湖南省怀化市洪江市2020-2021学年九年级上学期期末数学试卷 解析版

2020-2021学年湖南省怀化市洪江市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题4分，共40分）
1．下式中表示y是x的反比例函数的是（）
A．y＝﹣x﹣4B．y＝x2C．y＝D．y＝
2．小明乘车从南充到成都，行车的速度v（km/h）和行车时间t（h）之间的函数图象是（）A．B．
C．D．
3．若x1+x2＝3，x12+x22＝5，则以x1，x2为根的一元二次方程是（）A．x2﹣3x+2＝0B．x2+3x﹣2＝0C．x2+3x+2＝0D．x2﹣3x﹣2＝0 4．请你判断，x|x|﹣3|x|+2＝0的实根的个数为（）
A．1B．2C．3D．4
5．一个两位数等于其各数位上数字的积的3倍，且个位上数字比十位上数字大2，则这个两位数是（）
A．24B．35C．42D．53
6．已知△ABC三边长是，，2，与△ABC相似的三角形三边长可能是（）A．1，，B．1，，C．1，，D．1，，
7．如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，CD＝2，则AB的长是（）
A．2B．3C．4D．5
8．若一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0无实数根，则反比例函数y＝的图象所在的象限是（）
A．第一、二象限B．第一、三象限
C．第二、四象限D．第三、四象限
9．2sin45°的值等于（）
A．1B．C．D．2
10．某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，那么你估计该厂这20万件产品中合格品约为（）
A．1万件B．19万件C．15万件D．20万件
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．某县校服生产有甲、乙、丙三种方案，为了了解何种图案更受欢迎，随机调查了某校学生100名，其中有60位学生喜欢甲方案，若该校有学生3000名，根据你所学的统计知识，估计该校喜欢甲方案的学生有人．
12．一元二次方程x2﹣2x＝1的两根α、β，则α+β+α•β＝．
13．已知＝3，则＝．
14．某楼梯的侧面如图所示，测得AC＝4m，∠ACB＝30°，则该楼梯的高度AB＝．
15．点P（1，1）向左平移两个单位后恰好位于双曲线y＝上，则k＝．
16．已知，则＝．
三、解答题（86分）
17．（8分）解方程
（1）3x2﹣7x＝0
（2）x2+4x＝2
18．（6分）计算：3tan30°﹣+cos45°+
19．（10分）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0．
（1）若x＝1是方程的一个解，写出a，b满足的关系式？
（2）当b＝1时，利用根的判别式判断方程根的情况．
（3）若方程有两个相等的实根，请写出一组满足条件的a，b的值，并求出此时的方程根．
20．（8分）若AE与BD相交于点C，AC＝3，BC＝6，CD＝10，CE＝5，证明AB∥OE．
21．（10分）一艘船以40km/s的速度向正东航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上继续航行1h．到达B处，这时测得灯塔C在北偏东30°方向上，已知在灯塔C的四周30km内有暗礁，问这船继续向东航行是否安全？
22．（10分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，AE与CD交于点F，若AE平分∠BAC，AB•AF＝AC•AE．
（1）求证：∠AFD＝∠AEC；
（2）若EG∥CD，交边AC的延长线于点G，求证：CD•CG＝FC•BD．
23．（10分）如图，在10×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段AB、线段EF的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在图中以AB为边画Rt△ABC，点C在小正方形的格点上，使∠BAC＝90°，且tan ∠ACB＝；
