2024年重庆市高二数学3月份检测联考试卷附答案解析

2024年重庆市高二数学3月份检测联考试卷
全卷满分150分．考试时间120分钟．2024.03
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若数列{}n a 满足12
12,1n a n a n a +=-=，则3a =（
）
A ．1
B ．
2log 3
C D ．2log 5
2．函数f (x )的图象如图所示，下列数值排序正确的是（
）
A ．()()()()02332f f f f '<<'<-
B ．()()()()03322f f f f <<-<''
C ．()()()()
03232f f f f '<<'<-D ．()()()()
03223f f f f <-<'<'3．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是上底面1111D C B A 的中心，则异面直线AE 与1BD 所成角的余弦值为（
）
A B C D 4．若函数()()2
2'1f x xf x =+，则
()()
'11f f --等于（
）
A ．34
-
B ．
34
C ．65
-
D ．56
-
5．已知函数()()32
61f x x mx m x =++++既存在极大值，又存在极小值，则实数m 的取值范围是（
）
A ．()1,2-
B ．()(),36,-∞-⋃+∞
C ．()
3,6-D ．()()
,12,-∞-+∞ 6．下列三图中的多边形均为正多边形，分别为正三角形、正四边形、正六边形，A 、B 是多边形的顶点，椭圆过(A B 和）且均以图中的12F F 、为焦点，设图①、②、③中椭圆的离心率分别为123e e e 、、，则（
）
A ．123
e e e >>B ．312
e e e >>C ．123
e e e <<D ．132
e e e <<7．已知2e ln 3a =，e 1e b -=，3e 2ln 2
c =，则有（
）
A ．a b c
<<B ．a c b
<<C ．b a c
<<D ．<<b c a
8．若[)20,,1e x
x x ax ∞∈+++≤恒成立，则实数a 的最大值为（
）
A ．e
B ．2
C ．1
D ．e 2
-二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．）9．下列求导运算正确的是（）
A ．1
(ln 7)7
'=
B ．()()22
2sin 2sin 2cos x x x x x x
⎡⎤+=++⎣⎦C ．22
2e e x x x x x '⎛⎫-=
⎪⎝⎭
D ．1
[ln(32)]32
x x +=
+'10．函数()(1)ln 1f x x x =--，则下列说法正确的是（）
A ．()f x 在1x =处有最小值
B ．(1,1)-是()f x 的一个极值点
C ．()f x 在(1,)+∞上单调递增
D ．当10a -≤<时，方程()f x a =有两异根
11．如图，1P 是一块半径为1的圆形纸板，在1P 的左下端剪去一个半径为1
2
的半圆后得到图形2P ，然后依次剪去一个更小半圆(其直径为前一个剪掉半圆的半径)得图形3P ，4P ，L ，n P ，L ，记纸板n P 的周
长为n L ，面积为n S ，则下列说法正确的是（）
A ．371
π42
L =
+B ．311
π32
S =
C ．11
11π222n n n L --⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+⎢⎥ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣
⎦D ．121
π2n n n S S ++=-
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．函数()sin x f x e x =的图象在点()()0,0f 处切线的方程为
.
13．已知函数f （x ）＝321x ax x -+--在(,)-∞+∞上是减函数，则实数a 的取值区间是
14．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的直线交双曲线的右支于A ，
B 两点，且2212
AF F B =
，1
F A AB =，则双曲线的离心率为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．设曲线()2
e
x ax f x =在点()()1,1f 处的切线方程为3e y x b =+（其中，a ，R b ∈，e 是自然对数的底数）.
(1)求a ，b 的值；
(2)求()f x 在区间[]3,3-上的最大值和最小值.16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2n n S a n =-.(1)求数列{}n a 的通项公式；
(2)设()()211n n b n a =++，求数列{}n b 的前n 项和n T .
17．如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，所有棱长均相等，O ，D 分别是AB ，1CC 的中点．
(1)证明：//OD 平面11AC B ；
(2)若1A O BC ⊥，且160BAA ∠=︒，求平面11A AC 与平面11AC B 所成角的余弦值．
18．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，离心率是2
，P 为椭圆上的动点.当P
在椭圆上顶点时，
12PF F △(1)求椭圆的方程；
(2)若动直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，且恒有0OA OB ⋅=
，是否存在一个以原点O 为圆心的定圆C ，
使得动直线l 始终与定圆C 相切？若存在，求圆C 的方程，若不存在，请说明理由.19．已知函数2()(2)ln (R)f x x a x a x a =+--∈．(1)讨论()f x 的单调性；
(2)当0a >时，若方程()f x m =有两个不等实根12,x x ，证明：122x x +>．1．D 【分析】
根据题中递推公式令1n =，2n =，代入运算求解即可.
