹已知等边三角形的边长为2cm ，则它的高为，面积为 .2．已知：如图，在△ABC 中，∠C=60°，AB= 34 ，AC=4，AD 是BC 边上的高，求BC 的长.3．已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积.参考答案1．（1）17；（2）7 ；（3） 6，8；（4）6，8，10；（5） 4或 34 ；（6） 3 ，3；2．8； 3．48。

(课件1)18.1勾股定理

图1-1
图1-2
勾股定理（1）
看一看
发们映友现，直家什我角作相么们三客传？也角， 25 来形发 00 观三现年察边朋前下的友，面某家一的种用次图数砖毕案量铺达，关成哥看系的拉看，地斯你同面去能学反朋
（1）观察图2-1
C A B 图2-1 A B
比一比看看谁算得快！
5 7 25
x
20
16
x
12
x
方法小结: 可用勾股定理建立方程.
１、如图,一个高3 米,宽4 米的大门,需在相对角的顶点间加一个加固木条,则木条的长为 ( C )
A.3 米 B.4 米 C.5米 D.6米
３４
２、湖的两端有A、Ｂ两点，从与ＢA方向成直角的BC方向上的点C测得CA=130米,CB=120米, 则AB为 ( A ) A.50米 B.120米 C.100米 D.130米
图2-2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
（单位面积）
分“割”成若干个直角边为整数的三角形
C A B 图2-1 A B
S正方形c
C
1 62 2
（单位面积） 18
图2-2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
把C“补” 成边长为6的正方形面积的一半
C A B 图2-1 A B
（2）在图2-2中，正方形A，B，C中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？
国家之一。早在三千多年前，我国是最早了解勾股定理的
国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，周国家之一。早在三千多年前，朝数学家商高就提出，将一根直国家之一。早在三千多年前，尺折成一个直角，如果勾等于三，国家之一。早在三千多年前，股等于四，那么弦就等于五，即国家之一。早在三千多年前， “勾三、股四、弦五”，它被记国家之一。早在三千多年前，载于我国古代著名的数学著作国家之一。早在三千多年前《周髀算经》中。

沪科版数学八年级下册18.1《勾股定理》教学设计

沪科版数学八年级下册18.1《勾股定理》教学设计一. 教材分析《勾股定理》是沪科版数学八年级下册第18章第1节的内容。

本节主要介绍勾股定理的证明和应用。

学生通过学习本节内容，能够理解和掌握勾股定理，并能够运用勾股定理解决一些实际问题。

二. 学情分析八年级的学生已经学习了平面几何的基本概念和性质，具备了一定的逻辑思维能力和空间想象能力。

但是，对于证明勾股定理的理解可能会存在一定的困难，因此需要教师在教学过程中进行引导和解释。

三. 教学目标1.理解勾股定理的内容和证明方法。

2.能够运用勾股定理解决一些实际问题。

3.培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

四. 教学重难点1.勾股定理的证明方法的理解和应用。

2.解决实际问题时，如何运用勾股定理。

五. 教学方法1.讲授法：教师讲解勾股定理的证明方法和应用。

2.案例分析法：通过具体案例，让学生学会如何运用勾股定理解决实际问题。

3.讨论法：学生分组讨论，分享各自的解题方法和思路。

六. 教学准备1.PPT课件：包括勾股定理的证明过程和应用案例。

2.练习题：包括不同难度的练习题，用于巩固所学知识。

3.板书：勾股定理的公式和关键点。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过PPT展示勾股定理的历史背景和古希腊数学家毕达哥拉斯的故事，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）教师讲解勾股定理的证明方法，包括几何画图法和代数法。

同时，通过PPT展示勾股定理的证明过程，让学生理解和掌握证明方法。

3.操练（10分钟）学生根据PPT上的练习题，独立完成勾股定理的证明和应用。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）学生分组讨论，分享各自的解题方法和思路。

教师选取一些学生的解题过程，进行讲解和分析，巩固所学知识。

5.拓展（10分钟）教师通过PPT展示一些勾股定理的实际应用案例，让学生学会如何运用勾股定理解决实际问题。

同时，教师提出一些拓展问题，引导学生思考。

6.小结（5分钟）教师对本节课的主要内容进行总结，强调勾股定理的证明方法和应用。

十八章勾股定理全章教案

第十八章勾股定理18.1 勾股定理课时安排: 4课时第1课时 18.1 .1 勾股定理(1)三维目标一、知识与技能让学生通过观察、计算、猜想直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的结论．二、过程与方法1．在学生充分观察、归纳、猜想、探索直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想．2．在探索上述结论的过程中，发展学生归纳、概括和有条理地表达活动的过程和结论．三、情感态度与价值观1．培养学生积极参与、合作交流的意识，2．在探索勾股定理的过程中，体验获得结论的快乐，锻炼克服困难的勇气．教学重点探索直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的结论。