（2）在（1）的条件下，在图中画以EF为边且面积为3的△DEF，点D在小正方形的格点上，使∠CBD＝45°，连接CD，直接写出线段CD的长．
24．（10分）为了解某市市民“绿色出行”方式的情况，某校数学兴趣小组以问卷调查的形式，随机调查了某市部分出行市民的主要出行方式（参与问卷调查的市民都只从以下五个种类中选择一类），并将调查结果绘制成如下不完整的统计图．
种类A B C D E
出行方式共享单车步行公交车的士私家车
根据以上信息，回答下列问题：
（1）参与本次问卷调查的市民共有人，其中选择B类的人数有人；
（2）在扇形统计图中，求A类对应扇形圆心角α的度数，并补全条形统计图；
（3）该市约有12万人出行，若将A，B，C这三类出行方式均视为“绿色出行”方式，请估计该市“绿色出行”方式的人数．
25．（14分）如图①，AD、BD分别是△ABC的内角∠BAC，∠ABC的平分线，过点A作AE⊥AD交BD的延长线于点E．
（1）证明：∠E＝∠C．
（2）如图②，如果AE＝AB，且BD：DE＝2：3，求cos∠ABC的值．
（3）如果∠ABC是锐角且△ABC与△ADE相似，求∠ABC的度数．
2020-2021学年湖南省怀化市洪江市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．下式中表示y是x的反比例函数的是（）
A．y＝﹣x﹣4B．y＝x2C．y＝D．y＝
【分析】利用反比例函数定义进行解答即可．
【解答】解：A、是一次函数，不是反比例函数，故此选项不合题意；
B、是二次函数，不是反比例函数，故此选项不合题意；
C、不是反比例函数，故此选项不符合题意；
D、是反比例函数，故此选项符合题意；
故选：D．
2．小明乘车从南充到成都，行车的速度v（km/h）和行车时间t（h）之间的函数图象是（）A．B．
C．D．
【分析】根据时间t、速度v和路程s之间的关系，在路程不变的条件下，得v＝，则v 是t的反比例函数，且t＞0．
【解答】解：∵v＝（t＞0），
∴v是t的反比例函数，
故选：B．
3．若x1+x2＝3，x12+x22＝5，则以x1，x2为根的一元二次方程是（）A．x2﹣3x+2＝0B．x2+3x﹣2＝0C．x2+3x+2＝0D．x2﹣3x﹣2＝0【分析】利用完全平方公式计算出x1x2＝2，然后根据根与系数的关系写出以x1，x2为根的一元二次方程．
【解答】解：∵x12+x22＝5，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝5，
而x1+x2＝3，
∴9﹣2x1x2＝5，
∴x1x2＝2，
∴以x1，x2为根的一元二次方程为x2﹣3x+2＝0．
故选：A．
4．请你判断，x|x|﹣3|x|+2＝0的实根的个数为（）
A．1B．2C．3D．4
【分析】先去掉绝对值然后再根据二次函数的性质求出方程的根，从而求解．
【解答】解：①x＞0，得x|x|﹣3|x|+2＝x2﹣3x+2＝0，
∴（x﹣1）（x﹣2）＝0，
解得x＝1或2，满足条件；
②x＜0，得x|x|﹣3|x|+2＝﹣x2+3x+2＝0，
∴x2﹣3x﹣2＝0，
∵△＝9﹣4×（﹣2）＝17，
∴x＝，
∵x＜0，
∴x＝，
∴方程实根的个数为3个，
故选：C．
5．一个两位数等于其各数位上数字的积的3倍，且个位上数字比十位上数字大2，则这个两位数是（）
A．24B．35C．42D．53
【分析】设十位上的数字为未知数，得到两位数个位上的数字，根据关系式两位数等于其各数位上数字的积的3倍列出方程求得十位上的数字，进而求得两位数即可．
【解答】解：设十位上的数字为x，则个位上的数字为x+2，
10x+x+2＝3x（x+2），
（x﹣2）（3x+1）＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣（不合题意，舍去），
故x＝2，
∴这个两位数为2×10+4＝24．
故选：A．
6．已知△ABC三边长是，，2，与△ABC相似的三角形三边长可能是（）A．1，，B．1，，C．1，，D．1，，
【分析】根据相似三角形的判定定理即可得到结论．
【解答】解：∵△ABC三边长是，，2，
∴△ABC三边长的比为：2：＝1：：，
∴△ABC相似的三角形三边长可能是1：：，
故选：A．
7．如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，CD＝2，则AB的长是（）
