上海市2019届初三数学一模提升题汇编第24题(二次函数综合)(含2019上海中考试题答案)

上海市2019届一模提升题汇编第24题（二次函数综合）含2019
上海中考试题中考
【2019届一模徐汇】
24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）
如图，在平面直角坐标系xoy 中，顶点为M 的抛物线C 1:2(0)y ax bx a =+<经过点A 和x 轴上的点B ，AO =OB =2，120AOB ∠=．
（1）求该抛物线的表达式； （2）联结AM ，求AOM
S
；
（3）将抛物线C 1向上平移得到抛物线C 2，抛物线C 2与x 轴分别交于点E 、F （点E 在点F 的左侧），如果△MBF 与△AOM 相似，求所有符合条件的抛物线C 2的表达式．
【24．解：（1）过A 作AH ⊥x 轴，垂足为H ，
∵OB=2，∴B （2,0）………………………………（1分） ∵120AOB ∠=︒
∴60,30AOH HAO ∠=︒∠=︒．
∵OA=2，∴1
1
2OH OA ==．
∵2
2
2
Rt AHO OH AH OA +=在中，，∴22
213AH =-=．
∴(1,3)A --……………………………………（1分）
（第24题图）
∵抛物线
21:C y ax bx A B
=+经过点、，
∴可得：42033a a b a b b ⎧=-⎪+=⎧⎪⎪⎨⎨
-=⎪⎩⎪=⎪⎩………………………………………………（1分）
∴这条抛物线的表达式为
233y x x =-
+…………………………………………（1
分）
（2）过M 作MG ⊥x 轴，垂足为G
，∵
2y x x =+
∴顶点M
是⎛ ⎝
⎭
，得3MG = ……………………………………………………（1分）
∵(1,A -，
M
⎛ ⎝⎭． ∴得：直线AM
为
33y x =
- …………………………………………………（1分）
∴直线AM 与x 轴的交点N 为1,02⎛⎫
⎪
⎝⎭……………………………………………………（1
分）
∴11
22AOM S ON MG ON AH ∆=⋅+
⋅111122322=⨯⨯
+⨯
=
…………………………………………………………………………（1分）
（3）∵
）33
，
1（M 、)0,2(B ，
∴
3MG Rt BGM MBG BG ∆∠=在中，tan =
，∴MBG ∠︒=30．
∴MBF 150∠=︒．由抛物线的轴对称性得：MO=MB ，
∴MBO MOB=150∠=∠︒． ∵OB=120A ∠︒，∴OM=150A ∠︒ ∴OM=MBF A ∠∠．
∴
BM BF
OA OM 或BF BM OA OM 相似时，有：AOM 与MBF 当=
=∆∆ 即
33
2BF 233
2或BF 3322332==，∴32BF 或2BF =
=． ∴）
0，38
）或（0，4（F ………………………………………………（2分）
设向上平移后的抛物线
k x x y ++-
=33
233:为C 22，
当）0，4（F 时，
338=
k ，∴抛物线33
833233:为C 22+
+-=x x y …（1
分）
当）0，38
（
F 时，27316=
k ，
抛物线22:3327C y x x =-++……．（1分）】
【2019届一模浦东】
24. （本题满分12分，其中每小题各4分）
已知：如图9，在平面直角坐标系xOy 中，直线1
2y x b
=-+与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B. 抛物线（1）求抛物线的表达式; （2）求证: △BOD ∽△AOB;
（3）如果点P 在线段AB 上，且∠BCP=∠DBO
求点P 的坐标.
【24、（1）211
482y x x =-++；（2）证明略；（3）1612,55⎛⎫ ⎪
⎝⎭】
【2019届一模杨浦】
24．（本题满分12分，每小题各4分） 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(0)y
ax bx c a
与y 轴交于点C （0,2），
它的顶点为D （1,m ），且
1
tan 3COD
.
（1）求m 的值及抛物线的表达式；
（2）将此抛物线向上平移后与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴交于点B ，且OA=OB.若点
A 是由原抛物线上的点E 平移所得，求点E 的坐标；
（3）在（2）的条件下，点P 是抛物线对称轴上的一点（位于x 轴上方），且∠APB=45°.求P 点的坐标.
O
x
y
1 2 3 4 1 2
3 4 5
-1 -2 -3
-1 -2 -3 （第24题图）
【24．解：（1）作DH ⊥y 轴，垂足为H ，∵D （1,m ）（0m
），∴DH= m ，HO=1.