【详解】因为12
12,1n a n a n a +=-=，
令1n =，可得2211a -=，则21a =；令2n =，可得3241a -=，则32log 5a =.故选：D.2．B 【分析】
由已知函数()f x 的图象，先判断它的单调性，然后根据函数图象斜率的变化，从而求解．【详解】
观察函数()f x 的图象知：当0x ≥时，()f x 单调递增，且当0x =时，()00f >，随着x 逐渐增大，函数图象由陡逐渐变缓，()20f '>，()30f '>，()()320f f ->，而3x =（即点B ）处切线的倾斜角比2x =（即点A ）处的倾斜角小，且均为锐角，
()()23f f '>'，又
()()
()()323232
f f f f -=--是割线AB 的斜率，显然()()()()3322f f f f <-'<'，
所以()()()()03322f f f f <<-<''.
3．B
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量夹角求解.
【详解】以D 为原点，1,,DA DC DD
为,,x y z 轴正方向建立空间直角坐标系如图所示，设正方体棱长为2，
()()()()
12,0,0,1,1,2,0,0,2,2,2,0A E D B 所以()()11,1,2,2,2,2AE D B =-=-uu u r uuu r ，
1142612
AE D B AE D B
⋅-=⨯⋅uu u r uuu r uu u r uuu r 所以异面直线AE 与1BD 所成角的余弦值为23
.故选：B 4．C
【分析】利用导数的运算法则求出f ′（x ），令x ＝1可得f′（1）＝2f′（1）+2，计算可得f′（1），得到f′（x ）、f （x ）的解析式，代入x=-1,即可得答案．【详解】f′（x ）＝2f′（1）+2x ，令x ＝1得f′（1）＝2f′（1）+2，∴f′（1）＝﹣2，
∴f′（x ）＝2x-4，()2
4f x x x
=-+∴f′（-1）＝-6,又()15f -=，∴
()()
'11f f -=-65
-
故选C ．
【点睛】本题考查求函数的导函数值，先求出导函数，给导函数中的x 赋值是解题的关键．5．B
求导，利用二次方程有两个不相等的实数根即可由判别式求解.【详解】
∵()()32
61f x x mx m x =++++，
∴()2
326x x m f x m =+++'，
∵函数()f x 既存在极大值，又存在极小值，∴导函数()f x '有两个不相等的变号零点，
∴()2
41260m m ∆=-+>，即23180m m -->，解得3m <-或6m >．
∴实数m 的取值范围是()(),36,-∞-⋃+∞，故选：B ．6．B
【分析】由已知图形把()A B 的坐标用含有c 的代数式表示，把()A B 的坐标代入椭圆方程，结合椭圆的定义与性质分别求出离心率后比较大小可得结论.【详解】由图①知，121211224,2
c AF AF F F a c e a +=⇒=∴=
=，由图②知，点(),2B c c 在椭圆22
221x y a b +=上，
222241c c a b ∴+=，则22
22241c c a a c
+=-，
整理得422460c a c a -+=，解得21e =，
由图③知，2c B ⎛ ⎝⎭
在椭圆22221x y a b +=上，
22
223144c c a b
∴+=，则()
22222314c c a a c +=-，
整理得31e =，312e e e ∴>>，故选B.
【点睛】本题主要考查椭圆的定义、离心率及简单性质，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．
7．C 【分析】
函数()1
e ,1ln x
f x x x
-=>，则()()()3,e ,4a f b f c f ===，确定函数()f x 的单调性，通过单调性可确定大
小.
【详解】把a ，b ，c 变形得31e ln 3a -=，e 1e ln e
b -=，41
e ln 4c -=，
所以构造函数()1
e ,1ln x
f x x x
-=>，则
()()()3,e ,4a f b f c f ===.()()()
11122
11
e ln e ln e ,1ln ln x x x x x x x
f x x x x ---⎛⎫-- ⎪
⎝⎭'==>，令()1ln g x x x
=-
，则()211
0g x x x '=+>在()1,+∞上恒成立，
所以()g x 在区间()1,+∞上单调递增，因为()11
e ln e 10e e
g =-=->，
所以()0f x ¢>在[)e,+∞上恒成立，所以函数()1
e ln x
f x x
-=在[)e,+∞上单调递增，
所以()()()e 34f f f <<，即b a c <<.故选：C.8．D 【分析】
先确定0x =时的情况，在当0x >时，参变分离可得2e 1x x a x --≤，构造函数()2e 1
x f x x
x -=-，求出函
数()f x 的最小值即可.
