山东省淄博市张店区中考数学一模试卷

中考数学一模试卷
题号一二三总分
得分
一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）
1.-3的倒数是（ ）
A. -3
B. 3
C.
D. -
2.下列运算正确的是（ ）
A. （-x2）3=-x5
B. x2+x3=x5
C. x3•x4=x7
D. 2x3-x3=1
3.下列图形中的五边形ABCDE都是正五边形，则这些图形中的轴对称图形有（ ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
4.关于代数式x+的结果，下列说法一定正确的是（ ）
A. 比x大
B. 比x小
C. 比大
D. 比小
5.分式方程=0的解是（ ）
A. -1
B. 1
C. ±1
D. 无解
6.如果点（3，-4）在反比例函数y=的图象上，那么下列各点中，在此图象上的是（
）
A. （3，4）
B. （-2，-6）
C. （-2，6）
D. （-3，-4）
7.在平面内，将一个直角三角板按如图所示摆放在一组平
行线上；若∠1=55°，则∠2的度数是（ ）
A. 50°
B. 45°
C. 40°
D. 35°
8.如图，△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=3，若用科学计算
器求∠A的度数，并用“度、分、秒”为单位表示出这个度
数，则下列按键顺序正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
9.若以二元一次方程x+2y-b=0的解为坐标的点（x，y）都在直线y=-x+b-1上，则常
数b=（ ）
A. B. 2 C. -1 D. 1
10.如图，从一块半径为2m的圆形铁皮上剪出一个半径为
2m的扇形，则此扇形围成的圆锥的侧面积为（ ）
A. 2πm2
B.
C. πm2
D.
11.从淄博汽车站到银泰城有甲，乙，丙三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三
条线路上的公交车从淄博汽车站到银泰城的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：
线路/公交车用时
30≤t≤3535≤t≤4040≤t≤4545≤t≤50合计的频数/公交车用
时
甲59151166124500
乙5050122278500
丙4526516723500
早高峰期间，乘坐线路上的公交车，从淄博汽车站到银泰城“用时不超过45分钟”
的可能性最大．（ ）
A. 甲
B. 乙
C. 丙
D. 无法确定
12.如图，曲线C2是双曲线C1：y=（x＞0）绕原点O
逆时针旋转60°得到的图形，P是曲线C2上任意
一点，点A在直线l：y=x上，且PA=PO，则△POA
的面积等于（ ）
A.
B. 6
C. 3
D. 12
二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）
13.9的平方根是______．
14.如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE
的面积为2，则△ABC的面积为______．
15.若实数a≠b，且a、b满足a2-5a+3=0，b2-5b+3=0，则代数式a2-6a-b的值为______．
16.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E、F分别在BC
、CD上，若AE=，∠EAF=45°，则AF的长为______．
17.高斯函数[x]，也称为取整函数，即[x]表示不超过X的最大
整数．例如：[2.3]=2，[-1.5]=-2．则下列结论：
①[-2.1]+[1]=-2；②[x]+[-x]=0；③若[x+1]=3，则x的取值范围是2≤x≤3；④当-1≤x＜
1时，[x+1]+[-x+1]的值为1、2．其中正确的结论有______．（写出所有正解结论的序号）
三、解答题（本大题共7小题，共52.0分）
18.计算：-2cos45°+（）-1-（π-1）0
19.【问题呈现】如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点D，N和E，C，DN
和EC相交于点P，求tan∠CPN的值．
