8方差分析例

例一、某地用A 、B 和C 三种方案医治血红蛋白含量不满10g 的婴幼儿贫血患者，A 方案为每千克体重天天口服％硫酸亚铁1ml ，B 方案为每千克体重天天口服％硫酸亚铁，C 方案为每千克体重天天口服3g 鸡肝粉，医治一月后，记录下每名受试者血红蛋白的上升克数，资料见下表，问三种医治方案对婴幼儿贫血的疗效是不是相同？
表 A 、B 、C 三种方案医治婴幼儿贫血的疗效观看
治疗方案
血红蛋白增加量（g ）
A （n =20）
B （n =19）
C （n =20）
完全随机设计方差分析计算表
变异来源 SS ν
MS F 总变异
2211
()i
n k ij
i j X
x X C ==-=-∑∑∑
N -1 组间（处理） 2
2
1
1
()()k
k
i i
i
i i i
X n x x C n ==-=-∑∑∑
k -1 SS TR /νTR MS TR /MS e
组内（误差）
SS T -SS TR
N -k
SS e /νe
()
N X C 2
∑=
F 查验步骤： （1）成立假设：
H 0：μA =μB =μC ，三种医治方案医治婴幼儿贫血的疗效相同； H 1：三种医治方案医治婴幼儿贫血的疗效不全相同或全不相同。

（2）确立查验水准：α= （3）计算查验统计量：
①计算各组基础数据：i X ∑和2i X ∑和总的X ∑和2X ∑。

A
B C 总和 i X ∑ 2i
X
∑
n i
20
19
20
59
②别离计算SS T ，SS TR ，和SS e 。

C =（）2 /59= 总变异： SS T =－=
组间变异： 222
36.8023.3018.60104.97788.6054201920
SS =++-=TR
组内变异：SS e=－=
③列出方差分析表。

变异来源SS νMS F
总58
组间 2
组内（误差）56
（4）确信P值：
该F值分子的自由度νTR=2，分母的自由度νe=56，查F界值表（附表4）得（2，56）=，F ＞（2,56），那么P＜。

（5）结论：
按α=水准，拒绝H0，同意H1，不同有统计学意义。

故能够为三种医治方案的医治成效不一样。

例二、为探讨一氧化氮（NO ）在肾缺血再灌流进程中的作用，将36只雄性SD 大鼠随机等分为3组给予不同处置后，测得NO 数据见下表，问各组NO 水平是不是相同？
表 三组大鼠肾组织液中NO 水平（μmol ·L -1
）
正常对照组
肾缺血60min 组
肾缺血60min 再灌流组
合 计
i n
12 12 12 36 X ∑ 2
X ∑
（1）成立查验假设：
H 0：μ1=μ2=μ3，三组大鼠NO 含量整体均值相等；
H 1：三组大鼠NO 含量整体均值不全相等或全不相等。

（2）确立查验水准：α= （3）计算查验统计量：
()
N X C 2
∑=＝（）2 /36=
总变异：
SS T =2X C -∑＝
组间变异： 2
1
()46925.9504k
i TR i i
X SS C n ==-=∑∑
列出方差分析表： 变异来源 SS
ν
MS F 总 35 组间
2 组内（误差）
33
（4）确信P 值：
该F 值分子的自由度νTR =2，分母的自由度νe =33，查F 界值表（附表4）得（2，33）=，F ＞（2,33），那么P ＜。

（5）结论：
按α=水准，拒绝H 0，同意H 1，不同有统计学意义。

故能够为三组大鼠的NO 水平不同。

一样，以上结论只能说明总的来讲三组的NO 水平有不同，但不能以为任何两组NO 水平均有不同，只能说明为至少有两组NO 水平是有不同的。

若是要明确哪些组之间有不同，
还需作进一步的两两比较。

例、在前面对某地用A、B和C三种方案医治血红蛋白含量不满10g的婴幼儿贫血患者的例题（完全随机设计方差分析例1）进行了方差分析，咱们得出三组整体不等的结论。

究竟哪些整体均数之间存在着不同，咱们需要在前方差分析基础之上，再对该资料作两两比较的q查验。

q查验步骤：
①成立查验假设及确信查验水准：
H0：μA = μB ，每次对照的两个整体均数相等；
H1：μA≠μB ，每次对照的两个整体均数不等。

α=。

②将三个样本均数按从大到小顺序从头排列并编上组次：
组次 1 2 3
均数
组别（医治方案） A B C
③列出两两比较计算表：
三个样本均数两两比较的q查验
对比组两均数之差组数q值q界值P
A与B ()B
X-aα=
A X
（1）（2）（3）（4）（5）（6）
1与3 3 <
1与2 2 <
2与3 2 >
表中第（1）列表示彼此比较的两组。

