正态分布的特征函数推导

正态分布的特征函数推导
1.前言
正态分布是概率论中最为重要的一种分布，具有丰富的应用。

在实际问题中，很多现象都具有正态分布的特征，如人们的身高、体重、智力、工资等等。

在统计学、金融学、物理学、工程学等领域，正态分布都是经常用到的。

本篇文章将主要介绍正态分布的特征函数及其推导过程。

2.正态分布的概念
正态分布，也称为高斯分布或钟形曲线，是连续概率分布的一种。

正态分布的概率密度函数为：
$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-
\frac{1}{2}(\frac{x-\mu}{\sigma})^2}$$
其中，$\mu$是分布的均值，$\sigma$是分布的标准差。

正态分布有以下几个重要的性质：
1.正态分布的概率密度函数是对称的，关于均值对称。

2.正态分布的曲线在均值处有一个峰值，且随着距离均值越远，曲线愈来愈平。

3.标准正态分布是一种特殊的正态分布，其均值为0，标准差为1。

3.特征函数的概念
在概率论中，特征函数是一个随机变量的复数值函数，它唯一地决定这个变量的分布。

特征函数的定义如下：
设$X$是一个随机变量，其概率密度函数为$f(x)$，则$X$的特征函数为：
$$\phi_X(t)=E[e^{itX}]=\int_{-
\infty}^{+\infty}e^{itx}f(x)dx$$
其中，$i$是虚数单位。

4.正态分布的特征函数
对于正态分布$N(\mu,\sigma^2)$，其特征函数为：
$$\begin{aligned}
\phi_X(t)&=E[e^{itX}]\\
&=\int_{-
\infty}^{+\infty}e^{itx}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-
\frac{1}{2}(\frac{x-\mu}{\sigma})^2}dx\\
&=\int_{-
\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-
\frac{1}{2}(\frac{x-\mu}{\sigma})^2+itx}dx\\
\end{aligned}$$
现在考虑将被积函数中的指数函数进行配方变形，使得指数函数中不再含有$x$的二次项：
$$\begin{aligned}
&-\frac{1}{2}(\frac{x-\mu}{\sigma})^2+itx\\
=&-\frac{x^2-2x\mu+\mu^2-2it\sigma^2x}{2\sigma^2}\\
=&-\frac{1}{2\sigma^2}(x^2-2x\mu+\mu^2-
2it\sigma^2x+2it\sigma^2\mu^2-2it\sigma^2\mu^2)\\
=&-\frac{1}{2\sigma^2}((x-\mu-
it\sigma^2)^2+(2it\sigma^2\mu-\mu^2))\\
=&-\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu-it\sigma^2)^2-
\frac{it\mu^2}{\sigma^2}+it^2\sigma^2/2
\end{aligned}$$
将配方后的指数函数代入特征函数式中：
$$\begin{aligned}
\phi_X(t)&=\int_{-
\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{(-
\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu-it\sigma^2)^2)}\cdot e^{(-
\frac{it\mu^2}{\sigma^2}+\frac{it^2\sigma^2}{2})}dx\\ &=e^{(-\frac{it\mu^2}{\sigma^2}+\frac{it^2\sigma^2}{2})} \cdot\int_{-
\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{(-
\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu-it\sigma^2)^2)}dx\\
&=e^{(-\frac{it\mu^2}{\sigma^2}+\frac{it^2\sigma^2}{2})} \end{aligned}$$
由此，我们得到了正态分布的特征函数：
$$\phi_X(t)=e^{(-
\frac{it\mu^2}{\sigma^2}+\frac{it^2\sigma^2}{2})}$$
5.结论
本文介绍了正态分布的特征函数及其推导过程。

正态分布的特征函数是$e^{(-
\frac{it\mu^2}{\sigma^2}+\frac{it^2\sigma^2}{2})}$，它是一个复数值函数，唯一地决定了正态分布的分布特征。

特征函数在概率论中具有重要的应用价值，可以用来求解随机变量的各类统计量，以及推导中心极限定理等重要结论。