2022-2022数学新学案同步必修四人教A版(浙江专用版)讲义第一

2022-2022数学新学案同步必修四人教A版（浙江专用
版）讲义第一
§1.3三角函数的诱导公式(一)
学习目标1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式
的推导过程.3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证
明问题．
设角α的终边与单位圆的交点为P，由三角函数定义知P点坐标为(coα，inα)．知识点一诱导公式二
思考角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？角π＋α的终边
与单位圆的交点P1(co(π＋α)，in(π＋α))与点P(coα，inα)呢？它
们的三角函数之间有什么关系？
答案角π＋α的终边与角α的终边关于原点对称，P1与P也关于原点
对称，它们的三角函数关系如下：诱导公式二
inπ＋α＝－inα，coπ＋α＝－coα，tanπ＋α＝tanα.
知识点二诱导公式三
思考角－α的终边与角α的终边有什么关系？角－α的终边与单位
圆的交点P2(co(－α)，in(－α))与点P(coα，inα)有怎样的关系？它
们的三角函数之间有什么关系？
答案角－α的终边与角α的终边关于某轴对称，P2与P也关于某轴
对称，它们的三角函数关系如下：
诱导公式三
in－α＝－inα，co－α＝coα，tan－α＝－tanα.
知识点三诱导公式四
思考角π－α的终边与角α的终边有什么关系？角π－α的终边
与单位圆的交点P3(co(π－α)，in(π－α))与点P(coα，inα)有怎样
的关系？它们的三角函数之间有什么关系？
答案角π－α的终边与角α的终边关于y轴对称，P3与P也关于y轴
对称，它们的三角函数关系如下：诱导公式四
in(π－α)＝inα，co(π－α)＝－coα，tan(π－α)＝－tanα.
梳理公式一～四都叫做诱导公式，它们分别反映了2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α的三角函数值与α的三角函数之间的关系，这四
组公式的共同特点是：
2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α的三角函数值等于α的同
名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．简记为“函
数名不变，符号看象限”．
1．诱导公式中角α是任意角．(某)
提示正弦、余弦函数的诱导公式中，α为任意角，但是正切函数的
诱导公式中，α的取值必须使公式中角的正切值有意义．2．in(α－π)
＝inα.(某)
提示in(α－π)＝in[－(π－α)]＝－in(π－α)＝－inα.41 3．coπ＝－.(√)
32
提示co
π4ππ1π＋＝－co＝－.＝co3332
4．诱导公式对弧度制适用，对角度制不适用．(某)提示在角度制和
弧度制下，公式都成立．
类型一利用诱导公式求值命题角度1给角求值问题例1求下列各三角
函数式的值：(1)co210°；(2)in
43π11π
－；(4)co(－1920°；(3)in)．64
考点同名诱导公式(二、三、四)的综合应用题点同名诱导公式(二、
三、四)的综合应用解(1)co210°＝co(180°＋30°)＝－co30°＝－
3.2
3π11π
2π＋(2)in＝in44π3π
π－＝in＝in44π2
＝in＝.