两两比较的次数为3。

第（2）列为两对照组样本均数之差。

第（3）列为组数a，它表示样本均数按大小顺序排列时，两对照组所包括的组数。

如第一行1与3比，包括了1、2、3三个组，故a=3，余类推。

第（4）列为q值。

本例已知MS e=，用q值计算公式求出每次比较的q值。

第（5）列由附表8的q界值表查出α=时的界值。

本例νe=56，当a=3时，,（60,3）=，当a=2时，,（60,2）=。

第（6）列是依照第（4）列和第（5）列的数据比较得出的P值。

④结论：
按α=判定水准，1与3、1与2对照组拒绝H0，同意H1，说明A方案与C方案、A方案与B方案间不同有统计学意义；而2与3对照组不拒绝H0，说明依照现有资料尚不能说明B方案与C方案有不同。

例、设前面对某地用A、B和C三种方案医治血红蛋白含量不满10g的婴幼儿贫血患者的例题中的A组为对照组，B、C两组为实验组，要求将B组、C组别离与对照组比较。

q'查验步骤：
①成立查验假设及确信查验水准：
H0：μA＝μB ，A组整体均数与B组整体均数相等；
H1：μA≠μ B ，A组整体均数与B组整体均数不等。

α=。

②将三个样本均数按从大到小顺序从头排列并编上组次：
组次 1 2 3
均数
组别A（对照组） B C
③计算查验统计量q'、确信P值并作出结论：
（1）比较对照组（A）与B组的均数：
(
q=-=
' 1.840 1.226 2.1182
以νe=56，a=2，查q'界值表得q'（60,2）=，q'>q'（56,2），P<，故能够为A、B两种医治方案的疗效有不同，A方案优于B方案。

（2）比较对照组（A）与C组的均数：
(
q=-=
' 1.840 3.139
以νe=56，a=3，查q界值表得q'（60,3）=，q’＞q’（56,3），P＜，故能够为A、C两种医治方案的疗效不同，A法优于C法。

两因素方差分析（配伍组设计的方差分析）
例一、在抗癌药挑选实验中，拟用20只小白鼠按不同窝别分为5组，别离观看三种药物对小白鼠肉瘤（S180）的抑瘤成效，资料见下表，问三种药物有无抑瘤作用？
三种药物抑瘤成效的比较（瘤重：g ）
窝别（配伍组） 对照 A B C
配伍组合计(j X ∑) Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
Ⅴ
处理组合计 i X ∑
(X ∑)
2
i
X
∑
(2X ∑)
解题思路：
本例的要紧目的是研究三种药物对小白鼠肉瘤（S180）的抑瘤成效，药物是处置因素。

可是，不同窝别的小白鼠对肉瘤生长的反映假设有不同，这种不同必然阻碍对药物效应的分析，因此在实验设计时可将不同窝别的小白鼠视为干扰因素，并作为区组，那么在数据分析时就能够够将处置因素的作用与干扰因素的阻碍区分开，提高查验功效。

两因素方差分析的原理类似于单因素方差分析，前者仅在后者的基础上，从误差中再分离出区组效应，使误差减少，达到提高查验功效的目的。

随机区组设计方差分析计算表
变异来源 SS ν
MS F 总变异 2
X C -∑
N -1或 kb -1 处理（A ） 2
1()k
i i X C b
=-∑∑
k -1 SS A /νA MS A /MS e 区组（B ） 2
1
()b
j j X C k
=-∑∑
b -1 SS B /νB MS B /MS e
误差（e ） SS T -SS A -SS B
N -k -b 或 (k -1)( b -1)
SS e /νe
()
N X C 2
∑=
k 为因素A 的水平数，b 为因素B 的水平数。

随机区组设计因素A 每一个水平的观看例数恰好等于因素B 的水平数b ；而因素B 每一个水平的观看例数恰好等于因素A 的水平数k 。

F 查验步骤： （1）（2）成立查验假设及设立查验水准：
实验因素： H 0：三种药物对小白鼠肉瘤（S180）的抑瘤成效与对照组相同，即μ对照=μA =μB =μC ； H 1：三种药物对小白鼠肉瘤（S180）的抑瘤成效与对照组不全同或全不同。

