2018年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(B卷)

a 2018年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）
一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。

2018B1、设集合{}8,1,0,2=A ，集合{}A a a B ∈=|2，则集合B A 的所有元素之和是 ◆答案： 31
★解析:易知{}16,2,0,4=B ，所以{}16,8,4,2,1,0=B A ，元素之和为31.
2018B 2、已知圆锥的顶点为P ，底面半径长为2，高为1．在圆锥底面上取一点Q ，使得直线PQ 与底面所成角不大于0
45，则满足条件的点Q 所构成的区域的面积为 ◆答案： π3
★解析:记圆锥的顶点P 在底面的投影为O ，则O 为底面中心，且1tan ≤=∠OQ
OP
OQP ，即1≥OQ ，故所以区域的面积为πππ3122
2
=⨯-⨯。

2018B 3、将6,5,4,3,2,1随机排成一行，记为f e d c b a ,,,,,，则def abc +是奇数的概率为 ◆答案：
10
1 ★解析：由def abc +为奇数时，abc ，def 一奇一偶，①若abc 为奇数，则c b a ,,为5,3,1的排列，进而f e d ,,为6,4,2的排列，这样共有3666=⨯种；②若abc 为偶数，由对称性得，也有3666=⨯种，从而def abc +为奇数的概率为10
1
!672=。

2018B 4、在平面直角坐标系xOy 中，直线l 通过原点，)1,3(=n 是l 的一个法向量．已知数列{}n a 满足：对任意正整数n ，点),(1n n a a +均在l 上．若62=a ，则54321a a a a a 的值为 ◆答案： 32-
★解析:易知直线l 的方程为x y 3-=，因此对任意正整数n ，有n n a a 311-=+，故{}n a 是以31-为
a 公比的等比数列.于是23
123-=-=a a ，由等比数列的性质知325
354321-==a a a a a a
2018B 5、设βα,满足3)3
tan(-=+π
α，5)6
tan(=-
π
β，则)tan(βα-的值为
◆答案： 4
7-
★解析:由两角差的正切公式可知7
4
63tan =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛
--⎪⎭⎫ ⎝
⎛+πβπα，即可得47)tan(-=-βα
2018B 6、设抛物线x y C 2:2
=的准线与x 轴交于点A ，过点)0,1(-B 作一直线l 与抛物线C 相切
于点K ,过点A 作l 的平行线，与抛物线C 交于点N M ,，则KMN ∆的面积为为 ◆答案：
2
1
★解析:设直线l 与MN 的斜率为k ，:l 11-=
y k x ，:MN 2
1
1-=y k x 分别联立抛物线方程得到：
0222=+-
y k y （*）
，和0122
=+-y k
y （**） 对（*）由0=∆得2
2±=k ；对（**）得2442=-=-k y y N
M
所以2
1
21=-⋅⋅=-==∆∆∆∆N M KBAN BAM BMN KMN y y AB S S S S
2018B 7、设)(x f 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[]2,1上严格递减，且满足1)(=πf ，
0)2(=πf ，则不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤1
)(01
0x f x 的解集为
◆答案：[]ππ--4,62
★解析：由)(x f 为偶函数及在区间[]2,1上严格递减知，)(x f 在[]1,2--上递增，结合周期性知，
)(x f 在[]1,0上递增，又1)()4(==-ππf f ，0)2()62(==-ππf f ，
所以不等式等价于)4()()62(ππ-≤≤-f x f f ，又14620<-<-<ππ，即不等式的解集为
a
[]ππ--4,62
2018B 8、已知复数321,,z z z 满足1321===z z z ，r z z z =++321，其中r 是给定的实数，则
1
3
3221z z z z z z ++的实部是 （用含有r 的式子表示） ◆答案： 2
3
2-r
★解析:记133221z z z z z z w ++=
，由复数的模的性质可知：111z z =，2
21z z =，331z z =，因此 133221z z z z z z w ++=。

于是()()
w w w z z z z z z z z z r Re 2322
3222
1
3213212
+=++++=++++=
解得2
3
Re 2-=r w 。