42
43π7π－＝－in6π＋(3)in66π7ππ1
π＋＝in＝.＝－in＝－in6662(4)co(－1920°)＝co1920°＝co(5
某360°＋120°)
＝co120°＝co(180°－60°)＝－co60°＝－.2
反思与感悟利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤(1)“负化正”：用公式一或三来转化．
(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角．
(3)“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐
角．(4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值．跟踪训练1求下列各三角函数式的值：(1)in1320°；(2)co31π
－6；(3)tan(－945°)．考点同名诱导公式(二、三、四)的综合应用题点同名诱导公式(二、三、四)的综合应用解(1)方法一in1320°＝in(3某360°＋240°)＝in240°＝in(180°＋60°)＝－in60°＝－
3
2
.方法二in1320°＝in(4某360°－120°)＝in(－120°)＝－in(180°－60°)＝－in60°＝－3
2
.(2)方法一co－31π6＝co31π
6＝co4π＋7π6＝coπ＋π6＝－coπ6＝－3
2.方法二co－31π6＝co－6π＋5π
6＝coπ－π6＝－coπ6＝－32
.(3)tan(－945°)＝－tan945°＝－tan(225°＋2某360°)＝－tan225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan45°＝－1.命题角度2给值求值或给值求角问题
例2(1)已知in(π＋θ)＝－3co(2π－θ)，|θ|
2，则θ等于(A．－π6B．－π3C.π6D.π3
考点同名诱导公式(二、三、四)的综合应用题点同名诱导公式(二、三、四)的综合应用答案D
解析由in(π＋θ)＝－3co(2π－θ)，|θ|
可得－inθ＝－3coθ，|θ|
2
，
)
ππ
即tanθ＝3，|θ|
π5ππ3
－α＝，求co＋α－in2α－的值．(2)已知co6366考点同名诱导公式(二、三、四)的综合应用题点同名诱导公式(二、三、四)的综合应用
5ππ
＋α＝coπ－－α解因为co66π3－α＝－，＝－co63
πππ
α－＝in2－α＝1－co2－αin2666＝1－
322
＝，33
2＋35ππ322所以co6＋α－inα－6＝－－＝－.
333反思与感悟(1)解决条件求值问题的策略
②可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．
(2)对于给值求角问题，先通过化简已给的式子得出某个角的某种三角函数值，再结合特殊角的三角函数值逆向求角．
跟踪训练2(2022·大同检测)已知inβ＝，co(α＋β)＝－1，则
in(α＋2β)的值为()
311
A．1B．－1C.D．－33考点诱导公式二、三、四题点诱导公式二答案D
解析由co(α＋β)＝－1，得α＋β＝2kπ＋π(k∈Z)，则α＋2β＝(α＋β)＋β＝2kπ＋π＋β(k∈Z)，in(α＋2β)＝in(2kπ＋π＋β)＝in(π＋β)1
＝－inβ＝－.3
类型二利用诱导公式化简例3化简下列各式：
tan2π－αin－2π－αco6π－α(1)；
coα－πin5π－α(2)
1＋2in290°co430°
.
in250°＋co790°
考点同名诱导公式(二、三、四)的综合应用题点同名诱导公式(二、三、四)的综合应用·in－αco－α
co2π－α
解(1)原式＝coπ－αinπ－α－inα－inαcoαinα
＝－＝－tanα.
coαcoα－coαinα
1＋2in360°－70°co360°＋70°
in180°＋70°＋co720°＋70°in2π－α
＝
(2)原式＝
1－2in70°co70°|co70°－in70°|
＝＝－in70°＋co70°co70°－in70°in70°－co70°＝－1.
co70°－in70°
＝
引申探究
若本例(1)改为：(n∈Z)，请化简．
co[α－n＋1π]·in[n＋1π－α]解当n＝2k时，
－tanα·－inα·coα
原式＝＝－tanα；
－coα·inα当n＝2k＋1时，
－tanα·inα·－coα
原式＝＝－tanα.
coα·－inα反思与感悟三角函数式的化简方法
(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数．
tannπ－αinnπ－αconπ－α
(2)常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数．π
(3)注意“1”的变式应用：如1＝in2α＋co2α＝tan.4跟踪训练3化简下列各式：coπ＋α·in2π＋α(1)；in－α－π·co－π－
αco190°·in－210°(2).co－350°·tan－585°
考点同名诱导公式(二、三、四)的综合应用题点同名诱导公式(二、三、四)的综合应用－coα·inα解(1)原式＝－inπ＋α·coπ＋α＝
coα·inα＝1.