从而发现勾股定理．教学难点以直角三角形的边为边的正方形面积的计算．教具准备学生准备若干张方格纸。

教学过程一、创设问题情境，引入新课活动1问题1：在我国古代，人们将直角三角形中的短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦．根据我国古算书《周髀算经》记载，在约公元前1100年，人们已经知道，如果勾是三，股是四，那么弦是五，你知道是为什么吗?问题2：某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高3米，消防队员取来6.5米长的云梯，如果梯子的底部离墙基的距离是2.5米，请问消防队能否进入三楼灭火?问题3：我们再来看章头图，在下角的图案，它有什么童义?为什么选定它作为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽?二．实际操作，探索直角三角形的三边关系活动2问题1：毕达哥拉斯是古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家，相传2500年前，一次，毕达哥拉斯去朋友家作客．在宴席上，其他的宾客都在尽情欢乐，高谈阔论，只有毕达哥拉斯却看着朋友家的方砖地而发起呆来．原来，朋友家的地是用一块块直角三角形形状的砖铺成的，黑白相间，非常美观大方．主人看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪，就想过去问他．谁知毕达哥拉斯突然恍然大悟的样子，站起来，大笑着跑回家去了．同学们，我们也来观察下面图中的地面，看看你能发现什么?是否也和大哲学家有同样的发现呢?问题2：你能发现下图中等腰直角三角形ABC有什么性质吗?问题3：等腰直角三角形都有上述性质吗?观察下图，并回答问题：(1)观察图1正方形A中含有________个小方格，即A的面积是________个单位面积；正方形B中含有________个小方格，即B的面积是________个单位面积；正方形C中含有________个小方格，即C的面积是________个单位面积．(2)在图2、图3中，正方形A、B、C中各含有多少个小方格?它们的面积各是多少?你是如何得到上述结果的?与同伴交流．(3)?活动3问题1：等腰三角形有上述性质，其他的三角形也有这个性质吗?如下图，每个小方格的面积均为1，请分别计算出下图中正方形A、B、C，A'、B'、C'的面积，看看能得出什么结论．(提示：以斜边为边长的正方形的面积，等于虚线标出的正方形的面积减去四个直角三角形的面积．)问题2：给出一个边长为0.5，1.2，1.3，这种含小数的直角三角形，也满足上述结论吗?我们通过对A、B、C，A'、B'、C'几个正方形面积关系的分析可知：一般的以整数为边长的直角三角形两直角边的平方和也等于斜边的平方，一个边长为小数的直角三角形是否也有此结论?我们不妨设小方格的边长为0.1，我们不妨在你准备好的方格纸上画出一个两直角边为0,5，1.2的直角三角形来进行验证．生：也有上述结论．这一结论，在国外就叫做“毕达哥拉斯定理”，而在中国则叫做“勾股定理”．而活动1中的问题1提到的“勾三，股四，弦五”正是直角三角形三边关系的重要体现．勾股定理到底是谁最先发现的呢?我们可以自豪地说：是我们中国人最早发现的．证据就是《周髀算经》，不仅如此，我们汉代的赵爽曾用2002年在北京召开的国际数学家大会的徽标的图案证明了此结论，也正因为为了纪念这一伟大的发现而采用了此图案作徽标．下节课我们将要做更深入的研究．大哲学家毕达哥拉斯发现这一结论后，就已认识到，他的这个发现太重要了．所以，按照当时的传统，他高兴地杀了整整一百头牛来庆贺．三、例题剖析活动4问题：(1)如下图，一根旗杆在离地面9m处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前有多高?(2)求斜边长17cm，一条直角边长15cm的直角三角形的面积．解：(1)解：由勾股定理可求得旗杆断裂处到杆顶的长度是：92＋122＝15(m)；15＋9＝24(m)，所以旗杆折断之前高为24m．(2)解：另一直角边的长为172－152＝8(cm)，所以此直角三角形的面积为12×8×15＝60(cm2)．师：你能用直角三角形的三边关系解答活动1中的问题2．请同学们在小组内讨论完成．四、课时小结1．掌握勾股定理及其应用；2．会构造直角三角形，利用勾股定理解简单应用题．五.布置作业六．板书设计18．1．1勾股定理（1）第2课时勾股定理（2）三维目标一、知识与技能1．掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法．2．运用勾股定理解决一些实际问题．二、过程与方法1．经历用拼图的方法验证勾股定理，培养学生的创新能力和解决实际问题的能力．2．在拼图的过程中，鼓励学生大胆联想，培养学生数形结合的意识．三、情感态度与价值观1．利用拼图的方法验证勾股定理，是我国古代数学家的一大贡献，借助此过程对学生进行爱国主义的教育．2．经历拼图的过程，并从中获得学习数学的快乐，提高学习数学的兴趣．教学重点经历用不同的拼图方法验证勾股定理的过程，体验解决同一问题方法的多样性，进一步体会勾股定理的文化价值．教学难点经历用不同的拼图方法证明勾股定理．教具准备每个学生准备一张硬纸板．教学过程一、创设问题情境，引入新课活动1问题：我们曾学习过整式的运算，其中平方差公式(a＋b(a－b)＝a2－b2，完全平方公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2是非常重要的内容．谁还能记得当时这两个公式是如何推出的？生：这两个公式都可以用多项式乘以多项式的乘法法则推导．如下：(a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab－b2＝a2－b2，所以(a＋b)(a－b)＝a2－b2；(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2；(a－b)2＝(a－b)(a－b)＝a2－ab－ab＋b2＝a2－2ab＋b2；所以(a±b)2＝a2±2ab＋b2；生：还可以用拼图的方法说明上面的公式成立．例如：图(1)中，阴影部分的面积为a2－b2，用剪刀将(1)中的长和宽分别为(a－b)和b的长方形剪下来拼接成图(2)的形式便可得图(2)中阴影部分的面积为(a＋b)(a－b)．而这两部分面积是相等的，因此(a＋b)(a－b)＝a2－b2成立．生：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2也可以用拼图的方法，通过计算面积证明，如图(3)我们用两个边长分别a和b的正方形，两个长和宽分别a和b的长方形拼成一个边长为(a＋b)的正方形，因此这个正方形的面积为(a＋b)2，也可以表示为a2＋2ab＋b2，所以可得(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2．师：你能用类似的方法证明上一节猜想出的命题吗?二、探索研究活动2我们已用数格子的方法发现了直角三角形三边关系，拼一拼，完成下列问题：(1)在一张纸上画4个与图(4)全等的直角三角形，并把它们剪下来．(2)用这4个直角三角形拼一拼，摆一摆，看能否得到一个含有以斜边c为边长的正方形，你能利用拼图的方法，面积之间的关系说明上节课关于直角三角形三边关系的猜想吗?(3)有人利用图(4)这4个直角三角形拼出了图(5)，你能用两种方法表示大正方形的面积吗?大正方形的面积可以表示为：_______________，又可以表示为________________．对比两种衷示方法，你得到直角三角形的三边关系了吗?生：我也拼出了图(5)，而且图(5)用两种方法表示大正方形的面积分别为(a＋b)2或4× ab＋c2．由此可得(a＋b)2＝4×12 ab＋c2．化简得a2＋b2＝c2．由于图(4)的直角三角形是任意的，因此a2＋b2＝c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