∵
1
tan 3COD
，∴1
3OH DH ，∴m=3. ····················································· （1分）
∴抛物线2
y ax bx c 的顶点为D （1,3）. 又∵抛物线2y
ax bx
c 与y 轴交于点C （0,2）， ∴
3,
1,22.
a
b c b
a c （2分）∴
1,2,2.
a b c
∴抛物线的表达式为
2
22y x x
.
······ （1分）
（2）∵将此抛物线向上平移， ∴设平移后的抛物线表达式为2
22(0)y x x k k
，. ···························· （1分）
则它与y 轴交点B （0,2+k ）.
∵平移后的抛物线与x 轴正半轴交于点A ，且OA=OB ，∴A 点的坐标为（2+k,0）. .（1分） ∴20(2)2(2)2
k k k .∴1
2
2,1k k .
∵0k
，∴1k
.
∴A （3,0），抛物线
2
22y x x
向上平移了1个单位. . ·
····························· （1分）
∵点A 由点E 向上平移了1个单位所得，∴E （3,-1）. . ··································· （1分） （3）由（2）得A （3,0），B （0, 3），∴32AB
.
∵点P 是抛物线对称轴上的一点（位于x 轴上方），且∠APB=45°,原顶点D （1,3）, ∴设P （1,y ），设对称轴与AB 的交点为M ，与x 轴的交点为H ，则H （1,0）. ∵A （3,0），B （0, 3），∴∠OAB=45°, ∴∠AMH=45°. ∴M （1,2）. ∴2BM
.
∵∠BMP=∠AMH, ∴∠BMP=45°. ∵∠APB=45°, ∴∠BMP=∠APB.
∵∠B=∠B ，∴△BMP ∽△BPA. ·································································· （2分）
B A
P
y O
M H
∴BP BA
BM
BP .∴2
32
2
6BP
BA BM
∴2
2
1(3)6BP
y .∴1
2
3
53
5y y ，（舍）.. ···························· （1分）
∴(1,35)P . . ····················································································· （1分）】
【2019届一模普陀】 24．（本题满分12分） 如图10，在平面直角坐标系
中，抛物线
2
3y ax bx =+-(0)a ≠与x 轴交于点A ()1,0-和点B ，且3OB OA =，与y 轴交于点C ，此抛物线顶点为点D ．
（1）求抛物线的表达式及点D 的坐标；
（2）如果点E 是y 轴上的一点（点E 与点C 不重合），当BE DE ⊥时，求点E 的坐标； （3）如果点F 是抛物线上的一点，且，求点F 的坐标．
135FBD ∠=
xOy
图10
【24．解：
（1）∵抛物线与x 轴交于点A ()1,0-和点，且3OB OA =，
∴点的坐标是
()3,0． ·
·········································································· （1分）
解法一：由抛物线
2
3y ax bx =+-经过点()1,0-和()3,0． 得03,093 3.a b a b =--⎧⎨=+-⎩ 解得1,
2.a b =⎧⎨=-⎩ ······························································ （1分）
∴抛物线的表达式是2
23y x x =--． ······················································ （1分）
点D 的坐标是
()1,4-． ············································································· （1分）
解法二：由抛物线
2
3y ax bx =+-经过点()1,0-和()3,0． 可设抛物线的表达式为(1)(3)y a x x =+-， 由抛物线与y 轴的交点C 的坐标是
()0,3-，
得3(01)(03)a -=+-，解得1a =． ······························································ （1分）
∴抛物线的表达式是2
23y x x =--． ························································ （1分）
点D 的坐标是
()1,4-． ·
············································································ （1分）
（2）过点D 作DH OC ⊥，H 为垂足． ∴90DHO ∠=．∴90DEH EDH ∠+∠=． ∵BE DE ⊥，∴90DEH BEO ∠+∠=． ∴BEO EDH ∠=∠．
