交错群图AGn的h-外连通度

文献标识码： Ａ
文章编号： １ ０ ０ ０ — ４ ４ ２ ４ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ４ — ０ ３ ７ ９ — ０ １ ２
§ １ 预 备知识
１ ． １ 图与 网络 的基本概 念
并行计 算系统 中处理机之 间的连接关系是基于给定 的互连 网络 拓扑结构． 一个互连 网络通 常可用 一个 图表 示， 其 中点代表 处理机 ， 边代表 处理机 间的通信链 路．设Ｇ是一个 简单无 向 图，
２ ．福建师范 大学 网络安全与密码技术重点实验 室， 福建福 州 ３ ５ ０ ０ ０ ７ ）
摘 要 ： 设Ｇ ＝ （ Ｅ） 是一个 图， Ｆ
（ Ｇ） 是 图Ｇ一 个节点子 集． 如 果Ｇ —Ｆ不连
通且Ｇ～Ｆ的每 一个连通分 支都至 少有 ＋１ 个 节点， 那 么称Ｆ为Ｇ的一个ｈ 一 外分 离集 ．
３ ８ ０
高 校 应 用 数 学 学 报
第２ ８ 卷第４ 期
乍 的概率极小． 为了弥补这一缺憾 ， 可 以通过引入一些条件或者对分离集Ｓ ， Ｇ—Ｓ的连通分支做
一
些 限 制 来 扩展 传 统 的连 通 度 ．
Ｅ ｓ ｆ ａ ｈ ａ ｎ ｉ ａ ｎ ［ ２ 】 首次引入 了图Ｇ的限制分离集和 限制连 通度的概念．Ｓ 是Ｇ中的一个集合， 如
分别用 （ Ｇ） 和Ｅ（ Ｇ） 来表示Ｇ的节 点集和边集 ， 并用 Ｉ Ｖ（ Ｇ） Ｉ ￣ Ｕ ｌ Ｅ（ Ｇ） Ｉ 来分别表示Ｇ的节 点数和边 数．对于任 意节点子集Ｆ （ Ｇ） ， 用Ｇ—Ｆ来表示 从Ｇ中去 掉Ｆ中所 有点及所 关联的边而得 到 的残存子 图． 如果Ｇ—Ｆ不连通， 则称Ｆ为Ｇ的一个分离集 ．如果Ｆ还满足条件 Ｉ ＦＩ ＝ ， 则称分离
高校应用数 学学报
２ ０ １ ３ ， ２ ８ （ ４ ） ： ３ ７ ９ — ３ ９ ０
交错 群 图Ａ Ｃ仇 的 ＿ 夕 卜 连 通度
林丽美 ， 一 ， 周 书明 ， 一 ， 许 力 ，
（ １ ．福建师范 大学 数学与计算机科学学院， 福建福州 ３ ５ ０ ０ ０ ７ ；
果Ｇ—Ｓ 是不连通 的， 且Ｇ中任意 点ｚ 的邻 点集Ⅳ（ ｚ ） 不 完 包含在Ｓ 中， 则称Ｓ 是限制分离集． Ｇ的 限制连 通度， 记为 （ Ｇ） ， 是限制分离集 的最 小基 数． 考虑到检查 一个 分离集是否 为限制分 离集 是 比较 困难 的， 徐 俊 明等 ［ ３ 】 正式 提 出了超级连 通度， 比限制连 通度稍 弱 的一 个概念 ．如果Ｇ的
连 通 度 （ Ｇ ） 和 边 连通 度 （ Ｇ） 是 网 络容 错 性 度量 的重 要 参数 ． ￣Ｗ ｈ ｉ ｔ ｎ ｅ ｙ 不 等 式 （ Ｇ） （ Ｇ） （ Ｇ） （ 其 中 （ Ｇ） 是Ｇ的最 小 度） 易知 （ Ｇ） ， （ Ｇ） 越 大 意 味着 网络Ｇ容 错性 能越 好． 尽 管