【详解】当0x =时，01e ≤，不等式成立；
当0x >时，2e 1
x x a x --≤恒成立，即min
2e 1x a x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-≤-，
令()2e 1x f x x x -=-，则()()()()()22
22e e 1e 11x x x x x f x x x x x
x -------'==，因为0x >时，e 10x x -->（后证）
所以当01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，当1x >时，()0f x ¢>，()f x 单调递减，
故()()1min
e 1e 21
1
1f x f --===-，
所以e 2a ≤-，即实数a 的最大值为e 2-.证明当0x >时，e 10x x -->，
令()=e 1--x g x x ，0x >，则()=e 10x
g x '->，
则()g x 在()0,∞+上单调递增，所以()()00g x g >=，即e 10x x -->.故选：D.9．BC 【分析】
根据求导法则以及基本初等函数的求导公式即可结合选项逐一求解.【详解】对于A,(ln 7)0'=,故A 错误，
对于B ，()()()()()
22222sin 2sin 2sin 2sin 2cos x x x x x x x x x x '''⎡⎤+=+++=++⎣⎦
，故B 正确，对于C ，()()()
2222
2e e 2e e e x x x x x x x x x x ''-⎛⎫-⎪⎭'
== ⎝，故C 正确，对于D ，3
[ln(32)]32
x x +=+'，故D 错误，故选：BC 10．AC 【分析】
根据函数()(1)ln 1f x x x =--，求导数()f x '确定函数的单调性，即可得函数的极值点与函数取值情况，逐项判断即可得答案.
【详解】()(1)ln 1f x x x =--，,()0x ∈+∞，所以11
()ln ln 1x f x x x x x
-=+'=+-，令1()ln 1h x x x
=+-
，则211
()0h x x x '=+>恒成立，所以()f x '在,()0x ∈+∞上单调递增，又
()1ln1110f '=+-=，
所以()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，()1,x ∈+∞时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，所以()f x 在1x =处有最小值，且1x =是()f x 的极小值点，故A ，C 正确，B 不正确；
由于min ()(1)1f x f ==-，且()()0,;,x f x x f x →→+∞→+∞→+∞，故当1a =-时，方程()f x a =只有一个根，故D 不正确.
故选：AC.11．ABD 【分析】
利用列举前几项的方法，判断AB ；根据列举的规律，写出n L ，再求和，判断C ；利用n S 与1n S +的关系，即可判断D.【详解】
根据图形生成的规律可知，1π2L =+，2π3π1π122L =+
+=+，2ππ171
ππ24242
L =+++=+，故A 正确；1π2S =，2
2π113ππ2228S ⎛⎫=-⨯⨯= ⎪⎝⎭，2
33π1111ππ82432S ⎛⎫=-⨯⨯= ⎪⎝⎭，故B 正确；根据题意可知，图形n P 中被剪去的最小的半圆的半径为1
1()2n -，
所以当1
1
ππ11π...π22422n n n L --⎛⎫
⎛⎫
=++++⨯+⨯ ⎪
⎪
⎝⎭
⎝⎭
212111112ππ2122212n n n n ---⎡⎤
⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎢
⎥=+=-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎣⎦
故C 错误；
根据题意可知，图形1n P +中被剪去的最小的半圆的半径为1()2
n
，
2
2121π1π1π
22222n n
n n n n n S S S S ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⨯=-⨯=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
，故D 正确．
故选：ABD 【点睛】
关键点点睛：本题的关键是通过列举的方法，发现图形间的规律，转化为数列问题，进行数学计算.12．0
x y -=【分析】利用导数求得切线方程.【详解】切点为()0,0，
()()()''sin cos ,01x f x x x e f =+⋅=，
故切线方程为y x =，即0x y -=.故答案为：0x y -=13．3,3⎡⎤-⎣⎦
【分析】
转化为导函数小于等于0恒成立即可.【详解】
函数()321f x x ax x =-+--在(),-∞+∞上是减函数，
()23210f x x ax '∴=-+-≤在(),-∞+∞上恒成立，
()()()2
24310a ∴∆=-⨯-⨯-≤，即2412a ≤，解得33a -≤≤，
∴实数a 的取值范围是3,3⎡⎤-⎣⎦，故答案为：3,3⎡⎤-⎣⎦.
14．
213
##1213【分析】设2F A m =，则22F B m =，13F A m =，根据双曲线的定义得到m a =，即可得到14F B a =，在1F AB 中利用余弦定理求出1cos F BA ∠，在12F BF 中利用余弦定理求出a 、c 的关系，即可求出离心率.