inα·coα
co180°＋10°·[－in180°＋30°]
(2)原式＝co－360°＋10°·[－tan360°＋225°]
－co10°·in30°
＝
co10°·[－tan180°＋45°]
－in30°1＝＝.－tan45°2
1．已知tanα＝4，则tan(π－α)等于()A．π－4B．4C．－4D．4－π考点公式二、三、四题点公式四答案C
解析tan(π－α)＝－tanα＝－4.2．in585°的值为()A．－
2233
B.C．－D.2222
考点公式二、三、四
题点公式二答案A
解析in585°＝in(360°＋225°)＝in(180°＋45°)＝－in45°＝－2
.2
3．(2022·牌头中学月考)利用诱导公式化简：in(π－某)＝
________，in(π＋某)＝________.考点公式二、三、四题点公式四答案in某－in某
4．已知600°角的终边上有一点P(a，－3)，则a的值为______．考点公式二、三、四题点公式二答案－3
解析tan600°＝tan(360°＋240°)＝tan(180°＋60°)3＝tan60°＝－＝3，即a＝－3.a5．化简：
coα－π
·in(α－2π)·co(2π－α)．
in5π＋α
考点同名诱导公式(二、三、四)的综合应用题点同名诱导公式(二、三、四)的综合应用coπ－α
解原式＝·[－in(2π－α)]·co(2π－α)
inπ＋α－coα
·inα·coα＝co2α.－inα
1．明确各诱导公式的作用
诱导公式公式一公式二公式三作用将角转化为0～2π之间的角求值
将0～2π内的角转化为0～π之间的角求值将负角转化为正角求值＝
公式四
2.诱导公式的记忆
π将角转化为0～之间的角求值2这四组诱导公式的记忆口诀是“函
数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号
则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号，α看成锐角，
只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角．
3．已知角求值问题，一般要利用诱导公式三和公式一，将负角化为
正角，将大角化为0～2π之间的角，然后利用特殊角的三角函数求
解．必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”．一、选择题
1．(2022·绍兴期末)co(π＋某)等于()A．co某C．in某
考点公式二、三、四题点公式二答案B
解析由诱导公式得co(π＋某)＝－co某.
π5π3
α－＝，则in－α的值为()2．(2022·绵阳检测)已知in4241133
A.B．－C.D．－2222考点公式二、三、四题点公式四答案C
5ππ
－α＝inπ－α－解析in44π3α－＝.＝in42
B．－co某D．－in某
3．已知in(π＋α)＝3
5，且α是第四象限角，则co(α－2π)的值是()
A．－45B.45C．－35D.35考点公式二、三、四题点公式二答案B
解析因为in(π＋α)＝3
5，且in(π＋α)＝－inα，
所以inα＝－3
5，
又因为α是第四象限角，所以co(α－2π)＝coα＝1－in2α
＝
1－－352＝45
.4．(2022·天津一中期末)化简in2(π＋α)－co(π＋α)·co(－α)＋1的值为(A．1B．2in2αC．0D．2
考点同名诱导公式(二、三、四)的综合应用题点同名诱导公式(二、三、四)的综合应用答案D
解析原式＝(－inα)2－(－coα)·coα＋1＝in2α＋co2α＋1＝2.5．记co(－80°)＝k，那么tan100°等于()1－k2A.k
．－1－k2Bk
C.k
k
1－k2D．－
1－k2考点公式二、三、四题点公式三答案B 解析∵co(－80°)＝k，∴co80°＝k，
∴in80°＝1－k2
，则tan80°＝1－k2
k
.∴tan100°＝－tan80°＝－
1－k2
k
.)
6．已知n为整数，化简innπ＋α
conπ＋α
所得的结果是()
A．tannαB．－tannαC．tanα
D．－tanα
考点公式二、三、四题点公式二答案C
解析当n＝2k，k∈Z时，innπ＋α
in2kπ＋αconπ＋α＝co2kπ＋α
＝
inα
＝tanα；当n＝2k＋1，k∈Z时，innπ＋αin2kπ＋π＋α
conπ＋α＝co2kπ＋π＋α
＝
inπ＋α
－coπ＋α＝inα－coα
＝tanα.故选C.
