内蒙古高一上学期期末考试数学试题(解析版)

【详解】由题意， k
0
时，函数
y
k x 1
在 [4
， 6] 上单调递减，
f (x)max
f (4)
4
k 1
1
，
k
3，
故选：C．
9．函数 y 3cos 2x 4 (x R) 是（
）
A．最小正周期为 的偶函数
B．最小正周期为 2 的偶函数
C．最小正周期为 的奇函数
D．最小正周期为 2 的奇函数
一、单选题
1．已知全集U 1, 2,3, 4,5 ， A 2,3, 4 ， B 3,5 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B A
B． ðU A 1,5
C． A B 3
D． A B 2, 4,5
【答案】B 【解析】利用集合的包含关系可判断 A 选项的正误，利用集合的基本运算可判断 BCD 选项的正误.
∴ f x x2 2x 6 ；
（2）∵ f x x2 2x 6 x 12 5 ， x 2, 2 ，
C．三角形的内角是第一象限角或第二象限角 π
D．将表的分针拨慢10 分钟，则分针转过的角的弧度数为 3
【答案】D
【分析】举反例说明 A 错误；由终边相同角的概念说明 B 错误；由三角形的内角的范围说明 C 错
误；求出分针转过的角的弧度数说明 D 正确．
【详解】对于 A ，120 是第二象限角， 420 是第一象限角，120 420 ，故 A 错误；
故选：B.
2． cos 11 的值为 4
A．
1 2
B． 1 2
C． 2 2
D． 2 2
【答案】D
【详解】由诱导公式可得，
cos 11 4
cos
2
3 4
cos
3 4
cos
4
cos 4
2 ，故选 2
D.
3．下列说法正确的是 （ ）
A．第二象限角比第一象限角大
B． 60 角与 600 角是终边相同角
∴扇形的弧长 l＝rα 2 5 10 ．
3
3
10 故答案为 ．
3
【点睛】本题主要考查扇形的弧长公式的计算，熟记弧长公式是解决本题的关键，属于基础题．
16．已知函数
f
x
x2 1, x 0,
sin
x,
x
0,
则
f
f
52π 3
________．
7 【答案】
4
【分析】根据分段函数及诱导公式即得.
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】首先解一元二次不等式 x2 2x 3 0 1 x 3 ，然后根据充分不必要条件即可判断.
【详解】由 x2 2x 3 0 ，则 1 x 3，
可知“ 0 x 2 ”是“ x2 2x 3 0 ”的充分不必要条件，
故选 A
【答案】A
【分析】运用公式 T
2
，直接求出周期，判断
f
( x),
f
(x)
之间的关系，结合函数奇偶性的定义
进行判断即可．
【详解】 T
2
，
f
(x)
3cos(2x) 4 3cos 2x 4
f
(x) ，所以函数最小正周期为
，是偶
函数，因此本题选 A．
【点睛】本题考查了余弦型函数的最小正周期以及奇偶性，利用函数奇偶性的定义进行判断是解题
x
4
的图象是由
y=sinx
向左平移
4
可得，∴f（x）在Fra bibliotek0,2
单调递增不对．
故选 D．
【点睛】本题考查正弦函数的对称性，对称中心的求法，属于基础题．
8．函数
f
x
k (k
x 1
0) 在4，6 上的最大值为1，则 k
的值为（
）
A． 1
B． 2
C． 3
D． 4
【答案】C
【分析】确定函数的单调性，利用函数在[4 ， 6] 上的最大值为 1，即可求出 k 的值．
【详解】 f x x 10 ,
x2
函数要有意义则需
x x
1 0 20
，
解得 x 2 且 x 1 ， 所以函数的定义域为{x | x 2 且 x ¹ - 1}
故答案为：{x | x 2 且 x ¹ - 1} 【点睛】本题主要考查了函数的定义域，考查了运算能力，属于中档题.
