高中数学第1章导数及其应用1.2导数的运算1.2.1常见函数的导数讲义含解析苏教版选修2_2

1.2.1 常见函数的导数

已知函数

(1)f (x )＝c ，(2)f (x )＝x ，(3)f (x )＝x 2

， (4)f (x )＝1

x

，(5)f (x )＝x .

问题1：函数f (x )＝x 的导数是什么？

提示：∵Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝x ＋Δx －x

Δx ＝1，

∴当Δx →0时，Δy

Δx →1，即x ′＝1.

问题2：函数f (x )＝1

x

的导数是什么？

提示：∵Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝1x ＋Δx －

1

x

Δx

＝

x －(x ＋Δx )x (x ＋Δx )Δx ＝－1

x 2＋x ·Δx

，

∴当Δx →0时，Δy Δx →－1x 2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x 2.

1．(kx ＋b )′＝k (k ，b 为常数)； 2．C ′＝0(C 为常数)； 3．(x )′＝1； 4．(x 2

)′＝2x ； 5．(x 3

)′＝3x 2

； 6.⎝ ⎛⎭

⎪⎫1x ′＝－1x

2；

7．(x )′＝1

2x

.

1．(x α

)′＝αx

α－1

(α为常数)；

2．(a x

)′＝a x

ln_a (a >0，且a ≠1)； 3．(log a x )′＝1

x

log a e ＝

1

x ln a

(a >0，且a ≠1)；

4．(e x )′＝e x

； 5．(ln x )′＝1

x

；

6．(sin x )′＝cos_x ； 7．(cos x )′＝－sin_x .

函数f (x )＝log a x 的导数公式为f ′(x )＝(log a x )′＝

1

x ln a

，当a ＝e 时，上述公式就变形为(ln x )′＝1

x

，即f (x )＝ln x 是函数f (x )＝log a x 当a ＝e 时的特殊情况．类似地，

还有f (x )＝a x 与f (x )＝e x

.

[对应学生用书P7]

[例1] (1)y ＝x 8

； (2)y ＝1

x

3；

(3)y ＝x x ； (4)y ＝log 2x .

[思路点拨] 解答本题可先将解析式化为基本初等函数，再利用公式求导． [精解详析] (1)y ′＝(x 8

)′＝8x 7

； (2)y ′＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫1x 3′＝(x －3)′＝－3·x －4

＝－3x

4；

(3)y ′＝(x x )′＝(x 32)′＝32·x 12＝3x

2；

(4)y ′＝(log 2x )′＝

1

x ·ln 2

.

[一点通] 用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时应根据所给函数的特征，恰当地选择求导公式，有时需将题中函数的结构进行调整，如根式、分式转化为指数式，利用幂函数的求导公式求导．

1．函数y ＝sin ⎝

⎛⎭

⎪⎫π2－x 的导数是________．

解析：y ＝sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π2－x ＝cos x ，所以y ′＝－sin x . 答案：－sin x

2．下列结论中不正确的是________． ①若y ＝3，则y ′＝0； ②⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3′＝cos π3； ③⎝

⎛⎭⎪⎫

－

1x ′＝

1

2x x

； ④若y ＝x ，则y ′＝1.

解析：①正确；②sin π3＝32，而(32)′＝0，不正确；对于③，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ′＝(－x －12)′＝12x －32＝12x x

，正确；④正确． 答案：②

3．求下列函数的导函数． (1)y ＝10x

；(2)y ＝log 12

x ；

(3)y ＝4x 3；(4)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x

2

＋cos x 22－1.

解：(1)y ′＝(10x )′＝10x

ln 10； (2)y ′＝(log 12x )′＝1x ln

12＝－1

x ln 2

；

(3)∵y ＝4x 3＝x 3

4

，

∴y ′＝(x 34)′＝34x －14＝3

44

x ；

(4)∵y ＝(sin x 2＋cos x

2

)2

－1

＝sin 2

x 2＋2sin x 2cos x

2＋cos 2

x

2－1＝sin x ，

∴y ′＝(sin x )′＝cos x .

[例2] 求函数f (x )＝

6x 5

在x ＝1处的导数．

[思路点拨] 先求导函数，再求导数值． [精解详析] ∵f (x )＝

1

6x 5

＝x －56

，

∴f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －56′＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫－56x －11

6，

∴f ′(1)＝－5

6

.

[一点通] 求函数在某点处的导数需要先对原函数进行化简，然后求导，最后将变量的值代入导函数便可求解．

4．若函数f (x )＝3

x ，则f ′(1)＝________. 解析：∵f ′(x )＝(3

x )′＝(x 13)′＝13x －23，

∴f ′(1)＝1

3.

答案：13

5．若函数f (x )＝sin x ，则f ′(6π)＝________. 解析：∵f ′(x )＝(sin x )′＝cos x . ∴f ′(6π)＝cos 6π＝1. 答案：1 6．已知f (x )＝

1

n x

且f ′(1)＝－1

2，求n .

解：f ′(x )＝⎝ ⎛⎭

⎪⎪⎫1n x ′＝(x －1n )′＝－1n x －1n －1＝－1n x －n ＋1

n ，

∴f ′(1)＝－1

n

，

由f ′(1)＝－12得－1n ＝－1

2

，得n ＝2.

[例3] (1)曲线在点A (1,1)处的切线方程； (2)过点B (3,5)且与曲线相切的直线方程．

[思路点拨] (1)点A 在曲线上，故直接求导数，再求直线方程；(2)B 点不在曲线上，