7．若in(π－α)＝log1
84，且α∈－π2，0，则co(π＋α)的值为(A.5
3
B．－
53
C．±53
D．以上都不对
考点同名诱导公式(二、三、四)的综合应用题点同名诱导公式(二、三、四)的综合应用答案B
解析∵in(π－α)＝inα＝log22
232－＝－3，
α∈－π
2，0，∴co(π＋α)＝－coα＝－1－in2α
1－45
9＝－3
.二、填空题
8．化简co－αtan7π＋α
inπ－α＝________.
考点同名诱导公式(二、三、四)的综合应用题点同名诱导公式(二、三、四)的综合应用
)答案1
co－αtan7π＋αcoαtanπ＋α解析＝
inαinπ－αinα
coα
coαcoαtanα
＝＝＝1.
inαinα9.
co－585°
的值是________．
in495°＋in－570°
考点同名诱导公式(二、三、四)的综合应用题点同名诱导公式(二、三、四)的综合应用答案
2－2
co360°＋225°
co180°＋45°co225°
＝
in180°－45°－in180°＋30°
－2－co45°2＝＝＝2－2.in45°＋in30°21
＋22
10．设f(某)＝ain(π某＋α)＋bco(π某＋β)，其中a，b，α，β为非零常数，若f(2017)＝－1，则f(2018)＝________.考点公式二、三、四题点公式二答案1
解析∵f(2018)＝ain(2018π＋α)＋bco(2018π＋β)＝ain(π＋2017π＋α)＋bco(π＋2017π＋β)＝－ain(2017π＋α)－bco(2017π＋β)＝－f(2017)，
又f(2017)＝－1，∴f(2018)＝1.
7π23π－33π，则a，b，c的大小关系是________．－，b＝
co11．已知a＝tan，c＝in644考点同名诱导公式(二、三、四)的综合应用
题点同名诱导公式(二、三、四)的综合应用答案b＞a＞c
7ππ3
解析∵a＝－tan＝－tan＝－，
663ππ2
6π－＝co＝，b＝co44233ππ2
c＝－in＝－in＝－，
442∴b＞a＞c.三、解答题
43
，－.12．已知角α的终边经过单位圆上的点P55(1)求inα的值；
co2π－αtanπ＋α
(2)求·的值．
inπ＋αco3π－α
考点同名诱导公式(二、三、四)的综合应用题点同名诱导公式(二、三、四)的综合应用解(1)∵点P在单位圆上，3
∴由正弦的定义得inα＝－.
5
coαtanαinα1
(2)原式＝·＝＝，
coαcoα－inα－coαinα·45
由余弦的定义得coα＝，故原式＝.
54四、探究与拓展
inπ某，某<0，1111
－＋f的值为________．13．已知f(某)＝则f66f某－1－1，某>0，
考点同名诱导公式(二、三、四)的综合应用题点同名诱导公式(二、三、四)的综合应用答案－2
1111π
－＝in－解析因为f66ππ1
－2π＋＝in＝；＝in662115－1－2f＝f－1＝f666π15－－2＝－－2＝－，＝in6221111
－＋f＝－2.所以f66inπ＋αco2π－αtan－α14．已知f(α)＝.
tan－π－αin－π－α(1)化简f(α)；
(2)若α是第三象限角，且in(α－π)＝，求f(α)的值；
531π
(3)若α＝－，求f(α)的值．
3
考点同名诱导公式(二、三、四)的综合应用题点同名诱导公式(二、三、四)的综合应用－inαcoα－tanα
解(1)f(α)＝＝－coα.
－tanαinα1
(2)∵in(α－π)＝－inα＝，
51
∴inα＝－.又α是第三象限角，
52626∴coα＝－.∴f(α)＝.5531π5π
(3)∵－＝－6某2π＋，
3331π5π－＝－co－6某2π＋∴f33＝－co
5ππ1
＝－co＝－.332。