分离集 Ｓ 是超级 分离集， 那 么Ｇ —Ｓ 不包含 孤立点．Ｇ的超级连通度 ， 记 为 （ Ｇ） ， 是超级 分离集
的最小基 数． 显然 ， 如果 （ Ｇ） 存在 ， 则 （ Ｇ）
集Ｓ ｃ ｆ Ｇ ） 被称 为是
节点． ＾ ． 夕 连 通 度
（ Ｇ） ≤ （ Ｇ） ． Ｆ ｒ ｅ ｇ ａ 和Ｆ ｉ ｏ １ ［ ］ 将无 向图超级
心 （ Ｇ） ＝ｒ ａｉ ｎ ｛ ｌ Ｓ ｌ ｌ ｓ 是Ｇ的一个ｈ ＿ 夕 分离集） ．
由定义可 知ｈ 一 外连通度相 比传统连通度或者超级连通度对于大规模互联 网络容错性 的测量
更加精准．朱强等［ ５ 】 ＿ 杨卫华【 ６ ］ 等分别确定了超立方体网络的低阶和高阶外连通度， 朱强等［ ］ 还
集Ｆ是一个ｋ ． 分离集．图Ｇ—Ｆ的最大的连通子 图称为连通分支．图Ｇ的连通度， 记为， ｃ （ Ｇ） ， 定义
为Ｇ的所有分离集 中最 小分离集 的节 点数．特别地， 当Ｇ ＝‰ 时， （ Ｇ） ＝ ｎ一１ ．如果 （ Ｇ） ≥ｋ ，
图Ｇ 称 为是 连通 的． 边连通度 （ Ｇ） 可类似 定义【 ｌ Ｊ ＿
（ Ｇ） ．子
连通度推 广到＾ ຫໍສະໝຸດ 夕 连通度 的概念．设Ｇ是一个 连通无 向图， 整数ｈ ， 满 足条件０ ｈ
ｆ Ｇ ）的 正 式定 义如 下 ：
分 离集， 如果Ｇ—Ｓ 是不连通 的 且每一个连通分支都 少包含ｈ＋ １ 个 （ Ｇ） 定义为
定 义１ ． １ ［ ４ ］ 图Ｇ的ｈ 一 外连通度
图Ｇ的连 通度 （ Ｇ） 是衡量 网络容 错性 能 的一 种重 要途 径， 但 是 它有 一个 明显 的缺 陷，即其默 许Ｇ的任 意节点 的邻节 点都可 以同时发生故障．实际上， 节 点故障是独立 同分布 的， 这一事件发
收稿 日期： ２ ０ １ ３ － ０ ２ ． ０ ５ 修 回日期： ２ ０ １ ３ － ０ ６ — ３ ０ 基金项 目：国家 自然基金项 目（ ６ １ ０ ７ ２ ０ ８ ０ ） ； 祸 建省基金项 目（ ２ ０ １ ３ Ｊ ０ １ ２ ２ １ ； Ｊ Ａ１ ２ ０ ７ ３ ）
进一步确定 了折叠立方体网络的外连通度． 最近， 范伟 ， 周书明Ｉ ｓ ］ 确 定了分层 立方体 网络 的外连
通度． 欧建平等［ ９ ］ ＿ 工世英， 林上为【 加 ］ 分别讨论了 无向Ｋ ａ ｕ ｔ ｚ 图的基于边故障的外连通度． 有关连
图Ｇ的ｈ ． 外连通度， 记作砖 Ｇ） ， 是 图Ｇ的最 小ｈ 一 外 分离集的基数， 它能更有效地反应
图 的容 错 性 ．通 过 交 错 群 图 Ｇ 的容 错 性 刻 画， 本 文 证 明 了交 错 群 图Ａ Ｇ 的１ 一 外 连 通
度， ２ 一 外连通度和３ 一 外连通度分别是４ ｎ一１ １ ， ６ ｎ一１ ９ 和８ ｎ一２ ８ ． 关键词 ： 交错群 图网络； 容错性； ｈ 一 外连通度 中图分类号： Ｏ１ ５ ７ ． ５