八年级数学《18.1.3勾股定理》课件人教新课标版

·
2
2、请你在数轴上作出表示 13 和 17 的点
2.如图为９乘９的正方形网格以格点为端点你能画出一条长为10的线段吗?
6
8
3、邮递员从车站O正东1km的邮局A出发，先向正北走了3km到B，又向正西走了4km到 C，最后再向正南走了6km到D，那么最终该邮递员与邮局的距离为多少km？
C
B
OA D
勾股定理 (毕达哥拉斯定理)
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
c
股
弦
b
a2 + b2 = c2 a2 = c2 - b2
a勾
b2 = c2 - a2
90cm
数学就在我们身边
A
?
B
120cm
C
图1中的x等于多少? 图2中的x、y、z等于多少?
2x
1
1
图1
2z 3y
x2 1 1
图2
沿着图2继续画直角三角形,还能得到那些无理数?
2z 3y
5
x2 1
6
1
图2
利用图2你们能在数轴上画出表示 5 的点吗?请动手试一试！
怎样在数轴上画出表示 5 的点呢?
2z 3y
5
x2 1
6
1
图2
实数一一对应数轴上的点
说出下列数轴上各字母所表示的实数
A
B
C
D
-2
-1
0
1
2
点A表示 2
点C表示 1
点B表示 2 3 7
点D表示 3
• 知道为什么吗?
8 22+22 =8=( 8 2) 4.52-3.5 2= 8=( 8 ) 2