又∵BOE EHD ∠=∠，∴△BOE ∽△EHD ． ········································· （1分）
∴BO OE
EH HD =
．
∵点D 的坐标是
()1,4-，∴1DH =，4OH =．
B B
∵点的坐标是
()3,0，∴3OB =．
∴341OE
OE =
-． ·············································································· （1分）
∴1OE =或3OE =． ················································································ （1分） ∵点E 与点C 不重合，∴1OE =． ∴点E 的坐标是
()0,1-． ·
·········································································· （1分）
（3）过点F 作FG x ⊥轴，G 为垂足．
作45DBM ∠=，由第（2）题可得，点M 与点E 重合． ∵1OE =，1DH =，∴OE DH =． 可得△BOE ≌△EHD ． ∴BE ED =． ∵90BED ∠=，∴45DBE ∠=． ∵135FBD ∠=，
∴90FBE ∠=． ················································································ （1分） ∴OBE GFB ∠=∠．
∴在Rt △BOE 中，90BOE ∠=，∴cot 3OBE ∠=∴cot 3GFB ∠=． ·········· （1分） ∴3FG BG =．
设点F 点的坐标为
()
2
,23m m
m --．
∴2
23FG m m =--,3BG m =-．
∴2233(3)m m m --=-． ··································································· （1分）
解得3m =，4m =-． ∵3m =不合题意舍去，∴4m =-． 点F 的坐标是
()4,21-． ·
········································································· （1分）】
【2019届一模奉贤】
24．（本题满分12分，每小题满分6分）
B
如图10，在平面直角坐标系中，直线AB 与抛物线2
y
ax bx 交于点A(6，0)和
点B(1，－5)．
（1）求这条抛物线的表达式和直线AB 的表达式；
（2）如果点C 在直线AB 上，且∠BOC 的正切值是3
2，
求点C 的坐标．
【24．解：（1）由题意得，抛物线2
y
ax bx 经过点A(6，0)和点B(1，－5)，
代入得3660,
5.
a b a b 解得
1,6.
a
b
∴抛物线的表达式是2
6y x x =-. ······ （4分）
由题意得，设直线AB 的表达式为y
kx
b ，它经过点A(6，0)和点B(1，－5)，
代入得60,5.
k b
k b
解得
1,6.
k b
∴直线AB 的表达式是
6y x =-. ·
······· （2分）
（2）过点O 作OH AB ，垂足为点H ．
设直线AB 与y 轴交点为点D ，则点D 坐标为()0,6-.
∴45ODA OAD
，cos45DH OH OD ==•︒= ∵2BD
，∴22BH
.
在Rt △OBH 中，90OHB ，
3
tan 2OH
OBH
BH
． ······························· （2分）
∵∠BOC 的正切值是3
2，∴BOC
CBO . ··············································· （1分） ①当点C 在点B 上方时，BOC
CBO .∴CO
CB ． 设点C
(,6)x x -，
22
2
2(6)(1)(65)x x x
xOy
图10
A
B
x
y
o
解得
17
4x
，
177
66
4
4x .--------------------------------------------------------------------（2分）
所以点D
坐标为17
7,4
4⎛⎫-
⎪⎝⎭. ②当点C 在点B 下方，BOC CBO 时，OC//AB. 点C 不在直线AB 上. ········ （1分）
综上所述，如果∠BOC 的正切值是32，点C 的坐标是17
7,44⎛⎫-
⎪⎝⎭．】
【2019届一模松江】
24.（本题满分12分，第（1）小题3分，第（2）小题4分，第（3）小题5分）
如图，抛物线c
bx x y ++-=221
经过点A （﹣2，0），点B （0，4）.
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）P 是抛物线对称轴上的点，联结AB 、PB ，如果∠PBO=∠BAO ，求点P 的坐标； （3）将抛物线沿y 轴向下平移m 个单位，所得新抛物线与y 轴交于点D ，过点D 作DE
∥x 轴交新抛物线于点E ，射线EO 交新抛物线于点F ，如果EO=2OF ，求m 的值.