【详解】依题意设2F A m =，则22F B m =，13F A m =，又122F A F A a -=，则m a =，所以14F B a =，
在1F AB 中由余弦定理可得222
222111116992
cos 22433
BF BA AF a a a F BA BF BA a a +-+-∠=
==⋅⨯⨯，在12F BF 中由余弦定理可得()()()2
2
2
24224223
a a a a c +-⨯⨯⨯=，即22
2843a c =，所以2273c a =，所以213
c e a ==.故答案为：
213
15．(1)3a =，0
b =
(2)最大值为327e ，最小值为0
【分析】（1）根据切线斜率和切点在切线上列式计算即可；
（2）利用导数求出函数的单调区间，然后比较端点值和极值即可求解最值.
【详解】（1）由()2e x ax f x =
得()()2222e e 2e e x x x x ax ax ax ax f x --=='，依题可得：()31e e a f '=
=，所以3a =.又()331e e
f b ==+，所以0b =，所以3a =，0b =.
（2）由（1）知()23e x x f x =，则()()23236e e x x
x x x x f x -='--+=，令()0f x '=，解得0x =或2，令()0f x ¢>，解得02x <<，
令()0f x '<，解得0x <或2x >.
所以()f x 在(),0∞-上单调递减，在()0,2上单调递增，在()2,+∞上单调递减.又()3327327e e f --==，()00f =，()2122e f =，()3
273e f =，故()f x 在区间[]3,3-上的最大值为()(){}()3max 3,2327e f f f -=-=，
最小值为()(){}()min 0,300f f f ==.
16．(1)21n n a =-(2)()12212
n n T n +=+-⋅【分析】（1）根据题中已知条件2n n S a n =-，得出2n ≥时，()1121n n S a n --=--此两式作差整理即可得到1n a +所满足的关系，从而可求出数列{}1n a +的通项公式得到所求；
（2）根据数列{}n b 的通项可知利用错位相消法进行求和，从而可求出数列{}n b 的前n 项和n T .
【详解】（1）∵2n n S a n =-，当1n =时，11121a S a ==-，∴11a =，
当2n ≥时，2n n S a n =-，①
1121n n S a n --=-+，②
①-②得121n n a a -=+即()1121n n a a -+=+，
∵1120a +=≠，∴110n a -+≠，∴1121
n n a a -+=+，∴{}1n a +是以首项为2，公比为2的等比数列，
则11222n n n a -+=⋅=，∴21n n a =-；
（2）由上可知：()212n n b n =+⋅，
所以()()231325272212212n n n T n n -=⋅+⋅+⋅+⋯+-⋅++⋅，
()()23412325272212212n n n T n n +=⋅+⋅+⋅+⋯+-⋅++⋅，
∴()
()2341622222212n n n T n +-=++++⋯+-+⋅，
∴()12212n n T n +=+-⋅.17．(1)证明见解析(2)65
13
【分析】（1）连接1A B 交1AB 于点E ，连接OE ，1C E ，可得四边形1OEC D 为平行四边形，则有1//OD C E ，利用线面平行的判定定理可证得//OD 平面11AC B ；
（2）可证得1A O ⊥平面ABC ，以O 为原点，OA ，1OA ，OC 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面11A AC 与平面11AC B 所成二面角的余弦值.
【详解】（1）连接1A B 交1AB 于点E ，连接OE ，1C E ，
∵O ，E 分别是AB ，1AB 的中点，D 为1CC 的中点，∴1111/112
///2,OE BB DC OE BB DC ==，∴四边形1OEC D 为平行四边形，∴1//OD C E ．
∵OD ⊄平面11AC B ，1C E ⊂平面11AC B ，∴//OD 平面11AC B ．
（2）连接OC ，
∵160BAA ∠=︒，∴1BAA 为正三角形，∴1A O AB ⊥，
∵1A O BC ⊥，且BC AB B =I ，∴1A O ⊥平面ABC ，
∵△ABC 是正三角形，
∴CO ⊥AB ．
以O 为原点，OA ，1OA ，OC 所在直线分别为x ，y ，z
轴建立如图所示的空间直角坐标系，设2AB =，则()1,0,0A
，()1A
，(C
，()
1B -，由11AC AC =
，可得(1C -．
则(1AC =-
，()1AA =-
，()
1AB =- ，设平面11A AC 的法向量为(),,m x y z = ，
∴1100AC m AA m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，即200x x ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩
，
令x =
)
m = ，设平面11AC B 的法向量为(),,n a b c = ，
∴1100AC n AB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，即2030
a a ⎧-++=⎪⎨-=⎪⎩，
令a =
)
1n =- ，设平面11A AC 与平面11AC B 所成的角为θ，
则65cos cos ,13m n m n m n θ⋅==== ，即平面11A AC 与平面11AC B 所成角的余弦值为
6513
．18．(1)2214x y +=(2)存在，2245x y +=【分析】
(1)根据余弦定理和基本不等式确定点P 为短轴端点时，12F PF θ∠=取得最大值，再根据三角形的面积即可求得；
(2)对直线的斜率分存在和不存在分类讨论，当直线斜率存在时，设直线的方程为y kx m =+，()11,A x y ，
()22,B x y ，利用数量积和韦达定理即可求得；
【详解】（1
）依题意可得2c e a ==，设12F PF θ∠=
，
由余弦定理可知：
22212124||||2||||cos c PF PF PF PF θ=+-⋅，所以2
2
2
2212122221cos 2b b b a PF PF PF PF θ⎛⎫+=≥⋅=
⎪ ⎪⋅+⎝⎭，
当P 在椭圆上顶点时12PF F △
的面积是1
22c b bc ⋅==同时222a b c =+
，联立bc =3
2c a =解得2a =，1b =
，c =所以椭圆方程为2
214x y +=.