【方法归纳】求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形．观察发现问题中∠CPN不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点M，N，可得MN∥EC，则∠DNM=∠CPN，连接DM ，那么∠CPN就变换到Rt△DMN中．
【问题解决】（1）直接写出图1中tan∠CPN的值为______；
（2）如图2，在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P，求cos∠CPN的值．
20.某校八年级甲、乙两班各有学生50人，为了了解这两个班学生身体素质情况，进
行了抽样调查，过程如下，请补充完整．
（1）收集数据
从甲、乙两个班各随机抽取10名学生进行身体素质测试，测试成绩（百分制）如下：
甲班65 75 75 80 60 50 75 90 85 65
乙班90 55 80 70 55 70 95 80 65 70
（2）整理描述数据
按如下分数段整理、描述这两组样本数据：
成绩x
50≤x＜6060≤x＜7070≤x＜8080≤x＜9090≤x≤100人数
班级
甲班13321
乙班21m2n
在表中：m =______，n=______．
（3）分析数据
①两组样本数据的平均数、中位数、众数如表所示：
班级平均数中位数众数
甲班72x75
乙班7270y
在表中：x =______，y=______．
②若规定测试成绩在80分（含80分）以上的学生身体素质为优秀，请估计乙班50
名学生中身体素质为优秀的学生有______人．
③现从甲班指定的2名学生（1男1女），乙班指定的3名学生（2男1女）中分
别抽取1名学生去参加上级部门组织的身体素质测试，用树状图和列表法求抽到的2名同学是1男1女的概率．
21.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象经过点A（-2，6），且与x
轴相交于点B，与正比例函数y=3x的图象相交于点C，点C的横坐标为1．
（1）求k、b的值；
（2）请直接写出不等式kx+b-3x＞0的解集．
（3）若点D在y轴上，且满足S△BCD=2S△BOC，求点D的坐标．
22.随着经济水平的不断提升，越来越多的人选择到电影院去观看电影，体验视觉盛宴
，并且更多的人通过淘票票，猫眼等网上平台购票，快捷且享受更多优惠，电影票价格也越来越便宜．2018年从网上平台购买5张电影票的费用比在现场购买3张电影票的费用少10元，从网上平台购买4张电影票的费用和现场购买2张电影票的费用共为190元．
（1）请问2018年在网上平台购票和现场购票的每张电影票的价格各为多少元？
（2）2019年“元旦”当天，南坪上海城的“华谊兄弟影院”按照2018年在网上平台购票和现场购票的电影票的价格进行销售，当天网上和现场售出电影票总票数为600张．“元旦”假期刚过，观影人数出现下降，于是该影院决定将1月2日的现场购票的价格下调，网上购票价格保持不变，结果发现现场购票每张电影票的价格每降价0.5元，则当天总票数比“元旦”当天总票数增加4张，经统计，1月2
日的总票数中有通过网上平台售出，其余均由电影院现场售出，且当天票房总收
益为19800元，请问该电影院在1月2日当天现场购票每张电影票的价格下调了多少元？
23.如图①，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点E，AB=AC=BD，点M为BC中点，N
为线段AM上的点，且MB=MN．
（1）求证：BN平分∠ABE；
（2）若BD=1，连结DN，当四边形DNBC为平行四边形时，求线段BC的长；
（3）如图②，若点F为AB的中点，连结FN、FM，求证：△MFN∽△BDC．
24.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=a（x-1）（x-5）（a＞0）的图象与x轴
交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于P点，过其顶点C作直线CH⊥x 轴于点H．
（1）若∠APB=30°，请直接写出满足条件的点P的坐标；
（2）当∠APB最大时，请求出a的值；
（3）点P、O、C、B能否在同一个圆上？若能，请求出a的值，若不能，请说明理由．
（4）若a=，在对称轴HC上是否存在一点Q，使∠AQP=∠ABP？若存在，请直接
写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：-3的倒数是-，
故选：D．