沪科版八年级数学下册_18.1 勾股定理

感悟新知
知3－练
解题秘方：紧扣“同一三角形的面积的两种表示法”求解 .
感悟新知
解法提醒
知3－练
等面积法：
用不同的方法表示同一个图形的面积.此题是典型的应
用等面积法求直角三角形斜边上高的问题.即△ ABC 的面
积既可以表示为AC2·BC ，又可以表示为AB2·CD ，再利用同一图形的面积相等解答 .
感悟新知
解：∵∠ ACB=90°， AC=3， BC=4， ∴ AB= AC2+BC2= 32+42 =5.
知3－练
∵
CD
⊥
AB，∴
S△
ABC=
1 2
AB·CD=
1 2
AC·BC，
∴ AB·CD=AC·BC，
∴
CD=
AC· BC AB
=
3×4 5
=
12 5
.
感悟新知
知3－练
例5 如图 18.1 － 4所示，∠ C=90°， AM=CM， MP ⊥ AB于点 P.
设大正方形的面积为 S，则 S=c2. 根据“ 出入相补，以盈补虚” 的原理，有
S=a2+b2，所以 a2+b2=c2
感悟新知
方法
加菲尔德总统拼图
毕达哥拉斯拼图
图形
证明
知2－讲
设梯形的面积为
S，则
S=
1 2
(a+b)
(a+b)=
1 2
a2+
1 2
b2+ab.
又
S=
1 2
ab+
1 2
ab+
所以∠ CAC′ = ∠ CAB′ + ∠ B′ AC′