（2）
（2）当直线l 斜率不存在时，直线l 的方程为x n =，
所以2244n n +=，24
5n =，原点O 到直线1的距离为d ，
此时5d =，
当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y
，原点O 到直线1的距离为d
d =，
整理得()2221m d k =+，由2
214x y y kx m
⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，可得()222418440k x kmx m +++-=，
()()()()
22222Δ84414416410km k m k m =-+-=-+>，
122841km x x k +=-+，21224441m x x k -=+()()()22
12121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++2222
22224484414141m km m k k km m k k k ---=⋅+⋅+=+++2222212122224445440414141m m k m k OA OB x x y y k k k ----⋅=+=+==+++ 225440m k --=，()
22251440d k k +--=，恒成立，
即()()
225410d k -+=恒成立，所以2540d -=，所以5
d =，所以定圆C 的方程是2245
x y +=所以当0OA OB ⋅= 时，存在定圆C 始终与直线l 相切，其方程是2245x y +=.19．(1)答案见解析(2)证明见解析
【分析】
（1）对函数()f x 求导，()()()12x x a f x x
'-+=
，讨论0a ≤与0a >时导函数的正负，来确定函数()f x 单调区间．（2）()f x m =有两个不等实根12,x x ，设1201x x <<<，且121x ->，构造
()()()2F x f x f x =--,()2112(1)(2)02(2)
a x F x a x x x x -'-=--=≤--，再根据函数单调性证明即可．【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,,∞+()()()1222x x a a f x x a x x -+=+-='-，0a ≥时，当()0,1x ∈时，()0f x '<；当()1,x ∈+∞时，()0f x ¢>，
所以()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增；
0a <时，令()0f x '=得121,2
a x x ==-，当20a -<<时，当0,,(1,)2a x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>；当,12a x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
时，()0f x '<，所以()f x 在()0,,1,2a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝
⎭上单调递增，在,12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减.当2a =-时，当()0,x ∈+∞时，()0f x '≥，所以()f x 在()0,∞+上单调递增.
当2a <-时，当()0,1,(,)2a x ∈-+∞时，()0f x ¢>；当1,2a x ⎛⎫∈- ⎪⎝
⎭时，()0f x '<，
所以()f x 在()0,1,,2a
∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递增,在1,2a ⎛⎫
- ⎪⎝⎭上单调递减.,,
综上，当0a ≥时，()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增；当20a -<<时，()f x 在,12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在0,,(1,)2a ⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；
当2a =-时，()f x 在()0,∞+上单调递增；
当2a <-时，()f x 在1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在()0,1,,2a ∞⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭上单调递增.
（2）由（1）知，0a >时，()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，因为方程()f x m =有两个不等实根12,x x ，所以不妨设1201x x <<<，且121x ->设(0,1)x ∈,令()()()2F x f x f x =--，
()()22ln [(2)(2)ln(2)]
22x a x a x x x a a x =+-----+---[22ln ln(2)]
a x x x =--+-则()2
11
2(1)(2)02(2)a x F x a x x x x -'-=--=≤--，
所以当()0,1x ∈时，()()0,F x F x '≤在()0,1单调递减，又()10F =，所以()()110F x F >=，即
又()()12f x f x =，所以()()212f x f x >-，
又由于211,21x x >->，且()f x 在()1,+∞上单调递增，
所以212x x >-即122x x +>.。