A．2B．3C．4D．5
【分析】直接利用相似三角形的性质得出对应边之间的关系进而得出答案．
【解答】解：∵△ABO∽△CDO，
∴＝，
∵BO＝6，DO＝3，CD＝2，
∴＝，
解得：AB＝4．
故选：C．
8．若一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0无实数根，则反比例函数y＝的图象所在的象限是（）
A．第一、二象限B．第一、三象限
C．第二、四象限D．第三、四象限
【分析】先根据一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0无实数根判断出m的取值范围，再判断出
m+1的符号进而可得出结论．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0无实数根，
∴△＝4+4m＜0，解得m＜﹣1，
∴m+1＜0，
∴反比例函数y＝的图象所在的象限是第二、四象限．
故选：C．
9．2sin45°的值等于（）
A．1B．C．D．2
【分析】根据sin45°＝解答即可．
【解答】解：2sin45°＝2×＝．
故选：B．
10．某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，那么你估计该厂这20万件产品中合格品约为（）
A．1万件B．19万件C．15万件D．20万件
【分析】先计算出100件样本中合格品的百分比，约等于这20万件的合格率，再估计该厂这20万件产品中合格品．
【解答】解：（100﹣5）÷100×100%×20＝19（万件），故选：B．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．某县校服生产有甲、乙、丙三种方案，为了了解何种图案更受欢迎，随机调查了某校学生100名，其中有60位学生喜欢甲方案，若该校有学生3000名，根据你所学的统计知识，估计该校喜欢甲方案的学生有1800人．
【分析】用该校总人数乘以样本中喜欢甲学生人数占被调查人数的比例即可．
【解答】解：估计该校喜欢甲方案的学生有3000×＝1800（人），
故答案为：1800．
12．一元二次方程x2﹣2x＝1的两根α、β，则α+β+α•β＝1．
【分析】直接根据根与系数的关系得出α+β＝2；αβ＝﹣1，再代入计算即可．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x＝1的两根α、β，
∴α+β＝2；αβ＝﹣1．
则α+β+α•β＝2﹣1＝1．
故答案为：1．
13．已知＝3，则＝﹣2．
【分析】直接利用已知将原式变形进而代入求出答案．
【解答】解：∵＝3，
∴＝＝﹣×3＝﹣2．
故答案为：﹣2．
14．某楼梯的侧面如图所示，测得AC＝4m，∠ACB＝30°，则该楼梯的高度AB＝．
【分析】利用正切三角函数解直角三角形求出AB即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵∠A＝90°，AC＝4m，∠ACB＝30°，
∴tan∠ACB＝＝
∴AB＝AC•tan∠ACB＝4×＝，
故答案为：．
15．点P（1，1）向左平移两个单位后恰好位于双曲线y＝上，则k＝﹣1．【分析】根据点的平移规律，得出平移后的点的坐标，将该点坐标代入y＝中求k即可．【解答】解：点P（1，1）向左平移两个单位后点的坐标为（﹣1，1），
将点（﹣1，1）代入y＝中，得k＝﹣1，
故答案为﹣1．
16．已知，则＝．
【分析】直接利用已知变形，进而代入得出答案．
【解答】解：∵，
∴设x＝3a，则y＝4a，z＝5a，
则＝＝．
故答案为：．
三、解答题（86分）
17．（8分）解方程
（1）3x2﹣7x＝0
（2）x2+4x＝2
【分析】（1）利用因式分解法求解可得；
（2）利用配方法求解可得．
【解答】解：（1）∵3x2﹣7x＝0，
∴x（3x﹣7）＝0，
则x＝0或3x﹣7＝0，
解得x＝0或x＝；
（2）∵x2+4x＝2，
∴x2+4x+4＝2+4，即（x+2）2＝6，
则x+2＝，
∴x＝﹣2．
18．（6分）计算：3tan30°﹣+cos45°+【分析】代入特殊角的三角函数值即可．
【解答】解：原式＝3×﹣+×+
＝﹣2+2+﹣1
＝2﹣1．