根据乘积为的1两个数互为倒数，可得到一个数的倒数．
本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A、（-x2）3=-x6，此选项错误；
B、x2、x3不是同类项，不能合并，此选项错误；
C、x3•x4=x7，此选项正确；
D、2x3-x3=x3，此选项错误；
故选：C．
分别根据幂的乘方、同类项概念、同底数幂相乘及合并同类项法则逐一计算即可判断．本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握幂的乘方、同类项概念、同底数幂相乘及合并同类项法则．
3.【答案】D
【解析】解：如图所示：直线l即为各图形的对称轴．
，
故选：D．
直接利用轴对称图形的性质画出对称轴得出答案．
此题主要考查了轴对称图形，正确把握轴对称图形的定义是解题关键．
4.【答案】A
【解析】解：∵＞0，
∴代数式x+的结果比x大，
故选：A．
根据不等式的性质即可求出答案．
本题考查代数式，解题的关键是熟练运用不等式的性质，本题属于基础题型．
5.【答案】B
【解析】解：两边都乘以x+1，得：x2-1=0，
解得：x=1或x=-1，
当x=1时，x+1≠0，是方程的解；
当x=-1时，x+1=0，是方程的增根，舍去；
所以原分式方程的解为x=1，
故选：B．
根据解分式方程的步骤计算可得．
本题主要考查分式方程的解，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤．
6.【答案】C
【解析】解：因为点（3，-4）在反比例函数y=的图象上，k=3×（-4）=-12；
符合此条件的只有C：k=-2×6=-12．
故选：C．
将（3，-4）代入y=即可求出k的值，再根据k=xy解答即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上．
7.【答案】D
【解析】解：由题意可得：∠1=∠3=55°，
∠2=∠4=90°-55°=35°．
故选：D．
直接利用平行线的性质结合已知直角得出∠2的度数．
此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠3的度数是解题关
键．
8.【答案】D
【解析】解：由tan∠A=，得
tan∠A=．
故选：D．
根据正切函数的定义，可得tan∠A=，根据计算器的应用，可得答案．
本题考查了计算器，利用了锐角三角函数，计算器的应用，熟练应用计算器是解题关键．
9.【答案】B
【解析】解：因为以二元一次方程x+2y-b=0的解为坐标的点（x，y）都在直线y=-x+b-1
上，
直线解析式乘以2得2y=-x+2b-2，变形为：x+2y-2b+2=0
所以-b=-2b+2，
解得：b=2，
故选：B．
直线解析式乘以2后和方程联立解答即可．
此题考查一次函数与二元一次方程问题，关键是直线解析式乘以2后和方程联立解答．10.【答案】A
【解析】解：如图：连接OA，OB，作OD⊥AB于点D，
由题意知：AB=2，OA=OB=2，
所以AD=，
∴∠BAO=30°，
∴∠BAC=60°，
∴扇形面积为：=2π，
故选：A．
根据题意求得扇形的圆心角的度数，然后利用扇形面积公式求解即可．
本题考查了圆锥的计算，解题的关键是求得扇形的圆心角，难度不大．
11.【答案】C
【解析】解：∵甲线路公交车用时不超过45分钟的可能性为=0.752，
乙线路公交车用时不超过45分钟的可能性为=0.444，
丙线路公交车用时不超过45分钟的可能性为=0.954，
∵0.954＞0.752＞0.444，
∴应选择线路丙；
故选：C．
分别计算出用时不超过45分钟的可能性大小，再进行比较即可得出答案．
本题主要考查了树状图法求概率以及可能性大小，解题的关键是掌握频数估计概率思想的运用．
12.【答案】B
【解析】解：如图，将C2及直线y=x绕点O逆时针旋转30°，则得到双曲线C3，直线l与y轴重合．
双曲线C3，的解析式为y=-，
过点P作PB⊥y轴于点B
∵PA=PO
∴B为OA中点．
∴S△PAB=S△POB
由反比例函数比例系数k的性质，S△POB=3
∴△POA的面积是6
故选：B．
将双曲线逆时针旋转使得l与y轴重合，等腰三角形△PAO的底边在y轴上，应用反比例函数比例系数k的性质解答问题．
本题为反比例函数综合题，考查了反比例函数的轴对称性以及反比例函数比例系数k的几何意义．．
13.【答案】±3
【解析】解：∵±3的平方是9，
∴9的平方根是±3．
