勾股定理单元检测试题

勾股定理单元检测试题

邮编：518052 地址：深圳市南山区常兴南路荔香中学数学组 作者：钟国雄（中国数学奥林匹克一级教练，中学高级教师）

一、选择题（每题3分,共18分）

1. 下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（ ）

（A ）1,2,3 （B ）2,3,4 （C ）3,4,5 （D ）4,5,6 解：因为222345+=，故选（C ）

2．在一个直角三角形中，若斜边的长是13，一条直角边的长为12，那么这个 直角三角形的面积是（ ）

（A ）30 （B ）40 （C ）50 （D ）60

解：由勾股定理知，

5=，所以这个直角三角形的

面积为1

125302

⨯⨯=.

3．如图1,一架2.5米长的梯子AB ,斜靠在一竖直的墙AC 上,这时梯足B 到墙底端C 的距离为0.7米,如果梯子的顶端下滑0.4米,则梯足将向外移( ) (A)0.6米 (B)0.7米 (C)0.8米 (D)0.9米

解:依题设11 2.5,0.7AB A B BC ===.在Rt ABC ∆中,由勾股定理,得

2

7 2.4

A C =

= 由12.4,0.4AC AA ==,

得1

1 2.40.42AC AC AA =-=-=. 在11Rt A B C ∆中, 由勾股定理,得

21 1.5B C =

= 所以11 1.50.70.8BB B C BC =-=-=

故选(C)

4．直角三角形有一条直角边的长是11，另外两边的长都是自然数，那么它的周长是（ ）

（A ）132 （B ）121 （C ）120 （D ）以上答案都不对 解：设直角三角形的斜边长为x ,另外一条直角边长为y ,则x y >.

由勾股定理,得22211x y =+.

图1

因为,x y 都是自然数，则有()()1211211x y x y +-==⨯. 所以121,1x y x y +=-=.

因此直角三角形的周长为121+11=132. 故选（A ）

5．直角三角形的面积为S ，斜边上的中线长为d ，则这个三角形周长为（ ）

（A

）2d （B

d （C

）2d （D

）d 解:设两直角边分别为,a b ,斜边为c ,则2c d =,12

S ab =. 由勾股定理,得222a b c +=.

所以()2

22222444a b a ab b c S d S +=++=+=+.

所以a b +=所以a b c ++

=2d . 故选（C ）

6. 直角三角形的三边是,,a b a a b -+,并且,a b 都是正整数,则三角形其中一边的长可能是( )

（A ）61 （B ）71 （C ）81 （D ）91 解:因为a b a a b +>>-.根据题意,有()()2

2

2a b a b a +=-+. 整理,得24a ab =.所以4a b =. 所以3,5a b b a b b -=+=.

即该直角三角形的三边长是3,4,5b b b .

因为只有81是3的倍数. 故选（C ） 二、填空题（每题3分,共24分）

7. 如图2，以三角形ABC ∆的三边为直径分别向三角形外侧作半圆，其中两个半圆的面积和等于另一个半圆的面积，则此三角形的形状为_____. 解:根据题意，有123S S S +=，即

222

111222222a b c πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫

+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.

整理,得222a b c +=.

图2

故此三角形为直角三角形.

8. 在Rt ABC ∆中,3,5a c ==,则边b 的长为______.

解：本题在Rt ABC ∆中，没有指明哪一个角为直角，故分情况讨论：

当C ∠为直角时,c 为斜边，由勾股定理,得222a b c +=， ∴

4b =；

当C ∠不为直角时, c 是直角边，b 为斜边，由勾股定理，得222a c b +=， ∴

b === 因此,本题答案为4

9. 如图3,有两棵树,一棵高8米,另一棵高2米,两树相距8米,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则它至少要飞行_____米.

解：由勾股定理，知最短距离为

10BD ===.

10. 如图4，已知ABC ∆中，90ACB ∠=︒，以ABC ∆的各边为边在ABC ∆外作三个正方形，123,,S S S 分别表示这三个正方形的面积，1281,225S S ==，则

3_____.

S = 解：由勾股定理，知222AC BC AB +=，即123S S S +=，所以3114S =．

11．如图5,已知，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=

︒，从直角三角形两个锐角顶点所引的中线的长5,AD BE ==，则斜边AB 之长为______.

解： AD 、BE 是中线，设,BC x AC y ==，由已

知，

5,A D B E ==

所以2

2

2

240,25.22y x x y ⎛⎫⎛⎫

+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

两式相加，

得

()2

25654

x y +

=

，所以AB ===

图 5

图4

图3

12.如图6，在长方形ABCD 中，5DC cm =,在DC 上存在一点E ,沿直线AE 把AED ∆折叠，

使点D 恰好落在BC 边上，设此点为F ，若ABF ∆的面积为230cm ,那么折叠AED ∆的面积为_____. 解:由折叠的对称性,得,AD AF DE DF ==.

由1

30,52

ABF S BF AB AB ∆=

⋅==,得12BF =. 在Rt ABF ∆中,由勾股定理,

得13AF =

=.所以13AD =.

设DE x =,则5,,1EC x EF x FC =-==.

在Rt ECF ∆中,222EC FC EF +=,即()2

2251x x -+=.解得135

x =. 故()21113

1316.9225

ADE S AD DE cm ∆=

⋅=⨯⨯=. 13.如图7，已知：ABC ∆中，2BC =， 这边上的中线长1AD =，

1AB AC +=则AB AC ⋅为_____.

解:因为AD 为中线，所以1BD DC AD ===,于是1,2C B ∠=∠∠=∠.

但12180C B ∠+∠+∠+∠=︒,故()212180,1290∠+∠=︒∠+∠=︒,即90BAC ∠=︒.

又

1AB AC +=+,两边平方,

得

2224AB AC AB AC ++⋅=+而由勾股定理,得224AB AC +=. 所以24AB AC ⋅=.故2AB AC ⋅=.

即2AB AC ⋅=.

14．在ABC ∆中,1AB AC ==,BC 边上有2006个不同的点122006,,

P P P ,

记()2

1

,2,2006i i i i m AP BP PC i =+⋅=,则122006m m m ++

=_____.

解:如图8,作AD BC ⊥于D ,因为1AB AC ==,则BD CD =. 由勾股定理,得222222,AB AD BD AP AD PD =+=+.所以

()()2222

AB AP BD PD BD PD BD PD BP PC -=-=-+=⋅.

所以2221AP BP PC AB +⋅==.

图8

图7

图6