2020-2021学年沪科版数学八年级下册同步课时训练：18.1 第2课时勾股定理的应用

第2课时勾股定理的应用1.《九章算术》中记载:今有户不知高、广,竿不知长、短.横之不出四尺,从之不出二尺,斜之适出.问户高、广、斜各几何.译文是:今有门,不知其高、宽,有竿,不知其长、短.横放,竿比门宽长出4尺;竖放,竿比门高长出2尺;斜放,竿与门对角线恰好相等.问门高、宽、对角线长分别是多少.若设门对角线长为x尺,则可列方程为()A.x2=(x-4)2+(x-2)2B.2x2=(x-4)2+(x-2)2C.x2=42+(x-2)2D.x2=(x-4)2+222.[2019·合肥包河区期中] 如果梯子底端离建筑物3米,那么5米长的梯子可以达到该建筑物的高度是( )A.2米B.3米C.4米D.5米3.[2019·定远月考] 如5,甲、乙两艘军舰同时从A港口出发,甲军舰以40海里/时的速度沿北偏东40°的方向航行,乙军舰以50海里/时的速度沿南偏东50°的方向航行,2小时时两军舰之间的距离是( )A.10√41海里B.20√41海里C.60海里D.90海里4.如6,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙脚的距离为0.7米,顶端距离地面2.4米,如果保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面2米,那么小巷的宽度为( )A.0.7米B.1.5米C.2.2米D.2.4米5.如7,王大伯家屋后有一块长12 m,宽8 m的长方形空地,他在以长边BC为直径的半圆内种菜,他家养的一只羊平时拴在A处的一棵树上,为了不让羊吃到菜,拴羊的绳长可以选用( )A.9 mB.7 mC.5 mD.3 m6.如0,笔直的公路上A,B两点相距25 km,C,D为两村庄,DA⊥AB于点A,CB⊥AB于点B,已知DA=15 km,CB=10 km,现在要在公路的AB段上建一个土特产品收购站E,使得C,D两村到收购站E的距离相等,则收购站E离点A的距离为( )A.5 kmB.10 kmC.12.5 kmD.15 km7.如2,游泳员小明横渡一条河,由于水流的影响,实际上岸地点C偏离欲达到点B60米,结果他在水中实际游了100米,则这条河的宽度为米.8.[教材练习第2题变式] 某楼梯的侧面如3所示,其中AB=4米,∠BAC=30°,∠C=90°,因某种活动要求铺设红色地毯,则在AB段楼梯所铺地毯的长度为米.9.今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺.引葭赴岸,适与岸齐.问水深、葭长各几何. 翻译成数学问题是:如4,有一个水池,水面是一个边长为10尺的正方形,在水池正中央有一根芦苇,它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点,它的顶端恰好到达池边的水面.水的深度与这根芦苇的长度分别是多少?10.[2019·淮南西部期中] 如8,长为24 cm的弹性皮筋绷直放置在直线l上,固定两端A和B,然后把中点C向上拉升5 cm到点D,则弹性皮筋被拉长了cm.11.[教材例1变式] 如9所示,一架长为2.5 m的梯子斜靠在竖直的墙上,这时梯子的底端距离墙底0.7 m,求梯子顶端离地多少米.如果梯子顶端沿墙下滑0.4 m,那么梯子底端将向左滑动多少米?12.如1,长方体的长为15,宽为10,高为20,点B到点C的距离是5,如果一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短路程是.13.[2019·河北] 勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系,并标示了A,B,C三地的坐标,数据如2(单位: km)所示.笔直铁路经过A,B两地.(1)A,B间的距离为km;(2)计划修一条从C到铁路AB的最短公路l,并在l上建一个维修站D,使D到A,C 的距离相等,则C,D间的距离为km.14.[2019·合肥蜀山区一模] 如3,A,B,D三地在同一直线上,C在A的北偏东45°方向,在B的北偏西30°方向,A在B的北偏西75°方向,且DA=DC=100 km,求B 与C之间的距离.15.如4,A城气象台测得台风中心在A城正西方向320 km的B处,以每小时40 km的速度沿北偏东60°的BF方向移动,距离台风中心200 km的范围内是受台风影响的区域.(1)A城是否受到这次台风的影响?为什么?(2)若A城受到这次台风的影响,则A城遭受这次台风影响的时间有多长?教师详解详析第2课时勾股定理的应用1.A2.C [解析] 由勾股定理,可知梯子可以达到的高度为√52-32=4(米).故选C.3.80 [解析] 由勾股定理,得AB=√AC2-BC2=√1002-602=80.4.