故答案为：±3．
直接利用平方根的定义计算即可．
此题主要考查了平方根的定义，要注意：一个非负数的平方根有两个，互为相反数，正值为算术平方根．
14.【答案】8
【解析】解：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DE=BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴=（）2，
∵S△ADE=2，
∴S△ABC=4S△ADE=4×2=8．
故答案为：8．
根据相似三角形的判定与性质即可求出答案．
本题考查相似三角形的性质，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．
15.【答案】-8
【解析】解：∵实数a，b满足a2-5a+3=0，b2-5b+3=0，
∴a、b是关于x的一元二次方程x2-5x+3=0的两个实数根，
则a+b=5、ab=3，
∴原式=-3-5=-8，
故答案为：-8．
由题意知a、b是关于x的一元二次方程x2-5x+3=0的两个实数根，则a+b=5、即可得到结论．
本题主要考查了根与系数关系、整体代入的思想，解题的关键是学会转化的思想，把问题转化为一元二次方程解决，学会利用公式恒等变形，属于中考常考题型．
16.【答案】
【解析】解：取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND=DF，设DF=DN=x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠BAD=∠B=90°，AD=BC=4，
∴NF=x，AN=4-x，
∵AB=2，
∴AM=BM=1，
∵AE=，AB=2，
∴BE=1，
∴ME==，
∵∠EAF=45°，
∴∠MAE+∠NAF=45°，
∵∠MAE+∠AEM=45°，
∴∠MEA=∠NAF，
∴△AME∽△FNA，
∴，
∴，
解得：x=，
∴AF==．
故答案为：．
取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND=DF，设DF=DN=x，则NF=x，再利用矩形的性质和已知条件证明△AME∽△FNA，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等可求出x的值，在直角三角形ADF中利用勾股定理即可求出AF的长．
本题考查了矩形的性质、相似三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，正确添加辅助线构造相似三角形是解题的关键，
17.【答案】①④
【解析】解：①[-2.1]+[1]=-3+1=-2，正确；
②[x]+[-x]=0，错误，例如：[2.5]=2，[-2.5]=-3，2+（-3）≠0；
③若[x+1]=3，则x的取值范围是2≤x＜3，故错误；
④当-1≤x＜1时，0≤x+1＜2，0＜-x+1≤2，
∴[x+1]=0或1，[-x+1]=0或1或2，
当[x+1]=0时，[-x+1]=1或2；当[x+1]=1时，[-x+1]=1或0；
所以[x+1]+[-x+1]的值为1、2，故正确．
故答案为：①④．
根据[x]表示不超过x的最大整数，即可解答．
本题考查了新定义以及解一元一次不等式组，解决本题的关键是明确[x]表示不超过x的最大整数．
18.【答案】解：原式=3-2×+3-1
=2+2
【解析】本题涉及零指数幂、负指数幂、锐角三角函数、二次根式化简4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值、特殊角的锐角三角函数值等知识点．
19.【答案】2
【解析】解：（1）如图1中，
∵EC∥MN，
∴∠CPN=∠DNM，
∴tan∠CPN=tan∠DNM，
∵∠DMN=90°，
∴tan∠CPN=tan∠DNM===2；
（2）如图2中，取格点D，连接CD，DM．
∵CD∥AN，
∴∠CPN=∠DCM，
∵△DCM是等腰直角三角形，
∴∠DCM=∠D=45°，
∴cos∠CPN=cos∠DCM=．
故答案为：2．
（1）连接格点M，N，可得MN∥EC，则∠DNM=∠CPN，连接DM，那么∠CPN就变换到Rt△DMN中．
（2）如图2中，取格点D，连接CD，DM．那么∠CPN就变换到等腰Rt△DMC中．
本题考查三角形综合题、平行线的性质、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