19．（10分）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0．（1）若x＝1是方程的一个解，写出a，b满足的关系式？
（2）当b＝1时，利用根的判别式判断方程根的情况．
（3）若方程有两个相等的实根，请写出一组满足条件的a，b的值，并求出此时的方程根．
【分析】（1）代入法可求a、b满足的关系式；
（2）由方程的系数结合根的判别式、b＝1，可得出△＝12﹣2a，分三种情况判断；
（3）由根的判别式△＝b2﹣2a＝0，可得出：若b＝2，a＝2，则原方程为2x2+2x+＝0，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）把x＝1代入方程可得a+b+＝0；
（2）△＝b2﹣4a×＝b2﹣2a，
∵b＝1，
∴△＝12﹣2a，
∴当a≤时，方程有实数根；当a＞时，方程无实数根；
（3）∵方程有两个相等的实数根，
∴b2﹣2a＝0，即b2＝2a，
取a＝2，b＝2，
则方程为2x2+2x+＝0，
解得x1＝x2＝﹣．
20．（8分）若AE与BD相交于点C，AC＝3，BC＝6，CD＝10，CE＝5，证明AB∥OE．
【分析】根据两边对应成比例且夹角相等，即可证得两三角形相似，根据相似三角形的性质可得∠A＝∠E，即可得出结论．
【解答】证明：∵AC＝3，BC＝6，CD＝10，CE＝5，
∴＝，
∵∠ACB＝∠ECD，
∴△ACB∽△ECD，
∴∠A＝∠E，
∴AB∥DE．
21．（10分）一艘船以40km/s的速度向正东航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上继续航行1h．到达B处，这时测得灯塔C在北偏东30°方向上，已知在灯塔C的四周30km内有暗礁，问这船继续向东航行是否安全？
【分析】过C作CD⊥AB于点D，根据方向角的定义及余角的性质求出∠BCA＝30°，∠ACD＝60°，证∠ACB＝30°＝∠BAC，根据等角对等边得出BC＝AB＝40海里，然后解Rt△BCD，求出CD即可．
【解答】解：过点C作CD⊥AB，垂足为D．如图所示：
根据题意可知∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∠DBC＝90°﹣30°＝60°，
∵∠DBC＝∠ACB+∠BAC，
∴∠BAC＝30°＝∠ACB，
∴BC＝AB＝40×1＝40（km），
在Rt△BCD中，∠CDB＝90°，∠DBC＝60°，sin∠DBC＝，
∴CD＝40×sin60°＝40×＝20（km）＞30km，
∴这艘船继续向东航行安全．
22．（10分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，AE与CD交于点F，若AE平分∠BAC，AB•AF＝AC•AE．
（1）求证：∠AFD＝∠AEC；
（2）若EG∥CD，交边AC的延长线于点G，求证：CD•CG＝FC•BD．
【分析】（1）先证△BAE∽△CAF，推出∠AEB＝∠AFC，由等角的补角相等可得出结论；
（2）先后证明∠DCB＝∠CEG，∠G＝∠ACF＝∠B，推出△BDC∽△GCE，由相似三角形的性质可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AB•AF＝AC•AE，
∴＝，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∴△BAE∽△CAF，
∴∠AEB＝∠AFC，
∴180°﹣∠AEB＝180°﹣∠AFC，
∴∠AEC＝∠AFD；
（2）证明：∵∠CFE＝∠AFD＝∠CEF，
∴CE＝CF，
∵DC∥EG，
∴∠DCB＝∠CEG，∠G＝∠ACF＝∠B，
∴△BDC∽△GCE，
∴＝＝，
∴CD•CG＝FC•BD．
23．（10分）如图，在10×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段AB、线段EF的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在图中以AB为边画Rt△ABC，点C在小正方形的格点上，使∠BAC＝90°，且tan ∠ACB＝；
（2）在（1）的条件下，在图中画以EF为边且面积为3的△DEF，点D在小正方形的格点上，使∠CBD＝45°，连接CD，直接写出线段CD的长．