【24．解：（1）∵抛物线经过点A （﹣2，0），点B （0，4）
∴⎩⎨⎧==+--4022c c b …………（1分）， 解得1
4b c =⎧⎨=⎩
………………………（1分） ∴抛物线解析式为21
4
2y x x =-++ …………………………………………（1分）
(第24题图)
y x
O
B
A
（2）
()
2
9
1
2
1
4
2
12
2+
-
-
=
+
+
-
=x
x
x
y
…………………………………（1分）
∴对称轴为直线x=1，过点P作PG ⊥y轴，垂足为G ∵∠PBO=∠BAO，∴tan∠PBO=tan∠BAO，
∴PG BO
BG AO
=
……………………………………………（1分）
∴
12
1
BG
=
，∴
1
2
BG=
…………………………………（1分）
∴
7
2
OG=
，∴P（1，2
7
）………………………………（1分）
（3）设新抛物线的表达式为
2
1
4
2
y x x m
=-++-
…（1分）
则
()
0,4
D m
-
,
()
2,4
E m
-
，DE=2……………………（1分）
过点F作FH⊥y轴，垂足为H，∵DE∥FH，EO=2OF
∴
2
=
1
DE EO DO
FH OF OH
==
，∴FH=1……………………………………………（1分）
点D在y轴的正半轴上，则
5
1,
2
F m
⎛⎫
--
⎪
⎝⎭，∴
5
2
OH m
=-
∴
42
51
2
DO m
OH m
-
==
-
，∴m=3……………………………………………………（1分）
点D在y轴的负半轴上，则
9
1,
2
F m
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭，∴
9
2
OH m
=-
∴
42
91
2
DO m
OH m
-
==
-
，∴m=5……………………………………………………（1分）
∴综上所述m的值为3或5.】
(第24题图)
y
x O
B
A
E
D
F H
【2019届一模嘉定】
24．（本题满分12分，每小题4分）
在平面直角坐标系xOy （如图7）中，抛物线22
++=bx ax y 经过点)0,4(A 、)2,2(B ，
与y 轴的交点为C ．
（1）试求这个抛物线的表达式；
（2）如果这个抛物线的顶点为M ，求△AMC 的面积； （3）如果这个抛物线的对称轴与直线BC 交于点D ，点E 在线段AB 上，且︒=∠45DOE ，求点E 的坐标．
【24. 解：（1）∵抛物线
22
++=bx ax y 点经过)0,4(A 、)2,2(B ∴⎩
⎨
⎧=++=++222402416b a b a ……………………1分 ∴⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=-=2141b a …………2分 ∴抛物线的表达式是2
21
412++-=x x y …………1分 （2）由（1）得：抛物线221412++-=x x y 的顶点M 的坐标为)
49,1(……1分
图7
O 1
1
-1 -1
∴点C 的坐标为)0,2(， ……………………1分 过点M 作y MH ⊥轴，垂足为点H ∴
AOC
MHC AOHM AMC S S S S ∆∆∆--= …………1分
∴
4221
1412149)41(21⨯⨯-⨯⨯-⨯+⨯=
∆AMC S
∴
23
=
∆AMC S …………1分
（3）联结OB
过点B 作x BG ⊥轴，垂足为点G
∵点B 的坐标为)2,2(，点A 的坐标为)0,4(∴2=BG ，2=GA ∴△BGA 是等腰直角三角形∴︒=∠45BAO 同理：︒=∠45BOA
∵点C 的坐标为)0,2(∴2=BC ，2=OC 由题意得，△OCB 是等腰直角三角形 ∴︒=∠45DBO ,22=BO ∴DBO BAO ∠=∠
∵︒=∠45DOE ∴︒=∠+∠45BOE DOB ∵︒=∠+∠45EOA BOE ∴DOB EOA ∠=∠ ∴△AOE ∽△BOD
∴BO AO
BD AE =
…………1分 ∵抛物线2
21
412++-=x x y 的对称轴是直线1=x ，
∴点D 的坐标为)2,1(
∴1=BD …………1分
∴224
1
=
AE ∴2=
AE …………1分
过点E 作x EF ⊥轴，垂足为点F 易得，△AFE 是等腰直角三角形 ∴1==AF EF
∴点E 的坐标为)1,3( …………1分】 【2019届一模青浦】
24．（本题满分12分， 其中第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）
在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线2
y x =-平移后经过点A （-1，0）、B （4，0），且
平移后的抛物线与y 轴交于点C （如图）． （1）求平移后的抛物线的表达式；
（2）如果点D 在线段CB 上，且
CAD 的正弦值；
（3）点E 在y 轴上且位于点C 的上方，点P 在直线BC 上，点Q 在平移后的抛物线上，如果四边形ECPQ 是菱形，求点Q 的坐标．
【24．解：（1）设平移后的抛物线的解析式为2
+=-+y x bx c ． ·
······················ （1分）
将A （-1，0）、B （4，0），代入得
（第24题图）
（备用图）
101640.，--+=⎧⎨
-++=⎩b c b c ··············································································· （1分） 解得：34.，
=⎧⎨
=⎩
b c
所以，2
+34=-+y x x ． ·········································································· （1分）
（2）∵2+34=-+y x x ，∴点C 的坐标为（0，4） ····································· （1分）．
设直线BC 的解析式为y= kx+4，将B （4，0），代入得kx+4=0，解得k=-1，
∴y= -x+4． ········································································································ 设点D 的坐标为（m ，4- m ）．
∵
，∴2
2=2m ，解得=1m 或=1-m （舍去），
∴点D 的坐标为（1，3）． ········································································· （1分） 过点D 作DM ⊥AC ，过点B 作BN ⊥AC ，垂足分别为点M 、N ．