20.【答案】（2）3 ， 2 ；
（3）① 75 ，70；
②20 ；
③列表如下：
男女
男男、男女、男
男男、男女、男
女男、女女、女
由表可知，共有6种等可能结果，其中抽到的2名同学是1男1女的有3种结果，
所以抽到的2名同学是1男1女的概率为=．
【解析】解：（2）由收集的数据得知m=3、n=2，
故答案为：3、2；
（3）①甲班成绩为：50、60、65、65、75、75、75、80、85、90，
∴甲班成绩的中位数x==75，
乙班成绩70分出现次数最多，所以的众数y=70，
故答案为：75、70；
②估计乙班50名学生中身体素质为优秀的学生有50×=20人；
③见答案．
【分析】
（2）由收集的数据即可得；
（3）①根据众数和中位数的定义求解可得；
②用总人数乘以乙班样本中优秀人数所占比例可得；
③列表得出所有等可能结果，利用概率公式求解可得．
本题考查了众数、中位数以及概率公式的应用，掌握众数、中位数以及用样本估计总体是解题的关键．
21.【答案】解：（1）当x=1时，y=3x=3，
∴点C的坐标为（1，3）．
将A（-2，6）、C（1，3）代入y=kx+b，
得：
解得：；
（2）由kx+b-3x＞0，得
kx+b＞3x，
∵点C的横坐标为1，
∴x＜1；
（3）由（1）直线AB：y=-x+4
当y=0时，有-x+4=0，
解得：x=4，
∴点B的坐标为（4，0）．
设点D的坐标为（0，m），
∴直线DB：y=，
过点C作CE∥y轴，交BD于点E，则E（1，），
∴CE=|3-|
∴S△BCD=S△CED+S△CEB==|3-|×4=2|3-|．
∵S△BCD=2S△BOC，即2|3-|=×4×3×2，
解得：m=-4或12，
∴点D的坐标为D（0，-4）或D（0，12）．
【解析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，根据点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出k、b的值；
（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，设点D的坐标为（0，m），根据三角形的面积公式结合S△BCD=2S△BOC，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，进而可得出点D的坐标．
本题考查了一次函数，熟练掌握一次函数的相关性质是解题的关键．
22.【答案】解：（1）设现场购买每张电影票为x元，网上购买每张电影票为y元．
依题意列二元一次方程组∵
经检验解得
（2）设1月2日该电影院影票现场售价下调m元，那么会多卖出张电影票．
依题意列一元二次方程：（45-m）[（600+）×（1-）]=19800-25×（600+）（1-）
整理得：16m2-120m=0
m（16m-120）=0
解得m1=0（舍去）m2=7.5
答：（1）2018年在网上平台购票和现场购票的每张电影票的价格分别为25元和45元；（2）1月2日当天现场购票每张电影票的价格下调了7.5元．
【解析】（1）根据网售影票单价×网售票数+现售影票单价×现售票数=总费用以及3张现售电影票费用-5张网售电影票费用=10元，这两个等量关系建立并联立二元一次方程组求解即可；
（2）设降m元，则用含有m的代数式间接表示出多卖出的影票有张，再根据每张实
际现售影票收益×实际现售票影票张数=实际现售影票总收益建立一元二次方程并求解．本题考查了列二元一次方程组及一元二次方程解决实际问题的能力，重点在于熟悉掌握第二问解决策略营销问题的基本思路．
23.【答案】解：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵M为BC的中点，
∴AM⊥BC，
在Rt△ABM中，∠MAB+∠ABC=90°，
在Rt△CBE中，∠EBC+∠ACB=90°，
∴∠MAB=∠EBC，
又∵MB=MN，
∴△MBN为等腰直角三角形，
∴∠MNB=∠MBN=45°，
∴∠EBC+∠NBE=45°，∠MAB+∠ABN=∠MNB=45°，
∴∠NBE=∠ABN，即BN平分∠ABE；
（2）设BM=CM=MN=a，
∵四边形DNBC是平行四边形，
∴DN=BC=2a，
在△ABN和△DBN中，
∵，
∴△ABN≌△DBN（SAS），
∴AN=DN=2a，
在Rt△ABM中，由AM2+MB2=AB2可得（2a+a）2+a2=1，
解得：a=±（负值舍去），
∴BC=2a=；