二、解答题：本大题共3小题，共56分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2018B 9、（本题满分16分）已知数列{}n a 满足：71=a ，
21
+=+n n
n a a a ， ,3,2,1=n ，求满足20184>n a 的最小正整数n 。

★解析:由
21
+=+n n
n a a a 可知()()2111+=++n n a a ，因此()()112321211--⨯=+=+n n a a n 即121
2
3-=-⨯n n a ，显然{}n a 单调递增，又12614420184036307211124212a a =-<=<-=
所以满足条件的最小n 为12。

2018B 10、（本题满分20分）已知定义在+
R 上的函数)(x f 为⎩
⎨⎧--=x x x f 41log )(39,9
0,>≤<x x ，设
c b a ,,是三个互不相同的实数，满足)()()(c f b f a f ==，求abc 的取值范围。

a ★解析: ★解析：不妨设c
b a <<，由于)(x f 在(]3,0上递减，在[]9,3上递增，在[)+∞,9上递减，且0)3(=f ，1)9(=f ，结合图像知：()3,0∈a ，()9,3∈b ，()+∞∈,9
c ，且
()1,0)()()(∈==c f b f a f 。

由)()(b f a f =得2log log 33=+b a ，即9=ab ，此时c abc 9=，
又c c f -=4)(，由140<-<c 得()16,9∈c ，所以()144,819∈=c abc 。

2018B 11、（本题满分20分）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中， B A ,与D C ,分别是椭圆
1:22
22=+Γb
y a x （0>>b a ）的左、右顶点与上、下顶点．设Q P ,是椭圆上且位于第一象限的两
点，满足AP OQ //，M 是线段AP 的中点，射线OM 与椭圆交于点R . 证明：线段BC OR OQ ,,能构成一个直角三角形。

★证明:设点P 的坐标为()00,y x ，由于AP OQ //，则OA OP AP -=， 又
OM
OR //，所以
()
OA OP OM +=
2
1
，故存在实数
μλ,，使得
()OA OP OQ -=λ,(
)
OA OP OR +=μ，此时点R Q ,的坐标可以分别表示为()()00,y a x λλ+，
a ()()00,y a x μμ-。

由于点R Q ,在椭圆上，所以(
)
()
⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+-=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛
++=+111220
2
2
022
2
22022
20
220b y a a x
b
y a a x b y a x μλ，化简整理得 122220202=⎪
⎭⎫ ⎝
⎛-=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+
a x a x μλ，则)(202x a a +=λ，)(202x a a -=μ（*） 因此，()()()()
2
2
02202
2
2
2
y a x y a x OR OQ +-+++=+μλ
， ()()
()()
2020020200)
(2)(2y a x x a a y a x x a a
+--++++=
()())(22)(22020
00200x a ay x a a x a ay a x a -+
-++++= ⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-+++
=0020
2
112x a x a ay a
⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-+
=20220
2
22x a a ay a
22b a +=
2
BC =
线段BC OR OQ ,,能构成一个直角三角形。

a
2018年全国高中数学联合竞赛二试（B 卷）
2018B 一、（本题满分40分）设b a ,是实数，函数x
b ax x f 9
)(++=。

证明：存在[]9,10∈x ，使得2)(0≥x f 。

★证明:用反证法.假设对任意的[]9,1∈x ，均有2)(<x f ，则
2)1(<f ，2)3(<f ，2)9(<f
即29<++b a ，233<++b a ，219<++b a 注意到16)1(3)2(4)3(=+-f f f
又<=+-16)1(3)2(4)3(f f f +)1(f )3(4f 16)9(3=+f 矛盾！ 所以原命题得证。

2018B 二、（本题满分40分）如图所示， 在等腰ABC ∆中，AC AB =，边AC 上一点D 及BC 延长线上一点E 满足
CE
BC
DC AD 2=
，以AB 为直径的圆ω与线段DE 交于一点F 。