【分析】（1）如图，作∠BAC＝90°，且边AC＝3，才能满足条件；
（2）作DE＝2，连接DF，则△DEF是以EF为边且面积为3的三角形，连接BD，CD，则∠CBD＝45°．
【解答】解：（1）如图，
由勾股定理得：AB＝＝2，
AC＝＝3，BC＝＝，
∴AB2+AC2＝（2）2+（3）2＝26，
BC2＝（）2＝26，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°，
tan∠ACB＝＝＝；
（2）如图，∵S△DEF＝×2×3＝3，
∵BC＝，CD＝＝，BD＝＝，
∴BC2+CD2＝52，BD2＝52，
∴BC2+CD2＝BD2，
∴∠BCD＝90°，BC＝CD，
∴∠CBD＝45°，
∴CD＝．
24．（10分）为了解某市市民“绿色出行”方式的情况，某校数学兴趣小组以问卷调查的形式，随机调查了某市部分出行市民的主要出行方式（参与问卷调查的市民都只从以下五个种类中选择一类），并将调查结果绘制成如下不完整的统计图．
种类A B C D E
出行方式共享单车步行公交车的士私家车
根据以上信息，回答下列问题：
（1）参与本次问卷调查的市民共有800人，其中选择B类的人数有240人；
（2）在扇形统计图中，求A类对应扇形圆心角α的度数，并补全条形统计图；
（3）该市约有12万人出行，若将A，B，C这三类出行方式均视为“绿色出行”方式，请估计该市“绿色出行”方式的人数．
【分析】（1）由C类别人数及其百分比可得总人数，总人数乘以B类别百分比即可得；
（2）根据百分比之和为1求得A类别百分比，再乘以360°和总人数可分别求得；
（3）总人数乘以样本中A、B、C三类别百分比之和可得答案．
【解答】解：（1）本次调查的市民有200÷25%＝800（人），
∴B类别的人数为800×30%＝240（人），
故答案为：800，240；
（2）∵A类人数所占百分比为1﹣（30%+25%+14%+6%）＝25%，
∴A类对应扇形圆心角α的度数为360°×25%＝90°，A类的人数为800×25%＝200
（人），
补全条形图如下：
（3）12×（25%+30%+25%）＝9.6（万人），
答：估计该市“绿色出行”方式的人数约为9.6万人．
25．（14分）如图①，AD、BD分别是△ABC的内角∠BAC，∠ABC的平分线，过点A作AE⊥AD交BD的延长线于点E．
（1）证明：∠E＝∠C．
（2）如图②，如果AE＝AB，且BD：DE＝2：3，求cos∠ABC的值．
（3）如果∠ABC是锐角且△ABC与△ADE相似，求∠ABC的度数．
【分析】（1）由题意：∠E＝90°﹣∠ADE，证明∠ADE＝90°﹣∠C即可解决问题．（2）延长AD交BC于点F．证明AE∥BC，可得∠AFB＝∠EAD＝90°，，由BD：DE＝2：3，可得cos∠ABC＝．
（3）因为△ABC与△ADE相似，∠DAE＝90°，所以∠ABC中必有一个内角为90°因为∠ABC是锐角，推出∠ABC≠90°．接下来分两种情形分别求解即可．
【解答】证明：（1）如图1中，
∵AE⊥AD，
∴∠DAE＝90°，∠E＝90°﹣∠ADE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠BAC，同理∠ABD＝∠ABC，
∵∠ADE＝∠BAD+∠DBA，∠BAC+∠ABC＝180°﹣∠C，∴∠ADE＝（∠ABC+∠BAC）＝90°﹣∠C，
∴∠E＝90°﹣（90°﹣∠C）＝∠C．
（2）延长AD交BC于点F．
∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠E，
BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠E＝∠CBE，
∴AE∥BC，
∴∠AFB＝∠EAD＝90°，，
∵BD：DE＝2：3，
∴cos∠ABC＝．
（3）∵△ABC与△ADE相似，∠DAE＝90°，
∴△ABC中必有一个内角为90°
∵∠ABC是锐角，
∴∠ABC≠90°．
①当∠BAC＝∠DAE＝90°时，
∵∠E＝∠C，
∴∠ABC＝∠E＝∠C，
∵∠ABC+∠C＝90°，
∴∠ABC＝30°，
②当∠C＝∠DAE＝90°时，∠E＝∠C＝45°，∴∠EDA＝45°，
∵△ABC与△ADE相似，
∴∠ABC＝45°，
综上所述，∠ABC＝30°或45°．。