(2√3+2) [解析] ∵∠BAC=30°,∠C=90°,AB=2米,∴BC=12∴AC=√42-22=2√3(米),则地毯的长度=AC+BC=(2√3+2)米.5.解:设水的深度为x尺.根据勾股定理,得x2+102=(x+1)2,解得x=12.212+1=13(尺).答:水的深度为12尺,这根芦苇的长度为13尺.6.B [解析] 由题意,知∠BAC=90°,AB=2×40=80(海里),AC=2×50=100(海里), 则BC=√802+1002=20√41(海里).故选B.7.C [解析] 如图,在Rt△ACB中,∵∠ACB=90°,BC=0.7米,AC=2.4米,∴AB2=0.72+2.42=6.25.在Rt△A'BD中,∵∠A'DB=90°,A'D=2米,BD2+A'D2=A'B2,∴BD2+22=6.25,∴BD2=2.25.∵BD>0,∴BD=1.5米,∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2(米).故选C.8.D [解析] 连接OA,交半圆O于点E.在Rt△OAB中,OB=6,AB=8,所以OA=√OB2+AB2=10.又因为OE=OB=6,所以AE=OA-OE=4.因此选用的绳长应该不大于4 m.故选D.9.2 [解析] ∵C是AB的中点,∴AC=BC=1AB=12 cm.∵DC⊥AB,2∴AD=√AC2+CD2=√122+52=13(cm),BD=√BC2+CD2=√122+52=13(cm),∴AD+BD=26 cm,∴弹性皮筋被拉长了26-24=2(cm).10.解:由题意可得AB=2.5 m,AO=0.7 m,∴BO=√2.52-0.72=2.4(m),∴梯子顶端离地2.4 m.∵梯子顶端沿墙下滑0.4 m,∴DO=2 m.∵CD=2.5 m,∴CO=√2.52-22=1.5(m),∴AC=CO-AO=1.5-0.7=0.8(m),∴梯子底端将向左滑动0.8 m.11.B [解析] 由题意知DE=CE.∵DA⊥AB,CB⊥AB,∴∠A=∠B=90°,∴AE2+AD2=DE2,BE2+BC2=CE2,∴AE2+AD2=BE2+BC2.设AE=x,则BE=AB-AE=25-x,∴x2+152=(25-x)2+102,解得x=10,∴AE=10 km,即收购站E应建在离点A10 km处.故选B.12.25 [解析] 把长方体的右侧表面剪开与前面这个面形成一个长方形,如图①.由题意,得长方体的宽为10,高为20,点B到点C的距离是5,则BD=CD+BC=10+5=15,AD=20.在Rt△ABD中,根据勾股定理,得AB=√BD2+AD2=√152+202=25.把长方体的右侧表面剪开与上面这个面形成一个长方形,如图②.由题意,知长方体的宽为10,高为20,点B到点C的距离是5,则BD=CD+BC=20+5=25,AD=10.在Rt△ABD中,根据勾股定理,得AB=√BD2+AD2=√252+102=5√29.把长方体的上底面剪开与后面这个面形成一个长方形,如图③.由题意,得长方体的宽为10,高为20,点B到点C的距离是5,则AC=CD+AD=10+20=30.在Rt△ABC中,根据勾股定理,得AB=√AC2+BC2=√302+52=5√37.因为25<5√29<5√37.所以蚂蚁爬行的最短路程是25.13.(1)20 (2)13[解析] (1)由A,B两点的纵坐标相等,可知AB∥x轴,∴AB=12-(-8)=20.(2)过点C 作l⊥AB于点E,连接AC,作AC的垂直平分线交直线l于点D,由(1)可知CE=1-(-17)=18,AE=12,设CD=x,则AD=CD=x,由勾股定理可知:x2=(18-x)2+122,解得x=13,即CD=13.14.解:如图,过点C作CE⊥AB于点E.由题意,知∠ABC=75°-30°=45°,∠BAC=180°-45°-75°=60°.AD=50 km,AC= 100 km, 又∵DA=DC=100 km,∴△ACD是等边三角形,∴AE=12∴CE=√AC2-AE2=√1002-502=50√3(km),∴BE=50√3km,∴BC=√CE2+BE2=√(50√3)2+(50√3)2=50√6(km),即B与C之间的距离为50√6km.15.解:(1)A城受到这次台风的影响.理由:如图,过点A向BF作垂线,垂足为C.因为在Rt△ABC中,∠ABC=30°,AB=320 km,所以AC=160 km.因为160<200,所以A城受到这次台风的影响.(2)以点A为圆心,200 km长为半径作弧,交BF于点D,G,则AD=AG,所以△ADG 是等腰三角形.因为AC⊥BF,所以AC是DG的垂直平分线,CD=GC.在Rt△ADC中,AD=200 km,AC=160 km,由勾股定理,得CD=√AD2-AC2=√2002-1602=120(km), 则DG=2CD=240 km,所以A城遭受这次台风影响的时间是240÷40=6(时).。