14．已知函数 f x 为一次函数，且 f 2 1，若 f f x 4x 3 ，则函数 f x 的解析式
11．已知奇函数 f x 在区间2,3 上单调递增，则 f x 在区间3, 2上（ ）
A．单调递增，且最大值为 f 2
B．单调递增，且最大值为 f 3
C．单调递减，且最大值为 f 2
D．单调递减，且最大值为 f 3
【答案】A
【解析】利用函数单调性的定义结合奇函数的基本性质可判断函数 f x 在区间3, 2上的单调
【答案】(1) f x x2 2x 6 ；
(2)5,14 .
【分析】（1）根据 f 0 6 ， f 1 5 列方程组来求得 a,b .
（2）结合二次函数的性质求得函数 y f x 在区间2,2 上的值域.
f 0 b 6
【详解】（1）∵
f
1
a
b
1
5
a 2 解得 b 6 ，
【点睛】本题主要考查充分不必要条件的含义，属于基础题.
7．设函数
f
x
sin
x
4
，则下列结论错误的是（ ）
A． f x 的一个周期为 2
B． f x 的图象关于直线 x 对称
4
C．
f
x
的图象关于
4
,
0
对称
D．
f
x
在
0,
2
单调递增
【答案】D
【分析】根据正弦函数的性质判断各选项即可．
对于 B， 600 360 240 ，与 60 终边不同，故 B 错误； 对于 C，三角形的内角是第一象限角或第二象限角或 y 轴正半轴上的角，故 C 错误；
对于 D，分针转一周为 60 分钟，转过的角度为 2 ，将分针拨慢是逆时针旋转，
钟表拨慢10 分钟，则分针所转过的弧度数为 1 2π π ，故 D 正确．
为_____．
【答案】 f x 2x 3
【分析】利用待定系数法求解函数的解析式即可.
【详解】设函数的解析式为 f x kx m ，
则 f f x k kx m m k 2x km m ，且 f 2 2k m ，
2k m 1
据此可得：
k2
km m
4
3
，解得：
对于②，如 3 2, 1 3 ，而 3 (1) 4 2 (3) 5 ，故②错误；
对于③，如 3 1, 2 3 ，而 3 (2) 1 (3) ，故③错误；
对于④，若
a>b>0，则
1 a
1 b
，当
c>0
时，
c a
c b
，故④错误.
所以正确的命题只有 1 个.
故选：C. 5．下列函数中既是偶函数，又在 (0, ) 上单调递增的是（ ）
0 1
，解方程组求得
sin
,
cos
的值.
sin 3cos 0
【详解】联立 sin2
cos2
， 1
∵sin α＋3cos α＝0，
∴sin α＝－3cos α.
又 sin2α＋cos2α＝1，
∴(－3cos α)2＋cos2α＝1，即 10cos2α＝1，
∴cosα＝± 10 . 10
当 cos α＝－ 10 时，sin α＝ 3 10 ；
A． y x3
B． y 9 x2
C． y x
【答案】C
D． y 1 x
【解析】根据常见函数的单调性和奇偶性，即可容易判断选择.
【详解】根据题意，依次分析选项：
对于 A， y x3 ，为奇函数，不符合题意；
对于 B， y 9 x2 ，为偶函数，在 (0, ) 上单调递减，不符合题意；
对于
（4）下结论：判断，根据定义得出结论.
即取值 作差 变形 定号 下结论.
12．已知
f
cos
2
cos
sin
2
tan
，则
f
2020 3
（
）
A． 3
2
B． 1 2
C．
1 2
D． 3 2
【答案】C
【分析】先化简
f
，再求解
f
2020 3
.
【详解】因为
f
cos
2
sin
【详解】函数
f
x
sin
x
4
，根据正弦函数的性质有
f
x
2π
f
x
，所以
f
x
的一个周期
为-2π，∴A 正确．
当x
时，可得函数
f（x）=sin
=1，∴f（x）的图象关于直线 x
对称，∴B
正确．
4
2
4
当
x
4
时，可得函数
f（x）=sin0=0，∴f（x）的图象关于
4
,
0
对称，∴C
正确．
函数
f
x
sin
【详解】由题意可得
f
52π 3
sin
52π 3
sin
π 3
3 ，则 2
f
f
52π 3
f
3 2
3 2
2
1
7 4
.