（3）∵F是AB的中点，
∴在Rt△MAB中，MF=AF=BF，
∴∠MAB=∠FMN，
又∵∠MAB=∠CBD，
∴∠FMN=∠CBD，
∵==，
∴==，
∴△MFN∽△BDC．
【解析】（1）由AB=AC知∠ABC=∠ACB，由等腰三角形三线合一知AM⊥BC，从而根据∠MAB+∠ABC=∠EBC+∠ACB知∠MAB=∠EBC，再由△MBN为等腰直角三角形知
∠EBC+∠NBE=∠MAB+∠ABN=∠MNB=45°可得证；
（2）设BM=CM=MN=a，知DN=BC=2a，证△ABN≌△DBN得AN=DN=2a，Rt△ABM中利用勾股定理可得a的值，从而得出答案；
（3）F是AB的中点知MF=AF=BF及∠FMN=∠MAB=∠CBD，再由==即可得证．
本题主要考查相似形的综合问题，解题的关键是掌握等腰三角形三线合一的性质、直角三角形和平行四边形的性质及全等三角形与相似三角形的判定与性质等知识点．24.【答案】解：（1）作△PAB的外接圆⊙D，连接DP、DA、DB，如图1
∴DP=DA=DB，
∵C为抛物线顶点且CH⊥x轴
∴CH为抛物线对称轴，即CH垂直平分AB
∴D在直线CH上
∵∠APB=30°
∴∠ADB=2APB=60°
∴△ABD是等边三角形
∵当y=0时，a（x-1）（x-5）=0解得：x1=1，x2=5
∴A（1，0），B（5，0）
∴DP=DA=AB=4，H（3，0），直线CH：x=3
∴AH=2，DH=AH=2
∴D（3，2）
设P（0，p）（p＞0）
∴PD2=32+（2-p）2=42
解得：p1=2+，p2=2-
∴点P坐标为（0，2+）或（0，2-）
（2）作△PAB的外接圆⊙E，连接EP、EA、EB，如图2
∵∠AEB=2∠APB
∴∠AEB最大时，∠APB最大
∵AB=4是定值
∴EH最小时，∠AEB最大，此时⊙E与y轴相切于点P
∴EP⊥y轴于P
∴四边形OHEP是矩形
∴PE=OH=3
∴EA=PE=3
∴Rt△AEH中，EH=
∴OP=EH=
∴点P坐标为（0，），代入抛物线解析式得：5a=
∴a=
（3）点P、O、C、B能在同一个圆上．
连接PB，取PB中点F，连接FO、FC
∵∠POB=90°
∴OF=PF=FB=PB
∴点P、O、B在以点F为圆心、FB的长为半径的圆上
若点C在⊙F上，则FC=FB
∵抛物线解析式y=a（x-1）（x-5）=ax2-6ax+5a=a（x-3）
2-4a
∴P（0，5a），C（3，-4a）
∵B（5，0），F为PB中点
∴F（，）
∴FC2=（-3）2+（+4a）2=+，FB2=（-5）2+（）2=+∴+=+
解得：a1=，a2=-（舍去）
∴a的值为
（4）对称轴HC上存在一点Q，使∠AQP=∠ABP
作△PAB的外接圆⊙G，连接GP、GA，设⊙G与直线CH
交于点Q
∴∠AQP=∠ABP
当a=时，点P（0，1）
设G（3，b）（b＞0）
∴GP2=32+（b-1）2，GA2=（3-1）2+b2
∵GP=GA
∴32+（b-1）2=（3-1）2+b2
解得：b=3
∴G（3，3），GQ=GA=
∴点Q坐标为（3，3+）或（3，3-）．
【解析】（1）作△PAB的外接圆⊙D，由圆周角∠APB=30°，可得其所对弧AB所对的圆心角∠ADB=60°．由抛物线对称性可知点A、B关于直线CH对称，所以点D在CH 上，证得△ABD为等边三角形，所以⊙D半径DP=DA=4．设点P纵坐标为p，即可利用两点间距离公式列方程求p．求得的p有两个解，由于都是正数解，所以满足抛物线与y轴交点在正半轴即p大于0．
（2）作△PAB的外接圆⊙E，由∠AEB=2∠APB可得∠AEB最大时，∠APB最大．因为点E在直线CH上运动，易得当⊙E与y轴相切时，EH最短，∠AEB最大．此时EP⊥y轴且EP=OH=3，EA=EP=3，在Rt△AEH中用勾股定理求得DH的长即得到点P坐标．把点P代入抛物线即取得a的值．
（3）因为△POB是直角三角形，所以点P、O、B共圆且圆心F为PB中点．由抛物线解析式可用a表示点P、点C坐标，用两点间坐标公式求FB与FC，以FB=FC为等量关系列方程即求出a的值．
（4））作△PAB的外接圆⊙G，与直线CH交于点Q，则∠ABP与∠AQP都是弧AP所对的圆周角，故有∠AQP=∠ABP．设G点纵坐标为b，用b表示GP、GA的长，以GP=GA 为等量关系列方程即求出b，进而求出半径GQ的长，再求Q点坐标．
本题考查了二次函数图象与性质，圆周角定理，圆的切线的性质，解一元二次方程．解题关键是由角度条件转化定圆的圆周角大小不变，进而联想到作△PAB外接圆解决问题．。