18.1.1勾股定理(含探究1、2共3课时)上课用

a
a b
c
c b
a
3.猜想a、b、c 之间的关系？
a
用拼图法证明
b
a b c
b c
a2 +b2 =c2
a
c b a
S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形
勾股定理(毕达哥拉斯定理) （gou－gu theorem）
命题1 如果直角三角形两直角边分别为a， b，斜边为c，那么
a 勾
股 b 弦 c
B
E
C
1 1 1 2 ab ab c 梯形ABCD的面积＝ 2 2 2 1 1 1 1 2 (a b)( a b) ab ab c ∴ 2 2 2 2
∴
a 2 b2 c 2
再见
9、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于５５cm，１０cm和６cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物。请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？
A A
B
C
B
二、圆柱(锥)中的最值问题
例2、有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？
方法小结
(4) 已知: a:b=3:4, c=15,求a、b.
(1)在直角三角形中,已知两边,可求第三边;
(2)可用勾股定理建立方程.
试一试:
１、如图:一个高3 米,宽4 米的大门,需在相对角的顶点间加一个加固木板,则木板的长为 ( C ) A.3 米 B.4 米 C.5米 D.6米
３４
试一试:
A

八年级数学下册第18章勾股定理18.1勾股定理第2课时勾股定理的应用教案新版沪科版

第18章勾股定理18. 1勾股定理第2课时勾股定理的应用敦字目析【知识与技能】掌握勾股定理在实际问题中的应用【过程与方法】通过勾股定理在实际问题中的应用，感受勾股定理的应用方法【惜感态度】培养良好的思维意识，开展数学理念，体会勾股定理的应用价值【教学重点】勾股定理的实际应用【教学难点】勾股定理的灵活应用教字国皑一、创设情境，导入新课1 .如图，在学校有一块长方形草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路"，他们少走了多少路？B 4m C2.勾股定理在实际的生产生活当中有假设广泛的应用.勾股定理的发现和使用解决了许多生活中的问题，今天我们就来运用勾股定理解决一些问题，你可以吗？试一试.【教学说明】通过一个实际例了•引入新课，激发学生的探究兴趣•诃以让学生自主完成这个向题，体会数学与实际生活的紧密联系.二、例如讲解，掌握新知例1如图一圆柱体的底面周长为20m,高AB为4un, BC点A出发，沿假设园柱的侧面爬行到点C,试求出爬行的最短路程.【分析】蚂蚊实际上是在圆柱的半个例面内爬行.大家用一张门纸卷折圆柱成倒柱形状. 标出A、B、C、D各点，然后翻开，蚂蚁在网柱上爬行的距离，与在平面纸上的距离一样.AC 之间的最短距离是什么？根据是什么？（学生FH答〉B ------------ 不-----------------A D根据“两点之间，线段最短二所求的最短路程就是伸J面展开图矩形ABCD对角线AC之AC的长解:如图，在R5ABC中,既=底面如长的一半=10cm.根据勾股定理得（提示：勾股VAC=AB2+BC2= >/42 + 102=2 V29 ««10. 77 （cm）（勾股定理）・答：最短路程约为10.77cm.【教学说明】通过动手作模型,培养学生的动手、动脑能力，解决“学生空间想像能力有限.想不到蚂蚁爬行的路径”的难题，从而突破难点.例2 一辆装满货物的卡车，其外形高米，宽米，要开进厂门形状如图的某工厂，何这辆卡车能否通过该工厂的厂门.K•车位于厂门正中间时其高度是否小于CH•如下图，点D在离厂门中线0. 8米处，且CD1AB,与地面交于H.解:OC=1米（大门宽度一半）,米（卡车宽度一半）在RtAOCD中，由勾股定理得CD= yloC'OD' =] 一（）忘米，CH=0.6+2.3=2.9 （米）＞2.5 （米）.因此高度上有米的余屈.所以卡车能通过厂门.【教学说明】利用多媒体设务演示卡车通过厂门正中间时的过程（在几何画板上曲iK•车，矩形的上下可调）.让学生通过观察，找到需要计算的线段CH、CD及CD所在的直角三角形OCD,将实际问题转化为应用勾股定理解宜角三角形的数学何题.三、练习反应，稳固提高1.A、B, C、D的边K分别是3、5、2、3.那么最大正方形E的面积是（）2.图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.在RtAABC中,假设直角边AC=6, BC=6.将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍•得到图乙所示的“数学风车”•那么这个风车的外围周长（图乙中的实线）是 ________ .图甲图乙万 /) I3.如图,等腰中，AB=AC, ADAB=5cm. BC=6cm,那么AD= __________________________ cm.4.有一个高为L5m,半径是Im的那么柱形油桶・0.5m,何这根铁棒有多长？4 .解答：设伸入油桶中的长度为xm .那么最H时：lv=2. 5.・•・最长是2.5*0. 5=3 (m)・最短时:x=L5...•最短是1.5>0.5=2 (m)・答：这根铁棒的长应在2〜3m之间.【教学说明】第2题学牛.理解起来有•定的困难，教师要提能学生如何利用勾股定理解决问题，第4题要提示学生什么时候最短，什么时候最长.从而求出范围.四、师生互动，课堂小靖本节课我们学习了应用勾股定理来解决实际问题.在实际当中.长度计算是一个根本问题，而长度计算中应用最多、最根本的就是解直角三角形，利用勾股定理两边求笫三边, 我们要掌握好这一有力工具.【教学说明】通过感悟与反思的环节,使学生对勾股定理有更深刻的了解，让学生感受到数学来源于生活又应用于生活.气"谢后作业完成同步练习册中本课时的练习.•》教亨反思本节从生动有趣的问题情景出发，通过学生自主探尤，运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际向题，既稳固了根本知识点，乂在将实际问题转化抽象成儿何图形的过程中，学会观察，提高分析能力，渗透数学建模思想.在教学中教师应通过情景创设.激发兴趣，鼓励引导学生经历探索过程，得出结论，从而开展学生的数学应用能力.提高学生解决实际问题的能力.在教学过程中应关注学生的参与程度,关注活动中所反映出的思维水平，关注对实际问题的理解水平，关注学生对根本知识的擎握情况和应用勾股定理及逆定理解决实际问题的意识和能力.在教学过程中球重学生的个体差异，对于学生的答复教师应绐予恰当的评价与鼓励，并带助学生树立学习数学的臼信，充分发挥教育的价值.。