7 故答案为： .
4
三、解答题
17．已知 sin α＋3cos α＝0，求 sin α，cos α 的值.
【答案】见解析
【分析】联立
sin sin
3cos 2 cos2
【详解】已知全集U 1, 2,3, 4,5 ， A 2,3, 4 ， B 3,5 .
对于 A 选项， B A ，A 选项错误；
对于 B 选项， ðU A 1,5 ，B 选项正确；
对于 C 选项， A B 2,3, 4,5 ，C 选项错误；
对于 D 选项， A B 3，D 选项错误.
C，
y
x
x, x x,
0 x
0
，既是偶函数，又在
(0,
)
上单调递增，符合题意；
对于 D， y 1 为奇函数，不符合题意；
x
故选：C．
【点睛】本题考查常见函数单调性和奇偶性的判断，属简单题. 6．设 x R ，则“ 0 x 2 ”是“ x2 2x 3 0 ”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
f
1 x
或
f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成
方程组，通过解方程组求出 f(x)．
15．已知扇形的圆心角为 2 ，半径为 5，则扇形的弧长 l _________.
3
10 【答案】
3
【分析】根据扇形的弧长公式进行求解即可．
【详解】∵扇形的圆心角 α 2 ，半径为 r＝5， 3
的关键．
10．设 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x 0 时， f (x) 2x2 x ，则 f (1)
A． 3 【答案】A
B． 1
C． 1
D． 3
【详解】试题分析：因为当
时， f (x) 2x2 x ，所以
. 又因为
f (x) 是定义在 R 上的奇函数，所以
. 故应选 A.
【解析】函数奇偶性的性质.
故选：A. 【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法：
（1）取值：设 x1、 x2 是所给区间上的任意两个值，且 x1 x2 ；
（2）作差变形：即作差 f x1 f x2 ，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符
号的方向变形；
（3）定号：确定差 f x1 f x2 的符号；
2
cos tan
sin cos
cos tan
sin cos sin
cos
，
所以
f
2020 3
cos
2020 3
cos
672
4 3
cos
3
cos
3
1 2
.
故选：C.
二、填空题
13．求函数 f x x 10 的定义域为____
x2 【答案】{x | x 2 且 x ¹ - 1} 【分析】根据函数解析式建立不等式求解即可.
k 2
m
3
，
故函数 f x 的解析式为 f x 2x 3 .
【点睛】求函数解析式常用方法：
(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；
(2)换元法：已知复合函数 f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
(3)方程法：已知关于
f(x)与
性，进而可得出函数 f x 在区间3, 2上的最值.
【详解】任取 x1、 x2 3, 2且 x1 x2 ，即 3 x1 x2 2 ，所以， 2 x2 x1 3 ， 因为函数 f x 在区间2,3 上单调递增，则 f x2 f x1 ，
因为函数 f x 为奇函数，则 f x2 f x1 ， f x1 f x2 ， 因此，函数 f x 在区间3, 2上为增函数，最大值为 f 2 ，最小值为 f 3 .
6
3
故选:D．
4．下列四个命题中，正确命题的个数为（ ）
①若 a>|b|，则 a2>b2；②若 a>b，c>d，则 a－c>b－d；③若 a>b，c>d，则 ac>bd；④若 a>b>0，
则c c. ab
A．3
B．2
C．1
D．0
【答案】C
【解析】由不等式的性质可判断①④，取特殊值可判断②③.
【详解】对于①，由不等式的性质可得易知若 a | b | 0 ，则 a2 b2 ，故①正确；
10
10
当 cos α＝ 10 ，时，sin α＝－ 3 10 .
10
10
【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查二元二次方程组的解法，属于基础题.
18．已知二次函数 f x x2 ax b ，满足 f 0 6 ， f 1 5 ．
(1)求函数 y f x 的解析式；
(2)当 x 2, 2 时，求函数 y f x 的值域．