∵1122⋅=⋅AC BN AB OC
54=⨯BN
，∴17=BN ． ········ （1分） ∵DM ∥BN ，∴=
DM CD BN CB
，∴=DM BN
，∴17=DM ． ···················· （1分）
∴
sin =17221∠=
=DM CAD AD ． ············································· （1分）
（3）设点Q 的坐标为（n ，2
+34-+n n ）．
如果四边形ECPQ 是菱形，则0>n ，PQ ∥y 轴，PQ=PC ，点P 的坐标为（n ，4-+n ）．
∵22
+3444=-++-=-PQ n n n n n
，=PC ， ····································· （2分）
∴2
4-n n
，解得=4n 或=0n （舍）． ·········································· （1分） ∴点Q
的坐标为（4
，2）． ···················································· （1分）】
【2019届一模静安】
24．（本题满分12分，其中第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分）
在平面直角坐标系xOy 中（如图10），已知抛物线
2
(0)y ax bx c a =++≠的图像经过点(40)B ，、(53)D ，，设它与x 轴的另一个交点为A （点A 在点B 的左侧），且ABD ∆的
面积是3．
（1）求该抛物线的表达式； （2）求ADB ∠的正切值；
（3）若抛物线与y 轴交于点C ，直线CD 交
x 轴于点E ，点P 在射线AD 上，当APE ∆与 ABD ∆相似时，求点P 的坐标．
【24．解：
（1）过点D 作DH ⊥x 轴，交x 轴于点H ．
∵
1
32ABD S AB DH ∆=
⋅=，又∵(5,3)D
∴2AB =．····························································································· （1分） ∵(4,0)B ，点A 在点B 的左侧，
∴(2,0)A ． ····························································································· （1分）
把(2,0)A ，(4,0)B ，(5,3)D 分别代入
2
y ax bx c =++， 得
04201643255a b c
a b c a b c =++⎧⎪
=++⎨⎪=++⎩
解得
168a b c =⎧⎪
=-⎨⎪=⎩
． ···························································· （1分）
∴抛物线解析式是2
68y x x =-+． ······························································ （1分）
（2）过点B 作BG AD ⊥，交AD 于点G ． ··················································· （1分）
B
D O
图10
x
y
﹒ ﹒
由(2,0)A ，(5,0)H ，(5,3)D ，得ADH ∆是等腰直角三角形，且45HAD ∠=
∵3AH DH ==
，∴AD = ································································ （1分） ∴在等腰直角AGB ∆中，由2AB =
，得AG BG ==，
∴DG AD AG =-=
∴在Rt DGB ∆中，
1
tan 2BG ADB DG ∠=
=
． ·················································· （1分）
（3）∵抛物线2
68y x x =-+与y 轴交于点(0,8)C ，又(5,3)D ，
∴直线CD 的解析式为8y x =-+，
∴(8,0)E ． ···························································································· （1分） 当点P 在线段AD 上时，APE ∆∽ABD ∆，点,,A P E 分别与点,,A B D 对应，则
AP AE AB AD =
，即AB AE AP AD ⨯===．………………………………………（1分）
··························································································································· 过点P 作PQ ⊥∴2AQ PQ ==，即(4,2)P ． ····································································· （1分） ②当点P 在线段AD 延长线上时，APE ADB ∠=∠， ·················································· ∴EP //DB
过点P 作PR x ⊥轴于点R ， ··················································································
1
3AH AD AB AR AP AE ===
，
∴9AR PR ==， ······················································································ （1分） 即(11,9)P ． ···························································································· （1分） ∴APE ∆与ABD ∆相似时，点P 的坐标为 (4,2)或 (11,9)．】 【2019届一模宝山】
24．（本题满分12分，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分6分） 如图9，已知：二次函数
的图像交x 轴正半轴于点A ，顶点为P,一次函数
2y x bx
=+。