18.1.1.探究勾股定理(讲课用)公开课

R
32+42=52 ∴ a2+b2=c2
猜想:两直角边如果是a、b，斜边为c ， a、b、 C之间有什么关系？
探究与猜想
c a
b
如何证明这个命题？
a2+b2=c2
2 2
命题1 如果直角三角形的两直角边长分别为a, b, 斜边长为c, 那么a b c .
2
看课本P71-72页阅读与思考，小组讨论得出一种证明方法！看哪小组最先研究明白一种证法！！！
现实中你是谁？
☞
如图，学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花园内走出了一条“路”，仅仅少走了____步路, 却 4 踩伤了花草。（假设1米为2步） 4米 B C 5米 “路” 3米
A
几何画板演示
1、勾股定理：
勾股定理 : 如果直角三角形的两直角边长分
2 2 2
别为a,b,斜边长为c,那么a + b = c .
学习重点：
体验勾股定理的发现过程和运用勾股定理解决简单问题.
学习难点：
利用方格纸计算面积发现并证明勾股定理的方法.
勾股世界
两千多年前，古希腊有个哥拉两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此学派，他们首先发现了勾股定理，因此在在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955 理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年年希腊曾经发行了一枚纪念票。希腊曾经发行了一枚纪念邮票。
2
所以，在直角三角形中已知任意两条边都可求出第三条边。
18
勾股定理
作
业
习题18.1
1.2.3.10

冀教版八年级数学上册 (勾股定理)教育课件(第2课时)

D
CD长为3尺，点B被红莲吹斜后花朵的位置，
BC部分长6尺.设水深AC为x尺.
C
B 在Rt△ABC中，
∴AC2+BC2=AB2（勾股定理）.
又∵AB=AD=（x+3）尺,
A
∴（x+3）2=x2+62，化简解得x=4.5.
答：湖水深4.5尺.
知识讲解
归纳：勾股定理的实际应用的一般步骤：
（1）读懂题意，分析已知、未知间的关系；（2）构造直角三角形；（3）利用Leabharlann 股定理等列方程；（4）解决实际问题.
A.54cm2 B.108cm2 C.180cm2 D.90cm2
随堂训练
3.如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，图中有几个直
角三角形，你是如何判断的？与你的同伴交流. A 解: 由题意可知△ABE，△DEF，
E
D
F
△FCB均为直角三角形.
B
C
由勾股定理，知 BE2=22+42=20，
能够成为直角三角形三条边长的三个正整数
建模思想，即将实际问题转化为数学问题
障碍后又往西走2 m,再转向北走4.5 m处,往东一拐,仅走0.5 m就到达了
B点.A,B两点间的距离是多少?
解:如图所示,过点B作BC⊥AD于C, 由题知AC=4-2+0.5=2.5(m), BC=4.5+1.5=6(m),在直角三角形ABC中,AB为斜边, 则AB= AC 2 BC 2 13 m.
把一根长绳上打13个等距的结,然后以3个结间距，4个结间
距，5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一
个角便是直角.
（1）（13（）12）

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13
13
H
B
10
DCBiblioteka 15 9 144 12
2 2
?
米
例1、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米。飞机每时飞行多少千米？ 3000米 B C 20秒后
4000米 A
5000米
2. 一高为2.5米的木梯,架在高为2.4米的墙上(如图),这时梯脚与墙的距离是多少?
A
0.7米
B
C
3、蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一共爬了多少厘米？（小方格的边长为1厘米）
A
G
提示
构造直角三角形
5
B
E
13
C
F
10
D
4.在 ABC中, ∠C=90°,AC=6,CB=8,
24 则ABC面积为_____,斜边为上的高 4.8 为______. A
D
C
B
5、在等腰△ABC中,AB＝AC＝13cm , BC=10cm,求△ABC的面积及腰上的高 A
1、判断题. （1）ABC的两边AB=5,AC=12,则 BC=13 ( ) （2） ABC的a=6,b=8,则c=10 ( ) 2、已知：∠C＝90°，a：b＝3：4， c＝10，求a和b

a=6，b=8
3、已知： c ＝13，a＝5，求阴影面积.
a
c
直径b=
13 5
2
2
144 12 1 2 面积s= 6 2 = 18
４、已知：Rt△ＡBC中，AB＝４， AC＝３，则BC的长为 5 或 7 .
B B
4
C
4
A A
3
3
C
24m 9m
5、如图，大风将一根木制旗杆吹裂，随时都可能倒下，十分危急。接警后“119” 迅速赶到现场，并决定从断裂处将旗杆折断。现在需要划出一个安全警戒区域，那么你能确定这个安全区域的半径至少是多少米吗？