证明：D F C B ,,,四点共圆。

（答题时请将图画在答卷纸上）
★证明:取BC 中点H ，则由AC AB =知BC AH ⊥，故H 在圆ω上.延长FD 至G ，使得
BC AG //，结合已知条件得，
CE BC DC AD CE AG 2==，故CH BH BC AG ===2
1
， 从而AGBH 为矩形，AGHC 为平行四边形。

a
由AGBH 为矩形知，G 在圆ω上，故HBF HGF ∠=∠,
又AGHC 为平行四边形，由GH AC //，得HGF CDF ∠=∠, 所以CDF HBF CBF ∠=∠=∠，所以D F C B ,,,四点共圆。

2018B 三、（本题满分50分）设集合{}n A ,,2,1 =，Y X ,均为A 的非空子集（允许Y X =）．X
中的最大元与Y 中的最小元分别记为Y X min ,max ．求满足Y X min max >的有序集合对),(Y X 的数目。

★解析:先计算满足Y X min max ≤的有序集合对),(Y X 的数目.对给定的X m max =，集合X 是
集合{
}1,,2,1-m 的任意一个子集与{}m 的并，故共有12-m 种取法.又Y m min ≤，故Y 是{}n m m m ,,2,1, ++的任意一个非空子集，共有121--+m n 种取法.
因此，满足Y X min max ≤的有序集合对),(Y X 的数目是：
()[]
()1212212
21
11
1
11
+⋅-=-=-∑∑∑=-==-+-n n
m m n m n
n
m m
n m n
由于有序集合对),(Y X 有()()()
2
121212-=--n n n 个，于是满足Y X min max >的有序集合对
),(Y X 的数目是()
()124122122
+-=-+⋅--n n n n n n n
2018B 四、（本题满分50分）给定整数2≥a 。

证明：对任意正整数n ，存在正整数k ，使得连续n
个数1+k
a ，,,2 +k
a n a k +均是合数。

★证明:设tion.3 |9=ab }，此时uation.3 |c abc 9=， 又quation.3
c c f -=4)(，由.3 |140<-<c 得.3 |()16,9∈c ，所以
()144,819∈=c abc 。

2018B 11、（本题满分20分）如图所示，在平面直角坐标系n.3 |xOy 中， |B A ,与 D C ,分别是椭圆）的左、右顶点与上、下顶点．设uation.3 |Q P ,是椭圆上且位于第一象限的两点，满
足EMBED Equation.3 |M}是线段MBED Equation.3 |AP的中点，射线EMBED Equation.3 |OM与椭圆交于点R.
线段能构成一个直角三角形。

2018年全国高中数学联合竞赛二试（B卷）
2018B一、（本题满分40分）设是实数，函数。

证明：存在，使得。

★证明:用反证法.假设对任意的，均有，则
，，
即，，
注意到
又矛盾！
所以原命题得证。

2018B二、（本题满分40分）如图所示，在等腰中，，边上一点及延长线上一点满足，以为直径的圆与线段交于一点。

证明：四点共圆。

（答题时请将图画在答卷纸上）
a
★证明:取中点，则由知，故在圆上.延长至，使得，结合已知条件得，，故，
从而为矩形，为平行四边形。

由为矩形知，在圆上，故,
又为平行四边形，由，得,
所以，所以四点共圆。

2018B三、（本题满分50分）设集合，均为的非空子集（允许）．中的最大元与中的最小元分别记为．求满足的有序集合对的数目。

★解析:先计算满足的有序集合对的数目.对给定的，集合是集合的任意一个子集与的并，故共有种取法.又，故是的任意一个非空子集，共有种取法.
因此，满足的有序集合对的数目是：
由于有序集合对有个，于是满足的有序集合对的数目是
2018B四、（本题满分50分）给定整数。

证明：对任意正整数，存在正整数，使得连续个数，均是合数。

★证明:设是中与互素的全体整数，则，，无论正整数如何取值，均与不互素且大于，故为合数。

对任意，因，故有素因子.
我们有（否则，因是素数，故，但，从而，即与不互素，与的取法矛盾）.因此，由费马小定理知，现取，对任意，注意到，故有.又，故为合数。

综上所述，当时，，均是合数。

a
2018年全国高中数学联合竞赛试题（B卷）第页共页a。