α =。

干扰因素：
H 0：5个窝别小白鼠对肉瘤生长的反映相同；
H 1：5个窝别小白鼠对肉瘤生长的反映不全相同或全不相同。

α=。

（3）计算查验统计量：
①计算C 值：
()()
2
2
7.52 2.8275254
X C kb
=
=
=⨯∑
②计算总的离均差平方和SS T ：
2 3.5688 2.827520.74128SS X C =-=-=∑T ③计算处置组间离均差平方和SS A ：
()
()
()
()
()
2
2
2
2
2
3.09 1.50 1.69 1.24 2.827520.410845
5
5
5
i
X SS C b
=-=
+
+
+
-=∑∑
A
④计算区组间离差平方和SS B ：
()
()
()
()
()
()
2
2
2
2
2
2
1.61
2.02 1.14 1.32 1.43 2.827520.112334
4
4
4
4
j
X SS C k
=-=
+
+
+
+
-=∑∑
B
⑤计算误差离均差平方和SS e ： SS e =SS T -SS A -SS B =计算自由度：
总自由度 νT =N -1=20-1=19 处置组自由度 νA =k -1=4-1=3 区组自由度 νB =b -1=5-1=4
误差自由度 νe =νT -νA -νB =19-3-4=12
⑦列出方差分析表：
两因素方差分析表
变异来源 SS ν MS F P 总 19
处理 3 < 区组 4 > 误差
12
（4）确信P 值：
处置组按ν1=3，ν2=12查F 界值表得,（3,12）=<F A ，那么P<； 区组按ν1=4，ν2=12查F 界值表得,（4,12）=>F B ，那么P>。

（5）结论：
关于处置组间，按α =的水准拒绝H 0，同意H 1，不同有统计学意义。

能够为三种药物对小白鼠肉瘤（S180）的抑瘤成效与对照组不同；
关于区组间，按α =的水准不拒绝H 0，不同无统计学意义。

即各窝小白鼠对肉瘤生长的反映相同。

例二、为比较不同产地石棉毒性的大小，取体重200～220g 的雌性Wistar 大鼠36只，将月龄相同、体重相近的三只分为一组。

每组的3只大鼠随机别离同意不同产地的石棉处置后，以肺泡巨噬细胞（PAM ）存活率（％）评判石棉毒性大小。

结果见下表。

问不同产地石棉毒性是不是相同？
表 经不同产地石棉处置后大鼠的巨噬细胞存活率（％）
区组号 （因素B ）
石棉产地（因素A ）
合 计 甲 地 乙 地
丙 地
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
X ∑ 2
X ∑
（1）（2）成立查验假设及设立查验水准：
实验因素：
H 0：三种产地石棉致使PAM 存活率整体均数相等，即μ1=μ2=μ3； H 1：三种产地石棉致使PAM 存活率整体均数不等或不全相等。

α =。

干扰因素：
H 0：不同区组动物的PAM 存活率整体均数相等；
H 1：不同区组动物的PAM 存活率整体均数不等或不全相等。

α=。

（3）计算查验统计量：
①计算C 值：
()
()
2
2
2091.94121561.471236
X C N
=
=
=∑
②计算总的离均差平方和SS T ：
2125338.8466121561.47123777.3754SS X C =-=-=∑T ③计算处置组间离均差平方和SS A ：
()
()
()
()
2
2
2
2
582.6685.54823.82441.386412
12
12
i
X SS C C b
=-=
+
+
-=∑∑
A
④计算区组间离差平方和SS B ：
()
()
()
()
2
2
2
2
161.86186.21181.79485.81163
3
3
j X SS C C k
=-=
+
++
-=∑∑
B
⑤计算误差离均差平方和SS e：
SS e=SS T-SS A-SS B=
⑥计算自由度：
总自由度νT=N-1=36-1=35
处置组自由度νA=k-1=3-1=2
区组自由度νB=b-1=12-1=11
误差自由度νe=νT-νA-νB=35-2-11=22
⑦列出方差分析表：
两因素方差分析表
变异来源SS νMS F P
总变异35
处理（石棉） 2 <
区组（动物）11 >
误差22
（4）确信P值：
处置组按ν1=2，ν2=22查F界值表得,（2,22）=<F A，那么P<；
区组按ν1=11，ν2=22查F界值表得,（11,22）=>F B，那么P>。

（5）结论：
关于处置组间，按α=的水准拒绝H0，同意H1，不同有统计学意义。

能够为三种产地石棉致使PAM存活率整体均数不等；
关于区组间，按α =的水准不拒绝H0，不同无统计学意义。

即不能以为不同区组大鼠间的PAM存活率不同。

两个方差的齐性查验
例、某医生研究转铁蛋白对病毒性肝炎诊断的临床意义，测得12名正常人和15名病毒性肝炎患者血清转铁蛋白含量(μg/dl)，结果如下，试判定正常人与病毒性肝炎患者血清转铁蛋白含量是不是方差齐。

正常人(X 1) (n 1=12) 病毒性肝炎患者(X 2) (n 2=15)
（1）成立查验假设：
H 0：两整体方差相等，即2221σσ=； H 1：两整体方差不等，即2221σσ≠。

α=
（2）计算查验统计量：
s 1 =，s 2 =
9219.138.1039.1422==F
（3）确信P 值：
按自由度(14,11)查附表5，得双侧;14，11=，F <;14,11，P >。

（4）结论：
按α =的水准不拒绝H 0，能够为两整体方差相等。